UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS

FISICAS Y MATEMÁTICA
INGENIERÍA EN DISEÑO INDUSTRIAL

TEMA: CAPITULO 5 EJERCICIOS

TRABAJO GRUPAL

ASIGNATURA: CONTROL DE CALIDAD

QUITO, 23/01/2020
 1. ¿Cuándo se dice que un proceso es capaz o hábil?

Esto se dice cuando Cp tiene un valor de >1.33

2. Con respecto a los índices Cp y Cpk, explique:

a) ¿Qué mide el índice Cp?

Mide la relación entre la tolerancia especificada y la tolerancia natural del proceso
de capacidad de proceso.
b) ¿Qué significa que un proceso esté descentrado? Explique con un ejemplo.

Es cuando el proceso se inclina más hacia alguno de los lados izquierda o derecha esto indica que

el proceso sea descentrado. Es cuando el valor de índice Cpk es más pequeño que el Cp significa que la
media del proceso está alejada delas especificaciones
c) ¿El índice Cp toma en cuenta el centrado de un proceso? Argumente su respuesta.

Si por que la variabilidad del proceso en la tabla nos dice

d) ¿Por qué se dice que el índice Cp mide la capacidad potencial y el Cpk la capacidad real? Apóyese en los
puntos anteriores para explicar.

El índice Cp indica la variabilidad y de acuerdo a eso se ubica en una clase o categoría del proceso y el Cpk
representa el valor entre CPS Y CPI

3. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media y desviación
estándar están dadas por μ = 29.3 y σ = 0.5, calcule e interprete a detalle los siguientes índices:
Cp , Cpk, K, Cr y Cpm
7. 7. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una
industria en particular se fijó 3.0% como el estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe
directamente de los establos lecheros. Si de los datos históricos se sabe que μ = 4.1 y σ = 0.38:

a) Calcule el Cpi e interprételo.

b) Con base en la tabla 5.2, estime el porcentaje fuera de especificaciones.

c) La calidad es satisfactoria?

Datos)

μ−EI 4.1−3
a) CPI= = =0.964
3σ 3(0.38)
No es adecuado ya que CPI debe ser mayor a 1.25

b) Como CPI= 0.964, el porcentaje fuera del as especificaciones es de 0.3467%

c) La calidad no es satisfactoria ya que CPI debe ser mayor o igual a 1.25.

8. En el ejercicio 17 del capitulo 2, con ES = 6, estime el índice Cps e interprételo.

Cps = 0.131

El proceso no es adecuado ya que el valor debe ser menor a 1.25

9. Para el ejercicio 21 del capitulo 2, estime el Cpi e interpretelo.

 μ−EI 44−40
CPI= = =1.025
3σ 3 ( 1.3 )

El índice no es el adecuado ya que Cpi debe ser mayor a 1.25.

10-. En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad para la crema,
que tenga 45% de grasa, con una tolerancia de +- 5. De acuerdo con los muestreos de los últimos
meses se tiene una media de 44.5 con una desviación estándar 1.3. Realice un análisis de capacidad
para ver si se cumple con la calidad exigida Cp, Cpk, K, Cmp)

Datos
N=45
+- = 5
µ=44.5
σ=1.3
ES=50
EI=40
ES−EI
Cp=
6σ
50−40
Cp= =1.282
6(1.3)
ES−µ
Cps=
3σ

50−44.5
CpS= =1.410
3(1.3)

µ−EI
Cpi=
3σ
 44.5−40
Cpi= =1.153
3(1.3)

CPK = 1.153

µ−N
K=
1/2(ES−EI )

44.5−45
K= =−0.1
1/2(50−40)

ES−EI
Cpm= τ =√ σ 2 ¿ ¿
6τ

50−40
τ =√ ¿ ¿ ¿ Cpm= =1.128
6 (1.477)

11-. El volumen de un proceso de envasado debe de estar entre 310 y 330ml. De acuerdo con los
datos históricos que µ=318 y σ=4 ¿el proceso de envasado funciona bien en cuanto al volumen?
Argumente su respuesta.

