CAPÍTULO 1

FUNCIÓN

1.1. INTRODUCCIÓN

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una relación de A en B es un subconjunto del producto cartesiano
AxB. Se pueden representar mediante las letras mayúsculas R, G, H; con o sin subíndices. La definición
anterior puede escribirse, en forma simbólica, de la siguiente manera: R⊂AxB.

Cuando la relación está definida en el producto cartesiano AxB se afirma que la relación es de A en B y
se escribe R: A → B. La expresión anterior se lee "Relación R de A en B".

R
En consideración de que una relación es, por definición, un conjunto de pares ordenados, entonces se

TO
determina de la siguiente manera: diagrama sagital (flechas), cartesiano (puntos), extensión (pares
ordenados) y comprensión (proposición abierta en 2 variables).

AU
Ejemplo 1. Sean los conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4} y la relación R1 = {(x, y)∈AxB / x + y = 10}. Hallar R1

E
por extensión, diagrama sagital y cartesiano.

Proposiciones Razones D
S
O
1. R1 = {(x, y) ∈AxB / x + y = 10} Dato.
H

2. AxB = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)} Producto cartesiano

EC

3. v [p (1,2)] = F, … v [p (x, y)]

4. v [p (2, 4)] = F v [p (x, y)]
ER

5. R1 = { } Conjunto solución.
D

Como ningún par ordenado cumple con la propiedad común, x + y = 10, entonces el diagrama sagital no
S

tiene flechas y el cartesiano no tiene puntos:

LO

R1: A → B R1: A → B
S

B
O

4
D

1 2
VA

2
2 4
ER

AxB 1 2 A
ES
R

Ejemplo 2. Sean los conjuntos A = {1,2}, B = {2,4} y la relación R2 = {(x, y)∈AxB /x + y = 3}. Hallar R2 por
extensión, diagrama sagital y cartesiano.

Proposiciones Razones
1. R2 = {(x, y) ∈AxB /x + y = 3} Dato
2. AxB = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)} Producto cartesiano
3. v [p (1,2)] = V … v [p (x, y)]
4. R2 = {(1,2)} Conjunto solución

MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 1 Funciónnnn

Los siguientes diagramas, sagital y cartesiano, muestran el CS de R2:

R 2: A → B R12: A → B
B
4 DR2 = {1}
1 2 CdR2 = {2}
2
2
4
AxB 1 2 A

Ejemplo 3. Sean los conjuntos A = {1,2}, B = {2,4} y la relación R8 = {(x,y)∈AxB /y = 2x}. Hallar R8 por
extensión, diagrama sagital y cartesiano.

Proposiciones Razones
1. R8 = {(x, y) ∈AxB /y = 2x} Dato
2. AxB = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)} Producto cartesiano
3. v [p (1,2)] = V… v [p (x, y)]
4. R8 = {(1,2), (2,4)} Conjunto solución

R
R8: A → B R8: A → B

TO
B

AU
4 DR8 = {1,2}
1 2 CdR8 = {2,4}
2

E
2 4
AxB 1 2 A D
S
O

Observación: las relaciones R1, R2 y R8, son ejemplos particulares de las dieciséis relaciones que se pueden
H

obtener del producto cartesiano AxB.

EC

RELACIONES DE A EN B
ER

AxB = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}

D

R1= { } R2= {(1,2)} R6= {(1,2), (1,4)} R12= {(1,2), (1,4), (2,2)} R16= {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}
S

R3= {(1,4)} R7= {(1,2), (2,2)} R13= {(1,2), (1,4), (2,4)}

LO

R4= {(2,2)} R8= {(1,2), (2,4)} R14= {(1,4), (2,2), (2,4)}

R5= {(2,4)} R9= {(1,4), (2,2)} R15= {(2,2), (2,4), (1,2)}
S

R10= {(1,4), (2,4)}

O

R11= {(2,2), (2,4)}

D
VA

Ejemplo 4. El siguiente diagrama sagital determina las calificaciones obtenidas por un grupo de
estudiantes en un examen de matemática sobre 10. Se sabe que se aprueba el examen con
ER

una calificación mayor a 6.

ES

A f B
R

Paco 1… 6 Por lo tanto, el diagrama representa la

María 7 relación: “x” aprueba el examen con la
José 8 calificación “y” mayor a 6”.
Ana 9
Df = {Paco, María, José, Ana}
10
Cdf = {7,8,9,10}

Observación: En el diagrama se observa: a) El rango de calificaciones es de 1 a 10. b) A todos los

estudiantes les corresponde una calificación. c) Ninguno de ellos tiene dos calificaciones o más.

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1.2. FUNCIÓN

DEFINICIÓN

Se llama función, de un conjunto A en un conjunto B, a toda relación f de A en B si se verifica que todo

elemento de A está relacionado con un único elemento de B. Simbólicamente se representa mediante las
letras mayúsculas o minúsculas F, G, H; con o sin subíndices.

Considerando la definición, una relación es función si satisface las siguientes propiedades:

1. Existencia. Todo elemento de A debe estar en correspondencia con al menos un elemento de B.

∀x∈A: ∃y∈B / (x, y) ∈ f

2. Unicidad. A cada elemento del conjunto A le corresponde uno y solo un elemento del conjunto B.
Es decir, los elementos de A no pueden estar en correspondencia con dos o más elementos del
conjunto B.

∀(x,y), ∀(x,z): (x, y)  (x, z) ∈ f ⇒ y = z

R
TO
Observación: una función se conoce también con el nombre de relación funcional, aplicación o
transformación f de un conjunto A en un conjunto B. Algunos autores, sostienen que cuando

AU
los conjuntos entre los que se establece la relación funcional son conjuntos numéricos, la
transformación recibe el nombre de función caso contrario se llama aplicación.

E
D
Cuando la función está definida en el producto cartesiano AxB se afirma que la función es de A en B. El
S
conjunto A se llama conjunto de partida y el conjunto B conjunto de llegada. En forma simbólica se
O

representa de la siguiente manera:

H

f
EC

F: A → B f: A → B A → B Se lee "f es función de A en B".

