UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL SANTA CRUZ

“Trabajo Practico N°11.4 – Índices de capacidad,

métricas de Seis Sigma y análisis de tolerancia.”
Presentado por:
Alvez Daiana, Gonzalez Romina, Jara Luis, Meza Sandra,
Rodriguez Juan.
Cátedra: Ingeniería en Calidad
Titular: Ing. Orlando Taboada
JTP Ing. Sandra Torres
Fecha de Presentación:
17/09/2019
 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

Consignas
1. Con respecto a los índices Cp y Cpk, explique:

a) ¿Qué mide el índice Cp?

b) ¿Qué significa que un proceso esté descentrado? Explique con un ejemplo.
c) ¿El índice Cp toma en cuenta el centrado de un proceso? Argumente su
respuesta.
d) ¿Por qué se dice que el índice Cp mide la capacidad potencial y el Cpk la
capacidad real? Apóyese en los puntos anteriores para explicar.
2. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su
media y desviación estándar están dadas por μ= 29.3 y σ= 0.5, calcule e
interprete a detalle los siguientes índices: Cp, Cpk, K, Cr y Cpm.

3. Los siguientes datos representan las mediciones de viscosidad de los últimos

tres meses de un producto lácteo. El objetivo es tener una viscosidad de 80 ± 10
cps

4. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la

concentración de grasa. En una industria en particular se fijó 3.0% como el
estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente de los
establos lecheros. Si de los datos históricos se sabe que μ= 4.1 y σ= 0.38:

a) Calcule el Cpi e interprételo.

b) Con base en la tabla 5.2, estime el porcentaje fuera de especificaciones.
c) ¿La calidad es satisfactoria?

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 2 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

5. El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De

acuerdo con los datos históricos se tiene que μ= 318 y σ= 4. ¿El proceso de
envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.

6. La longitud de una pieza metálica debe ser de 8 cm ± 40 mm. Para evaluar la

capacidad del proceso se toma una muestra aleatoria sistemática de 48 piezas
y las mediciones obtenidas se reportan como las micras que se desvían del valor
nominal:

Longitud (desviación en micras de valor nominal)

a) Considerando que las especificaciones son 0 ± 40, obtenga una gráfica de

capacidad (histograma con tolerancias) y haga una evaluación preliminar de la
capacidad del proceso.

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 3 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

b) Estime, con un intervalo de confianza de 95%, los índices Cp, Cpk y Cpm, e
interprete cada uno de ellos.
c) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso es satisfactoria?
d) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo?
7. En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2
(gas) esté entre 2.5 y 3.0. En el monitoreo del proceso se obtuvieron los
siguientes 115 datos:

Por medio del análisis de los datos obtenidos:

a) Calcule los índices de capacidad del proceso, en especial K, Cp y Cpk, e

interprételos.
b) Con la evidencia obtenida, ¿cuál es su opinión acerca de la capacidad del
proceso referido? Métricas Seis Sigma
8. ¿Qué significa que un proceso tenga un nivel de calidad Tres Sigma? ¿Por
qué ese nivel no es suficiente?

9. Si una característica de calidad tiene una especificación de 35 ± 1, y de

acuerdo con datos históricos se tiene que μ= 35.1, y una desviación estándar de
corto plazo igual a 0.31, y de largo plazo igual a 0.40, resuelva lo siguiente:

a) Obtenga Zc y ZL, y diga por qué difieren de manera importante.

b) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso?
c) Obtenga los índices Pp y Ppk e interprete.
d) Obtenga los índices Cp y Cpk e interprete.
e) ¿Con cuántas PPM trabaja este proceso?
10. De 2 000 tarjetas electrónicas producidas se detectaron 1 000 defectos. Cada
tarjeta tiene 50 componentes.

a) Calcule los índices DPU y DPMO e interprete.

b) Estime el nivel de sigmas de este proceso.

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 4 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

Resolución

1. a)

El índice de capacidad potencial del proceso, Cp, mide el ancho de las

especificaciones o la variación tolerada para el proceso con la amplitud de la
variación real:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐶𝑝 =
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

b) Es cuando el valor del Índice Cpk es mucho más pequeño que el Cp, significa
que la media del proceso está alejada del centro de las especificaciones.

