ELASTICIDAD

Elasticidad (Mecánica de Experimento del modulo

los sólidos ) de elasticidad
INTRODUCCIÓN
ELASTICIDAD
 Hasta ahora se han considerado los cuerpos como solidos rígidos (que no se
deforman al aplicarles) pero es una idealización que no ocurre en los cuerpos reales
que si se deforman.
 los cuerpo reales pueden sufrir cambios de forma o de volumen (e incluso la
ruptura) aunque la resultante de las fuerzas exteriores sea cero.
 La deformación esta íntimamente ligada a las fuerzas existentes entre los átomos o
moléculas pero aquí se ignorara la naturaleza atómica o molecular de la materia
considerando el cuerpo como un continuo y tendremos en cuenta las magnitudes
medibles: fuerzas exteriores y deformaciones.
 En física el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de
sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas
exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.
CONCEPTOS BÁSICOS
 Cuerpo elástico: Aquel que cuando desaparece las fuerzas o momentos exteriores
recuperan su forma o tamaño original.
 Cuerpo inelástico: Aquel que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no
retorna perfectamente a su estado inicial.
 Comportamiento plástico: cuando las fuerzas aplicadas son grandes y al cesar
estas fuerzas el cuerpo no retorna a su estado inicial y tiene un deformación
permanente.
MATERIALES ELÁSTICOS
 Ej: Resortes o muelles (tensión), botones (controles), el
chicle(resina o goma de mascar) y las llantas (Caucho
inflado de aire, que mantiene en suspenso).
 Los materiales elásticos, aquellos capaces de recuperar su forma original luego de sufrir una
deformación parcial o total, son numerosos: la goma, el caucho, nylon, lycra, látex, chicle, lana,
silicona, gomaespuma, grafeno, fibra de vidrio, plástico, cuerda, entre otros.
 Las fuerzas de masa están asociadas con el cuerpo considerado (afecta a todas las
pates del mismo) y no son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos y
entre ellas podemos citar las fuerzas gravitacionales, la inercia, las magnéticas etc.
Se especifican en términos de fuerzas por unidad de volumen. Las componentes de la
intensidad de estas fuerzas según los ejes coordenados, son Fx, Fy, y Fz.
 Las fuerzas de superficie son debidas al contacto físico entre dos cuerpos. Si ampliamos el
concepto podríamos incluir en dicho concepto las fuerzas que una superficie imaginaria
dentro de un cuerpo ejerce sobre la superficie adyacente, lo que resulta muy practico
para establecer ecuaciones de equilibrio y otras.
 En física e ingeniería, se denomina tensión mecánica a la magnitud física que representa
la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie real o
imaginaria de un medio continuo
 El esfuerzo(o tensión) en un punto se define
como el valor limite de la fuerza por unidad
de área, cuando esta tiende a cero.
∆𝐹 𝑑𝐹
𝜎 = lim =
∆𝐴→0 ∆𝐴 𝑑𝐴
 El vector tensión en una superficie A,
con vector unitario normal 𝑛.
Dependiendo de la orientación del
plano en cuestión, el vector tensión
puede no ser necesariamente
perpendicular a ese plano, es decir,
paralelo a 𝑛, y puede descomponerse
en dos vectores: Un componente
paralelo al plano, denominado tensión
cortante 𝜏.
Si queremos conocer el esfuerzo en cualquier plano que pase por el punto
considerado, ya no se puede hablar del esfuerzo como un vector si no como un
tensor.
ESFUERZOS Ó TENSIÓN
Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denominan normalmente como
𝜎 (sigma) y se denominan como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera
de la sección, tratando de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresión
cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado.
Los esfuerzos con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como 𝜏 (tau) y
representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar el elemento analizado,
tal como una tijera cuando corta papel.

−𝐹Ԧ 𝐹Ԧ Las unidades de los esfuerzos o

presión.
Pascal (Pa) =N/m2, (S.I); dinas/cm2
𝐿𝑜 Δ𝐿 (c. g. s); Kp/m2, (S. Técnico);
Atmosfera técnica(Kp/cm2); atmosfera
(atm); bar.
DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL.

