Elasticidad Resumen

Tema 6. ELASTICIDAD.
1 Introducción.
2 Esfuerzo normal.
3 Deformación unitaria longitudinal.
4 Ley de Hooke.
5 Deformación por tracción o compresión. Módulo de Young.
6 Coeficiente de Poisson.
7 Deformación debida a tres esfuerzos ortogonales.
8 Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad.
9 Cizalladura. Módulo de rigidez.
10 Deformación por torsión. Constante de torsión.
1 Introducción. Conceptos básicos.

los cuerpos reales que sí se deforman.
Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas éste cambia de forma o de tamaño.
La Elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los cuerpos y las
correspondientes deformaciones.
Cuerpo elástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos exteriores
recuperan su forma o tamaño original.
Cuerpo inelástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no retorna
perfectamente a su estado inicial.
Comportamiento plástico: Cuando las fuerzas aplicadas son grandes y al cesar estas
fuerzas el cuerpo no retorna a su estado inicial y tiene una deformación permanente.
La deformación de estructuras (estiramientos, acortamientos, flexiones, retorceduras,

etc.) debido a la acción de fuerzas implica la aparición de esfuerzos que pueden llevar
hasta la ruptura.
2 Esfuerzo normal.
El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área (en la que se aplica) que
causa la deformación.
Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede

descomponerse en la suma vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la
otra paralela a la superficie considerada.
Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan normalmente como σ

1
(sigma) y se denominan como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia
afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de
compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado.
El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y
representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar el elemento
analizado.
Las unidades de los esfuerzos son las de fuerza dividida por área (las mismas que para
la presión), pero el esfuerzo no es un vector sino un tensor.
Las unidades que más se utilizan son: Pascal (Pa) = N/ m2,
r r
−F F
l l
3 Deformación unitaria longitudinal.

r
Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuerza de tracción F y la barra sufre un
alargamiento  l , se define alargamiento o deformación longitudinal como:
l
 =
l
l
La deformación longitudinal es la variación relativa de longitud.
La relación entre la fuerza F y el alargamiento  l viene dada por el coeficiente de

rigidez Ks:
F = Ks  l
El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura y
presión y, en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía).
2
4 Ley de Hooke.
Cuando estiramos (o comprimimos) un resorte, la fuerza recuperadora es directamente

proporcional a la deformación x (al cambio de longitud x respecto de la posición de
equilibrio) y de signo contraria a ésta. F = - k x, Siendo k una constante de
proporcionalidad, denominada constante elástica del resorte. El signo menos en la
ecuación anterior se debe a que la fuerza recuperadora es opuesta a la deformación.
Para x>0, F = - k x
Para x<0, F = k x
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza F vale:
porque el trabajo realizado por esta fuerza conservativa cuando la partícula se desplaza
desde la posición xA a la posición xB es:
La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que se

alcanza el límite de proporcionalidad (ver figura).
En las curvas esfuerzo - deformación de un material hay un tramo de comportamiento

perfectamente elástico en el que la relación esfuerzo – deformación es lineal (punto
A). De ahí hasta otro punto B (de límite elástico) el material sigue un comportamiento
elástico (sigue habiendo una relación entre esfuerzo y deformación, aunque no es lineal,
y si se retira el esfuerzo se recupera la longitud inicial). Si se sigue aumentando la
carga (por encima del punto b hasta el punto B’ ), el material se deforma rápidamente y
si se retira el esfuerzo no se recupera la longitud inicial, quedando una deformación
permanente y el cuerpo tiene un comportamiento plástico. Si se sigue aumentando la
3
carga (por encima del punto B’ ), el material llega hasta un estado en el que se rompe
(punto C).
Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico.
Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el límite elástico, siguiendo
un comportamiento plástico.
Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas deformaciones.
5 Deformación por tracción o compresión. Módulo de

Young.
Si aplicamos una fuerza F a una barra de longitud l0 el

material se deforma longitudinalmente y se alarga l - l0.
La razón de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por

unidad de área) y deformación unitaria (deformación por
unidad de longitud) está dada por la constante E, denominada
módulo de Young , que es característico de cada material.
F l − l0
=E
S l
La Ley de Hooke relaciona la deformación  x de una barra sometida a esfuerzo axil, con
la tensión normal generada por dicho esfuerzo x , mediante la constante E que se
denomina módulo de elasticidad lineal o módulo de Young.
 x = E x
La rigidez de un material queda caracterizada por la relación entre el esfuerzo  x y