Datos
N=320
+- = 10
µ=318
σ=4
ES=330
EI=310
Es−EI
Cp=
6σ

330−310
Cp= =¿0.833
6( 4)

6σ
Cr=
Es−EI

6(4)
Cr= =¿1.2
330−310

ES−µ
Cps=
3σ

330−318
CpS= =1
3(4)
 µ−EI
Cpi=
3σ

318−310
Cpi= =0.666
3( 4)

ES−µ µ−EI
Cpk= mínimoCPS= ,CPI =
3σ 3σ

Cpk= 0.666

µ−N
K=
1/2(ES−EI )

318−320
K= =−0.2 ( 100 ) =−20 %
1/2(330−310)

ES−EI
Cpm= τ =√ σ 2 ¿ ¿
6τ

330−310
τ =√( 4)2+ ¿ ¿ Cpm= =0.745
6 (4.472)

El proceso es adecuado solo que tiene, pero tiene una variabilidad hacia la izquierda

12-. El porcentaje de productos defectuosos en un proceso es de 2.3%. Con base a la tabla estime
Cp de este procesó

0.0000%

13. Si un proceso tiene un Cps = 1.3, estime las PPM fuera de especificaciones (apóyese en la tabla 5.2).

Según la tabla 5.2 el proceso está fuera de la especificación por un PPM=96.231

14.La especificación del peso de una preforma en un proceso de inyección de plástico es de 60 ± 1 g. Para
hacer una primera valoración de la capacidad del proceso se obtiene una muestra aleatoria de n = 40
piezas, y resulta que X – = 59.88 y S = 0.25.

a) Estime con un intervalo de confianza a 95% los índices Cp, Cpk y Cpm, e interprete cada uno de ellos.
Según este intervalo se puede decir que el proceso tiene una capacidad potencial media debido a que se
incluye el 1.33.

De acuerdo al Cok se puede decir que en el proceso hay cierta incertumbre.

Según el intervalo se dice que el proceso tiene una capacidad media.

b) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso sea satisfactoria?

No hay seguridad ya que el proceso no está estable y existe incertidumbre sobre la capacidad real por que
el tamaño de la muestra es pequeño y esto demuestra y se sugiere seguir un control del proceso.

c) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo?

Para tener una mayor certidumbre acerca del valor verdadero de la capacidad del proceso.

15. Conteste los primeros incisos del problema anterior, pero ahora suponga que el tamaño de la muestra
fue de n = 140. ¿Las conclusiones serían las mismas?

No serían las mismas ya que debido a su tamaño real la muestra tendría un número más elevado y el
proceso se tendría una capacidad estable.

16. Realice el problema 14 con de n = 40 piezas, X = 59.88 y S = 0.15.

a) Estime con un intervalo de confianza a 95% los índices Cp, Cpk, y Cpm, e interprete cada uno de
ellos.
S
ẋ±t α
2 √n

0.15
59.88±1.96
6.32
[ 59.926,59.834 ]
μ esta dentro de esteintervalo

[√ ( n−1) S 2
X2α
2
,n−1
,
√ (n−1) S2
X2 α
1− ,n−1
2
]
( 39 ) 0.152 ( 39 ) 0.152
[√ 58.12
,
√
24.43 ]
[ 0.122,0 .189 ]
ơ esta dentro de este intervalo
μ=0.5(59.926+59.834)=59.88
ơ =0.5(0.122+0.189)=0.155
ES−EI 61−59
Cp= = =2.15
6ơ 6(0.155)
Categoría del proceso clase mundial. El proceso es seis sigma.
μ−EI ES−μ
Cpk=Minimo [ 3ơ
,
3ơ ]
59.88−59 61−59.88
Minimo
[ ,
3(0.155) 3(0.155) ]
Minimo [ 1.89,2 .40 ]
Cpk=1.89
1.25 ˂ 1.89 El proceso tiene una capacidad satisfactoria.
ES−EI 61−59
Cpm= = =1.70
6τ 6( 0.196)

τ¿ √ ơ 2 +( μ−N )2

τ¿ √ 0.1552 +(59.88−60)2

El proceso cumple con las especificaciones

b) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso sea satisfactoria?
La capacidad del proceso es satisfactoria.
c) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo?
Se utiliza el intervalo para encontrar la estimación puntual buscada.

17. La longitud de una pieza metálica debe ser de 8cm +¿ ¿ 40 mm. Para evaluar la capacidad del
−¿ ¿
proceso se toma una muestra aleatoria sistemática de 48 piezas y las mediciones obtenidas se reportan
como las micras que se desvían del valor nominal:

Longitud (desviación en micras de valor nominal)

-10 -31 -16 -7 0 3 0 -21

8 -7 -2 -7 -14 -2 5 8
-2 -5 8 2 -45 -12 -5 12
-19 18 -10 -14 -5 -10 7 12
4 5 -2 5 -13 14 5 -9
-2 3 20 -4 -4 1 4 17
a) Considerando con las especificaciones son 0 +¿ ¿ 40, obtenga una gráfica de capacidad
−¿ ¿
(histograma con tolerancias) y haga una evaluación preliminar de la capacidad del proceso.