Si una barra de longitud L, le aplicamos una fuerza de tracción 𝐹Ԧ y la

barra sufre un alargamiento ∆𝐿, se define alargamiento o deformación
longitudinal como:
∆𝐿
𝜀𝑙 =
𝐿𝑜
La deformación longitudinal es la variación relativa de longitud.
La relación entre la fuerza F y el alargamiento ∆𝐿 viene dado por el
coeficiente de rigidez Ks:
𝐹 = 𝐾𝑠 ∆𝐿

El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su

temperatura y presión, y en algunos casos, de la dirección en la que se
deforma (anisotropía).
LEY DE HOOKE

Cuando estiramos (o comprimimos) un muelle, la fuerza recuperadora

es directamente proporcional a la deformación ∆𝑥 (al cambio de
longitud ∆𝑥 respecto de la posición de equilibrio) y de signo contraria a
está. 𝐹 = −𝑘∆𝑥, (∆𝑥 = 𝑥, 𝑥𝑜 = 0 ). Siendo k una constante de
proporcionalidad, denominada constante elástica del muelle. El
signo menos en la ecuación anterior se debe a que la fuerza
recuperadora es opuesta a la deformación.
La energía potencial 𝐸𝑃 . correspondiente a la fuerza F vale:
1 2
𝐸𝑝 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑐
2
Porque el trabajo realizado por esta fuerza conservativa cuando la partícula se
desplaza desde la posición 𝑥𝐴 a la posición 𝑥𝐵 es.
𝐵 𝐵 1 2 1 2
‫𝑥𝑑𝐹 𝐴׬‬ = ‫ 𝐴׬‬−𝑘𝑥𝑑𝑥 = 2
𝑘𝑥𝐴 − 2
𝑘𝑥𝐵

𝜏 La ley de Hooke es solo aplicable a

deformaciones unitarias pequeñas.
Si se sigue aumentando la carga,
el material llega hasta un estado
en el que se rompe.

𝜀
Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el limite elástico.
Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el limite elástico,
siguiendo un comportamiento plástico.
Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas
deformaciones.

DEFORMACION POR TRACCION O COMPRESION. MODULO DE YOUNG.

Si aplicamos una fuerza F a una barra de longitud Lo el
material se deforma longitudinalmente y se alarga ∆𝐿.
La razón de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por
unidad de área) y la deformación unitaria (deformación por
unidad de longitud) esta dada por la constante E,
denominada modulo de Young, que es característico de
A cada material.
𝐹 ∆𝐿
𝜎= =𝐸
𝐴 𝐿𝑜
La ley de Hooke relaciona la deformación 𝜀𝑥 de una barra sometida a
un esfuerzo axial, con la tensión normal generada por dicho esfuerzo
𝜎𝑥 , mediante la constante E que se denomina módulo de elasticidad
lineal o módulo de Young.

