1

DINAMICA DEL CUERPO RIGIDO

1. Una lámina cuadrada rígida homogénea OABC de lado b y masa m, se mueve con
su vértice O fijo y con la arista OA siempre apoyada sobre un plano horizontal liso,
Oxoyo. Sea  el ángulo que forma la arista OC con la vertical y  el ángulo que
forma la arista OA con el eje Oxo en el plano horizontal. Sean los ejes móviles
Ox1x2x3, con Ox1 según la arista OA, Ox2 según la arista OC y Ox3 según la normal
a la lámina. Se pide determinar en función de los datos y de las derivadas
temporales de los ángulos  y :

a) El momento cinético relativo al centro de masas de la lámina.

b) El momento cinético de la lámina.
c) La energía cinética de la lámina.
x2
zo
C b
x3 B
B


O yo

A
xo x1

Figura Problema 1.

2. Un aro de masa M, radio R y centro O tiene adherida a un punto de su periferia una

partícula P de masa m. El aro con la partícula ubicada en el punto más alto está
apoyada sobre una mesa áspera con un plano en la vertical. El aro se perturba
levemente de manera que comienza a rodar, sin deslizar, sobre la mesa. Sea  el
ángulo que forma el radio OP con la vertical. Se pide determinar:

a) El momento de inercia del sistema aro-partícula según el eje axial del aro.
b) Las constantes de movimiento.
c) La velocidad angular del sistema aro-partícula como función de .

M P
Figura Problema 2.  m

O
2

3. Un cono circular recto y homogéneo, de masa m, altura h y semi ángulo , tiene su

vértice O fijo y se apoya sobre un plano horizontal áspero, con su base en posición
normal al plano, rodando sin deslizar de modo que su eje de simetría axial gira con
velocidad angular constante o en torno de la vertical que pasa por O. Tomando un
sistema de ejes móviles Oxyz, con Oz según el eje de simetría axial y el eje Ox
según la vertical. P es el punto de contacto de la base del cono con el plano
horizontal. Se pide:

a) Determinar el momento cinético del cono.

b) Demostrar que la energía cinética del cono es:

K = 3 m h2 (o)2 (5 + sec2)/40
x

o

m
 h
O z

R R

P
Plano horizontal áspero

Figura Problema 3.

4. Un cono recto homogéneo de masa m, altura h y semi ángulo , rueda por su

generatriz sin deslizar sobre un plano horizontal áspero con su vértice fijo a un
punto O en el plano (en la figura anterior, O también está en el plano horizontal).
Un punto de su eje axial describe, con rapidez constante, una circunferencia
completa en un tiempo T. Demostrar que la energía cinética del cono es:
k = 3 2 m h2 (1 + 5 cos2)/(10 T2)

5. Una barra homogénea AB de largo 2L y masa M tiene unido en su extremo A un

anillo, de masa despreciable, que puede deslizar por un riel horizontal liso. Si la
barra se le suelta del reposo en posición horizontal, se pide demostrar que:

a) La reacción del riel sobre el anillo es un cuarto el peso de la barra al iniciar el

movimiento.
b) La reacción del riel sobre el anillo es siete veces el peso de la barra al pasar por
la posición vertical.
 3

M, 2L

Figura Problema 5.

6. Una barra homogénea OA de largo 2L y masa 3m puede girar libremente en torno

de una articulación horizontal, suave y fija, en O. En el extremo A de la barra se
ubica un disco de masa m y radio R, que puede girar libremente en un pasador liso
horizontal y normal a la barra. Se da al disco una rapidez angular de magnitud o,
con la barra en reposo en posición horizontal, y se suelta. Sea  el ángulo que
forma la barra con la vertical descendente. Se pide determinar, en función del
ángulo :

a) La velocidad angular de la barra.

b) La reacción en la articulación.

3m, 2L
m,R
A
A

Figura Problema 6.

7. El extremo A de una barra homogénea AB, de masa M y largo L, está vinculado

suavemente a un eje horizontal OA, liviano y también de longitud L, de modo que
sólo puede girar libremente en un plano perpendicular a este eje. El eje OA se hace
rotar con rapidez angular constante o entorno de un eje vertical fijo Oz. Sea  el
ángulo que forma la barra con la vertical. Se pide:

a) Demostrar que el ángulo  satisface la ecuación diferencial:

d2/dt2 = (o)2 sen cos - [3 g/(2L)] sen

b) Determinar la energía cinética de la barra como función de .

4

z
B

o
M, L

O L

Figura Problema 7.

