Matemáticas 3ro - Sec.ib - Pamer

3
SECUNDARIA
Tu Nombre:
Tu Sección:
GENERAL
Pág.
Álgebra 05
Aritmética 31
Geometría 61
Razonamiento Matemático 101

ÁLGEBRA
Primer Bimestre
3
SECUNDARIA
Pág.
Potenciación y ecuación exponencial 07
Radicación y ecuación exponencial 10
Polinomios I 13
Polinomios II 17
División algebraica de polinomios 20
Productos Notables I 23
Productos Notables II 26
Repaso 29
Potenciación y ecuación exponencial
POTENCIACIÓN Ejemplos:
0
(-3)0 = 1 ⇒ ( 2) =
−
4 00
an = P

no definido
a : base: a ∈ � ¡Cuidado!
n : exponente; n ∈ N TEOREMAS
P: potencia: P ∈ R 1. a m +n
am ⋅ an =
DEFINICIONES a) m3 ⋅ m −5 ⋅ m6 =
m 4 b) b4 ⋅ b3 =
b7
1. Exponente natural m a ∈ � − {0}

2. a = a m −n ;
Si a ∈ � ∧ n ∈ N +, definimos: a n m≥n
⋅ a ⋅
a ⋅ a =a n
a ⋅ ... m6 m= b7
6−3
m3 b) 7 −( −3 )
"n" veces =
a) 3 = b= b10
m −3
b
Ejemplos:
n
3. (a m ) =a
mn
a. ⋅ 2 ⋅
2
⋅ 2 =2 10 = 1024
2 ⋅ ...
2 5
10 veces
a) ( m3 ) = m6 b)
( a −4 ) = a −20
b. x ⋅ x ⋅
 x ⋅= ⋅ x x m ;m ∈ N +
... ¡Cuidado…!
m veces
( )2 ≠
a −3
( −3 )2
a −32
 ≠ a
2. Exponente negativo: a −6 ≠ a9 ≠ a
−9
Si: a ∈ R – {0}, definimos:
(=
b)
n
() an ; b ≠ 0
n a
a −n
= 1
= 1 4.
a an bn
Ejemplos:
n
5. ( ab )= a n ⋅ bn
() ()
−2 2
a) 2= 3
= 9
3 a 4 ( 2m )3 =23 ⋅ m3 =8m3
a)
( 15 ) = 5= 125
−3
b) 3
Ecuaciones exponenciales
Son aquellas donde la incógnita aparece únicamente
3. Exponente cero: en el exponente.
Si: a ∈ � − {0}, definimos: Propiedades:
a0 = 1
1. a x = a y a ≠ {–1; 01} ⇒ x =
y
Observación:
00 no esta definido. 2. a x = b x a ≠ b ⇒ x=
0
3ro SECUNDARIA 7 Álgebra

Trabajando en clase
1. Reduce: 7. Calcula “R” en: Da como respuesta el valor de
x2.
(x 7 )m .(x 3 )m 2 +38
A= Resolución:
x
10m 4 +13+1
1+ 2 =
R + 30
x≠0 Como observamos las bases

son potencias de 2.
2. Reduce: 8. Simplifica
(m+5) veces
 
(2m-1) veces 3x +1 + 3x +2 + 3x +3 2x ×(22)x+1 × (23)x+2 = (24)x+3
A=
x −1 x −2 x −3
x 2 ⋅ x 2 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 3 ⋅ x 3 ⋅ ... ⋅ x 3 3 +3 +3
4 4 4 4
x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
 2x + 2 3x + 16 4x + 12
Resolución:
(2m −1) veces x 2 x +1 3 x +2 4 x +5
Se factoriza, tanto como en el 2 ⋅2 ⋅2 =
2
numerador y denominador, la Al tener producto de bases
3. Reduce: base de menor exponente: iguales se tiene:
−2 x +1 (
2 2 ( )2 2
M = ( a 3 ) ⋅ a −3 ⋅ a −3 ⋅ ( a −3 ) ⋅ ( a −3 ) = 3
A
) 3x +=1 3=4 81
1 + 31 + 32=
6x +8 4x +12
3x −3 ( 32 + 31 + 1) 3
x −3 2 = 2
4. Calcula:
∴ 6x + 8 = 4x + 12
9. Simplifica:
( ) + ( 13 ) + ( 21 ) + ( 53 )
−2 −1 −3 0
M= 1 2x = 4
2 x +3
+ 5 x + 4 + 5 x +5 x =2
R=5
5x −3 + 5x −4 + 5x −5
Resolución:
13. Luego de resolver:
( ) + ( 13 ) + ( 21 ) + ( 53 )
−2 −1 −3 0 10. Calcula:
M= 1 3x ⋅ 27 x + 4 ⋅ 8 x +1 =
243x +5
2
x +2 x +2y
⋅4
22 + 31 + 23 + 1 =
16 J=2
x −2
8 ⋅16 y +2
Da como respuesta “x + 3”
5. Calcula:
11. Resuelve:
() () ()
−2 −1 −2
14. Sabiendo que:
R= 2 + 4 + 1 + 50
3 3 2 ⋅ 4 ⋅
4 4 ⋅ ...
⋅ 4 = 8
+ 8 + 8
+ ... + 
98 x y =2 ∧ y x =1
( x −4 )veces 8 veces 2
6. Simplifica:
Determina el valor de:
63 ⋅124 ⋅156 ⋅ 59 12. Luego de resolver:
1011 ⋅ 313 ⋅ 54
2 x ⋅ 4 x +1 ⋅ 8 x +2 =
16 x +3
( xy 1+ x
⋅yx
1− y
)
Álgebra 8 3ro SECUNDARIA

SIGO PRACTICANDO −2 −3
1 1
⋅  
Integral 8 16
22. Resuelve: A=   
15. Reduce donde {a; b; m} ∈ r  1 
−4
 64 
 
a) a
⋅ a ⋅
a ⋅
... ⋅a =
16 veces a) 1 c) 1 e) 1
8 2 64
5 5 5 5
b) b
⋅ b ⋅
b
⋅ ... ⋅ b = 1
12 veces b) 1 d)
16 32
7 7 7 7
c) m ⋅ m ⋅
m
⋅ ... ⋅ m = UNMSM
x +3
(m+4) veces ⋅ 25x + y
23. Calcula: T= 5
125x −1 ⋅ 625y +1
d) −32 + ( −3 )2 + 3−2 =
a) 0 c) 5 e) 25
(4m-3)veces
(7m-8)veces b) 1 d) 10
16. Reduce: A= x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x 7 ⋅ 7⋅
7 ⋅
... ⋅7 = 49 + 49 +49
+ ... + 49
x ⋅ x ⋅
x ⋅ ... ⋅ x 24. Resuelve: (

x−5) veces 7 veces
(11m−15)veces
26 4 a) 8 c) 7 e) 49
a) x b) x c) x-4
b) 9 d) 14
d) x15 e) x-26
25. Si: 2x = 3 ∧ 3y= 2 Calcula: E = 4x+1 + 9y + 2
( ) ( ) ( )
2 2 2 −2
⋅ x −3 ⋅ x (
2 −3 )
17. Reduce: E = x 3 ⋅ x −3 ⋅ x −3 a) 360 c) 362 e) 120
b) 361 d) 260
a) x6 c) x-3 e) x-9
b) x9 d) x-6
2
26. Resuelve: 34x 96+x 2710x =814+x

( )
2 a) 4 c) 6 e) 8
x 3  x 3 x −2 
b) 5 d) 7
18. Reduce: G=  
x⋅ x −2
( ) UNI
a) 1 c) x2 e) x4 y x
27. Sabiendo que: x = 4 ∧ y = 1
b) x d) x3 2
 1+ x 1− y 
Católica Calcula: y =  xy ⋅ y x 
 
16 22 10 a) 2 c) 16 e) 64
L = 8 ⋅18 ⋅ 25
19. Simplifica:
424 ⋅1020 ⋅ 8111 b) 4 d) 32

a) 2 c) 6 e) 10
b) 4 d) 8
28. Si:
5 Calcula: x2 + 1
5 + 43 + 2
4 +1 a) 5 c) 7 e) 9
20. Calcula “P” en: P= 5 + 3
b) 6 d) 8
a) 48 c) 200 e) 300
b) 40 d) 248
29. Al resolver el sistema: xy = yx y2 = x3
Calcula el valor de y/x
x +3 x +3
327 = 279 a) 2 c) 1 d) 1
21. Resuelve: 3 3 2
a) -1 c) -3 e) -6

b) -2 d) -4
b) 3 d) 1
2 2

Potenciación y ecuación exponencial
RADICACIÓN EN 
3
16 3 16
• = = 3=
8 2
n a = b ⇒ a = bn
3
2 2
n: índice; n ∈ N,n ≥ 2 m n p m⋅n⋅p

