Resolucion de Problemas (MC)

Instituto de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas y Estadística

Prof. Wilmer Barrera Yayes
Ecuaciones Diferenciales.
Periodo: mayo 2022 - septiembre 2022.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MC.
Unidad 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y orden superior.

Temas:
• Definición de ecuación diferencial ordinaria.
• Orden y grado de una ecuación diferencial.
• Campos direccionales.
• Método de separación de variables.
Instrucciones:
• Resolver todos los ejercicios.

• En cada caso escribir el enunciado y el número del ejercicio que está
resolviendo.
• Guardar el documento con el siguiente nombre: RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS MC_Su primer apellido + nombre.
• Escanear de manera LEGIBLE los ejercicios y su respectiva solución y
adjuntarlos en su GOOGLE DRIVE, luego pegar en la plataforma el
respectivo enlace. Ver la explicación del tutorial disponible en el siguiente
enlace:
https://drive.google.com/file/d/1iVMNKOLGoa56LmI6n_Rl6CBr9yUjnvMt/
view
• Entregar el documento de la tarea en físico.

• Esta actividad tiene un peso de 4 puntos en el componente docente.
• Cualquier duda e inquietud por favor escribir en el grupo de WhatsApp.
• La fecha de entrega: desde el 30/05/2022 al 04/06/2022 a las 23:55.
Ejercicios.
1. En la siguiente tabla están dadas varias ecuaciones diferenciales
ordinarias. En cada caso indique la incógnita, el orden y grado.
ECUACION DIFERENCIAL INCÓGNITA ORDEN GRADO
3
𝑑2𝑦 𝑑𝑦 7
3 ( 2 ) + 4 ( ) + 9𝑥 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑦′′ + 𝑥𝑦𝑦′ = 5
𝑥 3 𝑦𝑦′′′ − 𝑥 2 𝑦𝑦′′ + 𝑦 = 0
𝑦′′ + 2𝑥 3 𝑦′ − (𝑥 − 1)𝑦 = 𝑥𝑦 3
4
𝑑2𝑥 𝑑𝑥
3 ( 2) + 4 + 9𝑥 = 0
𝑑𝑡 𝑑𝑡
7
𝑑2𝑧 𝑑𝑧 4
3 ( 2 ) + 4 ( ) + 9𝑤 8 = 0
𝑑𝑤 𝑑𝑤
2
𝑑4𝑃 𝑑𝑃 4
8 ( 4 ) + 4 ( ) + 9𝑥 8 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑅
= 𝑅2
𝑑𝑡
2
𝑑3𝑠 𝑑𝑠 4
𝑥 ( 3 ) + 4 ( ) + 9𝑟 8 = 0
𝑑𝑟 𝑑𝑟
2. En cada caso determine si la ecuación dada es lineal o no lineal. Indique cuál

es su orden y grado.
a. (1 − 𝑥 )𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 + 5𝑦 = cos(𝑥)
𝑑3 𝑦 𝑑𝑦 4
b. 𝑥 𝑑𝑥 3
− (𝑑𝑥 ) + 𝑦 = 0
c. 𝑡 5 𝑦 (𝑖𝑣) − 𝑡 3 𝑦 ′′ + 6𝑦 = 0
3. En cada caso determine si la función dada es solución de la correspondiente

