Función Racional e Irracional

CAPÍTULO 3
FUNCIÓN RACIONAL E IRRACIONAL

3.1. INTRODUCCIÓN.
El siguiente esquema presenta algunas de las funciones reales:

Función constante
Función de 1er grado
Polinómicas Función cuadrática
Función cúbica
Función polinómica grado n > 3
Algebraicas
R
Racional
TO
- Inversamente proporcional
Irracional
AU
Por partes
Funciones - Valor absoluto
E
Reales Parte entera, mantisa y signo.
D
S
Exponenciales
O
Trascendentes Logarítmicas
H
Trigonométricas
EC
A continuación, se presenta un estudio de las funciones: racionales, función inversamente proporcional,

ER
función irracional (radical), función a trozos, entre otras. La función inversamente proporcional es un
caso especial de la función racional.
D
3.2. FUNCIÓN RACIONAL

S
LO
La relación F, denotada por: F = {(x,y)∈RxR/y = P(x)/Q(x); Q(x) ≠ 0}, donde P(x) y Q(x) son polinomios,
es la función general racional. En forma abreviada se escribe: f(x) = P(x)/Q(x) ; Q(x) ≠ 0, notación
S
funcional, ó también y = P(x)/Q(x); Q(x) ≠ 0, ecuación. Por ejemplo:

O
D
g(x) = (x-3)/(x+1) f(x) = (x+1)/(2x+4) h(x) = (x2-4)/(x-2) y = (x2+4x+4)/(x2-x-6) y = 1/x

VA
Observación: para indicar que una relación es función se debe determinar el dominio y codominio de f(x).
ER
Estas especificaciones se escriben adjunto a la notación funcional, en la respuesta. En este caso, el

dominio y codominio son un subconjunto propio de los números reales. El dominio de la función es el máximo
ES
subconjunto de R posible, para los cuales tiene sentido calcular f(x). Se llama curva racional a la gráfica
de f(x) que representa, en el plano cartesiano, el conjunto: {(x, f(x))/x∈D}; siendo D el dominio.
R
3.2.1. GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES
Una de las características más importantes de las funciones racionales son las asíntotas. Se presentan
únicamente en funciones de la forma f(x) = P(x)/Q(x); Q(x) ≠ 0.
ASÍNTOTAS
Una asíntota es una recta real o imaginaria que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una
curva sin llegar nunca a encontrarla en la gran mayoría de casos (se acerca a la gráfica de la función sin
tocarla). Existen tres tipos de asíntota: vertical, horizontal y oblicua.
MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 57aaa Función racional e irracional
ASÍNTOTA VERTICAL (AV)
AV: Q(x) = 0
Son rectas verticales asociadas a la función.
y = 1/(x+2)
1. Las AV se hallan igualando el denominador a 0, Q(x) = 0
(pasan por los valores de x que anulan al denominador).
AV
Si g(x) = 1/(x+2) entonces x+2 = 0, luego x = -2 es AV.
2. Las AV nunca cortan la gráfica de la función.
3. Una función racional puede tener infinitas asíntotas
verticales.
ASÍNTOTA HORIZONTAL (AH)
Son rectas horizontales asociadas a la función. CASO 1. AH: m = n → y = am/bn

Sean los polinomios:
y = x/(x+1)
P(x) = amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0, de grado m.
AV
Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 +… + b1x + b0, de grado n.
Siendo a,b ∈R y m,n ∈Z+,.
Si se sustituye P(x) y Q(x) en f(x) = P(x)/Q(x); Q(x) ≠ 0,
R
AH
se tiene:
TO
f(x) = (amxm + … + a1x + a0)/(bnxn + … + b1x + b0)
AU
Para hallar las AH se consideran los grados de los
polinomios, m y n. Se presentan dos casos:
E
CASO 1. Si el grado de P(x) igual al de Q(x), m = n.
D
S
La AH es la recta definida por el cociente de los CASO 2. AH: m < n → y = 0
O
coeficientes principales, y = am/bn.
H
Si g(x) = x/(x+1) entonces: y = 1/1 = 1, y = 1 es la AH.

EC
y = 1/x2
CASO 2. El grado de P(x) es menor que el de Q(x), m < n:
ER
La AH es la recta definida por y = 0 (el eje x). AH

Si f(x) = 1/x2 entonces y = 0 es la AH.
D
S
1. Las AH pueden cortar la gráfica de la función.

LO
2. Una función tiene como máximo dos AH.

S
ASÍNTOTA OBLICUA (AO)

O
AO: m > n → cociente de P(x)/Q(x)

D
Son rectas oblicuas asociadas a la función.

VA
y = (x2-2x+4)/(x-3)
1. La AO es la recta definida por el cociente de P(x) para
ER
Q(x).
Si f(x) = (x2-2x+4)/(x-3) entonces y = x+1, es la AO.
ES
Observación: se deja al lector la verificación. AO

2. Una función puede tener como máximo dos AO. y = x+1
R
3. Si una función tiene AO no tiene AH y recíprocamente.

4. Si el grado del numerador es dos o más unidades
mayores que el del denominador, no hay asíntota
oblicua, pero si una asíntota horizontal. AV
5. Las AO pueden cortar la gráfica de la función, en uno

o varios puntos. Por ejemplo:
f(x) = (x3-4x2-x+6)/(x2-x-2) con AO y = x-3.
Ejemplo 1: Graficar: f(x) = (x+1)/(x-4), y determinar si es función.
P1: Asíntota vertical (Hallar; Q(x) = 0): Asíntotas:

x - 4 = 0 → x = 4 es una AV
AV: Q(x) = 0
(perpendicular al eje X).
AH: m = n → y = am/bn
AH: m < n → y = 0
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n):
AO: m > n→ cociente
m = n → AH = y = 1/1 = 1 (paralela al eje x).
Tabla de valores
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n):
m = n, f(x) no posee asíntota oblicua. y = (x+1)/(x-4)
x y
P4. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). -1 0
f(x) = (x+1)/(x-4) → (x+1)/(x-4) = 0 0 -0,25
x+1 = 0 → x = -1 2 -1,50
Punto de corte: (-1,0) 3 -4
5 6
P5. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). 6 3,5
R
f(x) = (x+1)/(x-4) → f(0) = (0+1)/(0-4) 9 2
TO
f(0) = -1/4 → f(0) = -0,25 11 1,71
Punto de corte: (0; -0,25)
AU
RV
P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)]
E
Observación: se considera la AV: y = (x+1)/(x-4)
D
S
-∞ 4 +∞
O
D D AV
H
EC
Intervalo (-∞; 4): Intervalo (4; ∞):

f(x) = (x+1)/(x-4) f(x) = (x+1)/(x-4)
ER
f(-1) = 0 f(5) = 6
f(3) = - 4 f(9) = 2
D
x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) AH

S
f(x) es decreciente f(x) es decreciente.

LO
P7. Simetría
Df = R - {4} Cdf = R - {1}
S
f(x) = (x+1)/(x-4) → f(-x) = (-x+1)/(-x-4)

O
f(-x) = (x-1)/(x+4) → f(x) ≠ f(-x) La RV interseca la gráfica en todos

D
-f(-x) = -(x-1)/(x+4) → f(x) ≠ -f(-x) los puntos del dominio. Ninguna RV

VA
∴ f(x) no tiene ninguna clase de simetría. interseca la gráfica en más de un

punto.
ER
P8. Dominio y Codominio: Monotonía:

ES
Los reales excepto los valores de las AV y AH I1: (-∞; 4) es decreciente (D)
R
según corresponda al Df y al Cdf. I2: (4; ∞) es decreciente (D)

Df = R - {4}
Cdf = R – {1} Interpretación geométrica:
En creciente la gráfica va hacia
P9. Para trazar la gráfica se consideran los arriba, y en decreciente hacia abajo.
siguientes valores (ver tabla de valores):
∴ f(x) = (x+1)/(x-4), es función; f: R- {4} → R– {1}
Ejemplo 2: Graficar: f(x) = (x+1)/(x2-4), y determinar si es función.
P1: Asíntota vertical (Hallar; Q(x) = 0): Asíntotas:

x2 - 4 = 0 → x1 = 2 v x2 = -2; son AV
AV: Q(x) = 0
(perpendiculares al eje x).
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n): AH: m < n → y = 0
m < n → AH = y = 0 (coincide con el eje x).
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n): Tabla de valores

m < n, f(x) no posee asíntota oblicua. y = (x+1)/(x2-4)
P4. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). x y
-1 0
f(x) = (x+1)/(x2-4) → (x+1)/(x2-4) = 0
0 -0,25
x+1 = 0 → x = -1
-4 -0,16
Punto de corte: (-1,0)
-6 -0,25
P5. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). 4 0,42
6 0,21
f(x) = (x+1)/(x2-4) → f(0) = (0 +1)/(02-4)
R
-1 0
f(0) = -1/4 → f(0) = -0,25
TO
Punto de corte: (0; -0,25) 1 -2/3
RV
AU
Observación: se consideran las AV: y = (x+1)/(x2-4)
E
-∞ -2 2 +∞
D
S
D D D AV AV
O
Intervalo (-∞; 2): Intervalo (2; +∞):

H
f(x) = (x+1)/(x2-4) f(x) = (x+1)/(x2-4)

EC
f(-6) = -8/32 f(4) ≈ 0,42

ER
f(-9) = - 1/4 f(6) ≈ 0,21 AH
x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2)

D

S
Observación: se deja al lector la determinación

LO
Df = R - {-1} Cdf = R
en el intervalo (-2; 2).
La RV interseca la gráfica en todos los
S
P7. Simetría puntos del dominio. Ninguna RV

O
f(x) = (x+1)/(x2-4) → f(-x) = (-x+1)/(x2-4) interseca la gráfica en más de un

D
f(-x) = -(x-1)/(x2-4) → f(x) ≠ f(-x) punto.