+ 3. x = x1
a: cantidad subradical; a ∈ � 0
b: raíz, b ∈ � Ejemplos:
m 48
n m n m • 4 3 24
Además: n
x= x= x x 48= 48
x= 24 x 2
x=
Ejemplos:
4. Radicales sucesivos
3 3 3
• 9= 9= 3= 27
n m p n n⋅m⋅p
2 x y z = x ⋅ n⋅m y ⋅ z
• 4 16 = 2 ya que 2 = 16
• 3 −8 =−2 puesto que (-2)8= -8
Además:
• −16 =∃ en � ¡Cuidado! n p c m⋅n⋅p
xa m x b x = x(am + b)+ p+c
TEOREMAS Ejemplos:
3 3⋅2 6 13
1. n
x⋅y =
n
x ⋅
n
y en • x 5 ⋅ x=
3
x 5⋅2+=
3
x
si n es par entonces x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 30
x(
5 3 3⋅2+1)⋅3+9
3 9 5⋅2⋅3
Ejemplos:
• =
x x x = x 30 = x
9 6
• 3 x 9 ⋅ y 6 = 3 x 9 ⋅ 3 y 6 = x 3 y 3 = x 3y 2 ECUACIONES TRASCENDENTALES
4 4 4 4 Son aquellas donde la incógnita aparece tanto en la
• 8⋅ 2= 8⋅2 = 16 = 2 base como en el exponente.
n a Teorema:
n a
= ;b ≠ 0
2. b n b x x = aa ⇒ x = a

Si n es par entonces a ≥ 0; b ≥ 0 Ejemplo: x x = 27 ⇒ x x = 33
Ejemplos: Resuelve: ∴ x =3
1
 
Cuidado!! x x =  1  4  → x = 1 ∨ x = 1
4 81
4 81
• = = 3 4 4 2
16 4 2
16

Trabajando en clase
1. Calcula: Reemplazando el valor de “x”
3 5 en el problema:
⇒2 x +1 =2 4⇒ 3 =
x + 5
5  125  x +1 x + 4 3 3 3
• M= 4 + ( −8 ) 3  8  7 E = 9 ⋅ 33+1 = 32.34 = 36
⇒ 3x + 12 = 5x + 5 ⇒ x =
2
32 = 9
3 3
• N = 25 ⋅ 5 − 8 ⋅ 2
5. Resuelve: 2
Si: x 7⋅2 162 ⋅ 324 , calcula
9. =
5 4 x +3 x +5
64 243 27 = 81 x

• =P
5
+
4
el valor de: =
R 4 ⋅ x x +2
2 3
5 6. Calcula: 10. Resuelve:

• Q 3
= 64 − 1024
−2−1 −1−5 −5−4 −4 −2 3 3 3
N = 25−4 − 4 −2 − 2−1 + 1−5  2 ⋅ ... ⋅ 3
2 ⋅ 2⋅ 2 = 4
⋅ 4 ⋅
4 ⋅ ...
⋅4
30 veces (x +2)veces
2. Resuelve:
7. Reduce:
13 13 13 x+y x
x14 ⋅ x11 ⋅ x 11. Si 3x = 5y , calcula E = 15
R ;x ≠ 0
5 5
x9 ⋅ x6 =M x
3
x
4
x ⋅
4 3
x7
12. Resuelve: 27 x ⋅ x 3x =
4
3. Reduce: Resolución:
33
8. =
Si: x 275 ⋅ 813 , calcula el
15 7 11 17 x
x 27 ⋅ x17 ⋅ x (33 ) × x3x = 22
J ;x ≠ 0 x
11 15 7 valor de: E = 9x x +1
x −5 ⋅ x −3 ⋅ x 3
m
3 3x × x 3x = 22; Recordar : a m × bm = (ab)
(3x)3x = 22
Resolución: Þ 3x = 2
4. Resuelve: 2
Tenemos que encontrar x para \x=
3
x +1 x +4 determinar lo que nos piden,
8 = 32 para eso vemos que {27; 81}
son potencias de 3, entonces: 13. Resuelve:
Resolución: 4 x ⋅ x 2x =
27
Como {8; 32} son potencias de
(33 ) (34 ) =
27 5 3 27 15 12 27 27
2, entonces:
x= 3 ⋅3 = 3 14. Reduce:
xx x +1
xx
x +1 x +4 =M ,x ≠ 0
23 = 25 x x2
x=3 x

SIGO PRACTICANDO
Integral UNMSM
15. Calcula: 23. Resuelve:
1 3
2 4 5 × 4 5 × 4 5 ×...× 4 5 = 25×25×25×...×25
a) 49 2 + ( −8 ) 3 +   =  4 2
(x+4) veces
9
40 veces
4 4 3 3
b) 27 ⋅ 3 + 5 ⋅ 25 = a) 1 c) 3 e) 5
81
3 b) 2 d) 4
c) 512 − =
2 3
3 24. Si: 3a =2b, calcula el valor de la siguiente expresión:
d) 625 + 3 729 = a +b a
A= 6
4 8 4 10 4
x ⋅ x ⋅ x6 ; x ≠ 0 a) 1 c) 3 e) 6
16. Reduce: M = 6 4 6 2
b) 2 d) 4
x ⋅ x 2y +6
a) 2 c) x3 e) x5 25. Reduce: A = 2y +6 6
b) 1 d) x2 12 y +3
7 40 8 11 9 8 a) 3 c) 3y e) 3
17. Reduce: L = x ⋅ x ⋅ x b) 3y+3 d) 9
;x ≠ 0
9 −1 7 −9 8 −5
( 5 3 2 ) 5 24
3
x ⋅ x ⋅ x
a) x c) x7 e) x10
26. Calcula:
A= ( 2 )
b) x5 d) x8 a) 2 c) 8 2 e) 2 2
−3−1
18. Calcula: M = 64 { −3−1
+ ( − 32 )
−
3
5 } b) 4 2 d) 2
a) –2 c) 1 e) 0 UNI
b) 4 d) 2 x
x x +2
Católica 27. Reduce: xx
A=
x2 x 4
19. Calcula: x
4 2
1
2 1
5
2 1
5
5 3
1
T = 64 4 + 9 + 1 a) 1 c) x2 e) 1
b) x d) x3 x
a) 3 c) 8 e) − 3
b) 8
23 d) 24
3 8
24 23 12
27. Si se sabe que: x x =62.
20. Reduce: M = 3 a 2 4 a 3 5 a 4 ⋅ 3 4 5 a
Calcula: x 24 + x12 + 1
a) a c) a2 e) a60
1 a) 5 c) 13 e) 33
b) d) a3
a b) 7 d) 21
5 x x
−x
25x −1 = 3 5x +2 29. Reduce: E = 2 +3
21. Resuelve: x x
a) 12 c) 16 e) 20 6 +1
b) 14 d) 18
a) 1 c) 1 e) 1
x +3
⋅ 27 3 5
22. Reduce: E = x +1 3
243 b) 1 d) 1
x 2 4
a) 1 c) 3 e) 3
b) 9 d) 9x

Polinomios I
1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA 3. MONOMIO
Es una expresión matemática en la cual, para la Es un término algebraico, cuyos exponentes de
variable o variables sólo se definen las operacio- sus variables son números naturales.
nes aritméticas (adición, sustracción, multiplica-
Ejemplos:
ción, división, potencia y raíz) un número finito
de veces. • R(x;y) = 2x5y4; Q ( x; y ) = 3xy 4
Ejemplos:
4. POLINOMIOS
y ) 29x 3 − 7 xy
• R(x) = 6x-5 ;S ( x;=
Es aquella expresión algebraica cuyos exponentes
2 3
• Q(x) = 1 + x + x +x + … de sus variables son enteros no negativos (positi-
vos o cero)
2. TÉRMINO ALGEBRAICO Ejemplos:
Es una expresión algebraica que no admite las • P(x;y) = 3x7y5 – 2x3y2- 8
operaciones de adición y sustracción.
es un polinomio
Ejemplo:
−3 2
3 5 3x 3 y
Q ( x; y ) 5x
= = y ; R ( x; y ) • R(x;y) = πx y
3 2
+ 3x 5
+ 2xy 2
2xy
no es polinomio
A. Partes de un término algebraico

−3 4 2 5
• Q(x;y) = 2x y − 3x y
P ( x; y= 5 ⋅ π x8y 5
)  
Zona Coeficiente Parte no es polinomio
de literal
variables
5. GRADOS DE UN POLINOMIO
B. Términos semejantes Los grados se clasifican en:
Son aquellos términos que tienen la misma
parte lateral (las mismas variables afectados
por los mismos exponentes)
A. Grado Relativo (G.R)
Es el mayor exponente de la variable de refe-
Ejemplo:
rencia
Ejemplo:
• R ( x; y ) = 2x 3y 5 ∧ Q ( x; y ) = 5x 3y 5
• R(x;y) = 5x 3y 2 − πx 4 y 3 − 2x 5 y 2
⇒ G.R(x) = 5 ∧ G.R.(y) = 3
Por lo tanto R y Q son términos semejantes.