𝜎𝑥 =E 𝜀𝑥
La rigidez de un material
queda caracterizada
por la relación entre
esfuerzo 𝜎𝑥 y
deformación 𝜀𝑥 , o sea
por el modulo de Young. El módulo de Young tiene las
𝐹𝑥
E=
𝜎𝑥
= 𝐴 mismas unidades que el
∆𝑥
𝜀𝑥
𝑥𝑜 esfuerzo.
COEFICIENTE DE POISSÓN
Todo elemento solicitado a carga axial experimenta una deformación no
solo en el sentido de la solitacion ( deformación primaria 𝜀𝑥 ), si no
también según el eje perpendicular (deformación secundaria o inducida
𝜀𝑥 , 𝜀𝑥 ), o sea toda tracción longitudinal con alargamiento implica una
contracción transversal ( disminución de la sección del elemento
estirado).
El coeficiente de Poisson es la relación de la deformación perpendicular
a la axial.
𝜀𝑃 𝜀𝑦 𝜀𝑧
ν = − 𝜀 Y si el cuerpo es isotropo: ν = − 𝜀 = − 𝜀
𝑎 𝑥 𝑥
Cuerpo isótropo: Tiene las mismas características físicas en todas las
direcciones. Anisótropo, cuando depende de la dirección.
Cuerpo homogéneo: Tiene igual densidad. Inhomogéneo: Diferente
densidad.
Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus características
elásticas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.
DEFORMACIÓN DEBIDA A TRES ESFUERZOS
ORTOGONALES.
La solicitación uniaxial es prácticamente una excepción, ya que en la
realidad lo más común es encontrar solicitaciones biaxiales y triaxiales.
Consideremos ahora un elemento (pequeño trozo de material ubicado
dentro del cuerpo con forma de cubo con aristas de valor: dx, dy, dz)
sometido a un estado de tensión triaxial en la que la longitud inicial de
AB es la unidad.
6 Esfuerzos de corte

Esfuerzos o Tensiones
normales 𝜎𝑥 ,𝜎𝑦 , 𝜎𝑧
En el caso mas general, un elemento de material está
sometido a tres tensiones normales perpendiculares entre si
𝜎𝑥 ,𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 , acompañadas en tres deformaciones 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 ,
respectivamente. Superponiendo las componentes de la
deformación originada por la contracción lateral debida al
efecto de Possion a las deformaciones directas, obtenemos
el enunciado general de la ley de Hooke:
La deformación total en la dirección del eje X, Y y Z viene dada por:
1
𝜀𝑥 = 𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )
𝐸
1
𝜀𝑦 = 𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )
𝐸
1
𝜀𝑧 = 𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )
𝐸
COMPRESION UNIFORME. MODULO DE COMPRESIBILIDAD
Supongamos que tenemos un estado de esfuerzos, debido a una compresión uniforme
que actúa por toda la superficie del cuerpo y perpendicular a ella, definido por:
𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 =𝜎𝑧 = −𝑃
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = 0
Si aplicamos estos valores a las ecuaciones anteriores obtenemos las componentes de la
deformación:
1−2ʋ
𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = − 𝐸 𝑃; 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑦𝑧 = 𝛾𝑧𝑥 = 0
Definimos la dilatación o deformación volumétrica, ε como el cambio de volumen
unitario (cambio del volumen total ∆V dividido por el volumen inicial Vo) y lo
expresamos mediante:
∆𝑉
𝜀=−𝑉 o bien: 𝜀 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧
𝑜
Para el caso de presión hidrostática tendríamos:
𝑬
Donde 𝑲 = 3(1−2ʋ) es el Módulo Volumétrica
1−2ʋ 1
𝜀 = −3 𝑃= −𝐾𝑃
𝐸
de Elasticidad o Módulo de deformación volumétrica.
El módulo de deformación volumétrica representa la razón negativa de la
presión hidrostática con la dilatación resultante.
La constante ε así como 𝝈𝒎 , definida por la ecuación:
𝟏
𝜀 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 𝝈𝒎 =𝟑 (𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 + 𝝈𝒛 )
Es de especial interés en el estudio de la plasticidad. El hecho de que la dilatación, bajo
cualquier estado de tensiones, venga definida por la ecuación es evidente, ya que las
deformaciones tangenciales no producen cambio alguno en el volumen. En
consecuencia,
1 − 2ʋ
𝜀 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = −3 𝜎𝑚
𝐸
1
es decir, la relación: 𝜀 = 𝜎𝑚
𝐾
Cumple para cualquier estado de tensiones.
A la inversa de K se llama, coeficiente de compresibilidad (B = 1/K.)
A la cantidad 𝝈𝒎 se le conoce como componente esférica --o hidrostática—
del esfuerzo. Los valores de ε y de 𝝈𝒎 son invariantes con respecto a cualquier
transformación de eje ortogonal.
Efectos sobre la estructura de las solicitaciones.