VA
-f(-x) = (x-1)/(x2-4) → f(x) ≠ -f(-x) Monotonía:

ER
∴ f(x) no tiene ningún tipo de simetría. I1: (-∞; -2) es decreciente (D)
I2: (-2,2) es decreciente (D)
ES
P8. Dominio y Codominio:

I2: (2; +∞) es decreciente (D)
R
En este caso, para el dominio los reales

Interpretación geométrica:
excepto los valores de las AV.
En creciente la gráfica va hacia arriba,
Df = R – {-2,2}
y en decreciente hacia abajo.
Cdf = R
Observación: en este ejemplo la
P9. Para trazar la gráfica se consideran los
gráfica le corta a la asíntota horizontal
en el intervalo (-2,2).
∴ f(x) = (x+1)/(x2-4), es función; f: R- {-2,2} → R
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Una fracción está simplificada o reducida a su más simple expresión cuando el numerador y el
denominador son primos entre sí, esto es, cuando no tienen factor común alguno. Para simplificar una
fracción se factora el numerador y/o el denominador. Por ejemplo:
f(x) = (x2-4)/(x-2) = (x+2)(x–2)/(x-2) = x + 2

En las funciones racionales se puede simplificar los factores comunes siempre y cuando se considere lo
siguiente:
1. El factor simplificado significa que f(x) tiene raíces comunes. Las raíces comunes se obtienen
igualando a cero el factor simplificado: En el ejemplo: Si x–2 = 0 entonces x = 2, de donde 2 es
la raíz común.
2. Al evaluar la función original para x = 2 se obtiene una indeterminación del tipo 0/0.
f(x) = (x2-4)/(x-2) → f(2) = [(2)2-4)/(2-2)] → f(2) = 0/0 (Indeterminación).
3. Interpretación Geométrica: Las raíces comunes representan “puntos vacíos”, en la curva de
f(x). Es decir, la función es discontinua en ese punto.
4. Es conveniente graficar la función: f(x) = x+2, en lugar de la primera, porque es de menor grado
R
TO
y es más fácil calcular algunos de sus puntos. Esta gráfica debe mostrar el “punto vacío”:
AU
Ejemplo 3: Graficar: f(x) = (x2-4)/(x-2), y determinar si es función.
P1: Simplificación: Tabla de valores
E
f(x) = (x2-4)/(x-2) = (x+2)(x–2)/(x-2)
f(x) = x+2, no tiene asíntotas D y=x+2
S
x y
O
P2: “Punto vacío” (Hallar: f(x); x la raíz común de -2 0
H
P(x)/Q(x)). -1 1
EC
f(x) = x + 2 → f(2) = 2+2 = 4. 0 2

Punto vacío (2,4) 2 4
ER
P3. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). 3 5

D
f(x) = x+2 → x+2 = 0 → x = -2. 4 6

Punto de corte: (-2, 0,)
S
LO
P4. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). y = (x2- 4)/(x-2)

f(x) = x+2 → f(0) = 0+2 → f(0) = 2.
S
Punto de corte: (0; 2)

O
P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)] RV

D
Intervalo (-1; 4): f(x) = x+2

VA
f(-1) = 1 y f(4) = 6
ER
x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) f(x) es creciente

P7. Simetría
ES
f(x) = x + 2
R
f(-x) = -x + 2 f(x) ≠ f(-x)

-f(-x) = x - 2 f(x) ≠ -f(-x) Df = R - {2} Cdf = R – {4}
∴ f(x) no tiene ningún tipo de simetría.
El Df y el Cdf son los números reales
P8. Dominio y Codominio: excepto el valor de la abscisa o de la
Df = R - {2} y Cdf = R – {4} ordenada del “punto vacío”, según
P9. Para trazar la gráfica se consideran los corresponda.
∴ f(x) = (x2-4)/(x-2), es función; f: R - {2} → R – {4}
Ejemplo 4. Trazar la gráfica de f(x) = (x2+4x+4)/(x2-x-6), y determinar si es función.
P1: Simplificación: Asíntotas

f(x) = x2+4x+4/x2-x-6
AV: Q(x) = 0
f(x) =(x+2)(x+2)/(x-3)(x+2)
f(x) = (x+2)/(x-3) AH: m < n → y = 0
P2: “Punto vacío” (Hallar: f(x); x la raíz común de AO: m > n→ cociente
P(x)/Q(x)).
f(x) = (x+2)/(x-3) → f(-2) = (-2+2)/(-2-3) = 0. Tabla de valores
Punto vacío: (-2,0). y = (x+2)/(x-3)
P3: Asíntota vertical (Hallar: Q(x) = 0): x y
x - 3 = 0 → x = 3 → AV: x = 3 -7 0,5
(recta perpendicular al eje X). -3 0,17
P4: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n): -2 0
m = n → y = 1/1 → AH: y = 1 -1 -0,25
(recta paralela al eje x). 4 6
`
5 3,5
7 2,25
R
m = n → f(x) no posee asíntota oblicua.
TO
P6. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0).
f(x) = (x+2)/(x-3) → 0 = (x+2)/(x-3) RV
AU
y = (x2+4x+4)/(x2-x-6)
x+2 = 0 → x = -2.
E
Observación: el punto de corte corresponde al
punto vacío. AHD
S
O
P7. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)).
H
f(x) = x+2/x-3 → f(0) = 0+2/0-3

EC
f(0) = -2/3 → f(0) ≈ -0,67.

Punto de corte: (0; -0,67). AV
ER

D
Observación: se considera la AV:

S
-∞ 3 +∞
LO
D D Df = R- {-2,3} y Cdf = R – {0,1}

S
Intervalo (-∞; 3): Intervalo (3; ∞):

O
f(x) = x+2/x-3 f(x) = x+2/x-3 El Df y el Cdf son los números reales

D
f(-7) = 0,5 f(4) = 6 excepto el valor de la abscisa o de la

VA
f(-2) = 0 f(7) = 2,25 ordenada del “punto vacío”, y el de las

x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) asíntotas, según corresponda.
ER

Interpretación geométrica:
ES
P9. Simetría
En decreciente la gráfica va hacia
f(x) = x + 2
R
abajo.
f(-x) = -x + 2 f(x) ≠ f(-x)
-f(-x) = x - 2 f(x) ≠ -f(-x)
∴ f(x) no tiene simetría par ni impar.

Df = R- {-2,3} y Cdf = R – {0,1}
∴ f(x) = (x2-4)/(x-2), es función; f: R- {-2,3} → R – {0,1}
Ejemplo 5. Graficar: f(x) = (2x2 + 2)/(x2 - 4), y determinar si es función.
Observación: Asíntotas
El numerador es un polinomio no factorizable
AV: Q(x) = 0
en los reales (tiene raíces imaginarias: x = ± i).
Por lo tanto, no existen “puntos vacíos” ni
AH: m < n → y = 0
cortes con el eje x. AO: m > n→ cociente
P1: Asíntota vertical (Hallar: Q(x) = 0):
x2 - 4 = 0 → x = ±2. Tabla de valores
f(x) tiene 2 asíntotas verticales: y = (2x2+2)/(x2-4)
x1 = 2, x2 = -2. x y
-6 2,3
m = n → AH: y = 2/1 = 2
-4 2,8
(recta paralela al eje x).
` -3 4
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n): -1 -1,3
m = n → f(x) no posee asíntota oblicua. 0 -0,5
P4. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). 1 -1,3
R
f(x) = (2x2+2)/(x2-4) → 0 = (2x2+2)/(x2-4) 3 4
TO
2x2 + 2 = 0 → x = ± i. 4 2,8
Puntos de corte: No existen 6 2,3
AU
f(x) = (2x2+2)/(x2-4) → f(0) = (0+2)/(0-4) y = (2x2+2)/(x2-4)
E
f(0) = -0,5 RV
Punto de corte: (0; -0,5) D
S
O
Observación: se consideran las AV y x = 0

H
EC
(la curva es simétrica respecto del eje y):

AH
ER
-∞ -2 0 2 +∞
C C D D
D
AV AV
Intervalo (-∞; -2): Intervalo (2; ∞):
S
f(x) = (2x2+2)/(x2-4) f(x) = (2x2+2)/(x2-4)

LO
f(-6) = 2,3 f(3) = 4

f(-4) = 2,8 f(6) = 2,3 Df = R- {-2,2} y Cdf = R – (-0,5;2]
S
x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2)

O
f(x) es creciente f(x) es decreciente. El Df son los números reales excepto el

D
valor de las AV, y el Cdf son los reales

VA
P7. Simetría
menos el intervalo en el que la gráfica
f(x) = (2x2+2)/(x2-4)
ER
no está determinada.
f(-x) = (2x2+2)/(x2-4) → f(x) = f(-x)
-f(-x) = -(2x2+2)/(x2-4) → f(x) ≠ -f(-x)
ES
Monotonía:
∴ f(x) tiene simetría par.
En los intervalos: (-2,0) y (0,2), f(x)
R
P8. Dominio y Codominio: cambia de creciente a decreciente. Por

Df = R- {-2,2} y Cdf = R – (-0,5;2] lo tanto, tiene un punto máximo en el
P9. Para trazar la gráfica se consideran los intervalo (-2,2). El punto máximo se
siguientes valores (ver tabla de valores): encuentra calculando f(0). Se deja al
lector la verificación. Max: (0; -0,5).
∴ f(x) = (2x2+2)/(x2-4), es función; f: R- {-2,2} → R – (-0,5;2]
Ejemplo 6. Graficar: f(x) = (x2-3x+5)/(x-2), y determinar si es función.
Observación: Asíntotas
El numerador es un polinomio no factorizable en
AV: Q(x) = 0
R (tiene raíces imaginarias: x = (3± √-11)/2). Por
lo tanto, no existen “puntos vacíos” ni cortes con
AH: m < n → y = 0
el eje x. AO: m > n→ cociente
P1: Asíntota vertical (Hallar: Q(x) = 0):
x - 2 = 0 → x = 2. Tabla de valores
f(x) tiene una asíntota vertical. AV: x = 2 y = (x2-3x+5)/(x-2)
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n): x y
m > n, f(x) no tiene asíntota horizontal. -2 -3,7
`
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n): -1 -3

m > n, f(x) tiene asíntota oblicua. 0 -2,5
(x2-3x+5)/(x-2) = (x–2)(x-1) +3. 1 -3
Del cociente (x-1) se obtiene la ecuación de 3 5
la recta: y = x-1. Su gráfica representa la 4 4,5
5 5
R
asíntota oblicua.
RV
TO
y = (x3-3x+5)/(x-2)
f(x) = (x2-3x+5)/(x-2) → 0 = (x2-3x+5)/(x-2)
AU
0 = x2-3x+5 → x = (3± √-11)/2
x1 y x2 son raíces imaginarias
E
Puntos de corte: No existen
P5. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). D
S
f(x) = (x2-3x+5)/(x-2) → f(0) = (0+5)/(0-2) AO
O
f(0) = -5/2 → f(0) = - 2,5

H
Punto de corte: (0; -2,5)

EC

ER
Observación: se considera la AV: x = 2:

I1 I2
D
AV
-∞ 2 +∞
S
C D D C
LO
I1 (-∞; 2): I2 (2; ∞): Df = R- {2} y Cdf = R – (-2,46;4,46)

La curva es creciente y La curva es decreciente
S
El Df son los números reales excepto

O
decreciente, tiene un y creciente, tiene un

el valor de la AV, y el Cdf son los
D
punto máximo. punto mínimo.

reales menos el intervalo en el que la
VA
Máx: (0,27; -2,46) Mín: (3,73; 4,46).

gráfica no está determinada.
P7. Simetría
ER
Monotonía:
f(x) = (x2-3x+5)/(x-2)
ES
f(-x) = (x2+3x+5)/(-x-2) → f(x) ≠ f(-x) En el I1: (-∞; 2), cambia de creciente

-f(-x) = -(x2+3x+5)/(x+2) → f(x) ≠ -f(-x) a decreciente. En el I2: (2; +∞),
R
∴ f(x) no tiene simetría par ni impar. cambia de decreciente a creciente.