B. Grado Absoluto (G.A.) =  + P(0)
M P(2) 
Se define como el grado de un polinomio.
=
M 8 + 0
5 4
P(x; y;z) = 3x y z − 3x y z + 3xy 2 3 2 6 M = 10
   
G.A.(5+ 4 +1) G.A.(2+3+2) G.A.(1+6)
G.A.=10 G.A.=7 G.A.=7
7. CAMBIO DE VARIABLE
∴ G.A(P) =
10
Consiste en cambiar una variable por otra.
Ejemplo:
6. VALOR NUMÉRICO
YY Sea P(x) =2x -3, calcula P(3x - 5)
Es el resultado de cambiar la variable por una
Resolución:
constante.
Pondremos “3x-5” donde vemos “x”
Ejemplo:
YY Sea P(x) = 3x + 2; calcula M = P(2) + P(0) P (3x -5) = 2(3x -5) – 3
P(2)= 3(2) + 2= 8 ∴ P(3x -5) = 6x -13
P(0)= 3(0) + 2= 2
Trabajando en clase
P(m) = 5(m +3) + 2 Resolución:
3 Recordar:
1. Si 5x a +3 ⋅ y 8 ∧ x 8 y b+2 son P(m) = 5m + 17
5
términos semejantes, calcula
“a +b” ΣCoeficientes=P(1)
Ahora cambiamos la variable
Término
(m) por la variable que no pi- =P(0)
den que es (2x -1) Independiente
2. Calcula el grado relativo y el
grado absoluto en cada caso: P(2x+1) = 5(2x-1) + 17
Por dato: T.I. = -15 en el poli-
P(2x-1) = 10x +12 nomio
=
YY P(x, y,z) 3x 2y 5z3 + πx 4 y 3z6 + 3x 7
5. Si P(x +3) = 2x – 5, calcula ⇒ T.I. P(0) = (0-1)47 + (0+2)3

3 3 10 3 6
YY R(x; y) = 2x y + 5x +2 y + 0-3 +a
P(x-5)

3. Sea: P(x-1) = 2x – 3, calcula −15 =−1 + 23 − 3 + a
6. Suma: 8x a + b y16 ∧ bx 8 y a −b −15 =4 + a
P(3) – P(-2)
7. Si el grado absoluto de R es 11, ∴ a =−19

4. Si: P(x-3) = 5x + 2, calcula
determine el valor de “n”.
P(2x-1)
Ahora, la suma de coeficientes:
Resolución:
R(x;y) =x3n−1y n − 2x2n−2y 2n + x n+3y 3n ΣCoef =
P(1)
Se cambia la variable (x-3) por
(m) ΣCoef = (1 − 1)47 + (1 + 2) + 1 − 3 + a
8. Si: P(x) = (x-1)47 + (x +2)3+x-
x −3 =m 3+ a, y su término indepen- ΣCoef = 0 + 33 − 2 + a
diente es -15, calcula la suma ΣCoef = 27 − 2 − 19
x= m + 3
de coeficientes de P(x) ∴ΣCoef = 6

9. Si: P(x) = (x-1)42 + (x+1)4 + 11. En el siguiente polinomio: °
x + 2 + m, y su término in- n − 7 ≥ 0 ∧ n = 3 ∧ 10 − n ≥ 0
3
dependiente es 10, calcula la P(x;y) = xa yb-1 + xa+1 yb –xa-
suma de coeficientes de P(x) 2
+ xa+3yb+1 n ≥=
7 n {0;3;6,9;...} ∧ n ≤ 10
Donde:
10. Sea F(x) un polinomio que ∴ 7 ≤ n ≤ 10 ⇒ n =
9
G.R(x) = 10, G.A. = (P)=113.
cumple con F(x+1) =3F(x)
-2F(x-1), además: Determina el G.R.(y)
F(4) = 1 ∧ F(6) =4. 13. Calcula el valor de “n” en el
siguiente polinomio.
Calcula F(5)
12. Calcula el valor de “n” en el n
Resolución: siguiente polinomio: n−22
P(x) = 7x − 2x 5 + 13x 29−n
Tenemos: n
F(x + 1)= 3F(x) – 2F(x – 1) P(x) = 2x n−7 + 3x 3 − 5x10–n
Si: x = 5; reemplazamos 14. Si P(x) = ax2 + bx + c
⇒ F(6) = 3F(5) – 2F(4) Resolución:
Además:
4 = 3F(5) – 2(1)
Recordar que un polinomio
4 + 2 = 3F(5) P(0) = 3; P(-1) = 7; P(1) = 1
tiene exponente enteros no
2 = F(15) negativos (positivo o cero) Calcula P(2)
SIGO PRACTICANDO
Integral 17. Si P(2x+1) = 4x2 – x + 1, calcula P(2)
15. Si: 3xm–5 y4 + 7x6yn–2 son términos semejantes,
a) 2 c) 3/2 e) 3
calcula «m – n»
b) 1/2 d) 5/2
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
18. Si M(x) = 3 – x2, calcula: A = M(4) − M(5)
M(0)
16. Calcula el grado relativo y grado absoluto en cada caso: a) –35/8 c) –2 e) 3

b) –35/3 d) 2
A. P(x;y;z) = x4y2z3 – 3x6y9z + 5x4
Católica
G.R.(x) = __________
19. Si el grado absoluto de «P» es 23, calcula el valor
de «m»
G.R.(y) = __________
P(x, y, z) = 1 xmy5x10 – 3xm+2yz5 + 3my17
G.A.(P) = __________ 2
B. P = ( x; y ) = 3 x 4 y 2 − 8xy 5 + 7xy 3 a) 7 c) 9 e) 11
b) 8 d) 10
G.R.(x) = __________
G.R.(y) = __________
G.A.(P) = __________

20. En el polinomio: 25. Si el término independiente de
P(x + 2) = x2 –mx + 3m – 1 es 7, calcula «m»
P(x;y) = x3n–1 yn – 2x2n–3y2n +3xn–3y3n
a) 1 c) 4/5 e) 1/5
Se tiene que: G.A.(P)=11, calcula «n» b) 3/2 d) 3/5
a) 1 c) 3 e) 5 26. Si la suma de coeficientes de

b) 2 d) 4
( )
P 2x + 5 = x 2 + 3mx + 1 es 5, calcula «m»
x +1
21. Si el monomio: P(x;y) = 9x3y4nzn–m
a) –2 c) 0 e) 2
Tiene: G.R.(y) = 16 y G.A.(P)=20, calcula «m.n» b) –1 d) 1
a) 5 c) 12 e) 2 UNI
b) 20 d) 10
27. Sea F(x) =ax + b, además f(0) = 3 y F(1) =5, cal-
22. Calcula «a+b» en P ( x; y ) = 3 x 5a +b . 3a b
4 , si cula «a • b»
G.A.(P) = 24 y G.R.(x) = 17
a) 2 c) 4 e) 6
a) 2 c) 4 e) 6 b) 3 d) 5
b) 3 d) 5
28. Si P(x) = ax2 + b; P(P(x)) =8x4+ 24x2 + c; el valor
de a + b + c
UNMSM
23. Sea P(x) un polinomio que cumple con a) 26 c) 0 e) 32
P(x+3) = 2P(x+1) + 5, además P(2) = 6, calcula b) 28 d) 31
P(6).
29. Determina un polinomio P(x) de segundo grado
a) 35 c) 38 e) 40 cuyo coeficiente principal sea la unidad, de modo
b) 37 d) 39 que P(2+x) = P(2-x) y P(0) =2
24. Dado el polinomio: a) x2 + 2x + 2 d) x2 + 2x – 3

P(x;y) = ax+ayb–1 + xa+6yb–1+xa+4yb+4 b) x2 – 2x + 1 e) x2 – 4x + 2
Donde: G.A.(P)=16, G.R.(x)=10, determine c) x2 – 2x + 3
G.R.(y)
a) 8 c) 4 e) 1
b) 6 d) 2

Polinomios II
POLINOMIOS ESPECIALES 4. Polinomios idénticos
1. Polinomio ordenado Dos polinomios en una variable y del mismo gra-
do de la forma:
Se dice ordenado respecto a alguna variable cuan-
do su exponente solo aumenta o disminuye (cre- P(x) = axn + bxm +cxp
ciente o decreciente). Q(x) = rxn + sxm + txp
Ejemplos:
• P(x) = 3 + 2x2 + x3 + 6x7 Son idénticos o iguales si y solo si:
Es creciente con respecto a x

=a r=
; b s=
;c t
• Q(x;y) = 2x 7 + πx 3y 4 + 5xy17
Es creciente con respecto a y

5. Polinomios idénticamente nulo
Es decreciente con respecto a x
P(x) ≡ 0
2. Polinomio completo Es aquel polinomio cuyos coeficientes son nulos.