ER

En general, si se tienen los siguientes productos cartesianos, entonces las funciones definidas en dichos
productos toman los siguientes nombres.
D
S

Productos cartesianos Funciones

LO

AxB F: A → B
BxA g: B → A
S

RxR h: R → R
O
D

Ejemplo 1. Sea A= {x∈D/x < 4; x >0}, B= {x∈D/x cuadrado perfecto} y R = {(x, y)∈AxB/ y = x2}.
VA

El producto cartesiano es: AxB = {1,2,3} x {1,4,9}

ER

AxB = {(1,1), (1,4), (1,9), (2,1), (2,4), (2,9), (3,1), (3,4), (3,9)}
ES

r
r es función, porque a cada
R

1 1 elemento del conjunto A le

A B
corresponde un único
2 4 elemento del conjunto B.
Dr = {1,2,3}
3 Cdr = {1,4,9}
9

R = {(1,1), (2,4), (3,9)}

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Ejemplo 2. Sea A y B los conjuntos del ejercicio anterior, y: G = {(x,y)∈AxB/ y = x}.

La relación, por extensión y diagrama sagital, es:

G = {(1,1)} G
G no es función porque los
1 1 elementos 2 y 3 del
A B conjunto A, no tienen
correspondencia única con
2 4
los elementos de B.
DG = {1}
3 9 CdG = {1}

Ejemplo 3. Sea A y B los conjuntos del ejercicio anterior, y: H = {(x,y) ∈AxB/ x > y}

La relación, por extensión y diagrama sagital, es:

H = {(2,1), (3,1)} H H no es función porque el

R
elemento 1 del conjunto A
1 1

TO
A B no tiene correspondencia
única con los elementos de

AU
2 4 B.
DH = {2,3}

E
3 9 CdH = {1}
D
S
O

Ejemplo 4. Sea A y B los conjuntos del ejercicio anterior y G = {(x, y) ∈AxB/ x ≥ y}.
H
EC

La relación, por extensión y diagrama sagital, es:

ER

g
G = {(1,1), (2,1), (3,1)}
g es función porque a cada
D

1 1 elemento del conjunto A le

A B
S

corresponde un único
LO

2 4 elemento de B.
Dg = {1,2,3}
S

Cdg = {1}
3
O

9
D
VA

1.3. DETERMINACIÓN DE FUNCIONES

ER

Una función se determina de la misma manera que una relación, es decir, mediante: diagrama sagital,
ES

diagrama cartesiano, extensión, comprensión, y gráfico (grafo, curva, lugar geométrico).

R

1.3.1. DIAGRAMA SAGITAL (FLECHAS)

Una relación es función, mediante diagrama sagital, cuando cumple las siguientes condiciones:

1. Existencia: De todos los elementos de A salen flechas.

2. Unicidad: De ningún elemento de A salen dos flechas o más.

Observación: sagita es sinónimo de flecha, entonces, el diagrama sagital es un diagrama de flechas.

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Ejemplo 1: Sean los conjuntos A = {1,2} y B = {2,4}. Hallar todas las relaciones y funciones de A en B.

El siguiente cuadro muestra todas las relaciones de A en B. Es decir, todos los subconjuntos del producto
cartesiano: AxB = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}:

NÚMERO DE ELEMENTOS DE LAS RELACIONES (SUBCONJUNTOS)

0 1 2 3 4
R1: A → B R 2: A → B R 6: A → B R12: A → B R16: A → B

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4

R 3: A → B R 7: A → B R13: A → B

1 2 1 2 1 2

R
TO
2 4 2 4 2 4

AU
R 4: A → B R 8: A → B R14: A → B

E
1 2 1 2 1
D 2
S
O

2 4 2 4 2 4
H
EC

R 5: A → B R 9: A → B R15: A → B
ER

1 2 1 2 1 2
D
S

2 4 2 4 2 4
LO
S

R10: A → B
O
D

1 2
VA
ER

2 4
ES

R11: A → B
R

1 2

2 4

Observación: Si el conjunto A tiene m elementos y el B tiene n elementos, existen 2mn relaciones distintas
entre A y B. Es decir, si AxB tiene mn elementos, se tiene entonces 2mn subconjuntos diferentes.

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De las relaciones de A en B, del cuadro anterior, las siguientes son funciones:

FUNCIONES R: A → B
R 7: A → B R 8: A → B R 9: A → B R10: A → B

1 2 1 2 1 2 1 2

2 4 2 4 2 4 2 4

Observación: es importante considerar el hecho de que, de las 16 relaciones de A en B, 4 son funciones.

Por lo tanto, toda función es una relación, pero no toda relación es función.

En general, las siguientes definiciones son importantes para trabajar con funciones:

1. Conjunto de partida: El conjunto A se conoce con el nombre de Conjunto de partida.

2. Conjunto de llegada: El conjunto B se conoce con el nombre de conjunto de llegada.
3. Dominio: El conjunto formado por los elementos del conjunto de partida de los cuales "sale" una

R
TO
flecha se llama Dominio. En todas las funciones el dominio es igual al conjunto de partida.
Generalmente se representa con la letra D.

AU
4. Codominio: El conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada a los cuales "llega" al
menos una flecha se llama codominio, rango, imagen. Generalmente se representa con las letras

E
Cd.
D
S
Df7 = {1,2} = A Cdf7 = {2} DF8 = {1,2} = A CdF8 = {2,4} = B
O

Df9 = {1,2} = A Cdf9 = {2,4} = B DF10 = {1,2} = A CdF10 = {4}

H
EC

Ejemplo 1: Sea A = {2,4} y F = {(x,y) ∈AxA/ y = x}. Determinar si F es función.

ER

Producto cartesiano: AxA = {(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}

F por extensión: F= {(2,2),(4,4)}
D

F mediante diagrama sagital:

S

F
LO

A A
S

2
O

2
Conjunto de partida = Dominio Conjunto de llegada
D
VA

4 4
ER

∴ F es función; f: {2,4} → {2,4}

ES

(De todos los elementos de A salen flechas, y de ningún elemento de A salen dos flechas o más).
R

Ejemplo 2: Sea A = {2,4} y F = {(x,y) ∈AxA/ y = x2} y A= {2,4}. Determinar si F es función, mediante
diagrama sagital.
F
A A

2 2

4 4
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Generalmente, un flujograma muestra con claridad el proceso para determinar si una relación es función:

INICIO

Analizar el diagrama
sagital de R: A→B
Ejemplo

Existencia
A ¿De todos los
elementos de NO
2
A “salen”
flechas?
4

SI

R
Unicidad

TO
A
¿De algún SI

AU
2 elemento de A
“salen” dos

E
flechas ?
4
D
S
O

NO
H
EC

R: A→B es función R: A→B no es función

ER
D

Escriba la respuesta
S
LO

∴ F no es función
S

Ejemplo 3. Sea A = {2,4} y G = {(x,y)∈AxA/ y = 4}. Determinar si G es función.