Por lo tanto, tiene un punto máximo y
un punto mínimo, respectivamente.
Df = R- {2} y Cdf = R – (-2,46;4,46)
Estos puntos se encuentran mediante
P9. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes derivadas. Por tal razón, se
valores (ver tabla de valores): recomienda el uso de graficadores
para determinar dichos valores.
∴ f(x) = (x2-3x+5)/(x-2), es función; f: R- {2} → R – (-2,46;4,46)
EJERCICIOS
1. Graficar las siguientes relaciones, y determinar si es función.
1. R1 = {(x,y)∈RxR/ y= x+4/x-2} 9. R9 = {(x,y)∈RxR/ y=-2x2+2/x2+4}

2. R2 = {(x,y)∈RxR/ y= x+4/4x-2} 10. R10 = {(x,y)∈RxR/ y=-2x2-2}
3. R3 = {(x,y)∈RxR/ y= x2-9/x-3} 11. R11 = {(x,y)∈RxR/ y= x2-0,25/x-0,5}
4. R4 = {(x,y)∈RxR/ y= x2-5x+6/2x-6} 12. R12 = {(x,y)∈RxR/ y= x2-2x-3/x-3}
5. R5 = {(x,y)∈RxR/ y= x2-4/5x+10} 13. R13 = {(x,y)∈RxR/y=6x2+5x-6/15x2-7x-2}
6. R6 = {(x,y)∈RxR/ y= 3x2+ 3/x2-9} 14. R14 = {(x,y)∈RxR/ y= x2+ 3/x2-4}
7. R7 = {(x,y)∈RxR/ y= x2-3x+6/x-2} 15. R15 = {(x,y)∈RxR/ y= x2+ 3x+5/x+1}
8. R8 = {(x,y)∈RxR/ y= x3+3x2+2x/x2+3x+2} 16. R16 = {(x,y)∈RxR/ y= (x3- 2x2-3x)/(x2-2x-3)}
2. ¿Cuál es la diferencia entre: f∈RxR y f: R- {a} → R – {b}.
3.2.2. RELACIONES ASOCIADAS
La función racional puede utilizarse para graficar relaciones de orden (>, ≥, <, ≤), de la siguiente manera:
R
TO
Ejemplo 1. Construir la gráfica de y < (x2-3x+5)/(x-2), reconocer si es función.
AU
1. Se traza la gráfica de la función asociada a la relación
dada. Es decir: y = (x2-3x+5)/(x-2). Ver ejemplo 6 en y = (x3-3x+5)/(x-2)
E
la página anterior. Luego:
D
S
2. La curva de la relación se traza con línea discontinua
O
porque es menor (<).

H
EC
3. Sombrear el área de la gráfica determinada por la

ER
inecuación respectiva: y < (x2-3x+5)/(x-2).

D
Si y < P(x) se sombrea el área debajo de la curva de:

S
y = (x2-3x+5)/(x-2)
LO
AV
Dr: R – {2} y Cdr: = R
S
O
Observación:
D
VA
La RV interseca la gráfica en todos los puntos del dominio.

LA RV interseca la gráfica en más de un punto.
ER
∴ la relación: y < x4 - 10x2 + 9 no es función.

ES
R
EJERCICIOS
1. Graficar las siguientes relaciones, y determinar si es función:
1. R1 = {(x,y)∈RxR/ y < x+4/x-2} 2. R2 = {(x,y)∈RxR/ y > -2x2+2/x2+4}

3. R3 = {(x,y)∈RxR/ y ≥ x+4/4x-2} 4. R4 = {(x,y)∈RxR/ y ≤ -2x2-2}
5. R5 = {(x,y)∈RxR/ y < x2-9/x-3} 6. R6 = {(x,y)∈RxR/ y > x2-0,25/x-0,5}
7. R7 = {(x,y)∈RxR/ y ≥ x2-5x+6/2x-6} 8. R8 = {(x,y)∈RxR/ y ≤ x2-2x-3/x-3}
3.3. FUNCIÓN INVERSAMENTE PROPORCIONAL
3.3.1. INTRODUCCIÓN
La relación F, denotada por: F = {(x,y)∈RxR/y = a/x + b}, donde a y b son constantes reales siendo a ≠ 0
y x ≠ 0, es la función general inversamente proporcional. En forma abreviada se escribe: f(x) = a/x + b,
(notación funcional) ó y = a/x + b (ecuación).
La función inversamente proporcional es un caso particular de la función racional. La gráfica es siempre

una hipérbola (curva abierta ilimitada formada por dos ramas). De la expresión general se obtienen las
siguientes formas:
3.3.2. FUNCIÓN SIMPLE: y = 1/x.
En las funciones de esta forma se tiene: a = ± 1  x ≠ 0  b = 0. Se presentan dos casos:
[1] f(x) = 1/x [2] f(x) = - 1/x
Observación: Cuando b = 0 la curva se llama hipérbola rectangular.
R
TO
PROPIEDADES
1. Si a = 1, las ramas de la hipérbola se sitúan en los cuadrantes: 1° y 3°.
AU
2. Si a = -1, las ramas de la hipérbola se ubican en los cuadrantes: 2° y 4°.
E
D
3. Asíntotas. S
Asíntota vertical (Hallar: Q(x) = 0):
O
AV: Q(x) = 0
AV: x = 0.
H
Asíntota horizontal (m < n → y = 0):
EC
AH: m < n → y = 0
AH: y = 0. AO: m > n→ cociente
ER
4. Simetría:
Es simétrica respecto del origen (simetría impar).
D
∀x∈D: f(x) = -f(-x) o f(-x) = -f(x),

S
LO
5. Dominio e imagen.
El dominio de la función está determinado por todos los números reales excepto el valor de la AV. De
S
igual manera, el codominio está determinado por todos los números reales excepto el valor de AH.
O
D
VA
y = -1/x
y = 1/x
ER
AH AH
ES
R
AV
AV
Df = R- {0} y Cdf = R- {0} para f(x) = 1/x. Df = R- {0} y Cdf = R- {0} para f(x) = -1/x.
3.3.3. FUNCIÓN DE LA FORMA: y = a/x.
En las funciones de esta forma se tiene: a ≠ 0  x ≠ 0  b = 0. Se presentan dos casos:
[1] f(x) = a/x [2] f(x) = -a/x
En general, la gráfica de la hipérbola rectangular (b = 0) se determina por los coeficientes de la función

inversamente proporcional: a y b. El coeficiente a, de la expresión 1/x, determina dos aspectos
importantes:
1. Si a > 0, las ramas de la hipérbola se sitúan en los

cuadrantes 1° y 3°. Si a < 0, las ramas se sitúan en el
Y = 2/x
2° y 4° cuadrante.
2. El coeficiente a define la proximidad de la concavidad

de las ramas de la hipérbola al origen. Y = 0,5/x
Entenderemos por concavidad la parte de una curva

que se asemeja al interior de un arco de la Y = 1/x
R
circunferencia.
TO
Si a es mayor que 1 la concavidad de la curva se aleja
AU
respecto del origen, y para valores comprendidos
entre 0 y 1 se acerca. Df = R- {0} y Cdf = R- {0} para f(x) = a/x.
E
D
S
Del mismo modo, si a es menor que -1 la concavidad
O
Y = -2/x
de la hipérbola se aleja respecto del origen y para
H
valores comprendidos entre 0 y -1 se acerca.

EC
Observación: cuando la variable independiente

ER
Y = -05/x aumenta la variable dependiente disminuye, y cuando

D
la primera disminuye la segunda aumenta, en la misma

proporción.
S
LO
Y =- 1/x El producto de las variables es siempre igual a una

constante a. Es decir: x.y = a. La función: f(x) =
S
a/x, es una ampliación de f(x) = 1/x.

O
D
VA
Df = R- {0} y Cdf = R- {0} para f(x) = -a/x.

ER
y = 2/x
convexa
CURVATURA
ES
R
Una función es convexa, en un intervalo, cuando para

cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo),
el segmento que los une queda por encima de la gráfica.
Una función es cóncava, en un intervalo, cuando para

cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo), cóncava
el segmento que los une queda por debajo de la gráfica.
Ejemplo 1. Graficar: f(x) = 2/x, y determinar si es función.
P1: Asíntota vertical (Hallar: Q(x) = 0): Asíntotas

x = 0 → AV: x = 0 (perpendiculares al eje X)
AV: Q(x) = 0
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n): AH: m = n → y = am/bn
f(x) = 2/x → m < n → AH: y = 0 AH: m < n → y = 0
`
Tabla de valores
f(x) = 2/x → 0 = 2/x → 2 = 0 → v(2 = 0) = F y = 2/x
Punto de corte: No existe. x y
P5. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). -5 -0,4
f(x) = 2/x → f(0) = 2/0 → No definido -4 - 0,5
Punto de corte: no existe -2 -1
P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)] -1 -2
Observación: se considera la AV: x = 0: 1 2
I1 I2 2 1
-∞ 0 +∞
R
4 0,5
TO
D D 5 0,4
I1 (-∞; 0): I2 (0; ∞): RV
AU
La curva es decreciente La curva es decreciente
Observación: Se deja al lector la verificación. convexa
E
y = 2/x
P7. Simetría
f(x) = 2/x D
S
f(-x) = -2/x → f(x) ≠ f(-x)
O
-f(-x) = -(-2/x) = 2/x → f(x) = -f(-x)

H
∴ f(x) tiene simetría impar (al origen).

EC

ER
Df = R- {0} y Cdf = R – (0)

cóncava
D
P9. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes

S
valores (ver tabla de valores):

LO
Df = R- {0} y Cdf = R – {0}

∴ f(x) = 2/x, es función; f: R - {0} → R – (0)
S
O
3.3.4. FUNCIÓN DE LA FORMA Y = a/x + b

D
VA
En las funciones de esta forma se tiene: a ≠ 0  x ≠ 0  b ≠ 0. Se presentan cuatro casos:

ER
[1] f(x)= a/x + b [2]f(x)= a/x – b [3] f(x)=-a/x + b [4] f(x)= -a/x – b
ES
PROPIEDADES:
R
1. Si a > 0, las ramas de la hipérbola se sitúan en los cuadrantes 1° y 3°. Si a < 0, las ramas se sitúan
en el 2° y 4° cuadrante.
2. Asíntotas:
Asíntota horizontal (AH): se despeja la variable x en la ecuación: y = a/x + b, luego igualamos a

cero el denominador. AH: y = + b o y = -b, según corresponda al signo de la constante b.
Asíntota vertical (AV): en la ecuación: y = a/x + b ó y = (a + bx)/x, igualamos a cero el denominador.