Es aquel polinomio que tiene todo los exponentes
Sea P(x) = ax3 + bx2 + cx +d
de sus variables desde el mayor grado hasta el tér-
mino independiente. Es idénticamente nulo, si y solo si:
Ejemplo: a=b=c=d=0
P(x) = 5 + 2x – 3x + x3 + 2x4
Tiene todos los exponentes y es de grado 4. 6. Polinomio Mónico

Se dice que un polinomio es Mónico cuando el
coeficiente del término de mayor grado es 1.
3. Polinomio homogéneo Ejemplos:
Un polinomio de dos o más términos y dos o más
Si P(x) = 3x4 + (m -3)x6 + 3x2 -12; es Mónico,
variables es homogéneo si cada término tiene el
calcula “m”.
mismo grado absoluto.
Ejemplo:
Resolución:
6 3 3 5 4
x 7 y 2 − 2 x
P(x;y) = 3  y + xy Se busca el mayor grado que es 6, por lo tanto su
2 coeficiente se iguala a 1.
=G.A 9 =G.A 9 =G.A 9
⇒ m – 3 = 1
Diremos que es homogéneo de grado 9 o grado
de homogeneidad es 9. m=4

Trabajando en clase
1. Indica V o F según corresponda 6. Calcula la suma de coeficien- 12. Calcula la suma de coeficien-
YY 2x2 + 3x + 5 ≡ (a+1)x2 tes en el polinomio completo tes del polinomio completo y
+nx + x2 + x + 5 entonces y ordenado en forma descen- ordenado en forma creciente.
a =1 ∧ n = 3 ( ) dente:
P(x) = (a + 3)xa+b -4 + bxb+c-7
2
YY Sea P(x)= 2x + 3x + 2x 2 P(x) = (m-2)xP-4+(n+2)xm+2 +
+ (c +1)xa+c-4 , x ≠ 0
+ 3 + x4 es un polinomio px n-3
; x≠0
completo. ( ) Resolución:
2 3
YY Sea R(x) = x+3x + 2x + 7. Calcula “a + b + c” en el si- A+b–4=0
2x + 3 +x4 es un polinomio guiente polinomio:
completo y ordenado en b + c – 7 = 1
2 2
forma creciente ( ) 2x + (2a+1)x + (b-2)x + c - 2 a+c–4=2
2
≡ 9x + 5x - 6
YY Sea P(x) = 2x4 + x3 + 3x2
-2x + x7 ( ) A + b = 4
2
8. Calcula “a + b + c” si P(x)=2x b + c = 8
– bx + 3 –ax2 + 6x – c, es idén- a+c=6
2. Si P(x) =2xa + 3x2 + x5 – 10x6 + ticamente nulo.
xb + 7x 4 – 8x – 3 es un polino- Resolución:
mio completo, calcula “a+b”. a+b=4
Agrupamos los términos se-
mejantes para reducir el poli- b+c=8
nomio: a+c=6
3. Si P(x) = 3xP-2 + 5xm-1 + 2xn+2
– 7xr+6 es un polinomio com- 2a + 2b + 2c =18 ⇒ a +b + c = 9
pleto y ordenado en forma cre- P(x)= 2x 2 − bx + 3 − ax 2 + 6x − c
ciente, calcula “m + n + p + r”. Suma de coeficientes:
= x 2 (
P(x) 2a ) + x (
− −b
 6 ) + 3
+ −c
=x 0 =x 0 x =0 a+3+b+c+1
↓ ↓ ↓
4. Si P(x) = mx5 – 7mx3 + (3-m) 2 − a= 0 − b + 6= 0 3 − c= 0
x6 + 5 es un polinomio Móni- = 2 a = 6 b= 3 c Suma de coeficientes:
co, calcula la suma de sus coe-
a+b+c+ 4
ficientes.
∴ a+ b + c = 11
Resolución: 9+4
Como P es Mónico, su coefi- 9. P(x) =3x2 + bx + 5 – ax2 – 2x + c, Suma de coeficientes: 13.

ciente principal vale 1, este es es idénticamente nulo, calcula
el coeficiente que acompaña a “a + b + c”.
la variable de mayor grado. 13. Calcula la suma de coeficientes
del polinomio completo y or-
⇒3 – m = 1 ⇒m = 2 10. Si: P(x;y) = 2x2n+1 yn+2 + xn- denado en forma decreciente.
Luego: P(x) = 2x5 – 14x3 + x6 + 5 ym+2n + xp + m es homogéneo
P(x) = (2a- 1)xa+b-2 + (2b + 3)
de grado 24, halla “p”.
Suma de coeficientes xb+c-3 + (2c + 5)xa+ c - 4; x ≠ 0
= 2 – 14 + 1 + 5= -6 11. Si el polinomio:
14. Indica el valor de “a + b” si el
=
P(x) 5x k −2 + 3x k −3 + ... + x m −10
5. Si P(x) = mx 4 + (m+1)x 5+ polinomio:
(m -3)x9 – 1; es un polinomio Es completo y ordenado en
Mónico, calcula la suma de co- forma creciente y tiene 18 tér- P(x) = (a3 + 27)x2 + (b3 – 7)x +
eficientes. minos, calcula “m + k”. 5 es lineal y Mónico.

SIGO PRACTICANDO
Integral UNMSM
15. Indica V o F según corresponde: 23. En el polinomio homogéneo
A. Un polinomio completo está siempre P(x;y) = 3xn+12 – 2x3my4 + x8y8, determina el gra-
ordenado. ( ) do relativa de “x”
B. Si P(x)=x + 4x5 – x6 + 3x10 es un a) 12 c) 20 e) 4
polinomio ordenado ( ) b) 16 d) 8
4 3 2
C. Sea Q(x) = 6x + x – 2x + x + 7
es un polinomio completo y ordenado 24. Si el siguiente polinomio de 14 términos es com-
en forma creciente ( ) pleto y ordenado.
D. Sea P(x) = x+2 -4x –1 es un polinomio P(x) = xa+4 + x+a+3 + …
Mónico. ( ) a) 3 c) -4 e) 12
a) VVVV c) FVFV e) VVFV b) 9 d) 16
b) VVFF d) FVFF
25. Determine el valor de “a + b + c”
5 a 4 b
16. Si P(x) = 4x + 2x + 3 + x – 2x – x, es un poli- Q(x) = (a – 1) x5 + (b – 3)x2 + (7 + c) es nulo
nomio completo, calcula “a + b” a) –2 c) –3 e) –5
a) 1 c) 3 e) 5 b) –4 d) –1
b) 2 d) 4
26. Si P(x) ≡ Q(x), calcula “m2 + n2”, donde:
b–4 c–1 d+2
17. Si P(x) = 9 + x + 2x – 7x es completo y P(x) =(m + n)x4 + (m – 3)x2 + (n – 5) y
ordenado, calcula “a + b + c + d” Q(x) = 17x4 + 2x2 + 7
a) 7 c) 9 e) 11 a) 13 c) 108 e) 169
b) 8 d) 10 b) 164 d) 104

18. Si P(x;y) = x4ya+2 + bxb+2yc+3-ac7 es homogéneo,
UNI
calcula b + c
a 27. Si P es un polinomio Mónico:
a) 1 c) 3 e) 5 P(x) = (a – 2)x2 + 2(x + b) + a; P(–2) = 3
b) 2 d) 4 Calcula “a + b”
a) –1 c) 3 e) 9
19. Calcula la suma de coeficientes del polinomio b) 0 d) 6
completo y ordenado de forma creciente. 28. Si el grado de homogeneidad de:
P(x)=(2a–1)xa+b–2 + (2b+3)xb+c–3 + (2c+5)xa+c–4; x≠0 P(x;y) =3xa+byb–1 + 5xa+ c y4 + 8xb–ay6 es 7,
a) 16 c) 18 e) 20 calcula a . b . c
b) 17 d) 19 a) 4 c) 6 e) 8
b) 5 d) 7
20. Si se cumple: 8x – 4 ≡ 2m + mx + nx – 2n, calcula
“m” y “n” 29. Si: ax3 + bx2 + cx + d ≡ (x + 1)(x – 1)2
a) 3 y 5 c) 1 y 5 e) 1 y 7 calcula: E = a + b +c + d
b) 2 y 4 d) 4 y 7 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
21. Si P(x;y) = 3x2ayb+1 + 4x4y7 – 5xay2b; es homogé- c) 3
neo, calcula “ab”
a) 10 c) 8 e) 12
b) 11 d) 9
22. Calcula “a + b” en el siguiente polinomio.

ax2 + bx + 7 ≡ k(3x2 – 2x + 1)
a) 4 c) 8 e) 9
b) 6 d) 7

División algebraica de polinomios
1. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE Paso 3: Se multiplica el término hallado del co-

DIVISIÓN ENTERA ciente por cada uno de los términos del divisor, y
Dado los polinomios dividendo (D(x)), divisor este producto se resta del dividendo. Para esto los
(d(x)), cociente (q(x)) y residuo (R(x)), se cumple: términos del producto se cambian de signo.
Ejemplo:
D(x) ≡ d(x) ⋅ q(x) + R(x) Dividir:
2. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
6x 5 + 5x 4 + 38x 2 − 22x + 6
Grado D(x) ≥ Grado d(x)
YY 2x 2 − 3x + 1
Grado q(x) = Grado D(x) – Grado d(x)
YY
Resolución:
Grado R(x) < Grado d(x) Vemos que están ordenados solo falta completar.
YY

YY Máx: Grado R(x) = Grado d(x)–1
¡Cuidado!
−6x +=
12 −2x + 4
3x 3 x3 x3
Pero al dividir no nos genera un polinomio.
3. MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN

NORMAL
Paso 1: Se ordenan y se completan los polinomios
dividendo y divisor (opcional completar), en for-
ma descendente; y se escriben tal como vamos a
dividir numéricamente.

