U NIVERSIDAD P UBLICA DE E L A LTO LATEX.

Estructurado por:
C IENCIAS F ÍSICAS Y E NERGÍAS A LTERNATIVAS Aux. Yerko A. Quispe Ticona
F ÍSICA I - D INÁMICA DE LA PARTÍCULA II - 2019

G UÍA DE P ROBLEMAS
C OORDENADAS P OLARES

1. Movimientos Curvilíneos 3. Un tubo de largo L gira con velocidad angular constante

ω0 con respecto a un eje vertical que pasa por su extre-
1. Una partícula de masa m desliza con roce despreciable mo inferior. El tubo forma una angulo α con la vertical.
sobre la superficie interior de un cono invertido como se En cierto instante se lanza una partícula de masa m des-
indica en la figura. La generatriz de un cono forma un an- de el extremo inferior del tubo, con una rapidez v0 res-
gulo α con la dirección vertical. Determine: pecto de él.
Despreciando el roce entre las superficies, y utilizando
a) La distancia radial.
coordenadas cilíndricas, determine el mínimo valor de
b) La altura en la cual la partícula se mantiene en un v0 para que la partícula cruce completamente el tubo de
movimiento horizontal con rapidez tangencial v0 . largo L.

2. Considere una superficie cónica que gira con velocidad

angular constante ω0 en torno a un eje vertical. El angu-
lo entre el eje y la generatriz es φ = π
4 . En el interior hay 4. Una partícula P de masa m esta sujeta a una cuerda ideal,
una partícula de masa m ubicada a una distancia R del describiendo una circunferencia de radio R, sobre una
eje, que gira sólidamente con el cono. El coeficiente de superficie horizontal rugosa, con coeficiente de roce µ.
roce estático entre la superficie y la masa es µ. Si en t = 0 la partícula tiene una velocidad v0 (suficiente
para P de varios giros), calcule la velocidad que tiene P
a) Pruebe que en la condición descrita la fuerza de ro-
cuando termine el primer giro.
ce estático no tiene una componente tangencial al
movimiento.
b) Encuentre una expresión para el roce estático en
términos de la rapidez angular y determine el valor
critico (ωc ) de ω0 para el cual se anula la fuerza de
roce estático.
c) Observe que cuando ω0 supera el valor critico cal-
culado en b), la fuerza de roce estático cambia de
signo, impidiendo que la partícula ascienda. En es-
tas condiciones, es decir, si ω0 >ωc , determine el
5. Una partícula de masa m se encuentra sobre un disco de
máximo valor de ω0 para que m no deslice.
radio R, a una distancia d del centro. El coeficiente de ro-
ce estático entre la partícula y la superficie plana es µe .
Si la partícula empieza a girar desde el reposo con velo-
cidad angular α0 constante, calcule la velocidad angular
y el tiempo transcurrido hasta que la partícula empieza a
deslizar.
6. Considere un tubo de largo L que gira con velocidad an-
gular constante ω0 con respecto a un eje vertical que pa-
sa por uno de sus extremos, tal como se indica en la figu-
ra. Desde el extremo donde se origina el giro, es soltada
una partícula de masa m. El roce entre la partícula y el
tubo es despreciable. Determine:

a) Las ecuaciones de movimiento.

b) La rapidez radial de la partícula ρ̇ como función del
radio ρ.
c) La fuerza horizontal que ejerce el tubo sobre la par-
tícula justo cuando esta llega al extremo. 9. Se lanza una bolita de masa m, por el interior de un re-
cipiente cilíndrico de radio R, a una altura inicial h0 , tal
como muestra la figura. El roce de la bolita con la pared
es despreciable; domina el roce viscoso (que tiene la for-
ma: ~Frv = −c~v) con el fluido que llena el recipiente. La
bolita es lanzada en contacto con la pared del cilindro,
con velocidad horizontal inicial de magnitud v0 .

a) Dibuje los vectores unitarios, del sistema de coor-

denadas correspondiente, sobre la bolita.
b) Dibuje el DCL de la bolita.
c) Escriba las ecuaciones de Newton de la bolita, en
7. Considere una partícula de masa m, colocada sobre una
cada eje.
table, a una distancia ρ0 de su extremo izquierdo. En un
cierto instante se levanta el extremo derecho, girando so- d) Obtenga la velocidad angular de la bolita alrededor
bre el extremo izquierdo, como se indica en la figura. del eje del cilindro,como una función del tiempo.
Considere que no existe roce entre la partícula y la tabla. e) Determine la fuerza que ejerce la pared del cilindro
En este caso calcule: sobre la bolita, como una función del tiempo.

a) Una expresión para la velocidad angular (en fun-

ción del angulo θ) con que se debe levantar la tala
para que la partícula no deslice sobre ella.
b) La fuerza que la tabla ejerce sobre la partícula, tam-
bién en función del angulo θ.