O
D

Producto cartesiano: AxA = {(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}

VA

G por extensión: G={(2,4),(4,4)}

Diagrama sagital:
ER

G
ES

A A
R

2 2
Conjunto de partida = dominio Conjunto de llegada

4 4

Luego:
P1: De todos los elementos de A salen flechas. v (p1) = V
P2: De ningún elemento de A salen dos flechas o más. v (p2) = V

∴ G es función; g: {2.4} → {4}.

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Ejemplo 4. Sea A = {2,4} y R1 = {(2,2),(2,4)}. Determinar si R1 es función, mediante diagrama sagital.

R1
A A

2 2
Conjunto de partida ≠ Dominio Conjunto de llegada

4 4
Luego:
P1: de todos los elementos de A salen flechas. F
P2: de ningún elemento de A salen dos flechas o más. F
∴R1 no es función

Observación: R1 no es función porque del elemento 2 salen dos flechas y del 4 no.

EJERCICIOS

R
1. Determine si las siguientes relaciones son funciones mediante diagrama sagital. Hallar el D y Cd.

TO
1. F = {(x, y) ∈AxA/ y = x} A = {1,2,3}

AU
2. G = {(x, y) ∈AxB/ y = x + 2} A = {1,2,3} B = {3,4,5,6}
3. H = {(x, y) ∈AxB/ y = 2x} A = {4,5,6} B = {8,9,10,11}

E
4. F = {(x, y) ∈AxB/ y = x2} A = {1/2,1/3,1/4} B = {1/4,1/9,1/16,1/25}
5. G = {(x, y) ∈AxB/ y = x3} A = {2,3,4} D B = {6,8,27}
S
6. F = {(x, y) ∈AxB/ y = 1/x} A = {1,2,3} B = {1, 1/2,1/5}
O

7. G = {(x, y) ∈AxB/ y = x - 2} A = {1,2,3,4} B = {-1,0,1,2}

H

8. H = {(x, y) ∈AxB/ y = 3x} A = {0,2;0,3;0,4} B = {0,6;0,9;1,2;1,5}

EC

9. F = {(x, y) ∈AxB/ y = 1/x} A = {0,3,4,5} B = {1/3,1/4,1/5,1/6}

ER

1.3.2. DIAGRAMA CARTESIANO (PUNTOS).

D

Una relación es función, mediante diagrama cartesiano, cuando cumple las dos condiciones siguientes:
S
LO

1. Existencia: Todos los elementos de A (eje horizontal) tienen graficado un punto en la recta
vertical que llega a cada uno de ellos.
S

2. Unicidad: Ningún elemento de A tiene graficado dos puntos o más en las rectas verticales.
O
D

Ejemplo 1. Sea A = {2,4} y F = {(x, y)∈AxA/y = x}. Determinar si F es función.

VA

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

ER

F por extensión: F= {(2,2), (4,4)}

ES

Diagrama cartesiano:
F es función, porque el 2 y el 4
R

A (elementos de A), tienen graficado un

punto en la recta vertical, que llega a
4 cada uno de ellos, y ninguno de ellos
tiene graficado dos puntos o más en las
2 rectas verticales.

AxA 2 4 A

∴ F es función; f: {2,4} → {2,4}

MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 8 Funciónnnn

Ejemplo 2. Sea A = {2,4} y F = {(x, y) ∈AxA/ y < x}. Determinar si F es función.

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

F por extensión: F= {(2,2), (4,2), (4,4)}
El diagrama cartesiano es:

A
∴ F no es función, porque
4 el elemento 4 tiene dos
puntos en la recta vertical.
2

AxA 2 4 A

Ejemplo 3. Sea A = {2,4} y F = {(x, y)∈AxA/ y < x}. Determinar si F es función.

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

F por extensión: F= {(4,2)}
El diagrama cartesiano es:

R
A

TO
∴ F no es función, porque

AU
4 el 2 no tiene graficado un
punto en la recta vertical.
2

E
AxA 2 4 A D
S
O
H

Ejemplo 4. Sea A = {2,4} y F = {(x, y)∈AxA/ x es divisor de y}. Determinar si F es función.

EC

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

ER

F por extensión: F= {(2,2), (2,4), (4,4)}

El diagrama cartesiano es:
D

A
∴ F no es función, porque el
S
LO

4 2 tiene graficado dos puntos

en la recta vertical.
S

2
O
D

AxA 2 4 A
VA

Ejemplo 5. Sean los conjuntos A = {1,2} y B = {2,4}. Hallar todas las funciones de A en B.
ER
ES

Producto cartesiano: AxB= {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}

Mediante diagrama cartesiano:
R

B
Observación: el n(AxB) = 4
entonces se tienen 16
4
relaciones (24 = 16).

AxB 1 2 A

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 RELACIONES (SUBCONJUNTOS) DE AxB

NÚMERO DE ELEMENTOS DE LAS RELACIONES

0 1 2 3 4
R1: A → B R 2: A → B R 6: A → B R12: A → B R16: A → B
B B B B B
4 4 4 4 4

2 2 2 2 2

AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A

R 3: A → B R 7: A → B R13: A → B
B B B
4 4 4

2 2 2

R
AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A

TO
R 4: A → B R 8: A → B R14: A → B

AU
B B B
4 4 4

E
2 2 2 D
S
O

AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A

H
EC

R 5: A → B R 9: A → B R15: A → B
ER

B B B
4 4 4
D
S

2 2 2
LO

AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A

S
O

R10: A → B
D

B
VA

4
ER

2
ES

AxB 1 2 A
R

R11: A → B
B
4

AxB 1 2 A

MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 10 Funciónnnn

De las 16 relaciones de A en B, únicamente 4 son funciones, las mismas que se grafican a continuación:

FUNCIONES F: A → B
f7: A → B F8: A → B F9: A → B f10: A → B
B B B B
4 4 4 4

2 2 2 2

AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A AxB 1 2 A

Observación:

1. Conjunto de partida. El conjunto A es el conjunto de partida o fuente de la función.

2. Conjunto de llegada. El conjunto B es el conjunto de llegada o meta de la función.
3. Dominio. Es el conjunto formado por los elementos de A (eje horizontal) cuyas rectas verticales
perpendiculares tienen graficados un punto. En todas las funciones el dominio es igual al conjunto
de partida.