 Fx / A
deformación  x , o sea por el módulo de Young. E= =
x x / x
x
4
El módulo de Young tiene las mismas unidades que el esfuerzo.
6 Coeficiente de Poisson.
Todo elemento solicitado a carga axial experimenta una deformación no solo en el
sentido de la solicitación (deformación primaria  x ), sino también según el eje
perpendicular (deformación secundaria o inducida  y ,  z ), o sea, toda tracción
longitudinal con alargamiento implica una contracción transversal (disminución de la
sección del elemento estirado).
El coeficiente de Poisson es la relación de la deformación perpendicular a la axial.
p
=−
a
Y si el cuerpo es isótropo:
 z
=
=− y
x
x
5
Cuerpo isótropo: Tiene las mismas características físicas en todas las direcciones.
Anisótropo, cuando depende de la dirección.
Cuerpo homogéneo: Tiene igual densidad . Inhomogéneo: Diferente densidad.
Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus característica elásticas con el
módulo de Young y el coeficiente de Poisson.
7 Cizalladura. Módulo de rigidez.

El esfuerzo cortante o tangencial τ, es la fuerza de corte o tangencial por unidad de
área:
Fs
Esfuerzo cortante = fuerza de corte / área de corte =
A
El esfuerzo cortante tiene las mismas dimensiones que la presión pero tiene la dirección
de la fuerza tangencial .
Las unidades del esfuerzo cortante son las mismas que la de la presión N / m2 en el S.I..
Cuando actúan esfuerzos cortantes el material se deforma como si el material (p.e. un

cubo) estuviera formado por láminas paralelas y se deformaran como lo haría el libro de
la figura; a esta deformación que supone un deslizamiento según el esfuerzo cortante o
de cizalladura se denomina deformación cortante, angular o de cizalladura y vale:
x Fs
= = tan  = /A 
=
l G G
donde G se denomina módulo de elasticidad tangencial o más habitualmente módulo de

rigidez (o también módulo de cortante o de cizalladura ).

G = = Fs = Fs
 A tan A 
La deformación por cizalladura se produce sólo en los sólidos, por eso se dice que estos
6
presentan rigidez. Los sólidos pueden tener deformaciones volumétricas y de forma,
mientras que los fluidos solo tienen deformación volumétrica. La relación esfuerzo
cortante –deformación de cizalladura, en un estado bidimensional de cizalladura pura,
cumple, dentro de los límites elásticos de la ley de Hooke, una relación del tipo:
1
 yz = G  yz o bien :  yz =  yz ;
G
donde

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1 Introducción. Conceptos básicos.

Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas éste cambia de forma o de tamaño.

La deformación de estructuras (estiramientos, acortamientos, flexiones, retorceduras,

Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede

Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan normalmente como σ

Las unidades que más se utilizan son: Pascal (Pa) = N/ m2,

3 Deformación unitaria longitudinal.

La relación entre la fuerza F y el alargamiento  l viene dada por el coeficiente de

Cuando estiramos (o comprimimos) un resorte, la fuerza recuperadora es directamente

La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza F vale:

desde la posición xA a la posición xB es:

La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que se

En las curvas esfuerzo - deformación de un material hay un tramo de comportamiento

Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico.

Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas deformaciones.

5 Deformación por tracción o compresión. Módulo de

Si aplicamos una fuerza F a una barra de longitud l0 el

La razón de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por

La rigidez de un material queda caracterizada por la relación entre el esfuerzo  x y

El coeficiente de Poisson es la relación de la deformación perpendicular a la axial.

Cuerpo homogéneo: Tiene igual densidad . Inhomogéneo: Diferente densidad.

7 Cizalladura. Módulo de rigidez.

Cuando actúan esfuerzos cortantes el material se deforma como si el material (p.e. un

donde G se denomina módulo de elasticidad tangencial o más habitualmente módulo de

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