1. Normal: Acortamiento o Alargamiento.

2. Cortante: Distorsiones angulares de la pieza.

3. Momento flector: La curvatura de la pieza estructural.

4. Momento Torsor: Que se retuerza la pieza alrededor de su eje.
 CIZALLADURA. MÓDULO DE RIGIDEZ.
Hasta ahora solo hemos tenido en cuenta fuerzas normales a las superficies que dan
lugar a esfuerzos normales y a deformaciones de volumen. Supongamos ahora que
las fuerzas F que se aplican son tangenciales a una superficie A, el cambio que se
produce en el cuerpo es solo un cambio de forma ya que el volumen permanece
constante. El esfuerzo cortante o tangencial 𝝉, es la fuerza de corte o tangencial por
𝐹𝑠
unidad de área: 𝜏=
𝐴
La deformación cortante, angular o de
cizalladura y vale:
𝐹𝑠
∆𝑋 𝜏
𝛾= = tan 𝜃 = 𝐴 =
𝑙 𝐺 𝐺
Donde: G se denomina módulo de
elasticidad tangencial o más habitualmente La deformación por cizalladura se produce
módulo de rigidez (o también módulo de sólo en los sólidos, por eso se dice que
cortante o de cizalladura). estos presentan rigidez. Los sólidos
𝜏 𝐹𝑠 𝐹𝑠 pueden tener deformaciones volumétricas y
𝐺= = =
𝛾 𝐴 tan 𝜃 𝐴 𝜃 de forma, mientras que los fluidos solo
tienen deformación volumétrica
La relación esfuerzo cortante –deformación de cizalladura, en un estado bidimensional
de cizalladura pura, cumple, dentro de los límites elásticos de la ley de Hooke, una
relación del tipo:
1 ∆Ϛ ∆ղ
𝜏𝑦𝑧 = G𝛾𝑦𝑧 o bien: 𝛾𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 , Donde 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑦 + 𝛾𝑧 = +
𝐺 ∆𝑦 ∆𝑧
DEFORMACIÓN POR TORSIÓN. CONSTANTE DE TORSIÓN.
La torsión se refiere al torcimiento de un miembro estructural cuando se carga con
momentos que producen rotación alrededor de su eje longitudinal. Este tipo de
carga se representa en la figura, que muestra una barra recta, empotrada en un
extremo y cargada con dos pares de fuerzas. El momento de un par de fuerzas es
igual: 𝑀 = 𝑟𝑥 Ԧ 𝐹Ԧ o 𝑀 = 𝑟𝐹 sin 𝜃,
Los torques 𝑀1 y 𝑀2 son:
𝐹1 𝐹2
𝑀1 = 𝑑1 𝐹1
𝑀2 = 𝑑2 𝐹2
Figura. 1 La Barra sujeta a torsión cargada por
el momento de fuerza 𝑀1 y 𝑀2
𝐹1 𝐹2
 Por Ej., si se fija el extremo izquierdo de la barra, entonces el extremo derecho
girará un pequeño ángulo f con respecto al extremo izquierdo ver figura. El
ángulo f se conoce como ángulo de torsión. Además, una línea longitudinal en la
superficie de la barra, tal como la línea nn, girará un pequeño ángulo a la
posición nn’. Debido a esta rotación, un elemento infinitesimal rectangular sobre
la superficie de la barra, tal como el elemento de longitud dx, adquiere la forma
de un romboide.
La configuración original del
elemento se designa por abcd.
Durante la torsión la sección
M M transversal derecha gira con respecto
a la cara opuesta, y los puntos b y c
se trasladan a b´ y c´
respectivamente.
Figura 2. Barra circular sometida a torsión pura
Las longitudes de los lados del elemento no cambian durante esta rotación, pero
los ángulos de las esquinas ya no miden 90º.
 Así, se aprecia que el elemento está en un estado de cortante puro y la
magnitud de la deformación por cortante 𝛾 es igual a la disminución en el ángulo
recto en 𝑎. Esta reducción en el ángulo es:
𝑏𝑏′
𝛾= (1)
𝑎𝑏