b) Estime, con un intervalo de confianza de 95% los índices Cp, Cpk y Cpm, e interprete cada uno de
ellos.
n= 48
x= 8
s= 0.40

ES−EI 8.40−7.60
Cp= = =0.65
6ơ 6 (12.21)
ES−EI 8.40−7.60
Cpm= = =0.00829
6τ 6 ( √ 12.2142 ) 2+(−2.435−8)2

−2.43−7.60 8.40+24375
Minimo
[ 3(12.214)
,
3(12.212) ]
Minimo [ 0.65,0.58 ]
Cpk=0.58
Significa que la capacidad real y potencial está un poco distante por lo que se recomienda corregir el
problema de descentrado para alcanzar la capacidad potencial indicada.
 c) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso es satisfactoria?
No, debido a que Cp es menor a 0.67 por lo que requiere modificaciones serias
d) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo?

18. En el problema 24 del capítulo 2 se desea garantizar que el porcentaje CO 2 (gas) está entre 2.5 y 3.0.
Por medio del análisis de los datos obtenidos.

Datos

ES=3.0
EI =2. 5
μ=2.65
ơ =0.056
N=¿ 2.75
a) Calcule los índices de capacidad del proceso, en especial K, Cp y Cpk e interprételos.
b) Con la evidencia obtenida, ¿Cuál es su opinión acerca de la capacidad del proceso referido?

ES−EI 3.0−2.5
Cp= = =1.48
6ơ 6(0.056)
Es de clase 2 y es adecuado.

μ−EI ES−μ
Cpk=Minimo [ 3ơ
,
3ơ ]
2.65−2.5 3.0−2.65
Minimo
[ ,
3(0.056) 3( 0.056) ]
Minimo [ 0,89, 2.08 ]
Cpk=0.89
Como el Cpk es menor que 1, entonces el proceso no cumple por lo menos una de las especificaciones

u−N
K= x 100
0.5( ES−EI )
2.65−2.75
K= x 100
0.5 ( 3.0−2.5 )
K=40 %
La media del proceso esta desviada un 40% a la izquierda del valor nominal, por lo que el centrado del
proceso es inadecuado y esto contribuye de manera significativa a la baja capacidad del proceso para
cumplir con la especificación superior.

19. Considere las siguientes 80 mediciones de tiempo de ciclo de un proceso en días. Las especificaciones
son EI = 0 y ES = 50, siendo en realidad esta última la que preocupa:
a) Dibuje un histograma y verifique si los datos cumplen el supuesto de normalidad. Aplique alguna prueba
de normalidad utilizando un paquete estadístico.

b) Haga el análisis de capacidad suponiendo normalidad.

ES−EI
C p=
P 0,99865−P0,00135

50−0
C p=
99,865−0,135
C p=0,50

c) Usando un paquete estadístico encuentre una distribución que se ajuste razonablemente a los datos.
Luego estime los índices Pp, Ppi, Pps y Ppk con el método de percentiles de Clements.
d) Estime los índices del inciso anterior transformando previamente los datos a normalidad con el método
de Box-Cox.

e) Compare los resultados obtenidos. ¿Cuál será la mejor estimación? Argumente.

Métricas Seis Sigma

20. ¿Qué significa que un proceso tenga un nivel de calidad Tres Sigma? ¿Por qué ese nivel no es suficiente?

Tener un proceso Tres Sigma significa que el índice Z correspondiente es igual a tres y es considerado un
nivel de calidad adecuado.

Por ejemplo, una sola empresa que fabrica aparatos telefónicos produce más de 10 millones de aparatos
por año, lo cual, con calidad Tres Sigma, implica que 27 000 consumidores tuvieron problemas con su
aparato nuevo. Estaremos de acuerdo en que 27 000 clientes no satisfechos en menos de un año es un lujo
que, en el contexto de la competitividad global, una empresa no puede darse. En suma, la calidad Tres
Sigma implica demasiados errores.

Lo anterior se agrava si consideramos la diferencia entre la capacidad de corto y largo plazo, en donde los
estudios indican que la media de un proceso puede desplazarse hasta 1.5 sigmas respecto al valor nominal,
debido a factores externos y desplazamientos del propio proceso. Por lo tanto, a corto plazo, si se tiene una
calidad de tres sigmas, Zc = 3, pero a largo plazo con este desplazamiento se tiene una calidad de 1.5
sigmas, ZL = 1.5. Todo esto hace a la calidad Tres Sigma poco satisfactoria.