Paso 2: Se divide el primer término del dividendo q(x) = 3x3 + 7x2 + 9x + 29
entre el primer término del divisor, obteniendo el
primer término del cociente. R(x) = 56x – 23

Trabajando en clase
1. Calcula el grado del cociente 5. Halla el cociente de dividir: obtuvo como resto 4x + 2, cal-
y el grado máximo de residuo cula “A + B”.
en cada caso: x 4 + 2x 2 + 3x + 4
x2 + x + 2 10. Calcula la suma de coeficien-
4 2 tes del resto al dividir median-
YY
2x + 3x + x + 2
2x 2 + x + 2 te el método clásico:
6. Al dividir P(x) = x 3 + 2x − 2
entre d(x)= x − 1 , se obtiene 12x 5 − 6x 4 + 14x 3 − 30x 2 + 16x − 9
YY
3x 3 + 2x 2 + x + 1 un cociente igual a: ax2+bx+c.
x +1 3x 3 + 2x − 6
Calcula “(a+b+c)”.
6x 4 + 2x 5 + x + 5 7. Al dividir 11. Calcula “K” en la división

YY 3 2
3 2 4 2
2x + 3x + 1 D(x) = 8x − 6x + 9x − 2 exacta: 20x − 7x + 29x + k
4x + 1
entre d(x)= 2x 2 + x − 2 se ob-
2. Sea un polinomio: 12. Si el polinomio
P(x) = 2x 2 + 3x + m se divide tuvo como residuo a mx + 2. 4 3 2
entre x – 1, genera un residuo Calcula “m4”. P(x) = x + ax − bx + cx − 1
igual a 7. Calcula “m”. es divisible por (x − 1)(x + 1)(x − 2)
8. Al dividir mediante el método el valor de “a + b + c” es:
3 2
clásico: 2x + 2x + Ax + B se Resolución:
3. Divide P(x) = x 3 + 2x + 2 entre 2x 2 − 1 Utilizamos la identidad funda-
d(x)= x − 1 obtuvo como resto 2x + 3, cal- mental de la división:
cula “A + B”.
D(x) ≡ q(x) ⋅ d(x) + R(x)
4. Calcula el resto de la división: Resolución:
4 3 2
9x 4 + 6x 3 + 4x 2 + x − 2 a + ax − bx + cx − 1 = (x − 1)(x + 1)(x − 2)d(
3x 2 + x − 1 a 4 + ax 3 − bx 2 + cx − 1 = (x − 1)(x + 1)(x − 2)d(x) + 0
Resolución:
Verificamos que tanto el divi- Para x = –1:
dendo como el divisor estén
1 − a − b − c −1 = (−1 − 1)(
−1 + 1)(−1 − 2)d(x) + 0
completos y ordenados en forma
0
descendente. Luego hacemos:
∴ a + b + c =0

⇒ R(x) = (A
 +
1) x + B
 +1 13. Si el polinomio:
Por dato: =
R(x) 2x + 3 P(x) = x 5 + mx 3 + nx 2 + 3x − 2
es divisible por (x − 1)(x + 1) ,
⇒ A +1 = 2 ∧ B +1 = 3
entonces el valor de “m . n” es:
⇒A = 1 ∧ B = 2
∴A + B = 3
14. El resto de la división de un po-
linomio P(x) entre x 2 + 3x + 2
9. Al dividir mediante el método es 2x + 3 y entre x 2 + 2x − 3 es
3 2 x – 2. Calcula el resto de la di-
clásico: 6x + 3x + Ax + B se visión de P(x) entre x 2 − 1 .
∴ R(x) =
0 3x 2 − 2

SIGO PRACTICANDO
Integral UNMSM
3 2 23. Al dividir: x 2 − 5x + 8 , me genera un residuo
15. Divide: x − 3x + 3x − 1 , calcula el cociente.
x −1 x −2
a) x2 – 2x + 1 c) x2 – 2x – 1 e) x + 1 igual a “m”. Calcula “m2”.
b) x2 + 2x + 1 d) x – 2 a) 1 c) 9 e) 25
b) 4 d) 16
3 2
16. Divide: x + 2x − 5x − 6 , calcula el residuo. 2 4
x2 − x − 2 24. Calcula el residuo de dividir 3x + x + 8x + 11
a) 4 c) 2 e) 0 x 2 + 3x + 1
b) 3 d) 1 a) 10x c) 8x e) 7x
b) -22x d) 36x
17. Si P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 y d(x) = x 2 + 2x + m .
Calcula “m” si la división es exacta. 2 3
a) 1 c) 3 e) 5 25. Calcula el cociente de dividir: 3x + x − 4x − 12
b) 2 d) 4 x2 − 4
a) x+3 c) x+1 e) x-5
18. Si D(x) = x2 + 3x + m y d(x) = x – 2 genera un b) x-3 d) x-1
resto igual a 7. Calcula “m + 1”.
2 3
a) 1 c) –2 e) -3 26. Calcula el residuo de dividir: 3x + x − 4x − 13
b) 3 d) –1 x2 − 4
3 a) 2 c) 4 e) -1
19. Calcula el residuo de dividir: x − 1 b) 3 d) 1
x −1
a) 2 c) 4 e) 0
b) 3 d) 1 UNI
4 3 2 27. Calcula el cociente de dividir P(x) = 27x 6 + 8
20. Divide: x − x + x − 3x + 2 , calcula el cociente. entre q(x) = 9x 4 − 6x 2 + 4 .
x2 + x + 2 a) x2 + 2 c) 3x + 2 e) 3x2 + 2
a) x 2 + 2x + 1 c) x 2 − 2x + 1 e) x 2 − x + 1 b) x + 2 d) x2 + 1
b) x + 1 d) x 2 − 2x
4 2 28. Al dividir P(x) = x 2 + 3x + m entre x – 1 me ge-
21. Divide: a + 2a + 2a + 5 , calcula el cociente. nera un residuo igual a 5. Calcula m2.
a2 + 1
a) 1 c) 9 e) 25
a) a 2 + 1 d) a 2 + 3a + 1
2 b) 4 d) 16
b) a + a + 1 e) a 2 − 2a − 1
2
c) a + 2a + 1 4 3 2
29. Divide: 32x − 76x + 93x − 110x + 68 .
22. Al dividir D(x) = x4 + x2 + 4 entre d(x) = x2 + 1 – x, 4x 3 − 5x 2 + 6x − 7
me genera un residuo de la forma “ax + b”. calcula “a + b”. Calcula el resto.
a) 1 c) 3 e) 5 a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4 b) 2 d) 4

Productos Notables I
PRODUCTOS NOTABLES 2 2
YY (x + 3) –(x − 3) =4(x)(3)
Son los resultados de ciertas multiplicaciones de
polinomios de forma conocida. Estos resultados se (x + 3)2 –(x − 3)2 =
12x
pueden determinar directamente sin necesidad de
2 2 2 2
efectuar la propiedad distributiva de la multiplicación. YY (5m + 2n) + (5m − 2n)= 2((5m) + (2n) )
Ejemplo: (5m + 2n)2 + (5m − 2n)=
2
2(25m2 + 4n2 )
2
(x + 3)(x + 5)= x + 
 8x +
15
2 2
Producto notable YY (3x + 2y) − (3x − 2y) =4(3x)(2y)
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES (3x + 2y)2 − (3x − 2y)2 =