La distancia bb’ es la longitud de un

arco pequeño de radio r subtendido
por el ángulo 𝑑f, que es el ángulo de
rotación de una sección transversal
con respecto a la otra. De esta
manera, se determina que bb’= r df.
Además, la distancia ab es igual a
Figura 3. Detalle de la barra circular sometida a torsión dx, la longitud del elemento.
pura
Al sustituir estas cantidades en la ecuación 𝑑ϕ
anterior, se obtiene una expresión similar a 𝛾= 𝑟 𝑑𝑥 (2)
la deformación por cortante.
 𝑑ϕ
La cantidad representa la razón de cambio del ángulo de torsión ϕ. Tanto ϕ, como
𝑑𝑥
𝑑ϕ 𝑑ϕ
son funciones de x. Se indicará la cantidad mediante el símbolo 𝜃 y se referirá
𝑑𝑥 𝑑𝑥
como ángulo de torsión por unidad de longitud.
𝑑ϕ
𝛾= 𝑟 𝑑𝑥 = 𝑟𝜃 (3)
𝑑ϕ
En el caso de torsión pura, la razón de cambio es constante en toda la longitud de
𝑑𝑥
barra, ya que cada sección transversal está sometida al mismo par. Por lo tanto, se
obtiene:
ϕ
𝜃= 𝐿
(4)
Donde L: Es la longitud de la barra. La ecuación (3) resulta:

ϕ
𝛾 = 𝑟𝜃 = 𝑟 𝐿 (5)
Estas ecuaciones se basan únicamente en conceptos geométricos y son válidas para
una barra circular de cualquier material, tanto elástico como inelástico, lineal o no lineal
El esfuerzo cortante 𝜏 en la barra circular tiene los sentidos mostrados en la fig. 2.
Para un material linealmente elástico, esos esfuerzos cortantes se relacionan con las
deformaciones angulares por medio de la Ley de Hooke en cortante; por lo tanto, se
obtiene:
𝜏 = 𝐺𝛾 = 𝐺𝑟𝜃 (6)
Donde: G es el módulo de elasticidad de cortante
Las ecuaciones (4), (5), (6) relacionan las deformaciones y los esfuerzos, para un
elemento en la superficie de la flecha, con el ángulo de torsión por unidad de longitud.
Las deformaciones y esfuerzos en el interior de la barra pueden determinarse en
forma similar a la empleada para un elemento en la superficie de la misma.
Para un elemento abcd de la superficie exterior sirve también para un elemento similar
situado en la superficie de un cilindro interior de radio 𝜌 (fig. 3). Por lo tanto, tal
elemento interior también se encuentra en un estado de cortante puro con su
deformación angular y su esfuerzo cortante correspondientes representados por las
ecuaciones siguientes:
𝛾 = 𝜌𝜃 (7)
𝜏 = 𝐺𝜌𝜃 (8)
Estas ecuaciones establecen que la deformación angular y el esfuerzo cortante en una
barra circular varían linealmente con la distancia radial r
FLEXION EN VIGAS
En el estudio de la flexión los efectos que producen las fuerzas aplicadas son variables
en la sección de la viga, estos efectos son de dos tipos: Fuerza cortante y Momento
flexionante. Estos dos efectos producen esfuerzos distintos sobre la sección de la viga,
la fuerza cortante produce un esfuerzo cortante, que depende principalmente del
módulo de la fuerza aplicada. El momento flexionante produce un esfuerzo normal en la
sección de la viga, siendo máximo en los extremos, y cero sobre el eje neutro de la
viga, estos conceptos se explicarán en detalle en las secciones siguientes.
En este apunte se presentaran vigas estáticamente determinadas, con cargas puntuales
y distribuidas.