Ejemplo:

En un proceso de envasado de gaseosa la especificación inferior EI=270 ml y la

superior ES=290 ml, con una valorización ideal de N=280. Para monitorear el
correcto funcionamiento del proceso de corte, cada media hora se toma 5
envases y se mide. De acuerdo con las mediciones realizadas en el último mes,
en donde el proceso ha estado trabajando de manera estable, se tiene que la
media y la desviación estándar del proceso (poblacional) son µ=283 y σ=3,
respectivamente. De donde se destaca que el proceso no está centrado, ya que
la media del proceso, µ= 283 está alejada del centro de las especificaciones
(N=280)

c) El índice Cp si tomo en cuenta el centrado del proceso, porque de ahí se puede

observar la clase o categoría del proceso.
Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 5 de 16
 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

La siguiente tabla nos muestra la interpretación cualitativa del índice Cp.

Valor del Cp Clase del proceso Decisión

Cp>2 Clase mundial Tiene calidad seis sigma
1.33≤Cp ≤2 1 Mas que adecuado
1≤Cp<1.33 2 Adecuado para el trabajo, pero requiere
de un control estricto conforme el Cp se
acerca a 1
0.67≤Cp<1 3 No adecuado para el trabajo. Un análisis
del proceso es necesario. Requiere
modificaciones serias para al alcanzar
una calidad satisfactoria
Cp<0.67 4 No adecuado para el trabajo. Requiere
de modificaciones serias
d) El índice cp indica la variabilidad y de acuerdo a eso se ubica en una clase o
categoría del proceso y el Índice Cpk representa el valor mínimo entre el Cpi y
Cps es decir, es igual al índice unilateral más pequeño. Y tiene la ventaja que
considera el centrado del proceso

2. Datos:
• µ= 29.3
• σ=0.5
• N=30
• ±=2
• ES=30+2=32
• EI=30-2=28

ES − EI
𝐶𝑝 =
6σ
32−28
𝐶𝑝 = = 1.33
6(0.5)

El índice Cp es 1.33, por lo tanto, es adecuado

6σ
Cr =
𝐸𝑆 − 𝐸𝐼
6 (0.5)
Cr = = 0.75 = 75%
32−28

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 6 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

El proceso cubre un 75% de la banda de especificaciones

𝐸𝑆−µ
𝐶𝑃𝑆 = 3σ
32 − 29.3 2.7
𝐶𝑃𝑆 = = = 1.8
3(0.5) 1.5

µ − 𝐸𝐼
𝐶𝑃𝑆 =
3σ

29.3 − 28 1.3
𝐶𝑃𝑆 = = = 0.86
3(0.5) 1.5
𝐸𝑆−µ µ−𝐸𝐼
Cpk= mínimo 𝐶𝑃𝑆 = , 𝐶𝑃𝑆 =
3σ 3σ

29.3 − 28 1.3
𝐶𝑃𝑆 = = = 0.86
3(0.5) 1.5

Como el proceso Cpk es menor a 1, por lo cual el proceso no cumple con una de
las especificaciones.
µ−N
𝐾=1 *100
(ES−EI)
2

29.3 − 30 −0.7
𝐾= = = −0.35 (100) = 35%
1 2
2 (32 − 28)

Cuando el valor es negativo significa que la media del proceso es menor que el
valor nominal.

𝐸𝑆 − 𝐸𝐼
𝐶𝑝𝑚 =
6τ

𝜏 = √𝜎 2+ + (µ − 𝑁)2

𝜏 = √(0.5)2+ + (29.3 − 30)2 = 0.8602

32 − 28 4
𝐶𝑝𝑚 = = = 0.775
6(0.8602) 5.1612

𝐶𝑝𝑚 = 0,775

Como el Cpm es menor que uno, significa que el proceso no cumple con
especificaciones, ya sea problemas de centrado o por exceso de variabilidad.