La recta x = 0 (el eje y) es una asíntota vertical. AV: x = 0.
3. Desplazamiento vertical de la curva.
Si b es positivo la curva (hipérbola) se desplaza dicho valor hacia arriba, caso contrario hacia
abajo del eje x. El coeficiente b puede tomar cualquier valor real, diferente de 0.
4. La curva no es simétrica respecto del origen (0, 0).
5. Dominio e imagen:
El Df está determinado por todos los números reales excepto el valor de la AV.
El Cdf está determinado por todos los números reales excepto el valor de la AH.
Ejemplo 1. Graficar: f(x) = 2/x + 1, y determinar si es función.

y = 2/x + 1 → y = (2+x)/x → x = 0. AV: Q(x) = 0
AV: x = 0 AH: m = n → y = am/bn
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n): AH: m < n → y = 0
R
f(x) = 2/x + 1 → f(x) = (x+2)/x → m = n AO: m > n→ cociente
TO
y = am/bn → y = 1 AH: y = 1
` Tabla de valores
AU
y = 2/x + 1
m = n, f(x) no tiene asíntota oblicua.
x y
E
-4 0,5
f(x) = 2/x + 1 → 0 = 2/x + 1 → x = -2
D -2 0
S
-1 -1
O
P5. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). 2 2

H
f(x) = 2/x + 1 → f(0) = 2/0 + 1 4 1,5

EC
f(0) no está definido

Punto de corte eje Y: no existe. RV
ER
P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)] y = 2/x +1

D
Observación: se considera la AV: x = 0: convexa

S
I1 I2
LO
-∞ 0 +∞ AH
D D
S
I1 (-∞; 0): I2 (0; ∞):

O
f(-4) = 0,5 f(2) = 2

D
f(-1) = -1 f(4) = 1,5

VA
x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2)

AV
ER
f(x) es decreciente f(x) es decreciente. cóncava
P7. Simetría
ES
f(x) = (x+2)/x
Df = R- {0} y Cdf = R- {1}
R
f(-x) = (-x+2)/-x = (x-2)/x → f(x) ≠ f(-x)

-f(-x) = -[ (x-2)/x] = -(x-2)/x → f(x) ≠ -f(-x) El Df son los números reales excepto
∴ f(x) no tiene simetría par ni impar. el valor de la AV, y el Cdf son los
P8. Dominio y Codominio: reales excepto la AH.
Df = R- {0} y Cdf = R – {1} Curvatura:
P9. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes I1 (-∞; 0) es cóncava
valores (ver tabla de valores): I2 (0; ∞): es convexa
∴ f(x) = 2/x + 1, es función; f: R - {0} → R - {1}

Ejemplo 2. Graficar: G = {(x, y)∈RxR/y = -2/x – 1}, y determinar si es función.
g(x) = (-x-2)/x → x = 0. AV: Q(x) = 0

AV: x = 0. AH: m = n → y = am/bn
AH: m < n → y = 0
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n): AO: m > n→ cociente
g(x) = (-x-2)/x → m = n
Tabla de valores
y = am/bn → y = -1/1 AH: y = -1
`
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n): y = -2/x – 1

x y
m = n, g(x) no tiene asíntota oblicua.
-4 -0,5
P4. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). -1 1
g(x) = -2/x – 1 → 0 = (-x-2)/x → x = -2 1 -3
Punto de corte: (-2,0) 2 -2
-2 0
4 -1,5
g(x) = (-x-2)/x → g(0) = (0-2)/0
R
5 -1,4
g(0) = -2/0 (No definido)
TO
RV
Punto de corte eje y: No existe
y = -2/x -1
AU
Observación: se considera la AV: x = 0: convexa
E
I1 I2
D
S
-∞ 0 +∞
O
C C
H
I1 (-∞; 0): I2 (0; ∞):

EC
g(x) = (-x-2)/x g(x) = (-x-2)/x

g(-4) = -0,5 g(1) = -3
ER
g(-1) = 1 g(2) = -2 AH
D
x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2)

g(x) es creciente g(x) es creciente.
S
AV cóncava
LO
P7. Simetría
g(x) = (-x-2)/x
S
g(-x) = (-x+2)/x → g(x) ≠ g(-x) Dg = R- {0} y Cdg = R - {-1}

O
-g(-x) = (x-2)/x g(x) ≠ -g(-x)

D
→
VA
∴ g(x) no tiene simetría par ni impar.

el valor de la AV, y el Cdf son los
ER
reales excepto la AH.

Dg = R- {0} y Cdg = R - {-1} Curvatura:
ES
P9. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes I1 (-∞; 0) es convexa

I2 (0; ∞): es cóncava
R
∴ g(x) = -2/x – 1, es función; g: R - {0} → R - {-1}
Observación:
Una función es convexa, en un intervalo, cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro
del intervalo), el segmento que los une queda por encima de la gráfica.
Una función es cóncava, en un intervalo, cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro
del intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica.
Ejemplo 3. Graficar: G = {(x, y)∈RxR/y = [-1/(x+2)] +2}, y determinar si es función.
Realizando las operaciones del segundo miembro de la ecuación se tiene:
y = [-1/(x+2)] +2 ⇔ y = (2x+3)/(x+2)
∴ G = {(x, y)∈RxR/y = (2x+3)/(x+2)} → g(x) = (2x+3)/(x+2)
g(x) = (2x+3)/(x+2) → x+2 = 0 AV: Q(x) = 0

AV: x = -2 AH: m = n → y = am/bn
AH: m < n → y = 0
P2: Asíntota horizontal (Analizar los grados: m, n): AO: m > n→ cociente
g(x) = (2x+3)/(x+2) → m = n → y = 2/1
Tabla de valores
AH: y = 2
`
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n): y = (2x+3)/(x+2)

x y
m = n, g(x) no tiene asíntota oblicua.
-4 2,5
R
P4. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). -3
TO
3
g(x) = (2x+3)/(x+2) → 0 = (2x+3)/(x+2) -1,5 0
AU
0 = 2x+3 → x = - 1,5 -1 1
Punto de corte: (-1,5;0) 0 1,5
E
1 5/3
D 3 1,8
S
g(x) = (2x+3)/(x+2) → g(0) = 3/2
O
Punto de corte: (0; 1,5) RV
H

EC
Observación: se considera la AV: x = -2: Y = [-1/(x+2)] +2

convexa
ER
I1 I2
-∞ -2 +∞
D
C C
S
LO
I1 (-∞; -2): I2 (-2; ∞):

g(x) = (2x+3)/(x+2) g(x) = (2x+3)/(x+2)
S
g(-4) = 2,5 g(0) = 1,5 AH

O
g(-3) = 3 g(3) = 1,8

D
x1 < x2  g(x1) ≤ g(x2) x1 < x2  g(x1) ≥ g(x2)

VA
g(x) es creciente g(x) es creciente. cóncava

AV
ER
P7. Simetría
g(x) = (2x+3)/(x+2)
ES
g(-x) = (-2x+3)/(-x+2) → g(x) ≠ g(-x) Dg = R- {-2} y Cdg = R- {2}

R
-g(-x) = (2x-3)/(-x+2) → g(x) ≠ -g(-x)

∴ g(x) no tiene simetría par ni impar. el valor de la AV, y el Cdf son los
P8. Dominio y Codominio: reales excepto la AH.
Curvatura:
Dg = R- {-2} y Cdg = R- {2}
I1 (-∞; -2) es convexa
P9. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes I2 (-2; ∞): es cóncava
∴ g(x) = (2x+3)/(x+2), es función; g: R- {-2} → R- {2}
Ejemplo 4. Graficar F = {(x, y)∈RxR/y = (x-1)/(x2-x-6)}, y determinar si es función.
f(x) = (x-1)/(x2-x-6) → (x2-x-6) = 0 AV: Q(x) = 0

(x-3)(x+2) =0 AH: m = n → y = am/bn
AV: x = -2 y x = 3 AH: m < n → y = 0
Tabla de valores
m < n → AH: y = 0
Observación: ver explicación en la columna de la
y = (x-1)/(x2-x-6)
derecha.
`
x y
P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n): 1 0
m < n, g(x) no tiene asíntota oblicua. 0 1/6
-1 0,5
2 -0,25
f(x) = (x-1)/(x2-x-6) → 0 = (x-1)/(x2-x-6) 4 0,5
R
0 = x-1 → x = 1 -5 -0,25
TO
Punto de corte: (1,0) RV
AU
Y = (x-1)/(x2-x-6)
f(x) = (x-1)/(x2-x-6) → f(0) = 1/6
convexa
E
Punto de corte: (0, 1/6)
P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)] AV
D AV
S
Observación: se considera la AV: x = -2, x = 3:
O
H
I1 I2 I3
EC
-∞ -2 3 +∞
D D D
ER
cóncava
I1 (-∞; -2): I2 (-2; 3):
D
f(x) = (x-1) /(x2-x-6) f(x) = (x-1) /(x2-x-6)

Df = R- {-2,3} y Cdf = R
S
f(-5) = -0,25 f(-1) = 0,5

LO
f(-3) = -2/3 f(1) = 0 Observación: las AH son rectas

x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) asociadas a la función, que pueden
S
f(x) es decreciente f(x) es decreciente. cortar la gráfica de f(x).

O
I3 (3, -∞): f(x) = (x-1) /(x2-x-6)

D
Esto sucede cuando la curva tiene un

f(4) = 0,5 f(5) = 2/ 7
VA
punto de inflexión, es decir, cuando la

x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) f(x) es decreciente
curva cambia de convexa a cóncava, o
ER
P7. Simetría viceversa. En este caso, se excluye

del condominio.
ES
f(x) = (x-1)/(x2-x-6)
f(-x) = (-x-1)/(x2+x-6) → f(x) ≠ f(-x) El Df son los números reales excepto
R
2
-f(-x) = (x+1)/(x +x-6) → f(x) ≠ -f(-x) el valor de las AV, y el Cdf son los
∴ f(x) no tiene simetría par ni impar. reales.
P8. Dominio y Codominio: Curvatura:

Df = R- {-2,3} y Cdf = R I1 (-∞; -2) es cóncava
I2 (-2; 3): cambia convexa a cóncava
P9. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes I3 (3; ∞): es convexa
∴ f(x) = (x-1)/(x2-x-6), es función; f: R- {-2,3} → R
EJERCICIOS
1. Graficar las siguientes relaciones y determinar si es función.
1. F = {(x,y)∈RxR / y = 4/x – 1} 2. G = {(x,y)∈RxR / y = -3/x – 1}

3. H = {(x,y)∈RxR / y = 2/x +3} 4. G = {(x,y)∈RxR / y = -1/x – 1}
5. I = {(x,y)∈RxR / y = 4/x – 2} 6. J = {(x,y)∈RxR / y = -3/x + 1}
7. F = {(x,y)∈RxR / y = -2/x – 1} 8. G = {(x,y)∈RxR / y = [-1/(x – 1)]+2}
9. H = {(x,y)∈RxR / y = [-2/(x+1)] – 1} 10. R = {(x,y)∈RxR / y = [-3/(x – 2)] - 3}
Ejemplo 1. Graficar: y > (x-1) / (x2-x-6) y determinar si es función.

RV
1. Se traza la gráfica de la función asociada a
R
la relación dada. Es decir: Y > (x-1)/(x2-x-6)
TO
y = (x-1) / (x2-x-6). Ver ejemplo 4 en la
página anterior. Luego:
AU
AV
2. La curva de la relación se traza con línea
E
discontinua porque es mayor (>).
D
S
3. Sombrear el área de la gráfica
O
determinada por la inecuación:
H
y > (x-1) / (x2-x-6). AV

EC
Si y > P(x)/Q(x); Q(x) ≠ 0, se sombrea el área sobre la curva:

ER
y = (x-1) / (x2-x-6), considerando las AV.

D
Dr: R- {-2,3} y Cdr: = R

S
LO
Observación:
La RV interseca la gráfica en todos los puntos del dominio.
S
LA RV interseca la gráfica en más de un punto.

O
D
∴ la relación: y > (x-1) / (x2-x-6), no es función.

VA
ER
EJERCICIOS
ES
1. Graficar las siguientes relaciones y reconocer si es función.

