Trigonometria Semana 1 Al 12 Aduni Semestral

Semestral Intensivo Virtual ADUNI Trigonometría
7. En un triángulo ABC, las medidas de los ángu-

Ejercicios de reforzamiento π
los internos A, B y C son (10m + 3n + 4)g,rad
n
1. Si se cumple que 26g = x°y', halle el equivalente y (9m + 3n + 3)° respectivamente. Determine la
g medida del ángulo C si AB = BC.
de (x + y + 3) en el sistema sexagesimal.
A) 75° B) 30° A) 75° B) 40°

C) 45° D) 60° C) 60° D) 45°
2. La medida de los ángulos internos de un trián- 8. ¿Cuántos segundos sexagesimales se deben

πx 3πx π
gulo son (36x)°; rad y rad. Determine la agregar a 40g para obtener rad?
5 5 4
medida del mayor ángulo interior del triángulo.
A) 324 000" B) 51 200"
A) 30° B) 66° C) 72° D) 108° C) 64 200" D) 32 400"
3. ¿Cuántos segundos sexagesimales se deben 9. Los ángulos a y b miden 30° y 50g, respectiva-
π mente. Halle a + b en un nuevo sistema cuya
agregar a 50g para obtener rad? unidad de medida (1x) corresponde a las tres
3
cuartas partes del ángulo de una vuelta.
A) 54 000" B) 62 000" x x x
C) 50 000" D) 44 000"  5 ° 7  3 5
A)   B)
  C)
  D)
 
 18  8 8 4
4. Se crean dos nuevos sistemas de medida de
ángulos, denotados por A y B, para los cuales 10. En el gráfico, las medidas de los ángulos del
se cumple que 3° equivalen a 5 grados del sis- 31π
triángulo ABC miden 40g; (4x)° y rad.
tema A (5A) y 8g equivalen a 9 grados del sis- 45
tema B (9B). Calcule la relación que hay entre Calcule el valor de q si x2 + 10x – q = 0.
estos sistemas.
B
A B A B
A) 4 =3 B) 3 = 4
C) 12 A =25B D) 25A =12B
 a + 2  120  ° A C
5. Si  rad = 20°, halle  en radianes.
 9  a
 1 + 
2
A) 45 B) 75 C) 57 D) 65
5 4
A) rad B) rad
6 3 11. En un nuevo sistema de medición angular,
3 2 su unidad de medida es el grado olivos (1q:
C) rad D) rad
4 3 un grado olivos), el cual equivale a 30 veces
la suma de las unidades de medida de los sis-
6. Si se cumple que 16g =x° y', halle el equivalente temas sexagesimal y centesimal. Determine la
de (x+y+22)g en el sistema sexagesimal. medida de 19p radianes en el nuevo sistema
de medición angular.
A) 36° B) 44°
C) 54° D) 64° A) 40 q B) 60 q C) 50 q D) 70 q
Academia ADUNI Material Didáctico
12. La casa de Santiago tiene dos rampas, como 151π a+ b

14. Si se sabe que rad=a° b ', calcule .
se muestra en el gráfico, para subir una carga 900 a− b
pesada al segundo piso. Calcule la medida del
ángulo, en radianes, de menor inclinación de
13 7 21 26
la rampa. A) B) C) D)
6 3 5 5
100g 15. A partir del gráfico mostrado, calcule θ en el

sistema circular.
( )
g
50x 5π x rad
9 36

3π π π π
A) rad B) rad C) rad D) rad
20 8 15 12
θ=2°1x'=2gx0m
13. El siguiente gráfico muestra los resulta-

dos sobre los niveles de preferencia de 4 π 3π π π
equipos de fútbol (A, B, C y D). Determine A) rad B) rad C) rad D) rad
80 80 70 90
el porcentaje de preferencia que tiene el
21π
equipo D si α = rad, q =135° y b =100g. 16. A partir del gráfico mostrado, halle x.
36
A 5π rad
6
α θ B 95°
x rad
D β
C

11π 13π 17π 19 π
A) B) C) D)
A) 15 % B) 10 % C) 6 % D) 8,3 % 36 36 36 36
5. Si a un sector circular le triplicamos el ángulo

Ejercicios de reforzamiento central y a su radio le aumentamos 2 m, se ob-
tendrá un nuevo sector cuya longitud de arco
1. Determine la distancia entre 2 ciudades A y B será el cuádruple de la longitud del sector ini-
situadas en el círculo ecuatorial, cuando en A cial. Halle el radio del sector circular final.
son las 11 a. m. y en B son las 2 p. m. (considere
el radio de la Tierra el cual tiene aproximada-
A)
6 B)
4 C)
5 D)
8
mente 6300 km).
6. En cierto instante de un movimiento sísmico

A) 6322 km B) 4946 km
C) 5725 km D) 4940 km un edificio gira 12m 73s cuando la parte más
alta del edificio recorre 3 cm. ¿Cuántos metros
2. Según el gráfico, AOB y OAD son sectores cir- de altura tiene dicho edificio?
culares; además, AO = 12 cm. Halle el períme-
tro de la región sombreada. A) 15 m B) 10 m C) 18 m D) 12 m
A 7. Calcule la longitud del arco que describe el

extremo M de la cuerda CM, cuando esta en-
vuelve al triángulo equilátero ABC cuyo lado
D
tiene 1 cm, de tal modo que M coincida con C.
B
O B
A) (4p+ 9) cm B) (5p+12) cm
C) (5p+13) cm D) (5p+14) cm A C 3 cm M
3. El radio de un sector circular mide 25 u y la 8π

medida del ángulo central es 80°. Si se dismi- A) 8π cm B) cm
3
nuye el radio en 5 u, ¿cuál será la nueva me- C) 2π cm D) 4π cm
dida del ángulo central? Además, el área del
sector circular no varía.
8. En el gráfico se muestran tres tuberías del mis-
A) 160° B) 120° mo diámetro de longitud D, que son sujetadas
C) 125° D) 150° con un alambre de diámetro despreciable. De-
termine la longitud de dicho alambre.
4. Si el área del trapecio circular es 49 u2, calcule
el valor de x para que el semiperímetro de la
región sombreada sea mínimo.
D
A) D(p+3) B) ( π + 1)
2
D  1
C) ( π + 2) D) D  π + 
A) 8 u B) 7 u C) 6 u D) 5 u 3  2
9. El Sr. Bruno desea cercar con alambre un te- A) 107p cm2 B) 121p cm2
rreno para la siembra de hortalizas, el cual tie-
C) 113p cm2 D) 109p cm2
ne la forma de trapecio circular, tal y como se
representa en el gráfico. Si nos basamos en el
el gráfico, ¿cuántos metros de alambre nece- 12. En el gráfico mostrado, 1;  2 y  3 son las lon-
sitará el Sr. Bruno para cercar dicho terreno? gitudes de los arcos AB, CD y EF, respectiva-
32π
mente, tal que µ1+µ 2 +µ 3 = cm. Si DE= 5AD
18 m 3
y OA=3AD, calcule el área del trapecio circu-
27 m
lar ABCD.
( )
g
400
9
E
D
A

