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273 1083573582 Cristian Ruiz
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UNIDAD DOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
Presentado a:
Daniel Francisco Bustos Ríos
Tutor(a)
Entregado por:
A continuación, encontraremos la solución de los ejercicios del literal (a) de la unidad 2 tarea 2,
de igual forma encontraremos el video explicativo del 5 punto donde se debe sustentar el
ejercicio asignado según el literal escogido.
OBJETIVOS
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
EJERCICIO 1. ED HOMOGÉNEAS
ENUNCIADO EJERCICIO: Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior
homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe
presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo).
𝑑 (2) + 2𝑑 + 5 = 0
𝑅1 = 0 𝑦(0) = 0
Resolvemos
𝑅1 = 0 ; 𝑅2 = −1
ENUNCIADO EJERCICIO:
Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas (Cada estudiante
debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado
para el desarrollo de este).
𝑎. 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 4𝑒 −𝑥 cos 2𝑥 ;
donde
𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 0 𝑦 ′′ = 𝑤 2
𝑤 (2) + 2𝑤 + 5(𝑤 0 ) = 0 𝑦′ = 𝑤1
𝑤 (2) + 2𝑤 + 5 = 0 𝑦 = 𝑤0
−4𝐴 = 0
ENUNCIADO EJERCICIO: De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy
Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la
razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
Sustituimos
3 ′′′
9𝑥 𝑦 =0
𝑦 = 𝑥 {𝑔}
𝑦 ′ = 𝑔𝑥 𝑔−1
𝑔1 = 0 𝑔2 = 1 𝑔3 = 2
𝑞2 + 2𝑞3 = 0 𝑦 ′ (1) = 0
(ñ + 2)(ñ + 2) = 0
𝑦𝑝 = 𝑔𝑥 (−1)
1 𝑦′𝑝 = −𝑔𝑥 (−2)
𝑥 (2) (2𝑔𝑥 (−3) ) + 5𝑥(−𝑔𝑥 (−2) ) + 4(𝑔𝑥 (−1) ) =
𝑥
𝑦′′𝑝 = 2𝑔𝑥 (−3)
Derivamos
𝜃 ′ = 𝑑𝑒 (𝑑𝑡)
𝜃 ′′ = 𝑑 (2) 𝑒 (𝑑𝑡)
Remplazamos
𝑑 (2) + 12.25 = 0
Resolvemos usando la ecuacion cuadratica
0 ± √0 − 49
𝑑=
2
+√49 𝑖 7
𝑑= = 𝑖
2 2
expresión
7 7
𝜃 = 𝑟1𝐶𝑜𝑠 ( ∗ 𝑡) + 𝑟2𝑆𝑒𝑛 ( ∗ 𝑡)
2 2
7 7 𝜋
𝜃(0) = 𝑟1𝐶𝑜𝑠 ( ∗ 0) + 𝑟2𝑆𝑒𝑛 ( ∗ 0) =
2 2 12
Condicion inicial
𝜋
(0) =
12
Valor de la constante
𝜋
𝑟1 =
12
Segunda Condicion inicial
𝜃′(0) = 0
7 7 7 7
𝜃′ (0) = − 𝑟1𝑆𝑒𝑛 ( ∗ 𝑡) + 𝑟2𝐶𝑜𝑠 ( ∗ 𝑡) = 0
2 2 2 2
7
𝑟2 = 0
2
𝜋
𝑟1 =
12
𝑟2 = 0
Solucion particular
𝜋 7
𝜃= 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑡)
12 2
𝜋 7
𝜃(20) = 𝐶𝑜𝑠 ( 20)
12 2
6. ¿Por qué esta solución particular Porque nos arroja los valores exactos al realizar los
encontrada en el anterior ítem es
la solución de este problema? cálculos