R
TO
4. Codominio. El codominio es el conjunto formado por los elementos de B (eje vertical) cuyas rectas
horizontales perpendiculares tienen señalados uno o más puntos.

AU
Df7 = {1,2} = A Cdf7 = {2} DF8 = {1,2} = A CdF8 = {2,4} = B
DF9 = {1,2} = A CdF9 = {2,4} = B Df10 = {1,2} = A Cdf10 = {4}

E
Ejemplo 6: Sea A = {2,4} y F = {(x, y)∈AxA/ y  x}. Determinar si F es función.
D
S
O
Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
H

F por extensión: F= {(2,4), (4,2)}

EC

El diagrama cartesiano es:

ER

A P1: Todos los A tienen un punto en

la recta vertical.
D

4 P2: Ningún A tiene señalado dos

S

puntos en las rectas verticales.

LO

2
S

AxA 2 4 A
O
D

∴ F es función; f: {2,4} → {2,4}

VA

Ejemplo 7. Sea A = {2,4} y G = {(x, y) ∈AxA/ y = 4}. Determinar si G es función.

ER

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

ES

G por extensión es: G = {(2,4), (4,4)},

El diagrama cartesiano es:
R

A P1: Todos los A tienen un punto en

la recta vertical.
4 P2: Ningún A tiene señalado dos
puntos en las rectas verticales.
2

AxA 2 4 A
∴ G es función; g: {2,4} → {4}

MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 11 Funciónnnn

Ejemplo 8: Sea A = {2,4} y G = {(x, y) ∈AxA/ y = 4}. Determinar si G es función.

El siguiente flujograma muestra con claridad el proceso para determinar si una relación es función.

INICIO

Analizar el diagrama
cartesiano de R: A→A
Ejemplo

A Existencia
4
¿Todos los A
2 tienen 1 punto NO
en la recta
AxA 2 4 A vertical?

R
TO
SI

AU
Unicidad

E
SI
¿Algún A tiene
2 puntos en la D
S
recta vertical?
O
H
EC

NO
ER
D

R: A→A es función R: A→A no es función

S
LO
S

Escriba la respuesta
O
D

Luego:
VA

P1: Todos los A tienen un punto en la recta vertical que llega a cada uno de ellos. V
ER

P2: Ningún elemento de A tiene señalado dos puntos en las rectas verticales. V

∴ G es función; g: {2,4} → {4}

ES
R

Ejemplo 8. Sea A = {2,4} y R1 = {(2,2), (2,4)}. Determinar si R1 es función:

A P1: Todos los A tienen un punto en

la recta vertical. V(p) = F.
4 P2: Ningún A tiene señalado dos
puntos en las rectas verticales.
2 V(p) = F

AxB 2 4 A ∴ R1 no es función

MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 12 Funciónnnn

 EJERCICIOS

1. Determine si las siguientes relaciones son funciones, mediante diagrama cartesiano. Hallar el D y Cd.

1. G = {(x, y) ∈AxA/ y = x}. A = {1,2,3,4}

2. H = {(x, y) ∈AxB/ y = x + 2}. A = {1,2,3,4} B = {3,4,5,6}
3. I = {(x, y) ∈CxD/ y = 2x}. C = {4,5,6,7} D = {8,9,10,11}
4. F = {(x, y) ∈JxK/ y = x2}. J = {1/2,1/3,1/4,1/5} K = {1/4,1/9,1/16,1/25}
5. G = {(x, y) ∈MxN/ y = x3}. M = {1,2,3,4} N = {1,6,8,27}
6. F = {(x, y) ∈PxQ/ y = 1/x}. P = {1,2,3,4} Q = {1, 1/2,1/5}
7. G = {(x, y) ∈RxS/ y = x - 2}. R = {1,2,3,4} S = {-1,0,1,2}
8. H = {(x, y) ∈AxB/ y = 3x}. A = {0,2; 0,3; 0,4; 0,5} B = {0,6; 0,9; 1,2; 1,5}
9. F = {(x, y) ∈CxD/ y = 1/x}. C = {0,3,4,5} D = {1/3,1/4,1/5,1/6}

1.3.3. EXTENSIÓN

Una relación, denotada por extensión, es función cuando los pares ordenados cumplen con las condiciones

R
siguientes:

TO
1. Existencia: El dominio de la relación es igual al conjunto de partida.

AU
2. Unicidad: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales.

E
Estas dos condiciones pueden escribirse en forma abreviada de la siguiente manera:

1. Existencia: DR = A; siendo A el conjunto de partida. D

S
O

2. Unicidad: Nx: xRy ۸ xRz

H
EC

Ejemplo 1. Sea A = {2,4} y F = {(x, y) ∈AxA/y = x}. Determinar si F es función.

ER

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

D

F por extensión: F = {(2,2), (4,4)}

p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida: A = DF = {2,4} v(p1) = V
S

p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. v(p2) = V
LO

∴ F es función; f: {2,4} → {2,4}

S
O

Ejemplo 2. Sea A = {2,4} y F = {(x, y) ∈AxA/ y < x}. Determinar si F es función.

D
VA

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

F por extensión: F = {(2,2), (4,2), (4,4)}
ER

p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida: A = DF = {2,4} v(p1) = V

p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. v(p2) = F
ES

∴F no es función.
R

Ejemplo 3. Sea A = {2,4} y F = {(x, y) ∈AxA/ y < x}. Determinar si F es función.

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

F por extensión: F = {(4,2)}

p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida: A  DF (DF = {4}). v(p1) = F

p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. v(p2) = V

∴F no es función.
MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 13 Funciónnnn
Ejemplo 4. Sea A = {2,4} y F = {(x, y) ∈AxA/ x es divisor de y}. Determinar si F es función.

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

F por extensión es: F= {(2,2), (2,4), (4,4)}

p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida: A = DF = {2,4}. v(p1) = V

p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. v(p2) = F

∴F no es función.

Observación: existen dos pares ordenados con la misma primera componente; (2,2), (2,4).

Ejemplo 5. Sean los conjuntos A = {1,2} y B = {2,4}. Hallar todas las funciones de A en B.