21. Explique ¿cuál es la diferencia entre capacidad de corto y de largo plazo? ¿Cómo se deben obtener los
datos si se quiere estimar capacidad de corto y largo plazo?

La diferencia entre los dos radica en los períodos de tiempo que se toman para las muestras, en la
capacidad de corto plazo se utiliza un período corto para que no haya influencias externas en el proceso, de
esta manera representa el potencial del proceso, es decir, lo mejor que se puede esperar del mismo y en la
capacidad de largo plazo se utiliza un período largo para que los factores externos si influyan en el proceso.

Para obtener los datos en la capacidad de corto plazo se usa la siguiente fórmula:

Ŕ
σ=
d2
Para obtener los datos en la capacidad de largo plazo se usa la siguiente fórmula:

σ =S
22. Explique la métrica Seis Sigma (el estadístico Z).

El índice Z se emplea como métrica en Seis Sigma cuando la característica de calidad es de tipo continuo;
sin embargo, muchas características de calidad son de atributos. En este caso se utilizará como métrica a
los Defectos por millón de oportunidades de error (DPMO), que explicamos en seguida.

23. Dé un ejemplo donde se apliquen las siguientes métricas: DPU, DPO y DPMO, e interprete.

En una fábrica de muebles, durante la etapa de ensamble del producto se quiere evaluar el desempeño del
proceso. El producto tiene 24 puntos de ensamble; por lo tanto, en la inspección final se evalúa cada uno de
los puntos de ensamble. De los resultados del último mes se tiene que, de 2 000 sillas revisadas, se
encontraron 120 puntos de ensamble insatisfactorios. A continuación, veamos cómo evaluar esta situación
en término de las métricas Seis Sigma.

 DPU (defectos por unidad)

d
DPU =
U
DONDE:
d: defectos
 U: número de unidad inspeccionadas

120
DPU = =0.06
2000

Conclusión: Esto significa que, en promedio, cada silla tiene 0.06 ensambles defectuosos (en 100 sillas se
esperarían seis ensambles defectuosos).

 DPO (defectos por oportunidad)

d
DPO=
UxO
DONDE:
d: defectos
U: número de unidad inspeccionadas
O: número de oportunidades de error por unidad

120 120
DPO= = 0.0025
2000 x 24 48000
Conclusión: Lo cual significa que de 48 000 ensambles (oportunidad de error) se fabricaron 120 con
algún defecto.

 DPMO (Defectos por millón de oportunidades)

DPMO=1000000 xDPO
DPMO=1000000 x 0.0025=2500
Conclusión: De un millón de ensambles realizados (24 por silla) se espera tener 2 500 con algún tipo
de defecto, lo cual habla de que no se tiene un proceso Seis Sigma, ya que para ello se requiere
tener 3.4 DPMO como máximo.

24.Si una característica de calidad tiene una especifi cación de 35 ± 1, y de acuerdo con datos
históricos se tiene que μ = 35.1, y una desviación estándar de corto plazo igual a 0.31, y de largo
plazo igual a 0.40, resuelva lo siguiente: a) Obtenga Zc y ZL, y diga por qué difi eren de manera
importante. b) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso? c) Obtenga los índices Pp y Ppk e interprete.
d) Obtenga los índices Cp y Cpk e interprete. e) ¿Con cuántas PPM trabaja este proceso?

a) Zc difiere de ZL porque la desviación estándar de corto plazo solamente toma en

cuenta a una muestra pequeña del proceso en un periodo de tiempo corto donde no
influyenfactores externos como mano de obra, maquinaría, materiales, turnos,etc.
b)

c)
d) El valor de es mayor que 1 y menor que 1.33
por lo tanto es de clase 2 y es
Parcialmente adecuado y requiere un control estricto.
25) . Considere que los datos del ejercicio 15 del capítulo 2 se obtuvieron con 28 muestras de
tamaño 4 cada una, y los datos están ordenados por renglón (cada renglón representa dos
muestras). Resuelva lo siguiente: a) Obtenga la desviación estándar de corto y largo plazo. b)
Calcule Zc y ZL, e interprete. c) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso? d) Obtenga Pp y Ppk. e)
¿Con cuántas PPM trabaja este proceso?
26. A partir de los datos de la tabla 5.5 del ejemplo 5.7 obtenga lo siguiente: Son 36 muestras con 5 datos
cada uno: d2=2.326 (según apéndice A1)

µ=552,5

ES=558

EI=542

a) Obtenga desviación estándar de corto y largo plazo.