24xy
1. Trinomio cuadrado perfecto 3. Diferencia de cuadrados

2
(a ± b)2 = (a)2 ± 2(a)(b) + ( b ) (a + b)(a − b) = a 2 − b2

Ejemplos: Ejemplos:
2 2 2
YY (2x + 3y) = (2x) + 2(2x) ⋅ (3y) + (3y)
YY (3x + 2y)(3x − 2y)= (3x)2 − (2y)2
=4x 2 + 12xy + 9y 2
(3x + 2y)(3x − 2y) = 9x 2 − 4y 2
2 2 2
YY (2m − 5n) = (2m) − 2(2m)(5n) + (5n)
2 2 YY (x + 3)(x − 3)= (x)2 − (3)2
=4m − 20mn + 25n
= x2 − 9
2 2 2
YY (x + 3) = (x) + 2(x)(3) + (3) 2 2
2 3 2 3 2 3
2 YY (2x + 3y )(2x − 3y )= (2x ) − (3y )
= x + 6x + 9
= 4x 4 − 9y 6
YY (n − 5)= (n)2 − 2(n)(5) + (5)2
=n2 − 10n + 25 4. Multiplicación de dos binomios con un

término en común (Regla de Steven)
2. Identidades de Legendre
(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab
(a + b)2 + (a − b)2= 2(a 2 + b2 )
(a + b)2 − (a − b)2 =
4(a)(b) Ejemplos:
(a + b)4 − (a − b)
= 4
8ab(a 2 + b2 ) YY (x + 5)(x + 3) = x 2 + (5 + 3)x + (5)(3)

Ejemplos: = x 2 + 8x + 15
YY (x + 5)2 + (x − 5)2= 2(x 2 + 52 ) YY (x − 7)(x + 3)= x 2 + (−7 + 3)x + (−7)(3)

(x + 5)2 + (x − 5)2= 2(x 2 + 25) = x 2 − 4x − 21

Trabajando en clase
1. Indica V o F según corresponda. Luego:
11. Si x − y = 2 ∧ xy = 3.
2
YY (2x + 3y) =4x + 9y
2 2 4+2 Calcula: “x + y”.
=P = 6
1
( )
∴P =6
2 2 2
YY (2m − n) = 4m − n 12. Si (x 2 + y 2 ) ⋅ x −1 ⋅ y −1 =
2.
( ) Calcula el valor de:
5. Efectúa:
2 2 2
YY (4m + 3n) = 4m + 24mn + 9n x 2 + xy + y2
( 6 + 2)( 6 − 2) + ( 7 − 1)( 7 + 1) E=
( ) R= (x + y)2
( 5 + 2)( 5 − 2)
Resolución:
2. Desarrolla: 6. S i (x + y)2 = 36 ∧ xy = 8 .
Partimos del dato:
Calcula: “x2 + y2”.
A (5m2 + 3n2 )2
=
⇒ (x 2 + y 2 ) ⋅ 1 ⋅ 1 =2
7. Reduce: x y
3. Desarrolla: (3x + 4y)2 − (3x − 4y)2 ⇒ x2 + y 2 =

2xy
R=
xy
( ) ⇒ x 2 + y 2 − 2xy =
2 0
=J 13 − 5   
8. Si a + b = 7 ∧ ab = 3. (x 2
− y) = 0⇒ x–y =
0
0 ⇒x= y
Calcula “a2 + b2”
4. Efectúa:
Resolución: En el problema:
2
Partimos de (a + b) 2 2
P=
( 5 + 1)( 5 − 1) + ( 3 + 1)( 3 − 1) E = x + x⋅x + x
+ b)2 =a 2 + 2ab 2 (x + y)2
( 2 + 1)( 2 − 1) (a + b
7 3
x 2 + x 2 + x2 3 x 2 3
=E = ⇒E=
Resolución: 2 4
Se tiene: (2x) 4 x2
Como podemos observar tan-
to en el numerador como de- 72 =a 2 + 2(3) + b2
2 2 −1 −1
nominador se puede utilizar: 49 − 6 = a 2 + b2 13. Si (x + y ) ⋅ x ⋅ y =2.
(a + b)(a − b) = a 2 − b2
∴ a 2 + b2 =
43 Halla el valor de:
( 5 ) 2 − 12 = 5 − 1 = 4
YY ( 5 + 1)( 5 − 1) = 3xy + 2x 2
R=
9. Si a + b = 3 ∧ a 2 + b2 = 7. (x + y)3
( 3 ) 2 − 12 = 3 − 1 = 2
YY ( 3 + 1)( 3 − 1) = Calcula “ab”.
14. Halla el valor de:
1 5 1
( 2 ) 2 − 12 = 2 − 1 = 1
YY ( 2 + 1)( 2 − 1) = 10. Si x + = , calcula “ x 2 + ”
x x2 V = 8 8 ⋅ (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) + 1

SIGO PRACTICANDO
Integral a b 3a 2 + ab + b2
15. Indicar V o F según corresponda. 22. Si b + a = 2 , calcula E =
5ab
A) (a + b)2 = a2 + b2 a) 1 c) 3 e) 5
B) (x + 3)(x – 5) = x2 – 8x –15 b) 2 d) 4
C) (x – 4)2 = x2 + 8x + 16
a) VVV c) FFV e) FFF UNMSM
b) VFV d) FVF
23. Si: x + 1 = 7 , calcula: x 2 + 1
2 32 x x2
16. Desarrolla: A = (2m + 3n )
a) 4m 4 + 12m2n3 + 9n6 a) 44 c) 46 e) 48
b) 4m2 + 9n6 b) 45 d) 47
c) 2m2 + 3n3 + 6m2n3
d) 2m 4 + 9n6 24. Si m – n = 3 y mn = 4, calcula m + n; m > n
e) 2m 4 + 12m2n3 + 9n6 a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
17. Desarrolla: M = ( 11 – 7)2 1
25. Si x − = 5 , calcula x 2 + 1
a) 4 c) 9 + 2 77 e)18 − 2 77 x x2
b)18 − 2 77 d) 18 a) 23 c) 25 e) 27
b) 24 d) 26
18. Reduce: M = (5m + 4b)2 − (5m − 4b)2
2 2 +
a) 25m2 + 16b2 d) 50m2 − 32b2 26. Calcula: ( x + y ) − ( x − y ) , ∀ x, y ∈ �
2 2
b) 25m − 16b e) 80mb a) 4xy c) x + y e) 0
c) 50m2 + 32b2 b) 4 xy d) 2x + 2y
Católica UNI
2 2 2
19. Si (x + y) = 144 ; xy = 22, calcula x + y 27. Calcula el valor de: M = 6 124(53 + 1)(56 + 1) + 1
a) 90 c) 144 e) 22 a) 125 c) 625 e) 225
b) 100 d) 244 b) 25 d) 5
2 2
20. Reduce: R = (5m + 6n) − (5m − 6n) 28. Calcula el valor de:
60
E = (x + a)(x − a)(x 2 + a 2 )(x 4 + a 4 ) + a 8
a) 2mn d) m2 + n2 + 4mn a) x4 c) x6 e) 0
b) m2 + n2 + mn e) m2 8
b) x d) x16
2
c) (m + n)
29. Si: x + 1 = 3 , calcula: x 4 + 1
21. Calcula: ( 5 + 2 )2 + ( 5 − 2 )2 x x4
a) 7 c) 14 e) 3 a) 49 c) 40 e) 41
b) 10 d) 20 b) 47 d) 39

Productos Notables II
1. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL Ejemplos:
CUBO YY (x + 3)(x 2 − 3x + 9) = (x)3 + (3)3 = x 3 + 27
(a + b)3 ≡ (a)3 + 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 + (b)3

2 2 3 3
YY (2m − 3n)(4m + 6mn + 9n ) = (2m) − (3n)
(a + b)3 ≡ a 3 + b3 + 3ab(a + b)
= 8m3 − 27n3

3. DESARROLLO DE TRINOMIO AL
(a − b)3 ≡ (a)3 − 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 − (b)3
CUADRADO Y AL CUBO
(a + b)3 ≡ a 3 − b3 − 3ab(a − b)
(a + b + c)2 = a 2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Ejemplos: (a + b + c)3 = a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ejemplo:
+ 2)3 = (x)3 + 3(x)2(2) + 3(x)(2)2 + (2)3
YY (x
2 2 2 2
YY (2x + 3y + z) = (2x) + (3y) + (z) + 2 (2x)(3y) + (2x)(z) + (3y)(z)
3 2
=x + 6x + 12x + 8
(2x + 3y + z)2 = 4x2 + 9y 2 + z2 + 2(6xy + 2xz + 3yz)
3 3 2 2 3
YY (x − 3) = (x) − 3(x) (3) + 3(x)(3) − (3)
4. IDENTIDADES CONDICIONALES
=x 3 − 9x 2 + 27x − 27
Si a + b + c =0 se verifican:
3 3
YY Si x + y = 3 ∧ xy = 4, hallar: x + y
YY a 2 + b2 + c2 =
−2(ab + bc + ac)
Resolución:
YY (ab + bc + ac)2= (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
Partimos de:
YY a 3 + b3 + c3 =
3abc
+ y)3 = x 3 + y 3 + 3 xy
(x + y)
(x
3 4 3
3 3 3 Ejemplo:
3 = x + y + 3(4)(3)
x 3 + y 3 + z3
3
∴x + y =−93 Si x + y + z = 0; calcula: E =
4xyz
Resolución:
2. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS x 3 + y 3 + z3 =
3xyz
3xyz
⇒E=
(a + b)(a 2 − ab + b2 ) = a 3 + b3 4xyz
3
(a − b)(a 2 + ab + b2 ) = a 3 − b3 ∴E =
4