O 60° 1 2 3
A) 2(3p+17) m B) 4(4p+9) m
C) 6(4p+5) m D) 4(5p+9) m B
C
10. Tilza observa, en el reloj de pared de su dor- F

mitorio, que son las 7 p. m. cuando se dirige
al mercado para realizar compras. Al retornar,
se percata de que la punta del minutero, cuya 14 π
A) cm B) 5p cm
longitud es de 15 cm, ha descrito un arco cuya 3
longitud es de 20p cm. Calcule a qué hora Til- 16 π
C) cm D) 6p cm
za regresó a su casa. 3
A) 7:20 p. m. B) 7:40 p. m. 13. Se sabe que el área y perímetro del trapecio
C) 7:50 p. m. D) 7:30 p. m.
5π 2  5π 
circular ABCD son u y 4 +  u, respecti-
3  3 
11. En el gráfico, se representa un péndulo, cuyo
punto de suspensión es el vértice formado por vamente. Halle la longitud de AB si AB < 2,5.
las barras perpendiculares AB y AC. Determi-
ne el área barrida por el péndulo, al moverse B
desde la posición D hasta la posición E, si se
sabe que DF + FE =12p cm. A
A
B O θ rad
15°
D
8 cm D C
C 3
A) 1 u B) u
45° 2
E
5
C) 2 u D) u
F 3
14. En el gráfico, AOB y COD son sectores circula-

res, tal que AD =3OD. Si el área del sector cir-
cular COD es 48 cm2 y 1+ 2 = 60 cm, calcule
el perímetro del trapecio circular.
A
D
O 1 2 A) 45 cm B) 50 cm C) 75 cm D) 60 cm
C 16. Si el área del trapecio circular es 25 u2, calcule

B el valor de m para que el semiperímetro de la

región sombreada sea mínimo.
A) 102 cm B) 104 cm
C) 106 cm D) 108 cm m
15. Percy sujeta su arco de flecha de tal manera

que se forma un sector circular, como se re-
presenta en el gráfico adjunto. Si se sabe que
la suma de la longitud del arco y los dos radios
es igual a 100 cm, calcule la longitud del arco
de la flecha. Considere que el área de la re-
gión del sector circular es máxima. A)
2 B)
4 C)
3 D)
5
C
Ejercicios de reforzamiento
α
1. En las orillas opuestas de un río crecen dos
palmeras, una frente a otra. La altura de una es
de 30 m, la de la otra 20 m y la distancia entre
sus bases es 50 m. En la copa de cada palme- 45°
ra hay un águila, repentinamente las dos aves A D B
descubren un pez que aparece en la superficie
del agua, justamente sobre la línea imaginaria A)
4 B)
5 C)
6 D)
7
que une las bases de las palmeras; las aves se
lanzan a la vez y llegan al pez al mismo tiempo.
4. A partir del gráfico, calcule cotq si ABC y CPQ son
triángulos equiláteros; además, 19 PC = 2 BP .
Considerando que las aves volaron en línea
recta y a la misma velocidad constante, ¿a qué B
distancia de la base de la palmera de mayor
altura apareció el pez?
θ
Q P
A) 15 m B) 35 m
C) 25 m D) 20 m
A C
2. Una escalera puede colocarse de tal manera
que alcance una ventana ubicada en M de un
7 9 7 7 3 5 7
lado de la calle; así mismo, si se hace girar la A) B) C) D)
7 7 9 6
escalera sin mover su base, puede alcanzar
una ventana ubicada en N, al otro lado de la 5. En un triángulo rectángulo las medidas de las
calle, como se muestra en el gráfico. Deter- longitudes de sus lados son 8; a + 5 y a + 7. Cal-
mine la distancia entre los edificios si la lon- cule el seno del mayor de los ángulos agudos
gitud de la escalera es de 8 m y los ángulos del triángulo si a > 0.
que forma con los edificios 1 y 2 son 30° y 45°,
respectivamente. 40 5 8 15
A) B) C) D)
41 13 17 17
edificio 1 edificio 2
6. En el gráfico se muestra una torre de alta ten-
sión sujeta por tres cables, en la cual AD = CD.
M Calcule tan2b · tang.
N
A
Q 18 m

A) (3 + 4 2 ) m B)
(4 + 3 2 ) m
β 6m
C) (4 + 4 2 ) m D)
(1 + 4 2 ) m β γ
D E C
3. A partir del gráfico, calcule 10 (senα + cos α )
si AB =2(BD). A)
1 B)
2 C)
3 D)
4
7. Se tiene un triángulo ABC recto en B si sumas F

las longitudes de los lados BC y AC, y el resulta-
do lo elevas al cuadrado, obtienes nueve veces α
B C
el producto de las longitudes de dichos lados.
Calcule cosC + secC.
A) 2 B) 4
A D
C) 6 D) 7
A) 22 u B) 16 u C) 20 u D) 18 u
8. Halle el área de la región sombreada si se sabe
2 3 11. Un padre deja un terreno que debe ser distri-
que MNPB es un cuadrado, tan α = , tanβ = buido entre sus 3 hijos, como se muestra en el
5 4
y AB + BC = 35. gráfico. Calcule la inversión que deben hacer
Lucio y Willy para construir un muro que divi-
B da ambos terrenos si el costo de un metro li-
neal de dicho muro cuesta (50 3 + 120 ) soles.
P M
D
α N β
30° 10 m
A C
Erick B
2 2
A) 36 u B) 16 u
24 m
2
C) 25 u D) 49 u2 30°
Lucio Willy
A F C
9. Una escalera está apoyada sobre la pared que
están pintando y sobre el piso, con el que for-
A) 2000 soles B) 2400 soles
ma un ángulo de 60°. El pintor mueve la esca-
C) 1800 soles D) 1200 soles
lera bajando 60 cm su punto de apoyo en la
pared. Ahora, el ángulo entre la escalera y el
12. Un avión que se desplaza horizontalmente a
piso es de 45°. Determine aproximadamente la
una altura de 1200 m sufre un desperfecto y
longitud de la escalera.
comienza a descender, tal como se muestra
en el gráfico. Luego, el piloto arregla el desper-
escalera fecto a una altura de 600 m y comienza a ele-
varse hasta alcanzar su altura inicial. Si debido
al desperfecto el avión se retrasó 8 segundos,
determine la velocidad del avión.

30°
A) 3,02 m B) 4 m
C) 3,76 m D) 3,5 m
45°
10. En el gráfico, el área de la región limi- 600 m
tada por el rectángulo ABCD es 24  u 2.
2
Si 3tana =tan 60°+ tan45° y FD = 12 u, calcule el
mínimo valor que puede tomar el perímetro A) 50 (2 + 2 ) m/s B)
75 (2 + 2 ) m/s
del rectángulo ABCD. C) 25 (2 + 2 ) m/s D)
75 (4 + 2 ) m/s
13. El costo por pintar un metro cuadrado de una 3 3 3

plancha de forma triangular, como se muestra A) 3 B) C) D)
9 6 5
en el gráfico, está dado por (50tanq + 3) so- UNMSM 2017- II
les. Determine el costo por pintar la plancha
mencionada. 15. Si se cumple que
2 tan 2 60° sec 60° tan 3 45°
sec α = ,
2 2m 135° 3m sec 2 45° + 2 sen 30°
a es ángulo agudo. Halle el valor de la expre-
θ sión L = 15 (cot α + csc α ).
A) 60 soles B) 69 soles A)
2 B)
4 C)
5 D)
3
16. En el gráfico, BE = 2(EC). Calcule cotq.
14. En el gráfico ABC es un triángulo y D es un punto
interior tal que BC = 2 3 m, DC=BD. Calcule tana. B
C
E
α θ 60°
D A H C
3 3 3 3 3
30° A) B) C) D)
11 9 11 7
A B
5. En un triángulo ABC, recto en B, se cum-