AxB= {1,2} x {2,4} AxB= {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}

Observación: se halla todos los subconjuntos del producto cartesiano AxB; con 0 elementos, 1 elemento,
hasta 4 elementos. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto, y todo conjunto es

R
subconjunto de sí mismo.

TO
RELACIONES (SUBCONJUNTOS) DE AxB

AU
NUMERO DE ELEMENTOS DE LAS RELACIONES (SUBCONJUNTOS)

E
0 1 2 3 4
R1= { } R2= {(1,2)} R6= {(1,2), (1,4)} R12= {(1,2), (1,4), (2,2)}
D
R16= {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4)}
S
R3= {(1,4)} R7= {(1,2), (2,2)} R13= {(1,2), (1,4), (2,4)}
O
R4= {(2,2)} R8= {(1,2), (2,4)} R14= {(1,4), (2,2), (2,4)}
H

R5= {(2,4)} R9= {(1,4), (2,2)} R15= {(2,2), (2,4), (1,2)}

EC

R10= {(1,4), (2,4)}

R11= {(2,2), (2,4)}
ER

Observación:
D
S

1. Conjunto de partida. El conjunto A de los ejemplos anteriores se conoce con el nombre de

LO

conjunto de partida o fuente de la relación.

2. Conjunto de llegada. El conjunto B de los ejemplos anteriores se conoce con el nombre de conjunto
S
O

de llegada o meta de la relación.

D

3. Dominio. Se llama dominio al conjunto formado por las primeras componentes de los pares
VA

ordenados, generalmente se representan con la letra D.

4. Codominio. Se llama codominio de una relación al conjunto formado por las segundas componentes
ER

de los pares ordenados, generalmente se representa con las letras Cd.

ES

De las 16 relaciones de A en B, 4 son funciones:

R

R7= {(1,2), (2,2)} DF7 = {1,2} = A CdF7 = {2}

R8= {(1,2), (2,4)} DF8 = {1,2} = A CdF8 = {2,4} = B
R9= {(1,4), (2,2)} DF9 = {1,2} = A CdF9 = {2,4} = B
R10= {(1,4), (2,4)} DF10 = {1,2} = A CdF10 = {4}

Ejemplo 6: Sea A = {2,4} y F = {(x, y) ∈AxA/ y  x}. Determinar si F es función.

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

F por extensión: F= {(2,4), (4,2)}

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Generalmente, un flujograma muestra con claridad el proceso para determinar si una relación es función:

INICIO

Analizar R: A→B
(extensión)
Ejemplo

Existencia
NO

F= {(2,4), (4,2)} ¿DR = A?

SI

Unicidad SI
¿Existen
F= {(2,4), (4,2)}

R
(x, y) ۸ (x, z)?

TO
AU
NO

E
R: A→B es función R: A→B no es función
D
S
O
H
EC

Escriba la respuesta
ER
D

Luego, para la relación del ejemplo anterior se tiene:

S
LO

p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida. V(p1) = V

p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. V(p2) = V
S

∴ F es función; f: {2,4} → {2,4}

O
D

Ejemplo 7. Si A = {2,4} y B = {4,16}. Determinar si las relaciones de A en B: R3, R6 y R7, son funciones.
VA
ER

Las relaciones R: A→B son:

ES

NUMERO DE ELEMENTOS DE LAS RELACIONES (SUBCONJUNTOS)

0 1 2 3 4
R

R1= { } R2= {(2,4)} R6= {(2,4), (2,16)} R12= {(2,4), (2,16), (4,4)} R16= {(2,4),(2,16),(4,4),(4,16)}
R3={(2,16)} R7= {(2,4), (4,4)} R13= {(2,4), (2,16), (4,16)}
R4= {(4,4)} R8= {(2,4), (4,16)} R14= {(2,16), (4,4), (4,16)}
R5={(4,16)} R9= {(2,16), (4,4)} R15= {(4,4), (4,16), (2,4)}
R10= {(2,16), (4,16)}
R11= {(4,4), (4,16)}

Luego, considerando las relaciones: R3, R6 y R7; se tiene.

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 1. R3= {(2,16)}
p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida: DR3 ={2} v(p1) = F
p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. v(p2) = V
∴R3 = {(2,16)} no es función.

2. R6 = {(2,4), (2,16)}
p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida: D(R6) = {2} v(p1) = F
p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. v(p2) = F
∴R6 = {(2,4), (2,16)} no es función.

3. R7 = {(2,4), (4,4)}
p1: El dominio de la relación es el conjunto de partida: D(R7) = {2,4} v(p1) = V
p2: No existen pares ordenados cuyas primeras componentes sean iguales. v(p2) = V
∴ R7 = {(2,4), (4,4)}, es función.

EJERCICIOS

R
1. Determine si las siguientes relaciones son funciones, por extensión. Hallar el dominio y codominio.

TO
AU
1. F = {(x,y) ∈AxA/ y = x}. A = {1,2,3}
2. G = {(x,y) ∈AxB/ y = x + 2}. A = {1,2,3} B = {3,4,5,6}
3. H = {(x,y) ∈AxB/ y = 2x}. A = {4,5,6} B = {8,9,10,11}

E
D
4. F = {(x,y) ∈AxB/ y = x2}. A = {1/2,1/3,1/4} B = {1/4,1/9,1/16,1/25}
5. G = {(x,y) ∈AxB/ y = x3}. A = {2,3,4} B = {6,8,27}
S
6. F = {(x,y) ∈AxB/ y = 1/x}. A = {1,2,3} B = {1, 1/2,1/5}
O

7. G = {(x,y) ∈AxB/ y = x - 2}. A = {1,2,3,4} B = {-1,0,1,2}

H
EC

8. H = {(x,y) ∈AxB/ y = 3x}. A = {0,2;0,3;0,4} B = {0,6;0,9;1,2;1,5}

9. F = {(x,y) ∈AxB/ y = 1/x}. A = {0,3,4,5} B = {1/3,1/4,1/5,1/6}
ER

10. F = {(x,y) ∈AxB/ y = 2x2}. A = {1/2,1/3,1/4} B = {1/2,1/9,1/8,1/5}

11. G = {(x,y) ∈AxB/ y = 0,5 x3}. A = {2,3,4} B = {3,4,5}
D

12. F = {(x,y) ∈AxB/ y = 2/x}. A = {1,2,3} B = {2, 1, 2/3}

S
LO

1.3.4. COMPRENSIÓN
S

Una relación está denotada por comprensión cuando se indica la propiedad común (regla de
O

correspondencia) que cumplen sus elementos. Los elementos del conjunto universal, que convierten una
D

proposición abierta en dos variables en proposiciones cerradas verdaderas, constituyen los elementos de
VA

R, escrita por extensión. El conjunto así obtenido se llama conjunto solución de la relación. Por ejemplo:
ER

Sea: A = {2,4} y R = {(x, y) ∈AxA/y = x}.