Condición de
෍ 𝐹Ԧ𝑖 = 0 ෍ 𝑀𝑖 = 0 ෍ 𝑉𝑖 = 0
equilibrio
CLASIFICACIÓN DE VIGAS SEGÚN SUS APOYOS
Vigas
estáticamente
determinadas

(a) Viga simplemente apoyada (b) Viga con un tramo en voladizo

(c) Viga en voladizo

Vigas
estáticamente
indeterminadas

(d) Viga continua (e) Viga empotrada en un extremo y f) Viga empotrada

simplemente apoyada en el otro extremo
En primer lugar se calcula las reacciones en los apoyos A y B, para ello se construye
el diagrama de cuerpo libre de la viga, el cual se presenta a continuación :
Haciendo sumatoria de Fuerzas y Momentos
igual a cero, se obtiene:
Tipo I Tipo II

𝑃 𝑃 𝑃
𝑉= 𝑉= −𝑝=−
2 2 2
𝑃 𝑃 𝐿 𝐿
𝑀= 𝑋 𝑀 = 2 𝑋 − p 𝑥 − 2 =2 𝐿 − 𝑥
2
Los diagramas se construyen a partir de las relaciones obtenidas para la fuerza
cortante y el momento flector en cada zona, es importante notar que debido a la
continuidad de la viga, en el punto de aplicación de la carga existe una discontinuidad
para la fuerza cortante, y el momento flector debe ser idéntico para ambas zonas,
debido a que no existe aplicación de momentos externos sobre la viga.
A continuación se construyen los diagramas para la viga.

DEDUCCIÓN FÓRMULA DE FLEXIÓN

De acuerdo a la fig., se tiene una viga con radio de
curvatura ρ, “y” corresponde a la distancia desde el eje
neutro de la viga; dicho eje no presenta alargamiento
debido a flexión 𝑑ϕ, corresponde al ángulo del
elemento flexionado en estudio, ds corresponde a la
longitud diferencial del eje neutro, y finalmente dx
corresponde al acortamiento del elemento debido a
flexión.
Para un ángulo de flexión es pequeño, se obtienen las
siguientes relaciones.
Por el equilibrio de momentos
𝜌𝑑∅=ds (1) conduce a la siguiente expresión.
𝑑𝑥 = 𝑦𝑑∅ (2) 𝑀 = ‫𝐴𝑑𝜎𝑦 ׬‬ (4)
Teniendo ambas Ecuaciones es. Reemplazando la Ec. 3 en 4 se tiene
𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝐸
= 𝑀 = 𝜌 ‫ 𝑦 ׬‬2 𝑑𝐴 (5)
𝜌 𝑦
Por la de deformación como una Donde ‫ 𝑦 ׬‬2 𝑑𝐴=𝐼 momento de inercia
relación entre longitudes y por con respecto al eje de ref. y eje neutro
semejanza se obtiene. de la viga. Reescribiendo la Ec. 5
1 𝑀 𝐸 𝑀
𝑑𝑥 𝑦 = → = (6)
𝜀= = 𝜌 𝐸𝐼 𝜌 𝐼
𝑑𝑠 𝜌 Combinando la Ec. 6 con la Ec. 3 se
Si el material es homogeneo y obtiene la formula de esfuerzo debido
obedece a la ley de Hooke. a la flexión.
𝑦
𝜎 = 𝐸𝜀 = 𝐸 𝜌 (3) 𝑦 𝑀𝑦
𝜎 = 𝐸 𝜌= 𝐼
Ahora si consideremos que c es la distancia máxima desde el eje
neutro de la viga, se obtiene el esfuerzo de flexión máximo.