R
1. F = {(x,y)∈RxR / y > 4/x – 1} 2. G = {(x,y) ∈RxR / y < -3/x – 1}

3. H = {(x,y)∈RxR / y ≤ 2/x +3} 4. G = {(x,y)∈RxR / y ≥ -1/x – 1}
5. F = {(x,y)∈RxR / y > 4/x – 2} 6. J = {(x,y)∈RxR / y < -3/x + 1}
7. K = {(x,y)∈RxR / y ≤ -2/x – 1} 8. M = {(x,y)∈RxR / y ≥ [-1/(x – 1)]+2}
9. G = {(x,y)∈RxR / y > [-2/(x+1)] – 1} 10. F = {(x,y)∈RxR / y < [-3/(x – 2)] - 3}
2. Elaborar un mentefacto para función inversamente proporcional.
3.4. FUNCIÓN IRRACIONAL (RADICAL)
n
La relación F, denotada por: F = {(x,y)∈RxR/y = √r(x)}, donde r(x) es una función polinómica o racional
y n es un número natural mayor que 1, se llama función general irracional, radical o raíz. En forma
n n
abreviada se escribe: f(x) = √r(x) (Notación funcional) ó y = √r(x) (Ecuación). Por ejemplo:
3
f(x) = √x f(x) = -√-x - 2 f(x) = -√x-2 f(x) = - √x+2 -4
PROPIEDADES
1. Si n es par entonces la expresión r(x) debe ser mayor o igual a 0. Es decir, para determinar el
dominio se resuelve la inecuación: r(x) ≥ 0. Por ejemplo:
f(x) = √x + 2 → x+2≥0 → x ≥ -2 → Df = [-2, +∞)
f(x) = √-x + 3 → -x + 3 ≥ 0 → -x ≥ -3 → x≤3 → Df = (-∞, -3)
2. Si n es impar entonces el dominio de f(x) es igual al dominio de r(x). Df = Dr
3. La gráfica puede tener una o más ramas dependiendo de la expresión polinómica o racional que se
encuentre dentro del signo radical. Se llama curva irracional.
4. Monotonía [en un intervalo (a, b)⊂Df]: Se considera el Df. f(x) puede ser creciente o decreciente.
5. Simetría: No tiene simetría par ni impar.
Ejemplo 1. Graficar: f(x) = √x , y determinar si es función.
R
TO
P1. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). Tabla de valores
f(x) = √x → 0 = √x → x = 0.
AU
y = √x
Punto de corte: (0,0) x y
E
0 0
D
f(x) = √x → f(0) = √0 → f(0) = 0 1 1
Punto de corte: (0, 0)
S
4 2
O
P3. Dominio y Codominio (Analizar el índice: n): 9 3
H
f(x) = √x : n es par → x ≥ 0 → Df = [0, +∞) 16 4

EC
25 5
y = √ x → x = √y (Intercambio de variables)
36 6
ER
n es par → y ≥ 0 → Cdf = [0, +∞)

P4. Monotonía [en un intervalo (a, b)] RV
D
Observación: se considera el Df:

S
LO
I1 (Df)
-∞ 0 C
S
+∞
y = √x
O
Intervalo (0; +∞) f(x) = √x

D
x1 = 4 → f(4) = 2 x2 = 9 → f(9) = 3
VA
x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) f(x) es creciente.

P4. Simetría
ER
cóncava
f(x) = √x
ES
f(-x) = √-x → f(x) ≠ f(-x)

-f(-x) = -√-x → f(x) ≠ -f(-x)
R

Df = [0, +∞) Cdf = [0, +∞)
∴ f(x) = √x, es función; f: [0, +∞) → [0, +∞)
Observación:
Toda relación R tiene una relación inversa R-1. Sea: R = {(x,y)∈RxR/y = √x + 2}. Para trazar la gráfica
de R y R-1, se elabora una tabla de valores para R, y luego se intercambian los valores de los pares
ordenados para R-1.
Las gráficas de R y R-1 son simétricas respecto de y = x.
El dominio de R se encuentra de la siguiente manera: en R R-
y = √x +2, x ≥ 0, por lo tanto: DR = [0, +∞). x y x y
0 2 2 0
Para hallar el codominio de R en: y = √x + 2 se despeja “√x”,
1 3 3 1
se intercambian las variables, y luego se determina si
4 4 4 4
existen o no restricciones para y.
9 5 5 9
y = √x + 2, x ≥ 0 → y - 2 = √x 16 6 6 16
x = √y-2 → y -2 ≥ 0
y ≥ 2 → CdR = [2, +∞)
La relación inversa por compresión, se determina por:

R-1 = {(x,y)∈RxR/ x = √y + 2}, intercambiando variables, o
y = √x
R-1 = {(x,y)∈RxR/ y = (x-2)2; x ≥ 2}, despejando la x e
intercambiando variables, en R.
y = √x +2 → y - 2 = √x
x = (y-2)2 → y = (x-2)2; x ≥ 2 y = (x-2)2; x ≥ 2
R
El dominio de R es el codominio de R-1, y el codominio de R
TO
es el dominio de R-1. Comparando los D y Cd, se tiene:
R: DR = [0, +∞) y CdR = [2, +∞)
AU
R-1: DR-1 = [2, +∞) y Cd R-1 = [0, +∞).
E
Ejemplo 2. Graficar: f(x) = √x + 2, y determinar si es función.
P1. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). D
Tabla de valores
S
f(x) = √x +2 → √x + 2 = 0 → √x = -2
O
y = √x
Sea z = -2 → √x = z → √z = x → x = √-2
H
x y
EC
Punto de corte: No existe 0 2

P2. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). 1 3
ER
f(x) = √x +2 → f(0) = √0 +2 → f(0) = 2 4 4

Punto de corte: (0, 2)
D
9 5
P3. Dominio y Codominio (Analizar el índice: n):
RV
S
f(x) = √x +2; n es par → x ≥ 0 → Df = [0, +∞)

LO
y = √x +2 → y - 2 = √x → x = √y-2
n es par: y - 2 ≥ 0 → Cdf = [2, +∞)
S

O
D

VA
y = √x + 2
-∞ 0 C +∞
ER
Intervalo (0; +∞) f(x) = √x + 2

x1 = 1 → f(1) = 3 x2 = 4 → f(4) = 4
ES
x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) f(x) es creciente.

R
P5. Simetría
f(x) = √x + 2
f(-x) = √-x + 2 → f(x) ≠ f(-x) Df = [0, +∞) Cdf = [2, +∞)
-f(-x) = √-x - 2 → f(x) ≠ -f(-x)
Observación:
∴ f(x) no tiene simetría par ni impar. 1. y = √x +2 Dato
P6. Para trazar la gráfica se consideran los 2. y - 2 = √x Despeje de √x
siguientes valores (ver tabla de valores): 3. x = √y-2 R-1 : y = √x → x = √y.
∴ f(x) = √x + 2, es función; f: [0, +∞) → [2, +∞)
Ejemplo 3. Graficar: f(x) = - √x+4, y determinar si es función.
P1. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). P6. Para trazar la gráfica se consideran
f(x) = - √x+4 → 0 = - √x+4 → x = -4 los siguientes valores:
P2. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). y = - √x+4
f(x) = -√x+4 → f(0) = -√0+4 → f(0) = -2. x y
Punto de corte: (0, -2) -4 0
P3. Dominio y Codominio (Analizar el índice: n): 0 -2
y = -√x+4 → x+4 ≥ 0 (n es par) → Df = [-4, +∞) 5 -3
y = -√x+4 → x + 4 = -√y → n es par: 12 -4
-y ≥ 0 → y ≤ 0 Cdf = (-∞, 0] RV
P4. Monotonía [en un intervalo (a, b)] y = - √x+4
-∞ D -4 +∞
Intervalo (-4; +∞) f(x) = -√x+4
x1 = 0 → f(0) = -2 x2 = 5 → f(5) = -3
x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) → f(x) es decreciente.
R
TO
P5. Simetría
f(x) = -√x+4
AU
f(-x) = -√-x+4 → f(x) ≠ f(-x)
Df = [-4, +∞) Cdf = (-∞, 0]
-f(-x) = √-x+4 → f(x) ≠ -f(-x)
E
∴ f(x) = - √x+4, es función; f: [-4, +∞) → (-∞, 0] D

S
O
H
Ejemplo 4. Graficar: f(x) = 3√x - 2, y determinar si es función.

EC
ER
f(x) = 3√x -2 √x - 2 = 0 → x = 8.
3
los siguientes valores:
Punto de corte: (8,0)
D
P2. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). y = 3√x - 2

S
f(x) = 3√x – 2 → f (0) = √0 -2 → f(0) = -2.

3 x y
LO
Punto de corte: (0, -2) -1 -3

P3. Dominio y Codominio (Analizar el índice: n): 0 -2
S
Df = R. Si n es impar entonces Df = Dr. 1 -1

O
Cdf = R. y = 3√x - 2 (x no tiene restricciones) 2 -0,7

D
4 -0,41
VA

6 -0,18
ER
8 0
-∞ C +∞ RV
ES
Intervalo (-1; 8) f(x) = √x - 2

3
y = 3√x - 2
R
x1 = -1 → f(-1) = -3 x2 = 8 → f(8) = 0
x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) → f(x) es creciente
P5. Simetría
f(x) = 3√x - 2 PI
f(-x) = 3√-x - 2 → f(x) ≠ f(-x)
-f(-x) = - √-x + 2
3
→ f(x) ≠ -f(-x)
Df = R Cdf = R
∴ f(x) = √x - 2, es función; f: R → R
3
Ejemplo 5. Graficar: f(x) = √x2 -2x+3 , y determinar si es función.
f(x) = √x2 -2x+3 √x2 -2x+3 = 0 los siguientes valores:
x = (2 ± 2,83i)/2.
Punto de corte: No existe y = √x2 -2x+3
x y
P2. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). -3 4,2
f(x) = √x2 -2x+3 → f(0) = √3 → f(0) ≈ 1,73. -1 2,44
Punto de corte eje Y: (0, √3 ) 0 1,73
P3. Dominio y Codominio (Analizar el índice: n): 1 1,41
Dominio: 3 2,44
f(x) = √x2 -2x+3; n par x2-2x+3 ≥ 0 5 4,24
x = (2 ± 2,83i)/2 6 5,19
Como las raíces son imaginarias entonces el
conjunto solución son los R. Luego, Df = R RV
y = √x2 -2x+3
Codominio:
R
Y = (x2-2x+3)1/2 → Y2 = (x2-2x+3)
TO
2 ± √4 - 4(3-y2 )
x2-2x+3-y2 = 0 → x=
creciente
AU
2
4 - 4(3 -y2) ≥ 0 → -8 + 4y2 ≥ 0
4y2 ≥ 8 → y ≥ √2 → y ≥ 1,41…
E
Cdf = [1,41; ∞)
D
S
P4: Eje de simetría: V(1; 1,41)
decreciente
O
La grafica de r(x) = 0 es una parábola:
H
xs = -b/2a → xs = 2/2(1) → xs = 1
EC
P5: Vértice (Hallar: (-b/2a, f(-b/2a)):

ER
2
f(x) = √x2 -2x+3 → f(1) = √1 -2.1+3
D
f(1) = √2 → f(1) ≈ 1,41 Df = R Cdf = [1,41; ∞)

V(1; 1,41)
S
Propiedades de las inecuaciones:

LO
un intervalo o unión de intervalos.