Trabajando en clase
1. Desarrolla: 5. Calcula: xyz = 4
Calcula el valor de:
YY (a + 2b)
3 B = (3 7 + 3 2)(3 49 − 3 14 + 3 4) + (3 5 − 3 3)(3 25 + 3 15 + 3 9)
3
 x+y +z 
T= 
YY (x B = (33 7 + 3 2)(3 49 − 3 14 + 3 4) + (3 5 − 3 3)(3 25 + 3 15 + 3 9)
− 3y)  3 

2 2
YY (x + 2y)(x − 2xy + 4y ) 11. Si a + b + c = 11, calcula el
6. Reduce:
valor de:
YY (2m − n)(4m2 + 2mn + n2 )
A = (m + 2)(m − 2)(m2 − 2m + 4)(m2 + 2m + 4) + 64 (a − 3)3 + (b − 6)3 + (c − 2)3
A=
(a − 3)(c − 2)(b − 6)
2. Si m + n = 4 ∧ mn = 2. 3
7. Si x=
+y ; xy 3 4 .
2=
Calcula el valor numérico de: Halla: 12. Si a + b + c =10;
m3 + n3
a 2 + b2 + c 2 =
60
K = (x + y)2(x 2 − xy + y 2)2 − 4x 3y 3
Calcula: ab + bc + ac
3. Si x − y =4 ∧ x 3 − y 3 =−12.
8. Si x+y+z = 0, calcula el valor
Calcula el valor numérico de Resolución
x 3 + y 3 + z3
“xy”. de: M =
9xyz Partimos de:
Resolución: (a+ b +c)2 = a

2 2 2
+ b + c + 2(ab + bc + ac)
4. Reduce: 
Por dato: x + y + z = 0 se cum- 10 60
2 2
A = (3x + 2)(9x − 6x + 4) − (3x − 2)(9x + 6x + 4) ple: x 3 + y 3 + z3 =
3xyz 2
10 = 60 + 2(ab + bc + ac)
40= 2(ab + bc + ac)
3xyz
Resolución: en el problema: M = =1 ∴ ab + bc + ac =20
9xyz 3
De: 1
∴M =
3 13. Si a + b + c = 8
(a + b)(a 2 − ab + b2 ) = (a)3 + (b)3 ab + bc + ac = 15
2 2 3 3
(a − b)(a + ab + b ) = (a) − (b) Calcula a2 + b2 + c2
9. Si m + n + p = 0 ∧ mnp = 5.
Calcula m3 + n3 + p3
= 3
A 27x + 8 − (27x − 8) 3 14. Si x + y + z = 0, calcula:
A = 27x 3 + 8 − 27x 3 + 8 x 3 + y 3 + z3 x 2 + y 2 + z2
3 =M +
A = 16 10. Si x +3 y +3z =
0 xyz xy + xz + yz

SIGO PRACTICANDO
Integral
a) 3xyz c) 4xyz e) xyz
15. Desarrolla: b) xyz d) xyz 2
A. (2a + 1)3 9
B. (a − 2b)3
C. (2a − b)(4a 2 + 2ab + b2 ) 24. Si: x + y + z = 9, calcula el valor de:
D. (5a + b)(25a 2 − 5ab + b2 )
(x − 2)3 + (y − 3)3 + (z − 4)3
G=
16. Si a + b = 6 ∧ ab = 4, calcula el valor de a 3 + b3 6(x − 2)(y − 3)(z − 4)
a) 6 c) 144 e) 288 a) 3 c) 1/2 e) 1
b) 36 d) 216 b) -3 d) -1/2
17. Si m – n = 5 ∧ m3 − n3 = −25 . 25. Si: a + b + c = 20
Calcula el valor de “mn”. ab + bc + ac = 40
a) 5 c) –5 e) 135 calcula: T = a 2 + b2 + c2
b) 10 d) –10 a) 300 c) 320 e) 360
b) 400 d) 350
18. Si x − x −1 = 5 , calcula el valor de: n = x 3 − 1 .
a) 140 c) 110 e) 80 x3
26. Si: x + y + z = 0, calcula el valor de:
b) 120 d) 90
(x + y − 2z)3 + (y + z − 2x)3 + (x + z − 2y)3
F =
xyz
Católica a) -81 c) 49 e) 27
b) 81 d) -49
19. Reduce:
A = (x + a)(x − a)(x 2 − ax + a 2 )(x 2 + ax + a 2 ) + a 6 UNI
a) a c) x6 e) a6 27. Si: m + n + p = 0, calcula:
3 6
b) x d) –a
m3 + n3 + p3 m2 + n2 + p2
3 E= −
20. Si a + b = 5 ∧ ab = 3 25 . mnp mn + np + mp
Calcular: L = (a + b) (a − ab + b2 )2 − 5a 3b3
2 2
a) 5 c) 3 e) 1
a) 0 c) 5 e) –25 b) 4 d) 2
b) 1 d) –10
28. Si: m + n + p = 11
21. Si se cumple: (2n − 1)(4n + 2n + 1) = 511 . m2 + n2 + p2 = 40
Calcular “n”. Calcula: P = mn + mp + np
a) 1 c) 3 e) 5 a) 81 c) 81/2 e) 121/2
b) 2 d) 4 b) 121 d) 1/2
22. Efectúa: 29. Si: x − 1 = 1 , calcula: T = x 6 + 1
(x + y)2(x 2 + xy + y 2 )2 − 4xy(x 2 + xy + y 2 )2 x x6
a) 4x 3y 3 c) (x 3 − y 3)2 e) −4x 3y 3 a) 6
b) 3x 3y 3 d) x 3y 3 b) 21
c) 18
UNMSM d) –10
23. Si 3 x + 3 y + 3 z = 0 calcula el valor de: e) –15
3
8 x+y +z 
E=  
9 2 

Repaso
1. Resuelve: 32 x = 4 x +3 5. Si: ab = bb = 16. Calcule a b 9. Si a + b = 7 ∧ ab = 3.
a) 2 b) 4 Calcula “ a2 + b2 ”
a) 2 b) 2 a) 39 b) 40
c) 6 d) 8
e) 10 c) 4 d) 4 2 c) 41 d) 42
e) 43
e) 8 2
2. Reduce:
(n +3)veces (n +1)veces 10. Si a – b = 5 ∧ ab = 2.
    6. Sea el polinomio
x ⋅ x ⋅ x...x ⋅ x ⋅ x ⋅ x...x Calcula “a 3 − b3 ”
P(x, y) =2x n y14 + 3x n+2y 5 + x n+3y 6
; x≠0 a) 151 b) 152
⋅ x
x ⋅ x...x
 donde GR(x) = 8, calcula el
(2n −2)veces grado absoluto de P(x). c) 154 d) 155
a) 19 b) 14 e) 160
a) x4 b) x6
c) 13 d) 12
c) x2 d) x8
e) 15 11. Si a + b + c = 0, calcula:
e) x10
3 3 3
7. Si E = a +b +c
3. Calcula el exponente final de 12abc
P(x)= ax 2 + bx − 3x + 7x 2 + c − 3
3 a) 1/3 b) 1/5
“x”: E = x 6 x 5 x 2
es idénticamente nulo. c) 1/4 d) 1/6
a) 2 b) 4 alcula: “a + b + c”. e) 4
c) 3 d) 7 a) -1 b) -2
e) 5 c) -3 d) 1 12. Si
e) 2
4. Reduce: a b 2
3 2 b + a =.
x − 3x + x − 7
3 8 7 10 5 11 8. Divide .
x ⋅ x ⋅ x x2 − 1
E=
3 −4 7 −4 5 −4 Calcula a 2 + 3ab + b2
x ⋅ x ⋅ x Calcula el cociente. 5ab
6 8 a) x – 3 b) x a) 1 b) 2
a) x b) x
c) x9 d) x7 c) –x – 3 d) x + 3 c) 3 d) 4
e) x10 e) x + 2 e) 5