Desviación estándar de corto plazo
R = 4,6c=Rd
σ 2c=4,6(2,326)
σc=1,98σ
Desviación estándar de largo plazo
L=Sσ
L=1,96σ
b) Calcule Zc y ZL, e interprete.
Zc
Zs=ZL
Es - µ
Zs=σ
Zs=Es - µσ
558 - 552,5
Zs=1.98
558 - 552,51.96
Zs=2.78
Zs=2.81
 Zi=µ - EI
Zi=µ - EIσ
Zi=σ
552,5 – 542
Zi=1.98
Zi=Zc=1.96
5.31
Zi=mínimo [Zs,Z1]
Zc=552,5 – 542
5.36
ZL= mínimo [Zs,Z1]
2.78
ZL=2.81
Zm = Zc – ZL
Zm =-0.03Si Zm es menor a 1,5 el proceso tiene un mejor control que el promedio de los procesos
con control pobre

c) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso?Zc=2,78 sigmas

d) Obtenga Pp y Ppk.

Pp

Pp=ES - EI

6 Lσ

Pp=ES - EI

6 Lσ

Pp =1,36

Ppk =0,94

d) ¿Con cuántas PPM trabaja este proceso?

PPML= 29,37 - (Zc - 0,8409 2)= 2,221
PPML= 29,37 - (2,78 - 0,8409) 2=2,221
101802= PPM

27. De 2000 tarjetas electrónicas producidas se detectaron 1000 defectos. Cadatarjeta tiene 50
componentes.
a. Calcule los índices DPU y DPMO e interprete

Unidades inspeccionadas U

Defectos d

Oportunidades de error por unida O

DPU = d/U

DPU = 1000/2000

DPU = 0,5

DPO = d/U*O

2000

1000

50

En promedio cada tarjeta producida tiene 50 % de defectos

DPO = 1000/(2000*50)DPO = 0,01

De un millón de tarjetas producidas se fabricaron 1000 con defectos

DPMO = 1000.000 * DPO

DPMO = 10000

De un millón de tarjetas producidas se fabricaron 10.000 con defectos

b. Estime el nivel de sigmas de este proceso

Sigmas

y=e ^-DPU

(2,7183) ^-0,5

0,6065

P(ZZy)= 1-Y

P(Z>Zy)= 1-0,6065

P(Z>Zy)= 0,2703

Suponiendo un desplazamiento de 1,5 sigmas

Zc= Zy +1,5

Zc =0,2703+1,5

Zc =1,7703

28. Se examinaron cuatro características críticas en una muestra de 500 órdenes de compra. En 25 de las
órdenes fueron encontrados 50 errores de diferentes tipos.

a) Obtenga el DPU y el DPMO.

d
DPU =
U
25
DPU = =0.5
50
d
DPO=
U∗O
25 25
DPO= = =0.125
50∗4 200
b) Estime el nivel de sigmas de este proceso.

Y =e−DPU

Y =e−0.5=(2.7183)−0.5=0.6065
DISTR.NORM.ESTAND.INV (0.6065) = 0.27

Zc = ZY + 0.5

Zc = 0.27 + 0.5 = 0.77

29. Un proceso tiene cinco defectos codificados con las letras A, B, C, D, E. Los siguientes datos fueron
colectados en cierto periodo, registrando (D) defectos, unidades (U) y oportunidades (O).

a) Con base en los datos de la tabla, obtenga el DPU, el DPO y el DPMO para cada tipo de defecto, así como
para el total.

b) Obtenga una estimación de la probabilidad de que el producto no tenga ese defecto, Y = e−DPU, y con
ello el nivel de sigmas de largo y corto plazo para el defecto correspondiente.

c) Considere todos los defectos y determine cuál es el nivel de sigmas del proceso.

Característi DPM Y =e−DPU

D U O U*0 DPU DPO ZL ZC
ca O

Tipo A 2 450 1 4500 0.0444 0.0044 4400 0.9565 1.71 3.21

0 0
Tipo B 1 350 1 5250 0.0428 0.0029 2900 0.9581 1.73 3.23
5 5

Tipo C 6 200 2 5000 0.03 0.0012 1200 0.9704 1.89 3.39

 5

Tipo D 2 350 1 4200 0.0714 0.0059 5900 0.9310 1.49 2.99

5 2
Tipo E 3 400 1 6000 0.075 0.005 5000 0.9277 1.46 2.96
0 5

Total 9 1750 7 13475 0.0548 0.0007 700 0.9466 1.61 3.11

6 7 0

d
DPU =
U
d
DPO=
U∗O
DPMO=1000000∗DPO

Y =e−DPU donde e¿ 2.7183

DISTR.NORM.ESTAND.INV(Y)