3 tan 37° + tan 2 60°
ple que tan A = . Calcule
4 tan 3 45° + 8 csc 53°
1. En un triángulo ABC recto en A se cumple que
73 (sen A + sen C ).
2 sen 60° − tan 60° + cos 37°
tan B =
3 2 cos 45° − cot 45°
A)
7 B)
11 C)
9 D)
8
Calcule 29 sen B + 2 tan C + 1.
6. La rampa para descender de un barco mide
A)
8 B)
6 C)
10 D)
14 10 m de largo y el extremo inferior descansa
a 3 m de la orilla del muelle. Si la rampa for-
2. La rampa para descender de un barco tiene ma, con la vertical, un ángulo de 53°, ¿a qué
9 m de largo y el extremo inferior descansa distancia se encuentra el barco de la orilla del
a 2 m de la orilla del muelle. Si la rampa for- muelle?
ma un ángulo con la horizontal de 37°, ¿a qué
A) 11 m B) 8 m C) 13 m D) 10 m
distancia se encuentra el barco de la orilla del
muelle? 7. Una escalera que se encuentra apoyada en
una pared formando un ángulo de 45°, tal
A) 8,2 m B) 7,2 m como se muestra el gráfico, se resbala y la par-
C) 9,25 m D) 9,2 m te inferior se desliza (4 2 − 5) m de su posición
inicial. ¿Cuántos metros mide la escalera si el
3. Una escalera que se encuentra apoyada en nuevo ángulo que forma con la pared es 53°?
una pared formando un ángulo de 60°, tal
como muestra el gráfico, se resbala y la parte pared
escalera
inferior se desliza 90 cm de su posición inicial.
¿Cuántos metros mide la escalera si el nuevo
ángulo que forma con la pared es 53°?

escalera pared
A) 5 m B) 6 m 4 2m
C) 5 2 m D)
8. Desde un avión ubicado en el punto P, se divi-

60° san tres puntos (A, B y C) en el suelo, de lo que se
generó el gráfico mostrado. Si AB = BC, calcule
3 cot θ + tan α
A) 3 m B) 6 m C) 5 m D) 4 m
2( )
4. Calcule el valor de 8 − tan x + z si (x + 20°) y θ
csc ( x + z − 7°)
(z + 10°) son las medidas de dos ángulos agudos 30° α 15°
y se cumple que sen(x + 20°)sec(z + 10°)–1=0. A B C
A)
1 B)
3 C)
2 D)
4 A)
2 B)
3 C)
4 D)
1
9. Desde el punto A, se observa el edificio con un

ángulo de 82°. Determine la distancia del pun-
to A a la base del edificio.
B
82° A C
21 m
A
37°

13
A) 2 13 km B) km
A) 15 m B) 12 m 4
C) 16 m D) 20 m 13 13
C) km D) km
3 2
10. Calcule la altura, en km, a la que se encuen-
tra un satélite con respecto a la superficie te- 13. Halle el valor de 5 – 3cot2(a + b) si (a + 20°) y
rrestre, cuya visión cubre un arco de 106° de la (b + 10°) son las medidas de dos ángulos agu-
superficie de la Tierra. Considere R km como dos y tan(a + 20°) – cot(b + 10) = tan45°– 2sen30°.
radio de la Tierra.
A)
2 B)
3 C)
4 D)
1
R 5R
A) km B) km 14. Calcule tanf + tan4f si 4f y (f + 45°) represen-
3 4
2R tan la medida de dos ángulos agudos; además,
C) km D) 2R km tan 25° tan 65° sen 10°
3 sec 4φ cos (φ + 45°) = .
cos 80°
11. Calcule 109 (cos α − sen α ) si, según el gráfico,
AD = DC. A)
4 B)
1 C)
3 D)
2
15. Si 2q y 3a representan la medida de dos ángu-

B los agudos y sen2q =cos3a, calcule el valor de
sen (θ + α ) tan (2θ − 10°)
143° L= + .
α 45° cos (θ + 2α ) cot (3α + 10°)
A D C
A)
3 B)
2 C)
1 D)
0,5
A) 6 B) 7
C) 5 D) 9 16. Si 4x = 45°, calcule el valor de la siguiente
expresión:
12. Para medir el ancho de un volcán, un topógra- sen 6 x  75° 
K= + 3 sen  2 x + 
fo determina el ángulo entre las visuales AB y cos 2 x  2 
AC, cuya medida es de 143°. Si las longitudes
de las visuales AB y AC son 1 km y 0,9 km, res- 3 5
A) 1 B) C) 2 D)
pectivamente, calcule la longitud de BC. 2 2
A) 6 B) 9
Ejercicios de reforzamiento C) 7 D) 8
1. En el gráfico se muestra una pizarra rectangu- 4. El costo por pintar un metro cuadrado de una
lar ABCD con dimensiones AB = 12 u y AD = 8 u. plancha de forma triangular, como se muestra
Luego de girarlo alrededor del punto A un ángu- en el gráfico, es de 56 soles. Determine el cos-
lo q, su nueva posición viene dado por AB’C’D’. to por pintar la plancha mencionada.
Determine la longitud del segmento D’E.
B'
3m
3m 60°

A θ B C'
E A) 126 soles B) 136 soles

D' 5. La tapa de un depósito tiene forma cuadrada y

D C
se abre girando un ángulo a alrededor de uno
de sus vértices. Si la longitud de su lado es 3 u,
A) 12(secq - 8tanq) B) secq(12 - 8senq) calcule x.
C) tanq(12 - 8secq) D) 8secq(8 -12tanq)
2. Un árbol de altura H se quiebra de modo que x

la parte alta toca el suelo y forma un ángulo f. 3u
Determine la parte del árbol que queda en pie α
en términos de H y f.
H sen φ H cos φ
A) B)
1− cos φ 1+ cos φ
H sen φ H sen φ
C) D) 3 (1− cos α ) 3 (1− sen α )
1+ sen φ 1+ cos φ A) B)
cos α sen α
3 (1− cos α ) 3 (1− sen α )
3. En el gráfico, AD = 3 u; CF = 4 u y AC = 5 u. Calcu- C) D)
sen α cos α
le el valor de la siguiente expresión:
25 − 16 sen 2 θ
6. Un árbol que se encuentra inclinado q respec-
cos 2 α
to de la vertical se quiebra de modo que la
F parte alta toca el suelo y forma un ángulo q.
Determine la altura del árbol en términos de q
D θ
y d si la sombra del árbol mide d metros.
B
A) 2d(senq+ cosq) m
α B) d(2senq+ cosq) m
C) d(senq+ cosq) m
A C D) dsenq cosq m
7. En el gráfico mostrado, AB = 2 u. Calcule el va- 10. Si CD = , calcule AB en términos ; q y a.

