Sesión N◦ 3 : Números Reales

Matemáticas I

25 de marzo de 2024

Matemáticas I Daniel Proleón

Números Reales

Denotamos por R el conjunto de números reales el cual pensamos como una extensión
de los racionales Q y por lo tanto N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. La suma de dos números reales
a, b ∈ R se denota por a + b y el producto por a · b.

−1 0 1 2
Z

Teorema
√
2 no es racional.

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Números reales

Propiedades
∀a, b, c ∈ R, [a + (b + c) = (a + b) + c ∧ a · (b · c) = (a · b) · c]
∀a, b ∈ R, [a + b = b + a ∧ a · b = b · a]
∀a, b, c ∈ R, [a · (b + c) = a · b + a · c]
∀a ∈ R, [a + 0 = a ∧ a · 1 = a]
∀a ∈ R, ∃b ∈ R, [a + b = 0]
∀a ∈ R − {0}, ∃b ∈ R, [a · b = 1]

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Axioma (de Orden)
∀a, b ∈ R, [(a > 0) ∧ (b > 0)] → [(a + b > 0) ∧ (ab > 0)]

∀a ∈ R, (a > 0) Y (a = 0) Y (a < 0)

∀a, b ∈ R, [(a < b) ↔ (b − a > 0)]

Definición
Dados a, b ∈ R,
a ≥ b ↔ (a > b) ∨ (a = b)
Si a > 0 diremos que a es positivo. Si a < 0 diremos que a es negativo.
Si a ≥ 0 diremos que a es no negativo. Si a ≤ 0 diremos que a es no positivo.

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Teorema
Si a, b, c, d ∈ R entonces
Exactamente sólo una de las siguientes 1 > 0.
condiciones siempre es verdadera: a < b y c < 0 implica b · c < a · c
a < b, b < a, ó a = b.
Si a < b entonces −b < −a.
a < b y b < c implican a < c.
a < b y c < d implica a + c < b + d. Si a · b > 0 entonces ambos son
positivos o ambos son negativos.
a < b y 0 < c implica a · c < b · c.
1 1
Si a 6= 0 entonces a2 > 0. 0 < a < b implica 0 < <
b a

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Acotamiento

Definición
Un subconjunto A ⊂ R es acotado superiormente si

∃M ∈ R, ∀x ∈ A, [x ≤ M]

La constante M se denomina una cota superior.

Gráficamente: z }| {
A cotas superiores
x M
↑
cota superior

Ejemplo
Con respecto al conjunto A = [0, 2[:
A es acotado superiormente pues ∀x ∈ A, x ≤ 2.
2 es cota superior de A.
El conjunto de todas las cotas superiores de A es [2, +∞[.

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Definición
Un subconjunto no vacı́o A ⊂ R tiene un elemento máximo denotado por m = máx A
cuando
m ∈ A ∧ ∀x ∈ A, [ x ≤ m ]

Ejemplo
A = [0, 2[ no posee máximo pues ninguna cota superior pertenece al conjunto.
B = [0, 2] posee máximo y máxB = 2, pues 2 es cota superior y pertenece al
conjunto.

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Definición
El supremo de un conjunto A acotado superiormente es la menor de las cotas superiores.
Denotaremos el supremo por sup A.

Axioma (Completitud o del Supremo)

Todo subconjunto no vacı́o de R y acotado superiormente tiene supremo.

Ejemplo
A = [0, 2[ tiene supremo pues es acotado superiormente y supA = 2.
B = [0, 2] tiene supremo pues es acotado superiormente y supB = 2.
√
C = {x ∈ Q : x 2 < 2} tiene supremo pues es acotado superiormente y supC = 2.
N no posee supremo pues no es acotado superiormente.

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Observación
Sea A un conjunto acotado superiormente, luego
supA es cota superior de A.
supA es la menor de las cotas superiores. Es decir,
si c es cota superior de A entonces supA ≤ c.

Ejemplo
Sean A, B ⊂ R conjuntos acotados superiormente. Luego,

A ⊂ B → supA ≤ supB.

Solución Por definición de supremo de B,

∀x ∈ B, x ≤ supB.

Dado que A ⊂ B,
∀x ∈ A, x ≤ supB.
Luego, supB es cota superior de A.
Por definición de supremo, supA es la menor de las cotas superiores de A, ası́

supA ≤ supB.

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Consecuencias del Axioma del Supremo

El conjunto de los números naturales no es acotado superiormente.

1
Propiedad Arquimediana: Para todo ε > 0, existe n ∈ N, tal que < ε. Es decir,
n
 
1
ı́nf :n∈N =0
n

Existencia de la raı́z cuadrada. Para todo a > 0 existe b > 0 tal que a = b 2 .