Observación: se considera el eje de simetría:
Inecuación Raíces CS
S
I1 I2 Diferentes: (-∞,r1) U
O
r1<r2 (r2, +∞)

D
-∞ D 1 C +∞ a>0
Iguales
VA
I1 (-∞; 1): I2 (1; +∞): ax2+bx+c > 0 R – {r1}

r1 = r1
ER
f(x) = √x2 -2x+3 f(x) = √x2 -2x+3 No reales R

x1 = -3 → f(-3) = 4,2 x1 = 3 → f(3) = 2,44 Diferentes:
(r1,r2)
ES
x2 = -2 → f(-2) = 3 x2 = -2 → f(-2) = 3 r1<r2

a>0
x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) Iguales
R
ax2+bx+c < 0 ∅
f(x) es decreciente f(x) es creciente. r1 = r1
No reales ∅
P7. Simetría
f(x) = √x2 -2x+3
f(-x) = √x2 +2x+3 → f(x) ≠ f(-x)
-f(-x) = -√x2 +2x+3 → f(x) ≠ -f(-x)
∴ f(x) = √x2 -2x+3, es función; f: R → [1,41; ∞)
Ejemplo 6. Graficar: f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2, y determinar si es función.
f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2 f(x) = (x+1)1/2/(2x+4)1/2 AV: Q(x) = 0

[2x + 4]1/2 = 0 → x = -4/2 → x = -2 AH: m = n → y = am/bn
AV: x = -2 (perpendicular al eje x). AH: m < n → y = 0
Tabla de valores
m = n, f(x) tiene asíntota horizontal: y = √1/2
y = √0,5 ≈ 0,707 (recta paralela al eje x).
AH: y = √0,5 ≈ 0,707. y = [(x+1)/(2x+4)]1/2
`
x y
-6 0,79
m = n, f(x) no tiene asíntota oblicua. -1 0
0 0,5
3 0,63
f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2 → 0 = [(x+1)/(2x+4)]1/2 -3 1
0 = (x+1)/(2x+4) → x + 1 = 0 → x = -1
R
-4 0,86
TO
-7 0,77
AU
y = [(x+1)/(2x+4)]1/2 RV
f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2 → f(0) = [(0+1)/(0+4)]1/2
E
f(0) = [1/4]1/2 → f(0) = 0,5
Punto de corte: (0; 0,5)
D AV
S
O
f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2 → (x+1)/(2x+4) ≥ 0

H
AH
(x+1)(2x+4) ≥ 0; x  -2 → CS: (-∞,- 2) U [-1, ∞)
EC
Df = (-∞,- 2) U [-1, ∞)
ER
Cdf = [0, ∞) - {0,707}

D
Df = (-∞,-2) U [-1,∞)
Observación: se considera Df = (-∞,- 2)U[-1, ∞):
S
Cdf = [0,∞) - {0,707}

LO
I1 I2 I3 Observación: El valor de f(x) nunca

-∞ -2 -1 +∞ puede ser negativo (es la raíz
S
C C principal o positiva de √x ), entonces

O
el rango de f(x) es: Cdf = {y/y ≥ 0} o

D
I1 (-∞; -2): I2 (-1; ∞):

VA
f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2 f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2 en notación de intervalos: [0, ∞). En el

f(-6) = 0,79 f(0) = 0,5 ejercicio propuesto se debe quitar la
ER
f(-3) = 1 f(3) = 0,63 AH.

x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2)
ES
f(x) es creciente f(x) es creciente. Curvatura:

I1 (-∞; -2) es convexa
R
P8. Simetría
I2 (-2; -1): No existe
f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2 f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2
f(-x) = [(x-1)/(2x-4)] 1/2 → f(x) ≠ f(-x) f(-1,5) = [(-1,5 +1)/(2(-1,5)+4)]1/2
-f(-x) = -[(x-1)/(2x-4)] 1/2 → f(x) ≠ -f(-x) f(-1,5) = [-0,5/1]1/2
∴ f(x) no tiene simetría par ni impar. f(-1,5) = √-0,5, número imaginario
P9. Para trazar la gráfica se consideran los siguientes I2 (-1; ∞): es cóncava
∴ f(x) = [(x+1)/(2x+4)]1/2, es función; f: (-∞,- 2) U [-1, ∞) → [0, ∞) - {0,707}
EJERCICIOS
1. Graficar las siguientes relaciones y determinar si es función.
1. G = {(x,y)∈RxR / y = -√x +1} 2. F = {(x,y) ∈RxR / y = -√-x + 3}

2 1/2
3. H = {(x,y)∈RxR / y = (x -6x+5) } 4. G = {(x,y)∈RxR / y =(-x2-2x+8)1/2 }
5. F = {(x,y)∈RxR / y = (2x3+1)1/2 } 6. R = {(x,y)∈RxR / y = (-x3 + 3x + 2)1/2}
7. H = {(x,y)∈RxR / y = (x4 - 5x2 + 4)1/2 } 8. F = {(x,y)∈RxR / y = [(x+1)/(x-4)]1/2}
3 3
9. F = {(x,y)∈RxR / y = √x +1} 10. R = {(x,y)∈RxR / y = - √x + 2}
11. F = {(x,y)∈RxR / y = √8x }
3 3
12. G = {(x,y)∈RxR / y = - √27x}
13. R = {(x,y)∈RxR/ y = [(x+4)/(4x-2)]1/2} 14. F = {(x,y)∈RxR/ y = [-2x2-2]1/3}
15. G = {(x,y)∈RxR/ y = [(x2-9)/(x-3)]1/2} 16. H = {(x,y)∈RxR/ y = y = [(x+4)/(x-2)] 1/2}
17. F = {(x,y)∈RxR/ y = [(x2-5x+6)/(2x-6)]1/2} 18. G = {(x,y)∈RxR/ y = [(x2-2x-3)/(x-3)]1/3}
R
TO
Ejemplo 1. Graficar: y ≥ [(x+1)/(2x+4)]1/2 y determinar si es función.
AU
1. Se traza la gráfica de la función asociada a la relación
dada. Es decir: y = [(x+1)/(2x+4)]1/2. Ver ejemplo 6 en
la página anterior. Luego: AV
E
2. La curva de la relación se traza con línea continua D
S
AH
porque es mayor igual (≥).
O
H
EC
3. Sombrear el área de la gráfica determinada por la

inecuación: y ≥ [(x+1)/(2x+4)]1/2.
ER
Si y ≥ [P(x)/Q(x)]1/2; Q(x) ≠ 0, se sombrea el área y ≥ [(x+1)/(2x+4)]1/2

D
sobre la curva: y = [(x+1)/(2x+4)]1/2.

S
Dr: (-∞,- 2) U [-1, ∞) y Cdr: = [0, ∞) - {0,707}

LO
Observación:
∴ la relación: y ≥ [(x+1)/(2x+4)]1/2, no es función. La RV interseca la gráfica en todos los
S
puntos del dominio.

O
LA RV interseca la gráfica en más de un

D
EJERCICIOS punto.
VA
ER
1. Graficar las siguientes relaciones y reconocer si es función.

ES
1. R = {(x,y)∈RxR / y < (-2x+4)1/2} 2. F = {(x,y)∈RxR / y > (x+4)1/2}

3. G = {(x,y)∈RxR / y ≥ (x-2)1/3} 4. H = {(x,y)∈RxR / y ≤ (-2x+4)1/3}
R
5. R = {(x,y)∈RxR / y < [x/(x2-1)]1/2} 6. F = {(x,y)∈RxR / y > 1/(2x+3)1/2}

7. G = {(x,y)∈RxR / y ≥ [1/(1-x)]1/2} 8. H = {(x,y)∈RxR / y ≤ -(9-x2)1/2}
9. R = {(x,y)∈RxR/ y < [(x+4)/(4x-2)] 1/3} 10. F = {(x,y)∈RxR/ y ≥ [(x2-9)/(x-3)]1/2}
11. G = {(x,y)∈RxR/ y ≥ [[-2/(x+1)]–1] 1/2} 12. H = {(x,y)∈RxR / y < [-2/(x–1)] 1/3}
2. Graficar las siguientes funciones y verificar los D y Cd indicados:
1. f(x) = √x; Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞) 2. f(x) = -√x; Df = [0, +∞) y Cdf= [0,-∞)
3. f(x) = √-x; Df = [0, -∞) y Cdf= [0, +∞) 4. f(x) = -√-x; Df = [0, -∞) y Cdf= [0,-∞)
3.5. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
En ocasiones es posible realizar la representación gráfica de una función f1(x) a partir de

transformaciones elementales sobre otra función f(x) cuya gráfica ya conocemos. El resultado final
dependerá de la operación concreta aplicada.
Se llama transformación a las modificaciones (cambios) de la curva de una función, en su posición o en

su forma, respecto de una función básica (original); manteniendo su identidad (características generales).
Las transformaciones pueden ser: Traslación (vertical, horizontal), Reflexión (eje x, eje y), y Ampliación
(vertical, horizontal).
Los cambios realizados en la expresión algebraica de una función, determinan transformaciones en la

gráfica respectiva. Las gráficas se pueden: trasladar, reflejar o ampliar. Para estudiar estas
trasformaciones reconoceremos que existe una función básica (elemental, original) y una función
trasformada.
FUNCIONES BÁSICAS (SIMPLES)
Las siguientes funciones se suponen básicas o elementales para el análisis de las transformaciones de
funciones. Es importante considerar los dominios y codominios en cada uno de los casos.
R
1. f(x) = x. 2. f(x) = x2.
TO
AU
Df = R
E
Cdf = R
D
S
Df = R
O
Cdf = [0, +∞)

H
EC
ER
3. f(x) = x3. 4. f(x) = x4.

Df = R Df = R
D
Cdf = R Cdf = [0, +∞)

S
LO
S
O
D
VA
ER
5. f(x) = 1/x. 6. f(x) = √x.

ES
Df = R – {0}
Df = [0, +∞)
R
AV Cdf = R – {0}
Cdf = [0, +∞)
AH
3.5.1. TRASLACIÓN
Entenderemos por traslación al cambio de posición de una curva, en el plano cartesiano, en una dirección
dada. Las traslaciones pueden ser verticales u horizontales.
a. Traslación vertical
Sea, y = f(x) la función básica e y1 = f(x) + k la función trasformada, o bien: f1(x) = f(x) + k.
Si se suma una constante (k) a una función básica entonces la curva de la función transformada se
desplaza en dirección vertical, a partir del eje x: Hacia arriba si k > 0, y hacia abajo si k < 0.
Obsérvese que el valor de k (constante) se suma fuera de la función.
Ejemplo 1. Grafique las siguientes funciones, determine el D y Cd, y verifique los desplazamientos
verticales: f1(x) = √x + 1, f2(x) = √x – 1,5.
f1(x) = √x + 1
f(x) = √x (función básica)
Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞)
R
f(x) = √x
TO
f1(x) = √x + 1 (función transformada) k > 0
Df1 = [0, +∞) y Cdf1 = [1, +∞)
AU
k < 0 f1(x) = √x –1,5
f2(x) = √x – 1,5 (función transformada)
E
Df2 = [0, +∞) y Cdf2 = [-1,5; +∞)
D
S
O
Observación: los dominios de las funciones transformadas son iguales a la función básica. Los
H
codominios cambian, considerando el valor de la constante k.

EC
b. Traslación horizontal
ER
D
Sea, y = f(x) la función primitiva e y1 = f(x+k) la función trasformada, o bien: f1(x) = f(x+k).
S
LO
Si se suma una constante (k) dentro de la función básica, entonces la gráfica de la función
transformada se desplaza (traslada) en dirección horizontal: Hacia la izquierda si k > 0, y hacia la
S
derecha si k < 0. Obsérvese que el valor de k (constante) se suma dentro de la función.