lor de r en términos de q.
D
B
α
C
θ
r
θ A B
A C

A) sen(q+a) B) cos(q+a)
A) senq+ cosq – 1
C) cos(q – a) D) sen(q – a)
B) senq+ cosq+1
C) 2(senq+ cosq – 1)
11. Se debe construir un drenaje pluvial a par-
D) senq+ cosq
tir de hojas de aluminio de 27 cm de ancho.
Después de marcar una medida a 9 cm de las
8. Si MN = , calcule el área del rectángulo ABCD orillas, se dobla hacia arriba un ángulo f, tal
en términos de q y . como se muestra en el gráfico. Indique el área
de la abertura en términos de f.
N
C B 27 cm
9 cm 9 cm 9 cm
θ
M D A
9 9
φ φ
A)  2sen2q cos3q
B)  2sen3q cos2q
A) 27senf(1+ cosf)
C)  2sen2q cos2q B) 81cosf(1+ senf)
D)  2sen3q cos3q C) 81senf(1+ cosf)
D) 64senf(1+ cosf)
9. En una planta industrial, cuya parte superior
tiene forma cuadrada, se instala un sistema 12. Del gráfico, se cumple que AC = DE = m y DC = n.
de calefacción por medio de tubos radiantes a Calcule n/m en términos de a y q.
gas, tal como muestra el gráfico. Calcule 3cotq.
D
C
3m θ
2m
α
1m A E B
θ

A) cosq – sena B) sena – cosq
A)
1 B)
2 C)
3 D)
4 C) senq – cosa D) cosa – senq
13. El costo por pintar un metro cuadrado de una 15. Del gráfico mostrado, calcule x en términos de
plancha de forma triangular, como se muestra q, a y c. Si BC = a u y AB = c u.
en el gráfico, es de 40 soles. Calcule el costo
por pintar la plancha mencionada. B
θ
x
2 2 m
A C
45°
4m
A) ac(csenq+ acosq) – 1
A) 110 soles B) 2ac(csenq+ acosq) – 1

B) 160 soles C) (a + c)(csenq+ acosq) – 1
C) 120 soles D) 2ac(ccosq+ asenq) – 1
D) 140 soles
16. Si ABCD es un cuadrado, calcule el valor de
14. Si ABCD es un cuadrado, calcule 130 sen q. la expresión 2cosq – senq. Considere que T es
Si MC = 2BM = 2. punto de tangencia.
B M C
B C
θ θ
A D A T D
A)
6 B)
9 C)
7 D)
8 A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2
1
Ejercicios de reforzamiento A)
2
B) 2
C) 1 D) 2
3
1. Si tan x = 5 , calcule el valor de
5. Si tan x = 2 , calcule el valor de
3 sen 3 x + 2 cos 3 x
3 3 3sen 2 x + 2 cos 2 x
sen x − cos x
2sen 2 x + 3 cos 2 x
13 15 17 7 5 11 8
A) 2 B) C) D) A) B) C) D)
7 7 4 8 6 10 7
6. En el gráfico, se muestra una cartulina de for-

2. En el gráfico, se muestra una cartulina de forma rectangular, cuya superficie tiene un área
ma rectangular, cuya superficie tiene un área igual a 6 u2. Calcule tan2q + cot2q.
igual a 0,25 m2. Determine el perímetro de di-
cha cartulina. tanθ(1+cotθ) u
(tanθcosθ) m
cotθ(1+tanθ) u
(cotθsenθ) m

A) 10 B) 13 C) 12 D) 14
A) 3 2 m B) 6 m C) 3 m D)
2 2m
7. Simplifique la siguiente expresión:
1 + 2tan2x – sec4x
cos x 3 + 3 sen x 35
3. Si + = ,
2 − 2 sen x cos x 6 A) – sen4 x B) sec4 x
calcule secx + tanx.
C) csc4 x D) – tan4 x
5 3 4 2 8. Bruno ayuda a su padre a hacer un diseño en

A) B) C) D)
3 5 7 5 la pared, sosteniendo la escalera apoyada en
la pared formando un ángulo de inclinación x
4. Santiago ayuda a su padre a hacer un diseño con el piso, tal como se muestra en el gráfico.
en la pared que está pintando, sosteniendo la Calcule cotx + cosx si N es punto de tangencia.
escalera apoyada sobre la pared formando un
ángulo de inclinación q con el piso. Si la región
sombreada representa el diseño realizado, cal-
cule cotq + cosq.
1
N
2
x x
3m
2m
θ
2m
θ 3 2
A) B) 1 C) 2 D)
2m 2 3
9. Desde un punto M situado a 8 m del pie de un 12. Si las longitudes de un parque que tiene forma
árbol, se observa el punto más alto de este ár- rectangular son, respectivamente,
bol con un ángulo θ, tal como se muestra en el
 −2 sen x − cos x + 2 tan x + 1
gráfico. Si 0° < q < 45° y cscq + cotq =3, calcule   km
2 tan x + 1
la altura de árbol.
 sen 2 x 
y  km, determine el área del parque
 1 − cos x 
en términos de x.
A) (1+ cosx) km2
θ B) (tan 2 x ) km 2
M
C) (sen 2 x ) km 2
D) (cos 2 x ) km 2
A) 9 m B) 6 m C) 4 m D) 8 m
13. El profesor Nelson lee un problema a sus alum-

10. Desde dos puntos A y B distanciados 3 m y
nos en el que el doble del coseno de un ángulo
2 m, respectivamente, en línea recta, respecto más tres veces el seno del mismo ángulo es 3.
a la base del edificio, se observa la parte más Luego, pide que calculen la tangente del án-
alta de este con ángulos q y φ tal como indica gulo, a lo cual el alumno Samuel respondió.
el gráfico. Calcule 9sec2φ – 4sec2q. ¿Cuál fue la respuesta de Samuel?
A) 2/5 B) 5/12 C) 12/5 D) 5/13
14. Si M = 4tan2q + 16secq + 26 y q es la medida de

un ángulo agudo, halle el menor valor entero
que puede tomar M.
φ θ
A B A)
42 B)
43 C)
23 D)
34

15. Si senq + cscq =5, halle el valor de senq – cscq.

A)
2 B)
3 C)
4 D)
5
A) 5 B) − 21
11. Si n representa la edad actual de Erick, la cual
C) ± 21 D) 21
verifica la siguiente identidad:
1 sen 2 θ sen 2 x − sen x + 1
+ = n − n cos 2 θ 16. Si la expresión es equivalente
csc 4 θ 1 sen 2 x + sen x + 1
1+
1 M +1
−1 a M, calcule en términos de x.
1 − cos 2 θ M −1
calcule la edad de Erick luego de 20 años.
A) – (senx + cosx)
B) cosx + secx
A) 21 B) 20 C) senx + cscx
C) 18 D) 32 D) – (senx + cscx)
5. En un aula del ciclo semestral San Marcos; el