Existencia del máximo entero: Para todo x ∈ R, existe un único n ∈ Z tal que

n ≤ x < n + 1.

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Teorema
Si p(x) = ax 2 + bx + c donde a, b, c ∈ R y a 6= 0, entonces el polinomio tiene raı́ces reales
si y sólo si b 2 − 4ac ≥ 0. En este caso
√
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
y definimos ∆ = b 2 − 4ac como el discriminante del polinomio.

Observación
El discriminante ∆ nos dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación cuadrática ax 2 +
bx + c = 0, donde a, b, c ∈ R y a 6= 0 :

2
 cuando ∆ > 0
número de soluciones reales = 1 cuando ∆ = 0

0 cuando ∆ < 0


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PC1 2017-2
Sean a, b ∈ R con a 6= 0. Dada la ecuación cuadrática

2ax 2 + (3a − 1)x + a + b = 0.

Determine los valores de b de modo que exista un único valor de a que permita que las
raices de la ecuación cuadrática sean iguales.

Solución
Raı́ces iguales: (para la ecuación cuadrática en x)

∆ = 0 ↔ (3a − 1)2 − 4(2a)(a + b) = 0 ↔ a2 − (8b + 6)a + 1 = 0

Raı́ces iguales: (para la ecuación cuadrática en a)

1
∆ = 0 ↔ [−(8b + 6)]2 − 4(1)(1) = 0 ↔ (8b + 6)2 = 4 ↔ b = − ∨ b = −1
2

Rpta. Los valores de b son − 12 y b = −1. 

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Máximo Entero

Definición
El máximo entero de un número real x se denota por JxK y se define de la siguiente manera:

JxK = n ↔ n ∈ Z ∧ n ≤ x < n + 1

Gráficamente:

x
n−1 n n+1
JxK

Ejemplo
√
a) J 2K = 1 c) J5K = 5
b) JeK = 2 d) J−πK = −4

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Proposición

a) ∀x ∈ R, JxK ∈ Z. f) ∀x ∈ R, ∀m ∈ Z, JxK ≤ m ↔ x < m +1

b) ∀x ∈ R, JxK ≤ x < JxK + 1.

g) ∀x ∈ R, ∀m ∈ Z, JxK < m ↔ x < m
c) ∀x ∈ R, JxK = x ↔ x ∈ Z .
h) ∀x ∈ R, ∀m ∈ Z, JxK ≥ m ↔ x ≥ m
d) ∀x ∈ R, ∀m ∈ Z, Jx + mK = JxK + m .

e) ∀x ∈ R, JJxKK = JxK. i) ∀x ∈ R, ∀m ∈ Z, JxK > m ↔ x > m

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Ejemplo
Determine el conjunto solución de:
√
a) Jx − 1K = 2
s {
1
b) 2 < x − ≤4
2

Solución
√
a) Supongamos que existe x ∈ R tal que Jx − 1K = 2.
Definición:
√ √ √ √
Jx − 1K = 2↔ 2∈Z ∧ 2≤x < 2+1↔F

Contradicción: notamos que tal x no puede cumplir con la igualdad.

Rpta. CS = ∅. 

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b)
q y q y q y
2 < x − 12 ≤ 4 ↔ x− 1
2
= 3 ∨ x − 21 = 4 el máx. entero es entero

1 1
↔ 3≤x− 2
<4∨4≤x − 2
<5 definición de máx. entero

7 9 9 11
↔ 2
≤x < 2
∨ 2
≤x < 2
7 9
 9 11

↔ x∈ 2
, 2
∨x ∈ 2
, 2
7 11

↔ x∈ 2
, 2
def. de unión
 
7 11
Rpta. CS = , . 
2 2

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Ejercicio
Determine el conjunto solución de:
s { s s {
1 1
−x + 1−3 − x = −3
2 2

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Ejercicio
Determine por extensión el siguiente conjunto:
n rx rx rx z z z o
B= x ∈Z: + + =3 .
4 4 4

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PC1 Mate1 2021-0
a) Demuestre que para cada n ∈ Z

JxK < n ↔ x < n + 1

b) Determine el conjunto solución de

s {
5 − 3x
= 2.
x

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PC1 Mate1 2021-0
Dados los conjuntos
( 2 )
(−1)m
 
5 p
A= 2− : m∈N , B= x− + 15 : 25 − x 2 ∈ R
m+1 2

Responda lo siguiente:
a) El ı́nfimo de A es
b) El supremo de B es
c) El ı́nfimo de B es

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