Zc = ZY + 1.5; suponiendo un desplazamiento de 1.5 sigmas

El Nivel de sigmas del proceso A es 3.21

El Nivel de sigmas del proceso B es 3.23

El Nivel de sigmas del proceso C es 3.39

El Nivel de sigmas del proceso D es 2.99

El Nivel de sigmas del proceso E es 2.96

El Nivel de sigmas del proceso TOTAL es 3.11

30. Se proyecta la producción de una nueva pieza y se requiere establecer sus

especificaciones. Para ello, a partir de una producción preliminar se obtiene una
muestra pequeña de n = 35 piezas, se mide y se obtiene X = 26.3 y S = 0.3. Con base
en esto obtenga los límites de tolerancia natural, considerando confianzas de γ = 90%
y 95% y coberturas dadas por α = 0.10 y 0.05. Explique los cuatro intervalos obtenidos.

γ=90%
α=0,10

Límite de tolerancia
K= X  K ( , )

S=90,00%
1,998

X  K (90,0,10 )
S =26,3 ± 0,60= (25,7 , 26,9)

γ=95%
α=0,05

Límite de tolerancia
K=2,49
X  K ( , )

S=95,00%
X  K ( 95 , 0 , 05 )

S=26,3 ± 0,75= (25,55 , 27,05)

31. Si en el problema anterior las especificaciones deseadas, de manera preliminar y

de acuerdo con los requerimientos de diseño son 26 +- 1, obtenga el Cp, que se
tendría en cada uno de los casos indicados arriba. (Nota: recuerde que el Cp es una
razón entre la amplitud de las tolerancias deseadas y la amplitud de la variación del
proceso, lo cual se calculó en el inciso anterior)

Ẋ ± K(ϒ ,α)

S=26 ± 1=𝐸𝑆−𝐸𝐼
Cp=[25 , 27]
6ơ
Cp=27−25
6 0,3

Cp= 27,234−25,366
6 0,3

Cp= 27,047−25,553
6 0,3
Cp= 1,11
0,66
=0,83

32. Si en el punto anterior los Cp obtenidos son malos, ¿Qué alternativas hay?

Los Cp obtenidos en el ejercicio 30 corresponden a la clase 3 y se los considera malos. Para esto es
necesario aumentar el número de la muestra a 40, la confianza a 99% y el límite de confianza en un 99%
para obtener un índice K de 6.518. Con este índice se tiene los siguientes Cps.99,0, 0,1

33. Con respecto al problema 30:

a) Resuelva dicho problema considerando que se obtuvieron los mismos datos (x= 26.3, s=0.3), pero con
un tamaño de muestra n= 110

Datos:

X= 26.3

S=0.3
n=110

Límites de tolerancia natural

Y=90%

𝛼= 0.10

K ( y , α )=1.822
x∓ K ( y,α) s
26.3 ∓(1.822)(0.3)

¿ {25.75 , 26.84 }

Y=95%

𝛼= 0.05

K ( y , α )=2.23
x∓ K ( y,α) s
26.3 ∓(2.23)(0.3)

¿ {25.7 ,27.0 }

b) Compare los intervalos anteriores con los obtenidos recientemente, por qué tienen distinta amplitud?

Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuye normal con media y varianza conocida igual,
pero esto varía respecto al tamaño de la muestra, por tanto su longitud es más amplia.

34. Supongamos que la longitud de un ensamble final, y, está dado por la siguiente combinación lineal de
tres componentes individuales: y = x1 + 3x2 + x3. Para la longitud final se tiene una tolerancia de 180 ±
2.5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuyen normal con media y varianza
conocida: x1 ∼ N(39.8, 0.23), x2 ∼ N(60.1, 0.59) y x3 ~ N(79.9, 0.92). Todas las longitudes están
dadas en milímetros, y pueden suponerse independientes, ya que son producidas en máquinas
diferentes. Encuentre el porcentaje de ensambles finales que cumplen con las especificaciones.

y = x1 + 3x2 + x3
Especificaciones de diseño= 180 ± 2.5
x1
∼
N(39.8, 0.23)
x2
∼
N(60.1, 0.59)
x3 ~ N(79.9, 0.92)
y = x1 + 3x2 + x3
Distribución Normal con media:
μ y=39,8 + 3*60,1 + 79,9
μ y=300
Varianza:
σ²y=(0,23)^2 + (3*0,59)^2 + (0,92)^2
σ²y=4,03
Desv. estandar =2,01
Porcentaje de ensambles que caen dentro de las especificaciones:
[177,5 , 182,5]
P(177,5 ≤ y ≤ 182,5)= P(y≤182,5) - P( y ≤ 177,5)
Φ *(182,5 - 300)/√4.03+
Φ(-58,53)
- Φ *(175,5 - 300)/√4.03+
- Φ(-62,02

