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    Formas Cuadraticas

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    Karina Escalante Zegarra
    1) El documento presenta una serie de problemas relacionados con álgebra lineal, incluyendo formas cuadráticas, valores y vectores propios de matrices simétricas, y subespacios vectoriales. 2) Se definen conceptos como matrices simétricas definidas positivas o negativas, y se establecen propiedades equivalentes como tener valores propios estrictamente positivos. 3) Los problemas propuestos involucran demostrar propiedades de formas cuadráticas, ordenar matrices simétricas, y calcular espacios nulo e imagen de aplic

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    1) El documento presenta una serie de problemas relacionados con álgebra lineal, incluyendo formas cuadráticas, valores y vectores propios de matrices simétricas, y subespacios vectoriales. 2) Se definen conceptos como matrices simétricas definidas positivas o negativas, y se establecen propiedades equivalentes como tener valores propios estrictamente positivos. 3) Los problemas propuestos involucran demostrar propiedades de formas cuadráticas, ordenar matrices simétricas, y calcular espacios nulo e imagen de aplic

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    de 2

    Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas Universidad de Chile

    MA1102-6 Álgebra Lineal


    Profesor: Mauricio Telias H.
    Auxiliar: Arturo Merino F.

    Auxiliar 15 : Formas Cuadráticas y Repaso Examen


    19 de diciembre del 2016

    Recordemos:
    Dada A ∈ Mnn (R) simétrica definimos q : Rn → R: 4. El método de Gauss permite escalonar A solo
    con operaciones del tipo Epq (α) p < q permite
    q(x) = xt Ax escalonar A y además los pivotes son siempre
    estrictamente positivos.
    Sea A ∈ Mnn (R) simétrica diremos que A es defi-
    nida positiva si ∀x 6= 0 tenemos que xt Ax > 0. Si 5. A = RRt con R triangular inferior y de diago-
    −A es definida positiva diremos que A es definida nal estrictamente positiva.
    negativa.
    Sea q = xt Ax forma cuadrática, existe L invertible
    Sea A ∈ Mnn (R) simétrica. Las siguientes proposi- tal que z = Lx, entonces en términos de z:
    ciones son equivalentes:
    q(z) = z12 + · · · + zp2 − (zp+1
    2
    + · · · + zr2 )
    1. A es definida estrictamente positiva.
    2. Los valores propios de A son estrictamente po- Donde p es el número de valores propios positivos
    sitivos. de A y r es el número de valores propios no nulos (o
    3. Las menores principales de A: de manera equivalente rango(A)).

    a a12 Identidad útil:
    A(1) = |a11 | A(2) = 11 . . . A(n) = |A|
    a21 a22
    c
      
    2 2
     a x
    ax + by + cxy = x y 2
    son todas estrictamente positivas. c
    2 b y

    P1. [P3 Control 3, Año 2015]


    a) Supongamos que 0 < a < b < c y consideremos la matriz:
     
    a a a
    A = a b b
    a b c

    Pruebe que A es definida positiva.


    b) Supongamos que u1 , . . . , un ∈ Rn .
    (i) Pruebe que:
    n
    X
    B= ui uti
    i=1

    es semi-definida positiva. Además pruebe que si x Bx = 0, para algún x ∈ Rn entonces para todo i =
    t

    1, . . . , n se tiene que uti x = 0.


    (ii) Suponga ahora que {u1 , . . . , un } es una base de Rn , pruebe que B es definida positiva.
    P2. [Orden para las matrices simétricas]
    Sea S ⊆ Mnn (R) el conjunto de matrices simétricas. Definimos la siguiente relación en S:

    A ≥ B ⇐⇒ A − B es semi-definida positiva.

    a) Demuestre que ≥ es una relación de orden.

    1
    Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas Universidad de Chile

    b) Demuestre que si A ≥ 0, entonces existe


    √ B ≥ 0 tal que B 2 = A.
    Obs: Llamaremos a dicho B como A.
    √ √ −1 √
    c) Sea A ≥ 0 invertible. Demuestre que A−1 ≥ 0 y que A es invertible. Más aún muestre que A = A−1 -
    d) Sea A ≥ 0 invertible. Demuestre que:
    A ≥ I =⇒ I ≥ A−1
    e) Sea A, B, C ≥ 0. Demuestre que
    A ≥ B =⇒ CAC ≥ CBC
    f ) Sean A, B ≥ 0 invertibles. Demuestre que:
    A ≥ B =⇒ B −1 ≥ A−1

    Examen 2008-2
           
     1
    * 0 2 1  +
     1 1 1 2 4 4 4
    P3. Sea S = 1 1 1 2 un subespacio de R . Si f : R → R es una aplicación lineal que cumple
     , , , 

     
    1 1 1 2
     
    con:        
    0 1 0 −1
    0 −1 0  0 
    1 =  1  (iii) f 0 =  0 
    (i) Ker(f ) = S, (ii) f        

    0 1 1 1
    a) Encontrar una base de S, reduciendo el conjunto generador dado.
    b) Usando el Teorema Núcleo-Imagen, determine la dimensión de Im(f ).
    c) Encontrar una base de Im(f ).
    d) Determinar explicitamente la aplicación f .
    P4. a) Sea P ∈ Mnn (R) una matriz ortogonal, es decir, P t = P −1 . Pruebe que si v, z ∈ Rn son tales que v = P t z
    entonces kvk = kzk.
    b) Dada H ∈ Mnn (R) simétrica, demuestre que:
    αkzk2 ≤ z t Hz ≤ βkzk2 , ∀z ∈ Rn
    donde α es el mı́nimo valor propio de H y β es el máximo valor propio de H.
    P5. Sea z ∈ Rn . Considere la matriz A ∈ Mnn (R) definida por: A = I + zz t
    a) Pruebe que A es diagonalizable.
    b) Pruebe que z es vector propio de A y calcule su valor propio correspondiente.
    c) Sea µ ∈ Rn ortogonal a z. Pruebe que µ es vector propio de A asociado al valor propio 1.
    d) Pruebe que el subespacio ortogonal a z tiene dimensión n − 1.
    e) Encuentre todos los valores propios de A y sus multiplicidades.
    f) Calcule el determinante de A.
    g) Encuentre β ∈ R tal que A−1 = I + βzz t .

    P6. [Propuesto/Fórmula de Courant-Fischer y Optimización]


    Sea A ∈ Mnn (R) una matriz simétrica. Se definen:
    m = mı́n xt Ax M = máx xt Ax
    kxk=1 kxk=1

    Demuestre que m es el menor valor propio de A y que M es el mayor valor propio de A. Use esto para minimizar la
    función f (x, y) = x2 − y 2 + xy + 15 en el conjunto S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.

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