Ejercicios de reforzamiento profesor Alberto indica que la suma de cua-
drados de la tangente y la cotangente de un
1. En un aula del ciclo semestral San Marcos,
ángulo agudo es 7. Luego, el profesor pide
el profesor Renato indica que la suma de los
determinar el valor del producto de secante
cuadrados de la secante y la cosecante de un
y cosecante de dicho ángulo. Un alumno rápi-
ángulo agudo es 9. Luego, el profesor pide de-
damente indica el valor pedido por el profesor
terminar el valor del producto del seno y el co-
¿cuál será dicho valor?
seno de dicho ángulo. Un alumno rápidamen-
te indica el valor pedido por el profesor. ¿Cuál A) 4 B) 3
será dicho valor?
5
C) 2 D)
2
1 2 1 2
A) B) C) D)
4 3 3 5 6. Si sen5°– cos5°= a, calcule la expresión
tan5°+ cot5°– 2 en términos de a.
2. Si sen6°+ cos6°= m, calcule la expresión
(tan6°+ cot6°)(m – 1) en términos de m. 1 − a2 2a
A) B) 2
2a 2 1− a
2 2
A) B) 2a 2 2a 2
2m + 1 m +1 C) D)
1 + a2 1 + a2
2 1
C) D)
2m − 1 m +1 7. Durante la campaña escolar, un padre de fa-
milia compra
3. Durante la compaña escolar, un padre de fa- q = (sen4x + cos4x + 5 + 2sen2xcos2x)
milia compra cuadernos al precio de
q = (sen 6 x + cos 6 x + 3sen 2 x cos 2 x + 11) P = {(secxcscx)2 – (tanx – cotx)2} soles
cuadernos al precio de cada uno. ¿Cuánto paga por los q cuadernos?
P = {( 2 + tan x )( 2 + cot x ) − 2 sec x csc x}
A) S/22 B) S/18
soles cada uno.
C) S/20 D) S/24
¿Cuánto paga por los q cuadernos?
8. Del gráfico mostrado, si el perímetro de la cara

A) S/40 B) S/70
lateral sombreada del paralelepípedo rectan-
C) S/60 D) S/50
gular es 6 u, calcule su volumen.
4. Si el doble del seno de un ángulo x más el tri-

ple del coseno del mismo ángulo es 13, en-
tonces halle el valor de
3
 sec 2 x csc 2 x  3
tanx
  − 3 sec x csc x − cot x
 tan x + cot x 
cotx
1 8 sec4x+csc4x
A) B)
125 27
27 27 A) 44 u3 B) 70 u3
C) D) 3
64 8 C) 63 u D) 50 u3
9. Si la expresión 13. Reduzca la siguiente expresión.

M = a (sen x + cos x ) + 3 (sen x + cos x )
4 4 6 6

tan 3 x + cot 3 x
+ 3 tan x cot x
tan x + cot x
es independiente de x, calcule M + a.
A) sen2 x cos2 x
A) – 3 B) – 2 C) – 5 D) – 6
B) tan2 x sen2 x
10. Del gráfico mostrado, calcule el área de la re- C) cot2 x cos2 x
gión triangular. D) sec2 x csc2 x
14. Sea
3 cscx  tan 2 x + cot 2 x 
f( x ) =  2 2
− cos 2 x 
 sec x csc x − 2 tan x cot x 
secx (tan x + cot x )
Entonces halle el valor de f 53º .
A) 3 u2 B) 0,5 u2 C) 1,5 u2 D) 2,5 u2  4 
11. Dos ciudades M y N están unidas mediante 1

una autopista rectilínea. Un automóvil sale de 5 − 2 C)
A) B) 5 − 7 D)
13 − 10
2
la ciudad M hacia la ciudad N con velocidad
constante de 3(tanx + cotx)2 km/h, donde x es 15. Si se cumple que
ángulo agudo y después de (1 – sen4x – cos2x) 3 sen x − cos x = 3 sen θ + cos θ = 10
horas sufre un desperfecto. Si la distancia en- halle el valor de
tre las ciudades M y N es 7 km, ¿a qué distancia senx cscq – cosx secq + 2
de la ciudad N se produjo el desperfecto?
A) 1 B) 2
A) 2 km B) 3 km C) 4 km D) 5 km C) 0 D) 4
12. Simplifique la siguiente expresión.

16. Si el doble del seno de un ángulo q más el quín-
2 2 π tuple del coseno del mismo ángulo es 29,
sec x csc x − 4 + tan x; 0 < x <
4 entonces halle el valor de 29( senθ + cos θ).
A) 2tanx – cotx B) tanx A) 11 B) 5
C) – cotx D) cotx C) 7 D) 6
1. Si x + y = 30°, calcule el valor de

(senx + cosy)2 + (cosx + seny)2
30°
A) 5 B) 2 θ
C) 3 D) 1 P
2 3m

p
2. Si x e y pertenecen al intervalo 0; , halle k A) 6 m B) 10 m
2
en función de y para que se cumpla C) 16 m D) 8 m
sen( x + y) + sen( x − y)
= k csc 2 y 5. Simplifique la siguiente expresión:
cos( x + y) − cos( x − y)
2 cos(30° − θ) − 3 cos θ
M=
sen30°senθ
A) – seny
B) seny cosy
1
C) – seny cosy A) 3 B)
2
D) – cosy
C) 1 D) 2
3. En el gráfico, se muestra la tapa de un reci-
piente rectangular de diagonal 5 u. Si se coloca
6. Si a =30°20' y b =59°40', halle el valor de la si-
un refuerzo DP con el ángulo indicado, halle
guiente expresión:
cos (α − β )  α β 
2
α β
2
si PC = 2 u. K =  sen + cos  +  cos + sen 
cos (α + β )  2 2  2 2
B C
A) 2 + 2
P B) 2 − 2
C) 2 − 3
D) 2 + 3
β
α
p
A D 7. Si x e y pertenecen al intervalo 0; , halle m
2
A) 4 B) 5 en función de x para que se cumpla
C) 3 D) 6 sen ( x − y ) cos ( x − y )
− = m sec 2 x
sen x sen y cos x sen y
4. Un observador que se encuentra en un punto
P a 2 3 m de un edificio observa el desplaza-
miento de un ascensor. Si en un determinado A) – senx
instante el ángulo de elevación es q y para una B) – tanx
variación de 30° el desplazamiento es 7 m, cal- C) – cotx
cule la altura recorrida por el ascensor. D) tanx
8. Una baldosa de forma cuadrada ABCD es di- A) 2 m B) 3 m

vidida para que sus partes sean pintadas de C) 2,5 m D) 4 m
diferentes colores, de acuerdo con un cierto
diseño. Para dividirla, se consideran los trazos 11. El gráfico muestra una montaña con la siguien-
BD y AM, siendo M el punto medio de BC. Si te información: tan α = −2 3 . Calcule el valor
AB = 40 cm, halle tanq. de tanq.
B M C
60° α

A D
2 3 3 3
A)
2 B)
3 C)
1,5 D)
4 A) B)
UNMSM 2019 - II 5 5
3 3
C) 4 3 D)
9. Desde un punto A situado en un plano que 4
contiene a la base de la torre, se observan los
puntos M y C, ubicados en la mitad de la altura 12. Un estudiante se encuentra a d metros de la
y en la parte más alta de la torre, respectiva- pared en la cual se encuentra una pizarra de
mente, con ángulos de elevación q y (q + a), altura h. Si al observar la pizarra se determinan
respectivamente. Si la distancia de A hasta C los ángulos mostrados, halle tanq en términos
es el doble que la altura de la torre, ¿qué valor de d, h y k.
toma tana?
1 3 3 3
A) B) C) D) h
2 2 7 3
UNMSM 2019 - II
θ k
10. Del gráfico, se tiene el árbol AB.
Desde A se observan los puntos C, D y E, tal d
que mBAC = mDAE y las distancias de C , D
y E a B son 1 m, 3 m y 6m, respectivamente.
Calcule la altura del árbol AB.