O
D
Ejemplo 1. Grafique las siguientes funciones, determine el D y Cd, y verifique los desplazamientos
VA
horizontales: f1(x) = √x + 1, f2(x) = √x-1,5.

f(x) = √x
ER

Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞)
ES
f1(x) = √x + 1
R
f1(x) = √x + 1 (función transformada)

Df1 = [-1, +∞) y Cdf1 = [0, +∞)
f2(x) = √x-1,5 (función transformada)

Df2 = [1,5; +∞) y Cdf2 = [0, +∞) k > 0 k < 0
f1(x) = √x -1,5
Observación: los dominios de las funciones transformadas cambian, considerando el valor de la
constante k. Los codominios no cambian.
3.5.2. REFLEXIÓN
Entenderemos por reflexión al duplicado (copia) de la curva de una función en otra posición, de tal forma
que sea equidistante con respecto de un eje de simetría. La reflexión puede ser: respecto del eje x o del
eje y.
a. Reflexión eje x
Sea, y = f(x) la función básica e y1 = -f(x) la función trasformada, o bien: f1(x) = -f(x).
Si se multiplica por -1 a una función básica, cambiando el signo de la función, entonces la imagen de la
función transformada: y1 = -f(x), se refleja (muestra) arriba y/o debajo del eje x. Las gráficas de las
dos funciones, básica y transformada, son simétricas respecto del eje x.
Ejemplo 1. Grafique la siguiente función, determine el D y Cd, y verifique la simetría respecto del eje x:
f1(x) = -√x.
f(x) = √x
y = f(x)
Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞)
Simétricas respecto
R
del eje X
TO
f1(x) = -√x (función transformada)
Df1 = [0, +∞) y Cdf1 = [0, -∞)
AU
Observación: Los dominios son iguales pero el
E
y = -f1(x)
codominio de la función trasformada cambia, en su
dirección. D f1(x) = -√x
S
O
b. Reflexión eje y
H
EC
Sea, y = f(x) la función básica e y1 = f(-x) la función trasformada, o bien: f1(x) = f(-x).
ER
Si se multiplica por -1 la variable de una función básica, cambiando el signo de la variable, entonces la
imagen de la función: y1 = f(-x), se refleja (muestra) a la derecha y/o izquierda del eje y. Las gráficas de
D
las dos funciones son simétricas respecto del eje Y.

S
LO
Ejemplo 1. Grafique la siguiente función, determine el D y Cd, y verifique la simetría respecto del eje Y:
f1(x) = √-x.
Simétricas respecto
S

O
del eje Y
Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞)
D
VA
f1(x) = √-x (función transformada)

ER
Df1 = [0, -∞) y Cdf1 = [0, +∞) f(x) = √-x f(x) = √x

y = f1(-x) y = f(x)
ES
Observación: El dominio de la función

transformada cambia, en su dirección, y los
R
codominios son iguales.
Lo dicho anteriormente, en los dos casos, se ilustra en las siguientes tablas de valores:
f(x) = √x f1(x) = -√x f2(x) = √-x

x y x y x y
0 0 0 0 0 0
1 1 1 -1 -1 1
4 2 4 -2 -4 2
3.5.3. AMPLIACIÓN
Entenderemos por ampliación el estiramiento o encogimiento de la curva de la función, en el plano

cartesiano, considerando un eje de referencia. La ampliación puede ser respecto del eje X (vertical), y
respecto del eje Y (horizontal).
a. Ampliación vertical
Sea, y = f(x) la función primitiva e y1 = kf(x) la función trasformada o bien: f1(x) = kf(x).
Si se multiplica la función básica por una constante k, k > 0, entonces la curva de la función transformada
se separa (estiramiento) o se acerca (encogimiento), dependiendo de los valores de k, del eje X:
[1] k > 1: Estiramiento (se separa) [2] 0 < k < 1: Encogimiento (se acerca)
Ejemplo 1. Grafique las siguientes funciones, determine el D y Cd, y verifique la amplitud respecto del
eje x: f1(x) = 2√x , f2(x) = 0,5√x
K > 1 f(x) = 2√x
R
TO
Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞) f(x) = √x
AU
f1(x) = 2√x (función transformada)
Df1 = [0, +∞) y Cdf1 = [0, +∞)
E
f2(x) = 0,5√x (función transformada) D
S
Df2 = [0, +∞) y Cdf2 = [0, +∞) f(x) = 0,5√x
0 < k < 1
O
H
Observación: El dominio y codominio de las

EC
eje X
funciones transformadas no cambia.
ER
Para encoger o estirar la curva de la función original, en el ejemplo anterior, se multiplica las ordenadas
D
de: (x, √x), por un factor k. Si k = 2, la gráfica se estira, y si k = 0,5 la gráfica se encoge.
S
Estiramiento Encogimiento
LO
f(x) = √x f1(x) = 2√x f2(x) = 0,5√x

x y x y x y
S
0 0 0 0 0 0
O
D
1 1 1 2 1 0,5
VA
2 √2 2 2√2 2 0,5√2
3 √3 3 2√3 3 0,5√3
ER
4 2 4 4 4 1
ES
b. Ampliación horizontal
R
Sea, y = f(x) la función básica e y1 = f(kx) la función trasformada o bien: f1(x) = f(kx).
Si se multiplica la variable por una constante K, siendo: k > 0, entonces la curva de la función transformada
se acerca (encogimiento) o separa (estiramiento), dependiendo de los valores de k, hacia el eje Y:
[1] k > 1: Encogimiento (se acerca) [2] 0 < k < 1: Estiramiento (se separa)
Observación: K es un factor dentro de la función. Por ejemplo: Si f(x) = √x entonces f1(x) = √2x.
Ejemplo 1. Grafique las siguientes funciones, determine el D y Cd, y verifique la amplitud respecto del
eje y: f1(x) = √2x , f2(x) = √0,5x
eje Y f(x) = √2x
f(x) = √x (función básica) K > 1
Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞)
f(x) = √x
f1(x) = √2x (función transformada)

Df1 = [0, +∞) y Cdf1 = [0, +∞) f(x) = √0,5x
f2(x) = √0,5x (función transformada) 0 < k < 1

Df1 = [0, +∞) y Cdf1 = [0, +∞)
Observación: El dominio y codominio de la función transformada no cambia.
Para estirar o encoger la curva respecto de la función original, en el ejemplo anterior, se multiplica las
ordenadas de: (x, √x), por un factor k. Si k = 2 por √2, la gráfica se encoge, y si k = 0,5 por √0,5 se
estira, respecto del eje Y.
Encogimiento Estiramiento
R
f(x) = √x f1(x) = √2x f2(x) = √0,5x
TO
x y x y x y
AU
0 0 0 0 0 0
1 1 1 √2 1 √0,5
E
2 √2 2 2 2 1
3 √3 3 √6
D 3 √1,5
S
4 2 4 2√2 4 √2
O
H
3.5.4. SÍNTESIS
EC
ER
TRANSFORMACIONES [y = f(x), función básica, original o primitiva]

f1(x) transformada Interpretación geométrica
D
1 f1(x) = f(x)+k; k ≠ 0 Traslación vertical (k unidades hacia arriba del eje x)

S
2 f1(x) = f(x)–k; k ≠ 0 Traslación vertical (k unidades hacia abajo del eje x)

LO
3 f1(x) = f(x+k); k ≠ 0 Traslación horizontal (k unidades hacia la izquierda del eje y)

4 f1(x) = f(x-k); k ≠ 0 Traslación horizontal (k unidades hacia la derecha del eje y)
S
5 f1(x) = -f(x) Reflexión en el eje X (se refleja arriba y/o debajo del eje x)
O
6 f1(x) = f(-x) Reflexión en el eje Y (se refleja a la derecha y/o izquierda del eje y)
D
7 f1(x) = kf(x); k > 0 Ampliación vertical (se estira o se encoge, respecto del eje x)
VA
[1] k > 1: Estiramiento [2] 0 < k < 1: Encogimiento

ER
8 f1(x) = f(kx); k > 0 Ampliación horizontal (se estira o se encoge, respecto del eje y)
[1] k > 1: Encogimiento [2] 0 < k < 1: Estiramiento
ES
R
3.5.5. COMBINACIÓN DE TRANSFORMACIONES
Para trazar un bosquejo (esbozo) de la curva de una función transformada se puede utilizar la función
básica (primitiva) y los criterios correspondientes de: traslación, reflexión y ampliación.
Las características de la función primitiva (básica) se deben considerar antes de realizar el análisis. En
el caso de que la función transformada contenga signos de agrupación se debe proceder de adentro hacia
afuera.
Ejemplo 1. Registrar las transformaciones de: f1(x) = -(3x2-2). Trazar un bosquejo de la curva, y
determinar el dominio y codominio de f1(x).
1. Función primitiva: f(x) = x2

Parábola, abierta hacia arriba, pasa por el origen. f(x)x= x2
Df = R, Cdf = [0, +∞)
2. Función: f(x) = 3x2. [f1(x) = kf(x)]

k > 1: estiramiento respecto del eje x.
f1(x) = kf(x); k > 0 (eje x)
[1] k > 1: Estiramiento
3. Función: f1(x) = 3x2- 2.
[2] 0 < k < 1: Encogimiento
Traslación vertical (2 unidades hacia abajo del eje x)
Cdf = [-2, +∞)
4. f(x) = -(3x2- 2)
Reflexión eje x (se refleja debajo del eje x)
Cdf = [2, -∞)
f(x) = -(3x2-2)
R
5. Df1 = R y Cdf1 = [2, -∞)
TO
Ejemplo 2. Registrar las transformaciones de: f 1(x) = (3x)2- 2. Trazar un bosquejo de la curva, y
AU
E
Parábola, abierta hacia arriba, pasa por el origen.
D f(x) = x2
x
S
Df = R, Cdf = [0, +∞)
O
H
2. Función: f(x) = (3x)2. [f1(x) = f(kx)]

EC
k > 1: Encogimiento respecto del eje y.

f1(x) = f(kx); k > 0 (eje Y)
ER
[1] k > 1: Encogimiento

3. Función: f1(x) = (3x)2- 2.
[2] 0 < k < 1: Estiramiento
Traslación vertical (2 unidades hacia abajo del eje x)
D
S
4. Df1 = R y Cdf1 = [-2, +∞)

LO
Observación: Si en el paso 2 se escribe: f(x) = 9(x)2, se tiene:

S
O
5. Función: f(x) = 9x2. [f1(x) = kf(x)] f(x) = (3x)2- 2

D
VA
k > 1: estiramiento de la curva respecto del eje X

ER
Ejemplo 3. Registrar las transformaciones de: f1(x) = 1-2(x-3)2. Trazar un bosquejo de la curva, y
determinar el Df1 y Cdf1.
ES
f(x) = x2
R
Parábola, abierta hacia arriba, pasa por el origen