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 7 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

3. Para este ejercicio, se cargan los datos en el programa minitab y se obtiene

lo siguiente:

Se pueden destacar los siguientes valores:

𝐶𝑝 = 1,21

Por el valor de Cp, se requiere de un control estricto

𝐶𝑝𝑘 = 0,92

Como Cpk es menor que 1, el proceso no cumple con una de las

especificaciones.

𝐶𝑝𝑚 = 0,93

Como el Cpm es menor que uno, significa que el proceso no cumple con
especificaciones, ya sea problemas de centrado o por exceso de variabilidad.

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 8 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

4. Datos:
• 𝑬𝑰 = 𝟑
• 𝝁 = 𝟒, 𝟏
• 𝝈 = 𝟎, 𝟑𝟖
a) Se calcula mediante la siguiente formula:
𝝁 − 𝑬𝑰
𝑪𝒑𝒊 =
𝟑𝝈
𝟒, 𝟏 − 𝟑
𝑪𝒑𝒊 = = 𝟎, 𝟗𝟔𝟓
𝟑 ∗ 𝟎, 𝟑𝟖

Al ser el valor de cpi menor que 1 se interpreta que el proceso no cumple con
por lo menos una de las especificaciones.

b) Para estimar el porcentaje fuera de las especificaciones, se redondea el valor

cpi a 1, y se debe tener en cuenta que en este caso hace referencia a una
sola especificación:

Por lo visto, el porcentaje que esta fuera de especificación es 0,1350%.

c) La calidad del producto lácteo no es satisfactoria porque cpi debería ser

mayor o igual a 1,25.
Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 9 de 16
 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

5. Deseamos saber si el proceso de envasado planteado funciona

adecuadamente, este tiene los siguientes datos.
• 𝜇 = 318
• 𝜎= 4
• 𝐸𝐼 = 310
• 𝐸𝑆 = 330
Lo primero que hacemos es obtener el indicador de la capacidad potencial del
proceso:
(𝐸𝑆 − 𝐸𝐼) (330 − 310)
𝑐𝑝 = = = 0,833
6𝜎 6∙4
De esta manera obtenemos un 𝑐𝑝 = 0,833, como este valor es mayor que 0,63
pero menor a 1 significa que el proceso no es adecuado, debido a que este
cálculo no tiene en cuenta el centrado calculamos el índice de capacidad real del
proceso:

(𝜇 − 𝐸𝐼) (𝐸𝑆 − 𝜇)
𝑐𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 [ ; ]
3𝜎 3𝜎
(318 − 310) (330 − 318)
𝑐𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 [ ; ]
3∙4 3∙4
𝑐𝑝𝑘 = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜[0,66 ; 1]
𝑐𝑝𝑘 = 0,66
Como el 𝑐𝑝𝑘 = 0,66 quiere decir que por lo menos uno de los limites no cumple
con las especificaciones, por lo tanto este proceso no funciona bien en cuanto al
volumen de envasado y esta descentrado a la izquierda.

6. A partir de los datos de las mediciones y usando el software minitab se realiza

un análisis preliminar de la capacidad del proceso:

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 10 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

Este análisis arroja como resultado un 𝑐𝑝 = 1,10 por lo que es un parcialmente

adecuado, además de tener un 𝑐𝑝𝑘 muy próximo al 𝑐𝑝 por lo que la capacidad
real y la potencial del proceso son similares, en cuanto al índice de Taguchi no
indica que el proceso cumple con las especificaciones y la media se encuentra
dentro de la tercera parte central de la banda de especificaciones.
b) Ahora realizamos el mismo análisis, pero estimando los indices con un
intervalo de confianza del 95%:

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 11 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