10. Dos partículas de masa m están unidas por barras rígidas

sin masa y de largo L a un eje y a una masa M, como se
muestra en la figura. La masa M esta obligada a mante-
8. Considere una superficie horizontal lisa sobre la cual
nerse sobre el eje. A velocidad angular ω baja, la masa M
desliza con roce despreciable una partícula de masa m,
se queda en su lugar sostenido por una plataforma y las
que se mueve con una velocidad constante v0 . En un
barras forman ángulos de 45◦ con el eje. Sin embargo, si
punto de su trayectoria A la partícula se mueve a lo largo
la velocidad angular excede el valor critico ω0 , entonces
de la superficie interior de una pared semicircular de ra-
la masa M comienza a deslizarse por el eje. La gravedad
dio R, con la cual tiene un coeficiente de roce µ. Calcule:
apunta hacia abajo.
a) La velocidad de la partícula cuando llega al extremo a) Dibujar las fuerzas que actúan sobre cada una de
B dela pared. las tres masas.
b) El tiempo que se demora la partícula en recorrer el b) Escribir las ecuaciones de movimiento para cada
trayecto A − B. masa en el caso en que ω < ω0 .
 c) Calcular la velocidad angular critica ω0

Notas:

Las barras superiores tienen tensiones diferentes a

las inferiores.
Las barras superiores se juntan en el punto fijo P y
que las inferiores se unen a la masa M.

13. Desde la orilla de un edificio de 20 m de altura, un niño

arroja una piedra con una velocidad de 15 m s , cuya pen-
diente es de 4/3. Sabiendo que la piedra tiene una ma-
sa de 1.5 kg y la resistencia del aire es despreciable, de-
termine la altura máxima h sobre el suelo que alcanza la
piedra, la distancia horizontal R que se aleja del edificio
y la velocidad con que llega al suelo.

11. Una masa m esta unida a una cuerda de largo L cuyo otro
extremo esta fijo en el punto Q. Inicialmente la masa esta
en posición vertical hacia abajo y se le da una velocidad
v0 hacia la derecha. Determine:
a) La velocidad angular y la tension de la cuerda en to-
da posición.
b) El valor de v0 para que el péndulo llegue justo a
14. Una carga eléctrica Q de masa m es atraída por los dos
la posición horizontal y ahí se detenga, para luego
cargas iguales −Q fijas y separadas por una distancia 2b.
volver a caer. Llame a este valor v1 . Muestre que si
Si inicialmente la velocidad de la carga Q es nula y se en-
v0 < v1 , la cuerda siempre se mantuvo tensa. cuentra a una distancia d de ambas cargas −Q, encon-
c) Determine el valor mínimo de v0 para que el pén- trar la velocidad máxima de la carga Q.
dulo llegue a la posición vertical con la cuerda siem- Notas:
pre tensa. Llame a este valor v2 .
d) ¿Qué pasa si v1 < v0 < v2 ? Bosqueje el tipo de mo- Considere solamente las fuerzas eléctricas. No con-
vimiento que resulta. sidere el peso de la carga Q.

La fuerza que una carga −Q ejerce sobre Q, actúa

en la linea que une a ambas cargas y tiene una mag-
nitud
Q2
F = k·
r2
donde r es la distancia que separa a las cargas.

12. La corredera A, de 5 lb de peso, se mueve dentro de la

ranura conforme se eleva el brazo horizontal, que tiene
una velocidad constante de 3 in s . Sabiendo que cuando
x = 6 in, su velocidad tiene una pendiente positiva de
1/2 y su aceleración es horizontal y de 3 in
s2
dirigida ha-
cia la derecha, determine todas la fuerzas externas que
actúan sobre ella en esa posición.

V ERSIÓN : S EPTIEMBRE , 2019