𝑀𝑐
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝐼
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ELASTICIDAD
1. Una barilla circular maciza de acero, de 6cm de diámetro y de 40 cm de longitud esta rígidamente unida al extremo de una barra
cuadrada de bronce de 2cm de lado y 30 cm de longitud, con sus ejes sobre la misma recta. Se aplica una fuerza de tracción axial
de 500 Kp en cada extremo. Determinar el alargamiento total del conjunto. (Acero, Eac=2.1x106Kp/cm2 y para el bronce
Ebr=9.5x106Kp/cm2) Resp. 0.0376 cm.
2. Una barra maciza de bronce de 2 cm de diámetro está sometida a una fuerza axial de tracción de 5X103 Kp. Determinar la disminución del
diámetro de la barra debida a esta carga. (Ebr=9.5x105Kp/cm2 y 𝜇 = 0.2 )Resp. 0.00047 cm.
3. La barra horizontal rígida AB está soportada por tres cables verticales, como, como se ve en la figura, y soporta una
carga de 1.2x104 kp. El peso de AB es despreciable y el sistema está exento de tensiones antes de aplicar los 1.2x104 Kp
después de aplicados, la temperatura de los tres cables aumenta 14oC. Hallar la tensión de cada cable y la posición de la
carga aplicada para que AB permanezca horizontal. ( Eac=2.1x106Kp/cm2, 𝛼𝑎𝑐 = 11𝑥10−6 /𝑜𝐶 ; Ebr=9.8x105Kp/cm2, 𝛼𝑏𝑟 =
17.7𝑥10−6 /𝑜𝐶 ; Ecu=1.2x106Kp/cm2, 𝛼𝑐𝑢 = 16𝑥10−6 /𝑜𝐶 ,).Se desprecia toda posibilidad de pandeo lateral de cualquiera de
2500𝑘𝑝
los cables. En la fig. aparecen las longitudes y secciones en los cables. Resp. 𝜎𝑎𝑐 = 𝑐𝑚2 , 𝜎𝑏𝑟 = 1950𝑘𝑝/𝑐𝑚2 𝜎𝐶𝑢 =
1750𝑘𝑝/𝑐𝑚2 ,X=13.75cm.
4. Una barra AC es totalmente rígida, está articulada en A y unidas en DB y CE como se ve en la figura. EL peso de AC es
de 5x103Kp y el de las otras barras es despreciable si la temperatura de las barras DB y CE aumenta en 40oC, Hallar las
tensiones producidas en esas barras de Cobre y acero, para el cual tiene sus coeficientes de dilatación y módulo de Young
y áreas. Despreciar la posibilidad de pandeo lateral en la barra. (Ecu=1.05x106Kp/cm2, 𝛼𝑐𝑢 = 17.7𝑥10−6 /𝑜𝐶 , 𝐴𝑐𝑢 = 12 𝑐𝑚2 ;
743𝑘𝑝
Eac=2.1x106Kp/cm2, 𝛼𝑎𝑐 = 11𝑥10−6 /𝑜𝐶 ; 𝐴𝑎𝑐 = 6 𝑐𝑚2 .) Resp. 𝜎𝑎𝑐 = 𝑐𝑚2 , 𝜎𝐶𝑢 = −327𝑘𝑝/𝑐𝑚2
5. Considerar la barra rígida BD que esta soportada por los dos cables que aparecen en la figura. Los cables están inicialmente exentos de
tensión y los pesos de todos los elementos son despreciables. hallar la tracción en cada cable cuando se ha aplicado la carga p al extremo
de la barra. los dos cables tienen el mismo módulo de elasticidad
 6. Una barra de 4 m de longitud y 1.5 cm de radio se alarga 0.090 cm al someterlo a una fuerza de tracción de 600Kp. Determinar el
esfuerzo, la deformación unitaria y el módulo de Young. Resp.
7. Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las cargas que se muestra en la figura y calcule el esfuerzo
normal máximo debido a la flexión. Resp.
8. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga. Resp.
9. Para la viga y las cargas mostradas en las figuras, a) dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y b) determine los
valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector. Resp.
10. Determinar la máxima potencia que puede transmitir un árbol macizo de acero de 55mm de diámetro a 250 rpm. Si la tensión de
trabajo del acero es 750 kp/cm2. Sol 86 CV.

Fig.3 Fig.4 Fig.5

6 Kp/m
9Kp

8m
2m 2m
Fig.7 Fig.8 Fig.9