Este análisis nos permite entender mejor como es la capacidad del proceso, con
un intervalo de confianza del 95% podemos estimar el valor de nuestros
parámetros anteriores, el 𝑐𝑝 podría ser de 0,88 indicando que el proceso no es
adecuado pero también podría tener un valor del 1,32 lo cual haría que el
proceso sea adecuado, como vemos hay una variación importante entre los
limites de los intervalos para este parámetro, el 𝑐𝑝𝑘 tiene valores próximos al 𝑐𝑝
indicando que la capacidad real y la potencial son similares, y por último el 𝑐𝑝𝑚
puede ser de 0,89 indicando que no se cumple con las especificaciones o puede
tener un valor de 1,10 con lo cual el proceso si cumpliría con las especificaciones.
c) Como se observo con el análisis anterior no hay seguridad de que la capacidad
del proceso sea satisfactoria, ya que existe mucha incertidumbre del valor de los
parámetros, esto se podría solucionar tomando un número mayor de muestras
para realizar un mejor análisis.
d) Fue necesario estimar por intervalos debido a que no se sabía la media ni el
desvió estándar de la población, estos datos fueron inferidos a partir de una
muestra poblacional de 48 mediciones, y como el tamaño de la muestra no fue
muy grande, impacto en la incertidumbre de los índices de capacidad.

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 12 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

7. Elaboración de una bebida:

a) 𝐶𝑝 = 1.63 El proceso se clasifica como clase 1, esto quiere decir que el

proceso cumple de manera adecuada con las especificaciones establecidas,
es decir el proceso está centrado.
𝐶𝑝𝑘 = 0.65 Este valor nos indica que no se está cumpliendo con una de las
especificaciones y además como Cpk es menor que Cp nos estaría señalando
que la media este lejos del centro de especificaciones. Si observamos la gráfica,
se apreció que encontramos datos que están por debajo de la especificación
inferior corroborando lo anteriormente expuesto y que la media muestral está por
debajo del centro del rango.
𝑁 = 0,5 ∗ (𝐸𝑠 + 𝐸𝑖) = 0,5 ∗ (3 + 2,5) = 2,75
𝜇−𝑁 2,59896 − 2,75
𝐾= ∗ 100 = ∗ 100 = −60,416%
1 1
(𝐸𝑠 − 𝐸𝑖) (3 − 2,5)
2∗ ∗
2
Este valor de K nos estaría indicando que la distribución de datos esta
descentrada con respecto a los límites de las especificaciones y su centro, y al
ser un valor negativo se obtiene que la media es menor al valor central nominal.

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 13 de 16

 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

b) Si bien la capacidad del proceso es adecuada, este requiere de un ajuste

debido a que se obtienen productos con menor CO2 del requerido por las
especificaciones, esto se observa en aquellos datos que están fuera del límite
inferior y la descentralización de la distribución por lo que se obtiene una
media lejana al punto central del rango de especificaciones.

8. Métricas Seis Sigma

Tener un proceso Tres Sigma implica un proceso cuya capacidad para cumplir
especificaciones a corto plazo es igual a Zc = 3 y el índice es Cpk = 1.
Por lo tanto, se espera que el porcentaje de productos del proceso que cumplen
con especificaciones (área bajo la curva normal que cae dentro de
especificaciones) sea de 99.73% y sólo 0.27% los que no cumplen, lo cual
corresponde a 2 700 partes por millón (PPM) fuera de especificaciones. De
acuerdo con lo anterior, a primera vista un proceso Tres Sigma parece que tiene
un nivel de calidad adecuado. Sin embargo, tal calidad por lo general no es
suficiente por dos razones:
1) Un porcentaje de 0.27% de artículos defectuosos implica 2 700 partes
defectuosas por cada millón (PPM) producidas. En un mundo donde las
cifras de consumo anual para muchos productos son de varios millones,
esa cantidad de defectuosos es demasiado.
2) Lo anterior se agrava si consideramos la diferencia entre la capacidad de
corto y largo plazo, en donde los estudios indican que la media de un
proceso puede desplazarse hasta 1.5 sigmas respecto al valor nominal,
debido a factores externos y desplazamientos del propio proceso. Es decir,
que el índice Z puede tener un cambio o movimiento a largo plazo hasta
de 1.5 (Zm = 1.5), lo que podría implicar a largo plazo un aumento en la
taza de defectos PPM.
Por lo tanto, a corto plazo, si se tiene una calidad de tres sigmas, Zc = 3, pero
a largo plazo con este desplazamiento se tiene una calidad de 1.5 sigmas, ZL
= 1.5. esto implica una disminución de calidad a la mitad de lo que se obtiene
en el corto plazo generando insatisfacciones que pueden resultar catastróficas
para una empresa. Todo esto hace a la calidad Tres Sigma poco satisfactoria,
por eso se requiere tener una meta de calidad más elevada, y ésta se llama:
calidad Seis Sigma.
Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 14 de 16
 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