hd
A)
d 2 + hk + k2
A
hd
B)
d + hk + 2 k2
2
2 hd
C)
d 2 + hk + k2
2 hd
B C D E D)
2d 2 + hk + k2

13. Simplifique la siguiente expresión: 16. Un poste de luz está sujeto por tres cables, tal
sen ( x − y + z ) + sen ( x − y − z ) como muestra el gráfico.

cos ( x − y − z ) − cos ( x − y + z )
A) 1 B) tanz
C) cot(x – y) D) cotz 6m
14. Si mcos3q – nsen3q =0, n ≠ 0,

simplifique la siguiente expresión:
3m
m cot 2θ − n
θ θ
n cot 2θ + m 1m
P
A) tan5q B) tanq C) cosq D) cotq
Calcule la distancia del punto P a la base del
15. Si cosx + seny = cos(x – y)
poste.
cos x sen y
calcule .
(1 + sen x ) (1 − cos y )
A) 4 m B) 5 2 m
A) 1/2 B) 1 C) – 1 D) 2 C) 2 2 m D)
2 3m
(1 − sen 3 x ) (1 + sen 3 x ) tan 3 x

Ejercicios de reforzamiento 6. Si B =
sen 5 x sen x + sen 2 2 x
π
1. La expresión L = 4 3 (cos 2 25° − cos 2 35°) y x ∈ 0; , calcule el menor valor entero
6
es equivalente a
de 3B + 1.
A) 4sen20°. B) 6sen20°.
A) 5 B) 1
C) 6sen10°. D) 4sen10°.
C) 4 D) 2
2. Las longitudes de un terreno que tiene forma
rectangular son, respectivamente, (cos8°) km 7. Determine el valor de
y ( 3 − 3 tan 8°) km. Si el área de dicho terreno 2 (cos 2 20° − cos 2 40°)
M=
es S km2, determine el valor de csc22°. cos 50° cos 20° − cos 40° cos 70°
1 3 2 2 3 2 2 3 3 1
A) B) C) D) A) B) C) D)
3
S S S S 2 2 2
3. Si 2 sen θ + 7 cos θ = M sen (θ + φ ), 8. En el gráfico, se tiene la rampa de ingreso a

2 2 una cochera. Si la parte sombreada tiene un
entonces halle el valor de M + 2tan f.
1
área de km 2, calcule senq.
20
A)
16 B)
12 C)
18 D)
20
m
4. En el gráfico se muestra una vista en planta θ)k
0°–
de un lugar de práctica de tiro que tiene for- n(3
ma cuadrada. En P y Q están ubicados blancos se
tal que PC = QD, calcule 6tanq. Considere que 30°
todo es realizado en un plano horizontal. sen(30°+θ) km
B 25 m P C 5 5 5 5
A) B) C) D)
4 5 10 2
15 m
M θ 9. Si 2senq + 3cosq =Asen(q + φ), entonces halle el
valor de A2 + 9cot2φ.
15 m Q
A D A) 13 B) 17 C) 19 D) 15
A)
3 B)
4 C)
7 D)
5 10. Los lados de una parcela triangular miden
 3 tan 17° 
(3tan17°) km; (3tan13°) km y  km.
5. La expresión  cot 13° 
L = 3 2 (cos 2 25° − sen 2 20°) es equivalente a
¿Cuánto mide el perímetro de dicha parcela?
2
A) 3sen5°. B) 3 cos 5°. A) 2 km B) 1 km
2
C) 3cos5°. D) 2cos5°. C) 3 km D) 3 km
11. Si tan θ = ( 3 + tan 10°) ( 3 + tan 20°) 14. Determine el intervalo de variación de la si-
guiente expresión:
y q ∈ 〈0°; 90°〉, calcule el perímetro de un cua-
M = 5cosx + 4sen(30°+ x)
drado cuyo lado tiene una longitud igual a
17 (sen θ + cos θ) u. A) [– 5; 5] B)  − 5; 5 
C)  − 31; 31 D)  − 61; 61
A) 12 u B) 16 u
C) 25 u D) 20 u
15. Las tangentes de los ángulos interiores de un
triángulo son números proporcionales a 2; 3
12. Las longitudes de la hipotenusa y un cateto de y 5. Entonces la medida de uno de los ángulos
un triángulo rectángulo son (1+tan13°) (1+tan32°) internos es
y 4 (sen 40° sen 20° + sen 2 10°) , respectivamente.
A) 37°. B) 60°. C) 75°. D) 45°.
Calcule el área de dicho triángulo.
16. Sean los puntos A, B y C la ubicación de tres
3 2
A) u puntos de observación para lo alto de una to-
2 π
rre de radio. Si α + β + θ = , halle la altura de la
2
B) 3 u 2 torre si 6AB = 3BC = 2CD = 60 m.
C) 2 u2
D) 2 3 u 2
13. En la ecuación dada

tan 2 x + tan 3 x + tan 5 x tan 2 x tan 3 x = 3
y x ∈ 〈0°; 20°〉. Calcule tan(x + 18°). α
β θ
A B C D
3 3
A) B)
4 3
2 3 A) 25,35 m B) 21,35 m
C) 2 3 D)
3 C) 15,75 m D) 20,15 m
4. Simplifique la siguiente expresión:

Ejercicios de reforzamiento cos( − x ) sen( − x ) cot( − x )
Q= + +
cos x π   3π 
cos  − x  tan  + x
1. Al simplificar la expresión 2   2 
sen175° − sen275° sec( 2π + x )
+
cos 320°  5π 
csc  − x
se obtiene  2 
A) 3 2. B)
2 2. A) – 1 B) – 2 C) 2 D) – 4
2
C) . D) 2. 5. Al simplificar la expresión
2 sen 295°

sen 160° + cos 340°
3π
2. Si x + y = además se obtiene
2
a −1 1− a 2 2
sen x = ; cos y = − 2. C)
A) −2 2. B) − . D) .
a+2 3a + 1 2 2
|a| < 1 entonces el valor de 6. Una partícula se desplaza del punto M hasta el

punto N en línea recta, tal como se muestra en
1 + cos ( aπ ) + tan x
es el gráfico. Calcule 25ktanq.
π
1 + sen   + cot y
 a Y
A) 1 B) – 2 N(–3; 4)
C) 1/2 D) – 1 R(0; k)
θ
3. Al hacer las mediciones de la ubicación de X
un baño en una casa se obtiene el siguiente M(2; 0)
gráfico:
A) – 42 B) – 25 C) – 28 D) – 32
θ 6m
7. Se tiene una placa circular con la que se va a
diseñar una estructura metálica; para ello se
requiere hacer los cortes OA, OB y OC deter-
4m minando los ángulos mostrados. Si tanq = – 3,
casa calcule 10 csc θ − cot α.
Baño
C

θ
Se quiere instalar una tubería que pasa por una A α
O
esquina. Calcule tanq+cotq si q es el ángulo
que forma la pared con la tubería instalada.
5 6 B
A) − −
B)
6 13
13 5 19 19 15
C) − D) A) − B) 7 C) D)
6 6 3 3 7
8. Del gráfico A) – 3 B) – 2
Y 4 3
C) − −
D)
5 2
θ 11. Se tiene una estructura metálica tal como