8. Se tiene un hemisferio homogéneo de masa m y radio R. Se apoya con su parte

curva sobre una pared vertical lisa y sobre un plano horizontal, también liso.
Inicialmente la cara plana del hemisferio está paralela a la pared vertical y se suelta
del reposo. Se pide demostrar:

a) Cuando el hemisferio deja de tener contacto con la pared vertical la velocidad

del centro de masas es de magnitud:

vm = (3/16) 15gR / 2

b) La inclinación de la cara plana respecto de la horizontal no excede el ángulo 

dado por:
cos = 45/128

t=0


G
G

Figura Problema 8.
 5

9. Dos barras idénticas, AB y BC, de masas M y largos 2b, están suavemente

articuladas entre sí en B y sus extremos A y C unidos por un resorte de longitud
natural 2b y constante elástica k, que lleva por su interior un eje Ox, suave y fijo
horizontalmente. Inicialmente las barras AB y BC están colineales y se sueltan del
reposo. Se pide determinar en función del ángulo  que forman las barras con la
horizontal:

a) La velocidad angular de las barras

b) El menor largo del resorte durante su movimiento
c) La expresión integral que permite calcular explícitamente el tiempo que tarda el
resorte para alcanzar su largo natural, por primera vez.

x
O A   C

M, 2b M, 2b

Figura Problema 9.

10. Se tiene un cuerpo homogéneo OABC, de masa m, en que OA, AB, y BC son barras
rígidamente unidas, de largos b, 2b y b, respectivamente, contenidas en un plano
vertical, con OA y BC en posición horizontal. El ángulo ABC es igual a . Si el cuerpo
se hace rotor respecto de un eje vertical fijo EE que pasa por O, con rapidez angular .
Se pide determinar:

a) El momento cinético respecto de A, referido a los ejes Ax y Ay paralelo a EE.

b) El punto del eje EE donde dicho eje es principal de inercia.
E

O A

E C B

Figura Problema 10.

6

11. Un cuerpo prismático, de masa m, de forma de un paralelepípedo de base

cuadrada de lado b y altura 2b, se puede mover verticalmente mediante un cable
liviano e inextensible montado excéntricamente. El cuerpo, en su movimiento,
está constreñido a desplazarse entre dos placas verticales fijas, separadas entre sí
una distancia levemente superior al ancho b del cuerpo y cuyo coeficiente de roce
entre las placas y el cuerpo es . El cable tira al cuerpo hacia arriba con una
aceleración de magnitud constante ao y su excentridad es "e" medida desde el eje
de simetría vertical y en dirección perpendicular a las placas. Se pide determinar:

a) La tensión del cable.

b) Las reacciones de las placas sobre el cuerpo.

Tensión del cable

ao

2b

Figura Problema 11.

12. Se tiene un sistema compuesto de un polea de centro O, radio R y masa m, que puede
girar libremente en torno de un eje horizontal que pasa por O, y otra polea de centro
C, que cuelga verticalmente, de igual radio y masa que la primera. Ambas poleas
están unidas por una cuerda que las envuelve y que no desliza en las poleas. La
cuerda se supone liviana e inextensible. Si el sistema se suelta del reposo, se pide
determinar como función de lo que baja la polea de centro C:

a) La rapidez angular de cada polea.

b) La tensión de la cuerda.
 7

m O

Figura problema 12.

R
m
C

13. Se tiene un sistema compuesto de un carrete de centro O, radio 2b y masa 2m, que
puede girar libremente en torno de un eje horizontal que pasa por O, y otro carrete
doble de centro C, que cuelga verticalmente. El carrete doble, el de tamaño mayor
tiene masa 2m y radio 3b, mientras el menor tiene masa m y radio b. Los carretes
están unidos por una cuerda liviana e inextensible que no deliza en los carretes, como
se muestra en la figura. Se pide determinar como función de lo que baja el carrete
doble:
a) La rapidez angular de las poleas
b) La tensión en cada trozo de cuerda.

2m O

Figura problema 13.

m
C

2m

Observación: Compare, la solución si aplica el formulismo de Lagrange.

8

14 Un cuerpo rígido está compuesto de una barra de longitud 3b con dos partículas P 1
y P2 en sus extremos. El centro de masas del cuerpo se ubica a la distancia b desde
la partícula P1 y el momento principal de inercia según el eje perpendicular a la
barra en el centro de masas G es I = 4λmb2, donde m es la masa del cuerpo rígido y
λ es un número positivo. El cuerpo rígido se coloca verticalmente con la partícula
P2 sobre un plano horizontal liso y se perturba levemente para que comience a caer.
Sea θ el ángulo que forma la barra con la vertical, como se muestra en la figura 54.
Se pide calcular para el instante que la partícula P 1 golpea el plano:

a) La velocidad de la partícula P1.

b) La reacción del plano sobre la partícula P 2.

P1

Gx
3b

P2

Figura Problema 14