35. La longitud de un ensamble final, y, está dado por la siguiente combinación lineal de cuatro
componentes individuales: y = x1 + 3x2 + x3 + x4. Para la longitud final se tiene una tolerancia de 107
± 1.5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuye normal con media y varianza
conocida: x1 ∼ N(19.8, 0.15), x2 ∼ N(10, 0.09), x3 ∼ N(25.02, 0.3) y x4 ∼ N(32, 0.23). Todas las
longitudes están dadas en milímetros, y pueden suponerse independientes porque son producidas en
máquinas diferentes.
a) ¿Qué porcentaje de ensambles finales cumplen con especificaciones?
b) Calcule el Cp y Cpk para el ensamble final e interprete.
c) En caso de que la capacidad sea inadecuada, ¿qué alternativas sugiere?
105,5 , 108,5]
x1 ~ N(19,8, 0,15)
X2 ~ N(10, 0,9)
X3 ~ N(25,02, 0,3)
X4 ~ N(32, 0,23)
y=x1+3x2+x3+x4
Distribución normal con media
μy =19,8+3*10+25,02+32
106,82
Varianza
ơ ^2y =(0,15^2)+((3^2)*(0,9^2))+(0,3^2)+(0,23^2)
ơ ^2y =7,4554
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza
Desv.estandar = 2,73
Porcentaje que cae dentro de las especificaciones
P(105,5 ≤ y ≤ 108,5)= P(y≤108,5) - P( y ≤ 105,5)
108,5−106,82
7,54
- Ø(=Ø(108,5−106,82
7,54
1,68
2,73
=Ø(105,5−106,82
7,54
105,5−106,82
7,54
−1,32
2,73
Distr.Norma(X, media, desv.estandar,Acum) - (Distr.Norma(X, media,
desv.estandar,Acum)
0,73081556
De los productos ensamblados caen dentro de los límites de
41,64% especificación

36. Se diseñan las tolerancias de un ensamble lineal de tres piezas, de forma que la longitud final está dada
por y = x1 + x2 + x3. Las especificaciones para el ensamble final son de 32.00 ± 0.7.

Las longitudes de los componentes, x1, x2 y x3, son independientes y se distribuyen normal con medias μ1
= 12, μ2 = 8, μ3 = 12, respectivamente.

Se desea definir los límites de tolerancias para los ensambles individuales de tal forma que al menos
99.73% de los ensambles finales esté dentro de especificaciones. Realice lo anterior suponiendo que la
variación de los componentes individuales es proporcional a su longitud.

Solución

EI =31.3 ; EI =32.7
3
µ y =∑ α i µi=µ1 + µ2+ µ3 =12+ 8+12=32
1

Luego:

0.7
3 σ y2=0.7 ≫σ y 2= =0.233333
3
3
2
σ =∑ α i σ i2 ≤ ( 0.23333 ) , basta con tomar : σ y 2=0.054444
2
y
1

Como las varianzas son proporcionales a la longitud:

σ 12=12c ; σ 22=8 c ; σ 32=12 c ; con c constante de proporción

3
σ y2 =∑ α i σ i2 =¿ σ 12+ σ 22 +σ 32=12 c +8 c +12 c=32 c ¿
1

2 σ y 2 0.054444
σ =32 c ≫ c=
y = ≫ c=0.017014
32 32

σ 12=12 ( 0.017014 )=0.2014665

σ 22 =8 ( 0.017014 )=0.136111

σ 32 =12 ( 0.017014 )=0.2014665

Los límites quedarían:

x 1 : µ1 ± 3 √ σ 12=¿ 12 ±1.3466 ¿

x 2 : µ2 ± 3 √ σ 22=8 ± 1.1068

x 3 : µ3 ±3 √ σ 32=12 ± 1.3466
37. Resuelva el problema anterior pero ahora suponga una especificación para el ensamble final de 32.00 ±
0.9, y analice los cambios en las especificaciones de los componentes individuales.