Df = R, Cdf = [0, +∞)
2. f(x) = (x-3)2
Traslación horizontal (3u hacia la derecha del eje Y)
Eje de simetría: xs = 3 f1(x) = kf(x); k > 0 (eje X)
[1] k > 1: Estiramiento
3. f(x) = 2(x-3)2. [f1(x) = kf(x)] [2] 0 < k < 1: Encogimiento
k > 1: estiramiento respecto del eje X.
4. f(x) = -2(x-3)2
Reflexión eje X (se refleja debajo del eje X)
f(x) = 1-2(x-3)2
En: xs = 3. Cdf = [0, -∞)
5. f1(x) = 1- 2(x-3)2.
Traslación vertical (1u hacia arriba del eje X)
En: xs = 3. Cdf = [1, -∞)
6. Df1 = R y Cdf1 = [1, -∞)
Ejemplo 4. Registrar las transformaciones de: f1(x) = -(x+2)3/4 + 3. Trazar un bosquejo de la curva, y
f(x) = x3
Curva cúbica, cuadrante 1 y 3, pasa por el origen
Df = R, Cdf = R
2. f(x) = (x+2)3
Traslación horizontal (2u hacia la izquierda del eje Y)
R
Eje de simetría: x = -2.
TO
f1(x) = kf(x); k > 0 (eje X)
3. f(x) = (x+2)3/4. [f1(x) = kf(x)] [1] k > 1: Estiramiento
AU
0 < k < 1: Encogimiento respecto del eje X. [2] 0 < k < 1: Encogimiento
E
4. f(x) = -(x+2)3/4
Reflexión eje X (se refleja arriba y/o debajo del eje X)
D
S
En: x = -2
O
f(x) = -(x+2)3/4 +3
H
3
5. f1(x) = -(x+2) /4 + 3
EC

ER
6. Df1 = R y Cdf1 = R
D
S
Ejemplo 5. Registrar las transformaciones de: f 1(x) = -2/x + 1. Trazar un bosquejo de la curva, y
LO
AV f(x) = 1/x
S
1. Función primitiva: f(x) = 1/x

O
Hipérbola, cuadrante 1 y 3, AH: y =0, AV: x = 0

D
Df = R – {0}, Cdf = R – {0}

VA
2. f(x) = 2/x. [f1(x) = kf(x)] AH

ER
k > 1: Estiramiento respecto del eje X.

ES
4. f(x) = -2/x.
R
Reflexión eje Y (se refleja a la derecha - izquierda) f(x) = -2/x+1
5. f1(x) = -2/x + 1
Traslación vertical (1u hacia arriba del eje X) AH
6. Df1 = R-{0} y Cdf1 = R- {1}
AV
Ejemplo 6. Registrar las transformaciones de: f1(x) = -2[(x+2)/(x+3)] + 1. Trazar un bosquejo de la curva,
y determinar el Df1 y Cdf1.
f(x) = (x+2)/(x+3)
1. Función primitiva: f(x) = 1/x
AV
Hipérbola, cuadrante 1 y 3, AH: y =0, AV: x = 0
Df = R – {0}, Cdf = R – {0}
AH
2. f(x) = (x+2)/(x+3). [f1(x) = f(x+k)]
Numerador: Traslación vertical
(2u hacia arriba del eje X)
Denominador: Traslación horizontal
(3u a la izquierda del eje Y)
AV: x = -3, AH: y = 1 f1(x) = kf(x); k > 0 (eje X)
Df1 = R-{-3} y Cdf1 = R- {-2} [1] k > 1: Estiramiento
[2] 0 < k < 1: Encogimiento
3. f(x) = 2[(x+2)/(x+3)] [f1(x) = kf(x)] f(x) = -2[(x+2)/(x+3)]+1

k > 1: Estiramiento respecto del eje X
R
AV
TO
4. f(x) = -2[(x+2)/(x+3)].
Reflexión eje X (se refleja arriba - abajo)
AU
Df1 = R-{-3} y Cdf1 = R- {-2}
E
5. f1(x) = -2[(x+2)/(x+3)] + 1
D
AH
S
AV: x = -3, AH: y = -1
O
H
6. Df1 = R-{-3} y Cdf1 = R- {-1}

EC
Ejemplo 7. Registrar las transformaciones de: f1(x) = -2(x-3)1/2+ 1. Trazar un bosquejo de la curva, y
ER

D
1. Función primitiva: f(x) = √x

S
f(x) = √x
LO
Curva irracional, Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞)

S
2. f(x) = (x-3)1/2. [f1(x) = f(x+k)]

O
Traslación horizontal (3u a la derecha del eje Y)

D
Df = [3, +∞)
VA
3. f(x) = 2(x-3)1/2
ER
k > 1: Estiramiento respecto del eje X.

ES
R
4. f(x) = -2(x-3)1/2.
Cdf = [0, -∞)
5. f1(x) = -2(x-3)1/2+ 1
Traslación vertical (1u hacia arriba del eje X) f(x) = -2√x-3 +1
6. Df1 = [3, +∞) y Cdf1 = [1, -∞)
Ejemplo 8. Registrar las transformaciones de: f1(x) = -[√-x+2 + 1]. Trazar un bosquejo de la curva, y
f(x) = √x
1. Función primitiva: f(x) = √x
Curva irracional, Df = [0, +∞) y Cdf = [0, +∞)
2. f(x) = √-x. [f1(x) = f(-x)]

Reflexión eje Y (a la derecha y/o izquierda)
Df = [0, -∞)
3. f(x) = √-x+2. [f1(x) = f(x+k); k ≠ 0]

Traslación horizontal (2u hacia la derecha de Y)
Df = [2, -∞) f(x) = -[√-x +2 + 1]
4. f(x) = √-x+2 + 1.
Cdf1 = [1, +∞)
5. f(x) = -[√-x+2 + 1].
R
TO
Cdf = [-1, -∞)
AU
6. Df1 = [2, -∞) y Cdf1 = [-1, -∞)
E
Ejemplo 9. Registrar las transformaciones de: f 1(x) = (3x)4- 2. Trazar un bosquejo de la curva, y
f(x) = x4 D
S
O
H
Parábola, abierta hacia arriba, pasa por el origen.

EC
Df = R, Cdf = [0, +∞)

ER
2. Función: f(x) = (3x)4. [f1(x) = f(kx)]

k > 1: Encogimiento respecto del eje Y.
D
f(x) = (3x)4-2
3. Función: f1(x) = (3x)4- 2.
S
LO
Traslación vertical (2 unidades hacia abajo del eje X)
4. Df1 = R y Cdf1 = [-2, +∞)

S
O
D
EJERCICIOS
VA
ER
1. Registrar las transformaciones de las siguientes funciones, determinar el Df1 y Cdf1, y trazar un
bosquejo de la curva.
ES
1. f1(x) = -2(x-3) + 1 2. f1(x) = -2(x+3) -1

R
3. f1(x) = (x-2)2 4. f1(x) = x2 - 2

5. f1(x) = (x-3)3 6. f1(x) = x3 - 3
7. f1(x) = 1/x-2 8. f1(x) = -1/x + 1
9. f1(x) = √x -2 10. f1(x) = -√x + 1
11. f1(x) = 2-(x+4)2 12. f1(x) = -[2+(x-3)2]
13. f1(x) = -(x-2)3/3 + 2 14. f1(x) = -[(x-2)3/4 - 2]
15. f1(x) = -(x+2)4/2 + 1 16. f1(x) = -[(x-2)4/5 - 1]
17. f1(x) = -(x+2)5/2 + 1 18. f1(x) = -[(x-2)5/5 - 1]
19. f1(x) = -4/x + 2 20. f1(x) = -[2/x – 1]

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CAPÍTULO 3

FUNCIÓN RACIONAL E IRRACIONAL

El siguiente esquema presenta algunas de las funciones reales:

A continuación, se presenta un estudio de las funciones: racionales, función inversamente proporcional,

3.2. FUNCIÓN RACIONAL

funcional, ó también y = P(x)/Q(x); Q(x) ≠ 0, ecuación. Por ejemplo:

g(x) = (x-3)/(x+1) f(x) = (x+1)/(2x+4) h(x) = (x2-4)/(x-2) y = (x2+4x+4)/(x2-x-6) y = 1/x

Estas especificaciones se escriben adjunto a la notación funcional, en la respuesta. En este caso, el

3.2.1. GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES

ASÍNTOTA HORIZONTAL (AH)

Son rectas horizontales asociadas a la función. CASO 1. AH: m = n → y = am/bn

Si g(x) = x/(x+1) entonces: y = 1/1 = 1, y = 1 es la AH.

La AH es la recta definida por y = 0 (el eje x). AH

1. Las AH pueden cortar la gráfica de la función.

2. Una función tiene como máximo dos AH.

ASÍNTOTA OBLICUA (AO)

AO: m > n → cociente de P(x)/Q(x)

Son rectas oblicuas asociadas a la función.

Observación: se deja al lector la verificación. AO

3. Si una función tiene AO no tiene AH y recíprocamente.

5. Las AO pueden cortar la gráfica de la función, en uno

P1: Asíntota vertical (Hallar; Q(x) = 0): Asíntotas:

P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)]

Intervalo (-∞; 4): Intervalo (4; ∞):

x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) AH

f(x) es decreciente f(x) es decreciente.

f(x) = (x+1)/(x-4) → f(-x) = (-x+1)/(-x-4)

f(-x) = (x-1)/(x+4) → f(x) ≠ f(-x) La RV interseca la gráfica en todos

-f(-x) = -(x-1)/(x+4) → f(x) ≠ -f(-x) los puntos del dominio. Ninguna RV

∴ f(x) no tiene ninguna clase de simetría. interseca la gráfica en más de un

P8. Dominio y Codominio: Monotonía:

según corresponda al Df y al Cdf. I2: (4; ∞) es decreciente (D)

∴ f(x) = (x+1)/(x-4), es función; f: R- {4} → R– {1}

P1: Asíntota vertical (Hallar; Q(x) = 0): Asíntotas:

P3: Asíntota oblicua (Analizar los grados: m, n): Tabla de valores

Intervalo (-∞; 2): Intervalo (2; +∞):

f(x) = (x+1)/(x2-4) f(x) = (x+1)/(x2-4)

f(-6) = -8/32 f(4) ≈ 0,42

f(-9) = - 1/4 f(6) ≈ 0,21 AH

x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2) x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2)

f(x) es decreciente f(x) es decreciente.

Observación: se deja al lector la determinación

P7. Simetría puntos del dominio. Ninguna RV

f(x) = (x+1)/(x2-4) → f(-x) = (-x+1)/(x2-4) interseca la gráfica en más de un

f(-x) = -(x-1)/(x2-4) → f(x) ≠ f(-x) punto.

-f(-x) = (x-1)/(x2-4) → f(x) ≠ -f(-x) Monotonía:

P8. Dominio y Codominio:

En este caso, para el dominio los reales

f(x) = (x2-4)/(x-2) = (x+2)(x–2)/(x-2) = x + 2

P1: Simplificación: Tabla de valores

f(x) = x + 2 → f(2) = 2+2 = 4. 0 2

P3. Puntos de corte eje x (Hallar: f(x) = 0). 3 5

f(x) = x+2 → x+2 = 0 → x = -2. 4 6

P4. Puntos de corte eje y (Hallar: f(0)). y = (x2- 4)/(x-2)

Punto de corte: (0; 2)

P6. Monotonía [en un intervalo (a, b)] RV

Intervalo (-1; 4): f(x) = x+2

x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2) f(x) es creciente