α X muestra el gráfico. Si AD = 3 m y CD = 2 m,
calcule el valor de la siguiente expresión:
cos(θ − α)
determine el valor de cos(θ + α)
θ− α
2 tan  + tan α − tan θ
 6 
B C
 π
sen  θ − α +  + sen α − sen θ
 3
α
A) 1 B) 2 D
C) 3 D) 4
A
θ
9. En una distribución de calles en un distrito, se
tiene el siguiente croquis.
A) 2 B) 4
θ D C) 3 D) 5
A B
1
12. Si sen θ cos θ = , simplifique
3
 3π 
sen 2 ( π − θ) + sen 2  − θ
 2 

C  3π 
cot  − θ  + cot ( π + θ)
 2 
Si el tramo AB tiene 17 cuadras y el tramo CB 1 1

A) B) C) 1 D) 2
tiene 15 cuadras, y se desea continuar la cons- 2 3
trucción del tramo CA, halle la tangente del án-
gulo q que debe seguir dicho tramo. 13. Del gráfico, calcule tanq tana.
15 15
A) − B)
8 7
8
C) − D) 2 3 2
15
θ
10. Se tiene una plancha circular, en la cual se va α
a generar dos sectores circulares cuyas áreas
deben estar en la relación de 7 a 5. Halle la
cosecante del ángulo central del mayor sector A) – 1 B) 1
circular. C) – 2 D) 2/3
14. Del gráfico, calcule el valor de 15. Simplifique la expresión

2 2
sen β + sen α cos3 (720° + θ) − sen 3 (1080° − θ)
+ cos α csc β −1
tan β tan α sen (450° − θ) + sen θ
Y A) – senq cosq
B) senq cosq
C) – sen2q cos2q
D) sen2q cos2q
16. En un triángulo ABC se cumple que

α β X 2 (cos 2 A + sen 2 B) = sec 2 A + csc 2 B .
Calcule
senC + sen(360°+ B – A)
4
A) 6 B) 2
A) – 2 B) – 1
4
C) 1 D) 0 C) 2 D) 8
5. Un entomólogo observa el movimiento de

Ejercicios de reforzamiento un saltamontes en el aire y ve que en un
instante de tiempo t la altura en metros,
1. Un entomólogo observa el movimiento de una respecto al suelo, está dada por la expresión
f(t) = 2sent cost cos2t + 0,5. Si t está dado en
polilla en el aire y ve que en un instante de tiempo
segundos, ¿cuál es la altura máxima que
t la altura en metros, respecto al suelo, está alcanza el saltamontes?
dada por la expresión f(t)=sent cost cos2t+0,5. Si
t está dado en segundos, ¿cuál es la altura de la A) 1,5 m B) 1 m
p C) 1,2 m D) 0,8 m
polilla cuando t= s?
8
6. Si sen2x = m, halle el equivalente de
A) 60 cm B) 55 cm
C) 45 cm D) 75 cm L = (senx + cosx)2 – (senx – cosx)2
en términos de m.
2. Si sen2θ =K, halle el equivalente de
m
A) B)
m
sen4θ 2
L = (senθ – cosθ)2 –
cos 2θ C) 3m D) 2m
en términos de K.
7. En la figura PQ = 10 m, halle AB.
A) 1+ 2K B) 1+ 3K
A
C) 1 – 3K D) 1 – 2K
3. Se tiene una plancha circular, en la cual se

60°
generarán dos sectores circulares cuyas áreas Q 32°
24°
están en la relación de 5 a 3. Calcule cos2α si B P
1
senα = ; además, θ es el ángulo
2 sec θ − cot θ A) 10 3 cos24° m
central del sector circular de mayor área. B) 10 3 sen32° m
2 3 C) 10 3 cos26° m
A) B) D) 10 3 cos28° m
7 4
UNMSM 2019-II
7 2
C) D)
9 5
8. Sea f una expresión matemática definida por
1 sen4θ
4. Si senxcos3x – sen3xcox = y x ∈ 〈0°; 10°〉. f(θ) = − 2senθ cosθ
8 2 cos 2θ
Calcule x.
15° Calcule f(10°) + f(20°) + 1.

A) 6° B)
2
A) 3 B) 1
16° 7°
C) D) C) 5 D) 0
2 2
9. Un árbol, al caer, se inclina 7° 30' respecto a la 12. Si senαcos3α =a – sen3αcosα, calcule cos4α.
vertical y luego, se rompe generando una som-
bra de 4 m. Halle la altura que originalmente A) 1 – 2a2 B) 1 – 4a2
tenía el árbol. 2
C) 1 – 8a D) 8a2 – 1
13. Calcule el máximo valor de la expresión

3
7° 30' cos4x – sen4x + senx cosx
2
3
A) B) 2
4
4m 7 5
C) D)
4 4 UNMSM 2019-I
A) 2 4 + 6 − 2 m
B) 2 2 + 6 − 2 m 14. Determine el equivalente de
C) 2 4 + 6 + 2 m cos2θ(1− 2sen 2 θcos 2 θ)(cos 8 θ + sen 8 θ) + sen16 θ
D) 2 1 + 6 − 2 m A) cot16q
sen 2 − cos 2 B) – sen16q

10. Si = a, calcule sen4 en términos
sen 2 + cos 2 C) sen16q
de a.
D) cos16q
2 2
1− a 2− a
A) B)
1 + a2 1 + a2 15. Calcule el equivalente de la expresión
1 − a2 1 − a2 2 1 − sen 2 x (sen x + cos x ) sen 2 x

C) D)
2a 2 1 + 2a 2
π
si < x < π.
11. Se tiene una plancha circular, en la cual se 2
generan dos secciones circulares cuyas áreas A) sen2x B) – sen2x

C) sen4x D) – sen4x
están en la relación de 6 a 2. Calcule cos2φ si
1 2
cosφ = ; además, θ es el ángulo cos 2 x  x x 
2senθ − cos θ 16. Si +  sen + cos  = 0, 6
cos x + senx  2 2 
central del sector circular de mayor área.
calcule 7sec2x.
3 1
A) B)
2 2
A) – 9 B) – 7
1 3
C) − −
D) C) – 5 D) – 6
2 2
5. Si 2tan2q – tanq – 2 = 0, entonces halle el valor

de tan22q – tan2q – 1.
1. Si x ∈〈0°, 45°〉 y tan2x + 3tanx – 1 = 0, calcule el
valor de la siguiente expresión: A) 20 B) 19
13(cos2x – sen2x) C) 16 D) 18
A) 1 B) – 1
6. Un alumno ve la pizarra con un ángulo α. Si
C) 5 D) 4
observa la parte inferior de la pizarra con un
2. Una persona observa la parte alta del segundo ángulo de elevación α y se sabe que BC = 2 m y
piso de un edificio con un ángulo de elevación CD = 3 m, calcule la altura de la pizarra.
θ. Si al observar la parte alta del quinto piso del
mismo edificio el ángulo de elevación es 2θ, A
calcule la distancia del observador a la base
pizarra
del edificio. Considere que ambos se encuen-
tran en el mismo plano vertical y cada piso
mide 3 m.
B
A) 7 5 m B) 5 6 m D α
α
C) 6 5 m D) 4 5 m
C
3. Al reducir la siguiente expresión:
1 + sen40° − cos 40° A) 4,6 m B) 5,4 m
se obtiene AtanB°.
1 + sen40° + cos 40°
C) 5,2 m D) 5 m
Calcule A + B.
7. Del gráfico mostrado, si AB = 2 y AM = 3, calcule
A) 20 B) 22
tan2q.
C) 23 D) 21
4. En una tarea de matemáticas, Rubén y Ramiro B
calculan el coseno de 15° y obtienen 2 + 3 y