9. a) Se calcula los valores ZC y ZL y se obtiene lo siguiente:

𝑍𝑐 = 2.9032

𝑍𝐿 = 2.25

Se obtiene una diferencia entre estos dos valores de 0.6532, lo cual nos indica
que el proceso presenta cambia desde el corto al largo plazo. Esto es debido a
varios factores que no se tienen en cuenta en el corto plazo, como son los
cambios de temperatura, la materia prima utilizada, la calibración de las
herramientas y la mano de obra, entre otros.

b) El valor obtenido de sigma es el mismo que el valor de ZC el cual fue de

2.9032, lo que demuestra que el proceso presenta un nivel sigma cercano a
3, lo cual es una calidad aceptable.

c) Se prosigue a calcular Pp y Ppk, de los que se obtiene:

36 − 34 2
𝑃𝑝 = = = 0.83 𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑒ñ𝑜 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
6(0.40) 2.4

35.1 − 34 36 − 35.1
𝑃𝑝𝑘 = 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 [ , ] = 0.15 𝐷𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑒ñ𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜
3(0.40) 3(0.40)

Para este caso el proceso es inadecuado, esto se debe que el valor de Pp es

menor que 1 pero mayor que 0.67 por lo tanto es de clase 3 y no es adecuado
para el trabajo. También es evidente que Ppk no tiene un buen desempeño
debido a que el proceso esta descentrado.

d) Se calculan los valores Cp y Cpk:

36 − 34
𝐶𝑝 = = 1.07
6(0.31)

35.1 − 34 36 − 35.1
𝐶𝑝𝑘 = [ , ] = 0.21
3(0.31) 3(0.31)

Se puede observar a partir del valor de Cp que el proceso es adecuado, pero se

requiere un estricto control, sin embargo, el resultado de Cpk es menor que 1 y
por lo tanto el proceso no cumple las especificaciones.
Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 15 de 16
 Cátedra: Ingeniería en calidad – Titular: Ing. Orlando Taboada, JTP Ing. Sandra Torres.

e) El proceso trabaja con 2699.93 partes por millón.

10. a) Se prosigue a realizar los cálculos.

𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 = 𝑈
𝐷𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 = 𝑑
𝑂𝑝𝑜𝑟𝑡𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎 = 𝑂
𝐷𝑃𝑈 = 𝑑/𝑈
𝐷𝑃𝑈 = 1000/2000
𝐷𝑃𝑈 = 0,5
𝐷𝑃𝑂 = 𝑑/𝑈 ∗ 𝑂

𝑈 = 2000
𝑑 = 1000
𝑂 = 50
En promedio cada tarjeta producida tiene 50 % de defectos

𝐷𝑃𝑂 = 1000/(2000 ∗ 50)

𝐷𝑃𝑂 = 0,01
De un millón de tarjetas producidas se fabricaron 1000 con defectos
𝐷𝑃𝑀𝑂 = 1000.000 ∗ 𝐷𝑃𝑂
𝐷𝑃𝑀𝑂 = 10000
De un millón de tarjetas producidas se fabricaron 10.000 con defectos.

b) Se estima el nivel de sigma del proceso.

𝑦 = 𝑒 −𝐷𝑃𝑈 = 𝑒 −0.5 = 0,6065

𝑃(𝑍𝑍𝑦) = 1 − 𝑌
𝑃(𝑍 > 𝑍𝑦) = 1 − 0,6065
𝑃(𝑍 > 𝑍𝑦) = 0,2703
Suponiendo un desplazamiento de 1,5 sigmas .

𝑍𝑐 = 𝑍𝑦 + 1,5
𝑍𝑐 = 0,2703 + 1,5
𝑍𝑐 = 1,7703

Alvez, Gonzalez Ruiz, Jara, Meza, Rodriguez Página 16 de 16