Producto cartesiano: AxA = {(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
ES

Propiedad común: p(x, y): y = x (regla de correspondencia)

R

Conjunto solución: R = {(2,2), (4,4)} (R por extensión)

En general, una relación se denota por comprensión mediante la siguiente expresión:

R = {(x,y)∈AxB/ p(x,y)}

En consideración de que toda función es una relación entonces se denotan, por comprensión, mediante la
especificación de una proposición abierta en dos variables. Es decir, por la siguiente expresión general:

F = {(x,y)∈AxB/ v[p(x,y)] = V} o F = {(x,y)∈AxB/p(x,y)}

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 Diagrama cartesiano:
1.3.5. GRÁFICA (GRAFO, CURVA, LUGAR GEOMÉTRICO)
F es funció
En el acápite 1.3.2. se estudió el diagrama cartesiano o diagrama de A (elementos d
puntos de una función. En este caso, tanto el conjunto de partida como un punto en
el conjunto de llegada tienen pocos elementos. Generalmente, el 4 llega a cada
conjunto de partida de una relación (dominio de la función) no es un de ellos tien
conjunto finito de números, como los estudiados anteriormente. Por el 2 o más en las
contrario, es frecuente en matemática el estudio de funciones definidas
en los números reales, las mismas que tienen infinito número de pares AxA 2 4 A
ordenados.
∴ F es función; f: {2,4} → {2,4}

Por lo tanto, si una función consta de infinito número de pares ordenados,

es lógico pensar que tendrá infinito número de puntos en el plano
cartesiano. En este caso, y en la mayoría de los casos semejantes, se
grafica una muestra representativa de puntos, y luego se traza una línea,
que une los puntos graficados. El conjunto de todos los puntos así
obtenidos se llama gráfico, grafo o curva de la función.

En general, un gráfico (grafo) es la representación mediante líneas rectas

R
o curvas de una relación y/o función, cuyo conjunto de partida y de llegada son los números reales. El

TO
procedimiento usado, para este propósito, fue inventado por el filósofo y matemático René Descartes y

AU
se llama sistema coordenado rectangular o sistema coordenado cartesiano.

El procedimiento utilizado para representar gráficamente una función consiste en dar valores a x para

E
obtener los valores correspondientes de y. Los valores de “x” y los correspondientes de “y” suelen
D
disponerse en una tabla (tabla de valores), escribiendo debajo de cada valor de x el correspondiente valor
S
de y. Luego se une la trayectoria de los puntos con una línea recta o curva. Para verificar si la curva
O

representa una función se utiliza la prueba de la recta vertical (RV).

H
EC

Llamaremos recta vertical (RV) a cualquier recta perpendicular al eje x. Luego, una relación determinada
mediante un gráfico es función, si cumple las dos condiciones siguientes:
ER

1. La recta vertical (RV) interseca la gráfica en todos los puntos del dominio (A = D f, Existencia).
D

2. Ninguna recta vertical (RV) interseca la gráfica en más de un punto (Unicidad).

S
LO

Ejemplo 1. Graficar: F = {(x, y) ∈ RxR / y = x}, y determinar si la relación es función.

S

Para trazar la gráfica de la relación F conviene hallar una muestra representativa de pares ordenados.
O

Los mismos que se disponen en una tabla de dos columnas, llamada tabla de valores.
D
VA

En la primera columna se escribe los elementos del dominio (x), y en la segunda columna los elementos del
codominio (y);
ER

y
x y
ES

0 0 F = {(x,y)∈RxR/ y = x}
R

1 1
2 2 x
-1 -1

RV

Luego:
P1: La recta vertical (RV) interseca la gráfica en todos los puntos del dominio. v(p1) = V
P2. Ninguna recta vertical (RV) interseca la gráfica en más de un punto. v(p2) = V
∴ F es función; f: R → R

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Ejemplo 2. Determinar si la relación: R = {(x, y) ∈ RxR / y = ±√x; x ≥ 0}, es función.

x y
0 0
1 ±1 R={(x, y)∈RxR/y= ± x ; x≥0}
4 ±2
x

RV
Luego:

P1: La recta vertical (RV) interseca la gráfica en todos los puntos del dominio: R  Dr. v(p1) = F
P2. Ninguna recta vertical (RV) interseca la gráfica en más de un punto. v(p2) = F
∴ R no es función, es relación.

R
Ejemplo 3. Determinar si la relación: H = {(x, y) ∈ RxR / y = -x + 2}, es función.

TO
y

AU
X y
0 2 H = {(x, y) ∈ RxR / y = -x + 2}

E
2 0

D
S
O
H

x
EC

Luego: RV
ER

P1: La recta vertical (RV) interseca la gráfica en todos los puntos del dominio: R = Dh. v(p1) = V
D

P2. Ninguna recta vertical (RV) interseca la gráfica en más de un punto. v(p2) = V
S
LO

∴ H es función; h: R → R
S

Ejemplo 4. Determinar si la relación: Q = {(x, y) ∈ RxR /y = ± - x2 + 4 }, es función.

O
D

y
VA

x y
0
ER

±2
±2 0
ES

x
R

Q = {(x, y) ∈ RxR /y = ± - x2 + 4 }

Luego:
RV

P1: La recta vertical (RV) interseca la gráfica en todos los puntos del dominio: R  Dg. v(p1) = V
P2. Ninguna recta vertical (RV) interseca la gráfica en más de un punto. v(p2) = F

∴ Q no es función.