2 M
6+ 2 θ
, respectivamente. ¿Cuál es la conclu-
4 θ
sión del profesor al revisar la tarea? A C
A) Los dos se equivocaron. 2 10

A) B)
B) Rubén acertó y Ramiro no acertó. 5 23
C) Ramiro acertó y Rubén no acertó.
4 6
D) Los dos acertaron. C) D) 3 7
23
8. El profesor Erick les pide a sus alumnos que 13. De las condiciones
π 
a partir del dato tan  − x  = 2 , determinen sen 4 x
8  =n
el valor de la tangente del ángulo doble de x. 1 − cos 4 x
¿Cuál será el valor que el profesor Erick espera mtan2x + 2tanx = m, calcule (m + n)2 – (m2 + n2).
que sus alumnos encuentren?

A) 1 B) 1/2
A) – 4 B) – 7 C) 2 D) – 1
C) – 5 D) – 6
14. Un estudiante salió a resolver un problema en
9. Al reducir la siguiente expresión:
la pizarra que el profesor le dejó y la operación
tan 2 20° cot 40°
se obtiene AtanB°. cos θ + senθ 1 − cos 4θ
1 − tan 2 20° que escribió fue − ;
cos θ − senθ sen4θ
Calcule A ⋅ B. pero se olvidó que cada sumando estaba ele-
A) 10 B) 8 vado al cuadrado. ¿Cuál fue el resultado co-

C) 16 D) 12
rrecto si θ ∈ 〈0°; 20°〉?
10. Reduzca la siguiente expresión:
A) csc2θ
2 tan θ + tan 2 θ cot (270° − 2θ)
B) sec2θ
tan 2 (360° + 2θ)
C) – sec2θ
A) cot2θ B) 1 D) – csc2θ
C) tan2θ D) tanθ
15. A partir de la igualdad
11. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 1 cos 2α
1 – sen10° y cos10°, halle la diferencia entre los + =
2 cos 2α + 1 2 cos 2α − 1 B cos 4α + A
ángulos agudos de dicho triángulo en radianes.
calcule B – A.
p p
A) rad B) rad
18 10
p p A) 1/8 B) 1/4
C) rad D) rad C) 1/2 D) 3/4
8 12
12. Reduzca la expresión 16. Reduzca la expresión
6 + 2 cos 40º 1
− 2 + 2 − 2 cos 40º
1 − cos 40º 2 sen 2 10º cos 2 10º
A) 2tan220° B) – 2 A) cos35° B) 2cos35°

C) 2cot220° D) tan220° C) 2 cos 80º D) 2cos80°

Trigonometria Semana 1 Al 12 Aduni Semestral

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Trigonometria Semana 1 Al 12 Aduni Semestral

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Semestral Intensivo Virtual ADUNI Trigonometría

7. En un triángulo ABC, las medidas de los ángu-

A) 75° B) 30° A) 75° B) 40°

2. La medida de los ángulos internos de un trián- 8. ¿Cuántos segundos sexagesimales se deben

12. La casa de Santiago tiene dos rampas, como 151π a+ b

100g 15. A partir del gráfico mostrado, calcule θ en el

13. El siguiente gráfico muestra los resulta-

5. Si a un sector circular le triplicamos el ángulo

6. En cierto instante de un movimiento sísmico

A 7. Calcule la longitud del arco que describe el

3. El radio de un sector circular mide 25 u y la 8π

14. En el gráfico, AOB y COD son sectores circula-

C 16. Si el área del trapecio circular es 25 u2, calcule

15. Percy sujeta su arco de flecha de tal manera

7. Se tiene un triángulo ABC recto en B si sumas F

13. El costo por pintar un metro cuadrado de una 3 3 3

5. En un triángulo ABC, recto en B, se cum-

8. Desde un avión ubicado en el punto P, se divi-

9. Desde el punto A, se observa el edificio con un

15. Si 2q y 3a representan la medida de dos ángu-

E A) 126 soles B) 136 soles

D' 5. La tapa de un depósito tiene forma cuadrada y

2. Un árbol de altura H se quiebra de modo que x

7. En el gráfico mostrado, AB = 2 u. Calcule el va- 10. Si CD = , calcule AB en términos ; q y a.

A) 110 soles B) 2ac(csenq+ acosq) – 1

6. En el gráfico, se muestra una cartulina de for-

5 3 4 2 8. Bruno ayuda a su padre a hacer un diseño en

A) (1+ cosx) km2

13. El profesor Nelson lee un problema a sus alum-

A) 2/5 B) 5/12 C) 12/5 D) 5/13

14. Si M = 4tan2q + 16secq + 26 y q es la medida de

15. Si senq + cscq =5, halle el valor de senq – cscq.

5. En un aula del ciclo semestral San Marcos; el

8. Del gráfico mostrado, si el perímetro de la cara

4. Si el doble del seno de un ángulo x más el tri-

9. Si la expresión 13. Reduzca la siguiente expresión.

11. Dos ciudades M y N están unidas mediante 1

12. Simplifique la siguiente expresión.

1. Si x + y = 30°, calcule el valor de

8. Una baldosa de forma cuadrada ABCD es di- A) 2 m B) 3 m

14. Si mcos3q – nsen3q =0, n ≠ 0,

(1 − sen 3 x ) (1 + sen 3 x ) tan 3 x

3. Si 2 sen θ + 7 cos θ = M sen (θ + φ ), 8. En el gráfico, se tiene la rampa de ingreso a

13. En la ecuación dada

4. Simplifique la siguiente expresión:

|a| < 1 entonces el valor de 6. Una partícula se desplaza del punto M hasta el

θ 11. Se tiene una estructura metálica tal como

Si el tramo AB tiene 17 cuadras y el tramo CB 1 1

14. Del gráfico, calcule el valor de 15. Simplifique la expresión

16. En un triángulo ABC se cumple que

5. Un entomólogo observa el movimiento de

3. Se tiene una plancha circular, en la cual se

15° Calcule f(10°) + f(20°) + 1.

13. Calcule el máximo valor de la expresión

C) 2 4 + 6 + 2 m cos2θ(1− 2sen 2 θcos 2 θ)(cos 8 θ + sen 8 θ) + sen16 θ

sen 2 − cos 2 B) – sen16q

1 − a2 1 − a2 2 1 − sen 2 x (sen x + cos x ) sen 2 x

generan dos secciones circulares cuyas áreas A) sen2x B) – sen2x

5. Si 2tan2q – tanq – 2 = 0, entonces halle el valor

3. El radio de un sector circular mide 25 u y la 8π

C 16. Si el área del trapecio circular es 25 u2, calcule

7. En el gráfico mostrado, AB = 2 u. Calcule el va- 10. Si CD = , calcule AB en términos ; q y a.