ecuación diferencial en el intervalo indicado.
a. 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 de 𝑦 ′ − 𝑦 = 0, 𝐼 = (−∞, +∞).
1
b. 𝑦 = 2𝑒 −2𝑥 + 3 𝑒 𝑥 de 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝐼 = (−∞, +∞).
c. 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 de 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0, 𝐼 = (−∞, +∞).
d. 𝑦 = 8𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 de 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0, 𝐼 = (−∞, +∞).
3 2
e. 𝑦 = − 3𝑥+2 de 𝑦 ′ = 3𝑦 2, 𝐼 = (− 3 , +∞).
f. 𝑦 = 2𝑥√1 − 𝑥 2 de 𝑦𝑦 ′ = 4𝑥 − 8𝑥 3 , 𝐼 = (−1,1).
4. Encuentre los valores de 𝑚 apropiados para que la función 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 sea
solución de la ecuación diferencial 𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 en todo ℝ.
5. Encuentre los valores de 𝑚 apropiados para que la función 𝑦 = 𝑥 𝑚 sea
solución de la ecuación diferencial 𝑥 2 𝑦 ′′ − 7𝑥𝑦 ′ + 15𝑦 = 0 en todo ℝ.
6. En cada caso construya un campo direccional y use esta información para
trazar una solución aproximada de la ecuación diferencial dada por el punto
dado.
a. 𝑦 ′ = 2𝑦, ; (3,2)
𝑦
b. 𝑦 ′ = , ; (1, −2)
2
1
7. Encuentre el valor de la constante 𝑐, para que la solución 𝑦(𝑥 ) = 𝑥2 +𝑐 de la
ecuación diferencial 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 2 = 0 cumpla el siguiente problema de valor inicial

𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 2 = 0
{ 1
𝑦 ( ) = −4
2
8. Encuentre el valor de las constantes 𝑐1 , 𝑐2 para que la solución 𝑦(𝑥 ) = 𝑐1𝑒 𝑥 +
𝑐2𝑒 −𝑥 de la ecuación diferencial 𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 cumplan el siguiente problema de
valor inicial
𝑦(0) = 1
{ ′
𝑦 (0) = 2
9. Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. Proponga
𝑑𝑦
el intervalo de solución. Recuerde que 𝑦 ′ = .
𝑑𝑥
a. 𝑦 ′ = 4𝑥 + 6
b. 𝑦 ′ = 1 − 7𝑥 2
c. 𝑦 ′ = 8 + 2𝑥 − 3𝑥 2
1
d. 𝑦 ′ = 𝑥 5 − 𝑥2 + 𝑥
9𝑥 2 −6
e. 𝑦 ′ = 𝑥2
10. En cada caso encuentre una solución particular correspondiente a las

condiciones iniciales dadas. Indique un posible intervalo de solución.
a. 𝑦 ′ = 4 − 9𝑥 2 − 6𝑥 5 , 𝑦(1) = 2.
b. 𝑦 ′ = 4 − 9𝑥 2 − 6𝑥 5 , 𝑦(1) = 0.
6𝑥−12
c. 𝑦 ′ = , 𝑦(1) = 20.
𝑥2
𝑥
d. 𝑦 ′ = 𝑦 , 𝑦(1) = 0.
e. 𝑦 ′ = 𝑒 3𝑥+2𝑦 , 𝑦(0) = 0.
f. 𝑦 ′ = −6𝑥𝑦, 𝑦(0) = 7.
g. 𝑦 ′ = 𝑥 3 (1 − 𝑦), 𝑦(0) = 3.
11. Halle una función cuyo gráfico pase por el punto (3,2), de tal forma que la
pendiente de la tangente en el punto 𝑷 = (𝒙, 𝒚) sea igual a la ordenada del
punto más 5 unidades.
12. Halle una función cuyo gráfico pasa por el punto (2,4) y cuya pendiente en
cualquier punto 𝑷 = (𝒙, 𝒚) es igual y de signo opuesto, al doble de la abscisa
en dicho punto sumado con el triple de la ordenada en dicho punto. ¿Tiene
sentido su respuesta?
13. Encuentre una función cuyo gráfico pase por el punto (1,2) y cuya derivada
sea igual a la recta que tiene pendiente 2 y corta al eje 𝑦 en el punto (0,3).

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2. En cada caso determine si la ecuación dada es lineal o no lineal. Indique cuál

3. En cada caso determine si la función dada es solución de la correspondiente

ecuación diferencial 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 2 = 0 cumpla el siguiente problema de valor inicial

10. En cada caso encuentre una solución particular correspondiente a las

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