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 EJERCICIOS

1. Determine si las siguientes relaciones son funciones, mediante grafos. Hallar el dominio y codominio.

1. P = {(x, y) ∈ RxR/ y = x} 2. Q = {(x, y) ∈ RxR/ y = x + 2}.

3. R = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2x} 4. M = {(x, y) ∈ RxR/ y = x2}.
5. N = {(x, y) ∈ RxR/ y = -x2} 6. P = {(x, y) ∈ RxR/ y = x2 +2}
7. Q = {(x, y) ∈ RxR/ y = -x2 -2} 8. R = {(x, y) ∈ RxR/ y = x3}.
9. P = {(x, y) ∈ RxR/ y = -x3} 10. Q = {(x, y) ∈ RxR/ y = x3 + 1}
11. E = {(x, y) ∈ RxR/ y = -x3 - 1} 12. R = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x; x  0}
13. M = {(x, y) ∈ RxR/ y = -1/x; x  0} 14. N = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x + 2; x  0}
15. R = {(x, y) ∈ RxR/ y = -1/x + 3; x  0} 16. Q = {(x, y) ∈ RxR /y = √x; x ≥ 0}
17. R = {(x, y) ∈ RxR / y = + x ; x ≥ 0} 18. R = {(x, y) ∈ RxR / y = -√x; x ≥ 0}
19. Q = {(x, y) ∈ RxR /y=+ - x2 + 4 } 20. Q = {(x, y) ∈ RxR /y=- - x2 + 4 }
2
21. N = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2x } 22. P = {(x, y) ∈ RxR/ y = -3x2}
23. P = {(x, y) ∈ RxR/ y = -2x3} 24. Q = {(x, y) ∈ RxR/ y =0,5 x3}
25. E = {(x, y) ∈ RxR/ y = -0,5x3 - 1} 26. R = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2/x; x  0}

R
27. R = {(x, y) ∈ RxR/ y = -3/x + 3; x  0} 28. Q = {(x, y) ∈ RxR / y = 2√x; x ≥ 0}

TO
29. R = {(x, y) ∈ RxR/ y = 3x} 30. M = {(x, y) ∈ RxR/ y =-0,5x2}

AU
NOTACIÓN FUNCIONAL: f(a) = b

E
f
1. Una función de A en B se denota por f: A→B o A→B y se lee “f es una función de A en B”, siendo
A el conjunto de partida y B el conjunto de llegada. D
S
O

2. Si el par ordenado (a, b)∈ f se escribe f(a) = b, y se lee: “el valor de f, en el punto a, es b”, “la
H

imagen de f, en el punto a, es b” o "f de a es b".

EC

A f B A f B
ER

a b a f(a)
D

b
S
LO

La expresión: f(a) = b, significa que la función f envía una flecha desde el elemento a al b.
S

3. En general, si se cambian los elementos: a y b, por las variables: x e y, respectivamente, se tiene:

O

A f B
D

A f B
VA

x f(x)
x y
b
ER
ES

Luego, “El par ordenado (x, y) pertenece a f” es equivalente a “y es función de x” o “y es la

imagen de x por f”. Simbólicamente se escribe: (x, y) ∈ f ≡ y = f(x).
R

4. Si A = B = R, la función f: R→R se denomina función real de variable real: f∈RxR.

5. Considerando las expresiones anteriores entonces una función f se puede escribir como:

F = {(x,y)∈RxR / y = f(x)}

F = {(x, y) ∈ RxR/ y = x +2; f: R → R} Notación conjuntista

f(x) = x + 2; f: R → R Notación funcional
y = x + 2; f: R → R Ecuación de F

MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 19 Funciónnnn

 6. Para determinar si una relación es función, definida por comprensión, es conveniente escribir
dicha relación por extensión o en su defecto construir el diagrama sagital, el diagrama cartesiano
o el grafo de la función, según corresponda. Luego, se analizan las características especificadas
en la relación para establecer si es o no función, considerando la definición. La respuesta puede
escribirse, indicando el Df y Cdf, de la siguiente manera:

F es función; f: R → R ó f(x) es función; f: R → R

Ejemplo 1: Sea A = {2,4}. Determinar si F es función; F = {(x, y) ∈AxA/ y = x}.

Mediante diagrama sagital, se tiene: F

A A

F = {(2,2),(2,4)} 2 Notación funcional

2
Df = {2,4} = A f(x) = x
Cdf = {2,4} f(2) = 2
4 4
f(4) = 4

∴ F es función; f: {2,4} → {2,4}

R
TO
Ejemplo 2. Sea A = {2,4}. Determinar si G es función; G = {(x, y) ∈AxA/ y = 4}.

Mediante diagrama cartesiano, se tiene:

AU
A
G = {(2,4),(4,4} Notación funcional

E
Dg = {2,4) = A 4 f(x) = 4
Cdg = {4} D f(x) = 0x + 4
S
2 f(2) = 0(2) + 4 = 4
O

f(4) = 0(4) + 4 = 4
H

AxB 2 4 A
EC

∴ G es función; g: {2,4} → {4}

ER

Ejemplo 3. Sea F = {(x, y) ∈ RxR / y = x}, determinar si F es función.

D
S

y
x y
LO

0 0
RV
1 1
S
O

2 2
F = {(x, y) ∈RxR/ y = x}
D

-1 -1
VA

x
f(x) = x
ER

Df = R
Cdf = R
ES
R

∴ F es función; f: R → R

Ejemplo 4. Sea F = {(x, y) ∈ RxR / y = x2 -1}. Calcular: f(0), f(5), f(a), f(a+2), f(2) + f(3).

En la expresión f(x) = x2 -1, se sustituye la variable “x” por los valores propuestos. Luego se
realizan las operaciones indicadas:

f(0) = 02 -1 = -1 f(5) = 52 -1 = 24 f(a) = a2 -1

f(a +2) = (a +2)2 -1 = a2 + 4a+3 2 2
f(2) + f(3) = (2 -1) + (3 -1) = 11

MSc. Paco Bastidas Romo & Otros 20 Funciónnnn

Ejemplo 5. Sea f(x) = x2- 3. Calcular [f(x+h) – f(x)] / h; h ≠ 0.