EI =31.1 ; EI =32.9
3
µ y =∑ α i µi=µ1 + µ2+ µ3 =12+ 8+12=32
1

Luego:

0.9
3 σ y2=0.9≫ σ y2 = =0.3
3
3
2
σ y2 =∑ α i σ i2 ≤ ( 0.23333 ) , basta con tomar : σ y 2=0.09
1

Como las varianzas son proporcionales a la longitud:

σ 12=12c ; σ 22=8 c ; σ 32=12 c ; con c constante de proporción

3
σ y2 =∑ α i σ i2 =¿ σ 12+ σ 22 +σ 32=12 c +8 c +12 c=32 c ¿
1

2 σ y 2 0.09
σ =32 c ≫ c=
y = ≫ c=0.028125
32 32

σ 12=12 ( 0.028125 ) =0.3375

σ 22 =8 ( 0.028125 )=0.225

σ 32 =12 ( 0.028125 ) =0.3375

Los límites quedarían:

x 1 : µ1 ± 3 √ σ 12=¿ 12 ±1.7428 ¿

x 2 : µ2 ± 3 √ σ 22=8 ± 1.4230

x 3 : µ3 ±3 √ σ 32=12 ± 1.7428

38. Dos partes son ensambladas como se muestra en la figura 5.10. La distribución de x1 y x2 es normal
con μ1 = 19.9, σ1 = 0.28, y μ2 = 19.45, σ2 = 0.42. La especificación para el claro entre las dos piezas es
0.50 ± 0.38.

El claro u holgura del ensamblaje es y= x1-x2

Varianza

ơ ^2y =0,28^2 + 0,42^2

ơ ^2y =0,25

Desv.estandar =

μ y=0,50
19,9 - 19,45

μ y=0,45

EI=0,12

ES=0,88

a) ¿Qué porcentajes de los ensambles cumplen con la especificación del claro?

P(EI< y < ES)= ((uy)/ ơy)

P(y<EI)+P(y>ES) = ((-uy)/ ơy)

P(y<0.12)+P(y>0.88) = ((0.45)/ 0.5)

0.12−0.45 0.88−0.45
=0.45( )+0.45( )
0.5 0.5
= -0.297 + 0.387

= 0.09

0.09 % Cumple con las especificaciones del claro

39. Resuelva el problema anterior, pero ahora considere σ2 = 0.52. Comente y compare los resultados.

El claro u holgura del ensamblaje es y= x1-x2

Varianza

ơ ^2y =0,28^2 + 0,52^2

ơ ^2y =0,35

Desv.estandar =

μ y=0,50

19,9 - 19,45

μ y=0,45

EI=0,12

ES=0,88

a) ¿Qué porcentajes de los ensambles cumplen con la especificación del claro?

P(EI< y < ES)= ((uy)/ ơy)

P(y<EI)+P(y>ES) = ((-uy)/ ơy)

P(y<0.12)+P(y>0.88) = ((0.45)/ 0.6)

0.12−0.45 0.88−0.45
=0.45( )+0.45( )
0.6 0.6
= -0.2475 + 0.3225

= 0.08
0.08% Cumple con las especificaciones del claro

En el ejercicio 38 tenemos un porcentaje de 0.09 % y en cambio con σ2 = 0.52, Tenemos un porcentaje de

0.08%, porcentaje insignificante en el

40. El volumen de agua en el generador de hielo de un refrigerador es igual a la velocidad de llenado, V, por
el tiempo de llenado, T. La velocidad de llenado la controla una válvula y al tiempo un cronómetro; ambos
equipos son fabricados por diferentes proveedores, por lo que se consideran independientes. De los datos
de los proveedores se sabe que: V se distribuye normal con μ = 20 cm3/s y σ = 0.35 cm3/s; en tanto, T
también se distribuye normal con μ = 6.1 s y σ = 0.42 s. Obtenga por medio de la simulación Monte Carlo
los límites naturales de tolerancia del volumen = V × T.
41. Como parte del ensamble de un producto, en la fi gura 5.12 se aprecia el ensamble de una barra
diagonal. La longitud (L) de la barra se distribuye normal con μL = 300 mm y σL = 0.3 mm. El ángulo, θ, de la
diagonal con la base también es una variable aleatoria que se distribuye normal con μθ = 45°, y σθ = 0.4°.
Con estos elementos interesa conocer los límites naturales de tolerancias para la altura, H, de la base al
final de la barra diagonal (vea la fi gura 5.11).

a) Dado que H = SENO(θ) × L, mediante simulación Monte Carlo obtenga la media y la desviación estándar
de H.

b) De las simulaciones hechas para obtener H, construya un histograma y con base en éste vea si es
razonable suponer que H se distribuye normal.

c) Con los datos de la simulación obtenga el mínimo, el máximo y el rango para H.

d) Suponga distribución normal y obtenga los límites naturales de tolerancia para H.

SOLUCIÓN