[f(x+h) – f(x)] / h = [ (x+h)2- 3 – (x2-3)]/h

= (x2+2xh+h2- 3 – x2+3) /h
= (2xh+h2)/h
= h(2x+h)/h
= 2x +h; h ≠ 0
EJERCICIOS

1. Calcular: f(-2), f(3) + f(-1), f(2)-f(0); en las siguientes funciones:

1. F = {(x, y) ∈ RxR / y = x2 + 2} 2. F = {(x, y) ∈ RxR / y = 3x + 1}

3. F = {(x, y) ∈ RxR / y = 4 - x} 4. F = {(x, y) ∈ NxN/ y = x}
5. G = {(x, y) ∈ ZxZ/ y = x + 2} 6. H = {(x, y) ∈ NxN/ y = 2x}
7. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = x2} 8. G = {(x, y) ∈ RxR/ y = x3}
9. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x; x  0} 10. G = {(x, y)∈ NxN/ y = x - 2}

2. Calcular: [f (a) – f (b)] / (a – b), siendo a  b, en las siguientes funciones:

R
1. H = {(x, y) ∈ ZxZ/ y = 3x} 2. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x; x  0}

TO
3. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2x2} 4. G = {(x, y) ∈ RxR/ y = 0,5 x3}
5. H = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2/x; x  0} 6. H = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2}

AU
7. G = {(x, y) ∈ RxR/ y = │x│} 8. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x; x  0}
9. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x; x  0} 10. G = {(x, y) ∈NxN/ y = x - 3}

E
3. Calcular: [f(a +h) – f(b)] / h, siendo h  0, en las siguientes funciones:
D
S
1. F = {(x, y) ∈ RxR / y = x2 - 2} 2. F = {(x, y) ∈ RxR / y = 2x - 1}
O

3. F = {(x, y) ∈ RxR / y = 2 - x} 4. F = {(x, y) ∈ NxN/ y = x}

H
EC

5. G = {(x, y) ∈ ZxZ/ y = x + 3} 6. H = {(x, y)∈ NxN/ y = 3x}

7. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2x2} 8. G = {(x, y)∈ RxR/ y = x3/2}
ER

9. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x; x  0} 10. G = {(x, y)∈NxN/ y = x - 1}

D

4. Calcular: [f(x+h) – f(x)] / h; h ≠ 0, en las siguientes funciones:

S

1. H = {(x, y) ∈ ZxZ/ y = 3x} 2. F = {(x, y) ∈RxR/ y = 1/x; x  0}

LO

3. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2x2} 4. G = {(x, y) ∈RxR/ y = 0,5x3}

5. H = {(x, y) ∈ RxR/ y = 2/x; x  0} 6. H = {(x, y) ∈RxR/ y = 2}
S

7. G = {(x, y) ∈ RxR/ y = │x│} 8. F = {(x, y) ∈RxR/ y = x1/2; x ≥ 0}

O

9. F = {(x, y) ∈ RxR/ y = 1/x; x  0} 10. G = {(x, y) ∈NxN/ y = x - 3}

D
VA

5. Justifique su respuesta en cada una de las siguientes preguntas:

ER

1. ¿Es f(a + b) = f(a) + f(b), para todo a y b? 2. ¿Es f(a. b) = f(a). f(b), para todo a y b?
3. ¿Es f(6a) = 6.f(a), para todo a? 4. ¿Es f(4a+b) = 4.f(a) + f(b), para todo a y b?
ES

1.4. NÚMERO DE FUNCIONES DEL PRODUCTO CARTESIANO

R

En general, para determinar el número de funciones del producto AxB se tiene la siguiente expresión:

n(f: A→B) = n(B)n(A)

Si n(A) = n y n(B) = m, entonces la expresión anterior se escribe: n(f: A→B) = mn. Por ejemplo:
n(A) = 2, n(B) = 2 n(f: A →B) = 22 n(f: A→B) = 4
n(A) = 3, n(B) = 2 n(f: A→B) = 23 n(f: A→B) = 8
n(A) = 2, n(B) = 3 n(f: B→A) = 32 n(f: B→A) = 9

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A continuación, se presentan algunos productos cartesianos y las funciones que se pueden obtener:

1. Sea A = {a} y B = {1}, se obtiene una sola función.

AxB f1: A → B
n(A) = 1
a a n(B) = 1
1 1
n(f: A→B) = n(B)n(A)
n(f: A→B) = 1

2. Sea A = {a} y B = {1, 2}, se obtienen dos funciones.

AxB f1: A → B f2: A → B
n(A) = 1
a a a n(B) = 2
1 1 1
n(f: A→B) = n(B)n(A)
2 2 2
n(f: A→B) = 2

3. Sea A = {a} y B = {1, 2, 3}, se obtienen tres funciones.

R
AxB F1: A → B f2: A → B f3: A → B

TO
a a a a

AU
1 1 1 1
2 2 2 2

E
3 3 3 3
D
S
n(A) = 1, n(B) = 3. n(f: A→B) = n(B)n(A) entonces n(f: A→B) = 3
O
H

Los resultados anteriores, entre otros, se resumen en la siguiente matriz:

EC

C. DE PARTIDA C. DE LLEGADA FUNCIONES

ER

(DOMINIO) (CODOMINIO) f: A→B

A = {a} B = {1} n(f: A→B) = 1 11 = 1; n(B)n(A) = 1
D

A = {a} B = {1, 2} n(f: A→B) = 2 21 = 2; n(B)n(A) = 2

S

A = {a} B = {1, 2, 3} n(f: A→B) = 3 31 = 3; n(B)n(A) = 3

LO

A = {a, b} B = {1} n(f: A→B) = 1 12 = 1; n(B)n(A) = 1

A = {a, b} B = {1, 2} n(f: A→B) = 4 22 = 4; n(B)n(A) = 4
S

A = {a, b} B = {1, 2, 3} n(f: A→B) = 9 32 = 9; n(B)n(A) = 9

O

A = {a, b, c} B = {1} n(f: A→B) = 1 13 = 1; n(B)n(A) = 1

D

A = {a, b, c} B = {1, 2} n(f: A→B) = 8 23 = 8; n(B)n(A) = 8

VA

A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} n(f: A→B) = 27 33 = 27; n(B)n(A) = 27

ER

EJERCICIOS
ES

1. Determine el número de funciones para los siguientes conjuntos:

R

1. A = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2, 3, 4} 2. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}

3. C = {4, 5, 6}, D = {8, 9, 10, 11} 4. J = {1/2, 1/3, 1/4, 1/5}, K = {1/4, 1/9}
5. M = {1, 2}, N = {1, 6, 8, 27} 6. P = {1}, Q = {1, 1/2, 1/5}
7. R = {1, 2, 3, 4}, S = {-1} 8. A = {0,2; 0,3; 0,4}, B = {0,6; 0,9; 1,2}
2. Hallar mediante diagrama sagital las funciones de los siguientes conjuntos.
1. A = {a, b} y B = {1} 2. A = {a, b} y B = {1,2}
3. A = {a, b} y B = {1, 2, 3} 4. A = {c, d} y B = {4, 5, 6}

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