Sigo practicando
2 (m +3) veces
13. Luego de dividir: 2x + 3x + 2 , da como respues- 6474 8
ta el resto. x+2 20. Reduce: x ⋅ x ⋅ x...x
; x≠0
x14⋅ x2⋅ x4
...
3x
a) 1 c) 3 e) 5 (m −1) veces
b) 2 d) 4 a) x4 c) x6 e) x2
b) x5 d) x3
14. Si a + b = 3 ∧ ab = 2, calcula: a 2 + b2
21. Si P(x, y) = 2x 3y m +1 − 3 x 6 y 3 + 1 x 4 y n+1 es un
2
a) 5 c) 7 e) 9 polinomio homogéneo, calcula “m + n”.
b) 6 d) 8
a) 1 c) 7 e) 5
15. Si el polinomio P(x) = 3x m +1 + 2x n −2 + 3x p+3 es b) 8 d) 6
completo y ordenado, calcula “m + n + p”.
22. Si P(x) = ax 2 + bx + 3x + 5 + c es un polinomio
a) 6 c) 8 e) 10 idénticamente nulo, calcula: “a + b + c”.
b) 7 d) 9
a) -8 c) -6 e) -4
16. Si A = 3x m −3y n+2 y B = 8x 5−m y 8 −n son térmi- b) -7 d) -5
nos semejantes, calcula “m + n”. 2x +1 2x +1
23. Reduce: PERUAL = MUNDIAL200230
a) 1 c) 7 e) 11 a) -1/2 c) 1/4 e) 0
b) 5 d) 9 b) 1/2 d) -1/4
 x 2 + 1; x ≥ 2 24. Sea
17. Si P(x) =  , calcula: P(2) + P(0)
P(x; y ; z) = 3x p+8 y m +1z2+ n + 2x p+2 y 5+ mz n −2 + 3x p+3y m +3
2x − 1; x < 2
donde GR(x) = 20 ∧ GR(y) = 10 y GR(z) = 8, cal-
a) 4 c) 2 e) 0 cula “m + n + p”.
b) 3 d) 1
a) 22 c) 20 e) 24
18. Si 32 = 43x −1 , calcula “x + a”.
x b) 21 d) 23
a) 2 c) 6 e) 10
b) 4 d) 8
3 4 3 4 3 4
19. Resuelve: x ⋅ x ⋅ x = x m +2
a) 1 c) 4 e) 2
b) -4 d) -2

ARITMÉTICA
Primer Bimestre
3
SECUNDARIA
Pág.
Lógica proposicional I 33
Lógica proposicional II 37
Razones 41
Proporciones 44
Promedios 48
Magnitudes proporcionales I 51
Magnitudes proporcionales II 55
Repaso 58
Lógica proposicional I
LÓGICA PROPOSICIONAL I
La lógica proposicional llamada también simbólica Ejemplos:
o matemática, es parte de la lógica que estudia las ●● Luciana estudia Contabilidad o Adminis-
proposiciones y la relación que existe entre ellas a tración
través de las variables proposicionales y los conectores. ●● 2 + 8 ≥ 6
●● No es cierto que hoy sea lunes
1. Enunciado ●● Estudia, entonces ingresarás
Se denomina enunciado a toda expresión del len-
guaje común, el cual puede ser una frase, oración 3. Conectores lógicos
o expresión algebraica. Son símbolos que reemplazan a las conjunciones
Ejemplos: gramaticales y al adverbio de negación; estos co-
YY ¿Qué día es hoy? nectores permiten relacionar dos o más proposi-
YY ¡Auxilio! ciones simples, entre los más importantes tene-
YY Lima es la capital del Perú mos:
YY x + 2 > 3 3.1
Negación:
Notación: ∼
2. Proposición lógica Se lee: No es cierto que …
Llamada también enunciado cerrada; es todo Ejemplo:
enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero P: Luis viajó a Ica:
(V) o falso (F) sin ninguna ambigüedad.
� p : No es cierto que Luis viajó a Ica
Las proposiciones lógicas se denotan con letras  
minúsculas tales como: p, q, r, s, … � p
Ejemplos: Tabla de verdad:
YY El sol es una estrella
YY 2 + 3 > 6 p �p
YY Luis y María son hermanos. V F
YY Juan estudia y trabaja. F V

2.1
Proposiciones simples

Llamadas también proposiciones atómicas o
Nota:
elementales; son aquellas proposiciones con Algunas equivalencias de la negación son:
una sola idea, carecen de conjunciones gra- “no”; no es el caso...”
maticales y adverbio de negación (no).
Ejemplo:
●● p: Rubén es arquitecto. 3.2
Conjunción
●● q: Luis es compañero de José. Notación: ∧
●● r: 3 y 4 son números consecutivos. Se lee: … y …
Ejemplo:
2.2
Proposiciones compuestas p: Ángel estudia
Llamados también proposiciones molecula- q: Ángel trabaja
res; son aquellas proposiciones con dos o más
ideas unidas por conjunciones gramaticales; p ∧ q : Ángel estudia y trabaja
   
o que contienen el adverbio de negación no. p ∧ q
3ro SECUNDARIA 33 Aritmética

Tabla de verdad
Nota: Nota:
Tambien equivalen al conector conjunción Otras formas son:

las palabras, pero; sin embargo; aunque; pór consiguientes, luego; de manera que, etc.
además, no obstante, incluso, tambien, etc. Condiciones inversa (←) ya que; puesto que;
porque, etc.
3.3 Disyunción débil
Notación: ∨ 3.5 Bicondiconal
Se lee: … o … Notación: ↔
Ejemplo: Se lee: … si y solo si
p: José va al teatro. Ejemplo:
q: José va al cine. p: Mañana es miércoles
p ∨ q : José va al teatro o al cine q: Hoy es martes
  
p ∨ q p ↔ q: Mañana es miércoles si y solo si hoy es
martes.
Tabla de verdad
Tabla de verdad

3.4
Condicional
Notación: →
Se lee: … entonces ….
Nota:
p: Bertha nació en Lima.
q: Bertha es limeña. Algunas equivalentes pueden ser: Cuando y
solo cuando; entonces y solo entonces.
p → q : Bertha nació en Lima , entonces es limeña
      
p → q

Aritmética 34 3ro SECUNDARIA

Trabajando en clase
Integral Resolución
1. ¿Cuántos de los siguientes 5. Si � (p ∧ q) es falso, deter- Analizando cada una de las
enunciados son proposicio- mina (� p → q) ∧ q proposiciones:
nes lógicas? a) → ≅
a) Huancayo queda en Junín. 6. Si la expresión :
(p ↔ � q) →� p es falsa, se- ↓ ↓
b) ¿ Puedes prestarme tu V F
libro? ñala el valor de verdad de: b) p ∧ q ≅ F
c) ¡Feliz cumpleaños! � p ∧ (q → p)
↓ ↓
d) x + 1 < 9 F V
7. Si p y q son proposicio-
e) 5 − 6 ≤ 7 Entonces p ≡ F; q ≡ V ; t =
F.
nes falsa y verdadera,
respectivamente, seña- Ahora, hallemos el valor de
2. ¿Cuántos de los siguientes
la el valor de verdad de verdad de las proposiciones:
enunciados son proposi-
ciones lógicas? la siguiente proposición: (� p∨ t) ∨ s
 
a) López Meneses es un poeta (� p ↔ q) ↔ (p ↔� q)
V
 ∨F
b) 6 +3 > 8
UNMSM V ∨S ≡ V
c) x 2 ≤ 2
8. Determina la tabla de verdad
d) Perú y Chile son países ve- � [ p ∧ (� q ∧ � p)]
cinos de: (p ∧ q) → � p
Resolución: F∧V
e) Todas
F ∧ F
3. Determina la tabla de ver- �( F ) ≡V
dad de: (p ∨ � q) →� p
� p ∨ (q ∧ � t)
PUCP V ∨ (V ∧ V)


4. Si: � (p ∨ q) es verdadero,
V ∨ V = V
determina (p → q) ∧ q Rpta.:
Resolución Matriz principal Todas las proposiciones son
Calculamos los valores de 9. Determina la tabla de verdad verdaderas
verdad de “p” y “q” del es- de
quema molecular (q → p) ∧ � p 13. Si (p ∧ r) y (� r ∨ q) son es-
quemas moleculares falsos,
� (p ∨ q) ≡ V 10. Si la proposición es falsa, ¿cuál de las siguientes propo-
Luego : (p ∨ q) ≡ F determina los valores de siciones es verdaderas?
↓ ↓
p, q, r y s, respectivamente
I. (r → � p) ∧ q
(p ∧ � q) → (r → � s)
F F II. (� r ∨ � p) → (p → � r)
Entonces: 11. De la falsedad de la propo- III. (r ∨ � q) ↔ (p ∧ � r)
“p” es F sición (p → � q) ∨ (� r → s)
“q” es F deduce el valor de: 14. Sabiendo que la proposición
Nos piden: (� p ↔ r) ∧ � s  “p” es verdadera, ¿en cuáles
(p → q) ∧ q de los siguientes casos es su-
↓ ↓ UNI ficiente dicha información
F→F ↓ 12. Si (p ∧ q) y (q → t) son fal- para determinar el valor de
V ∧ F sas, ¿cuáles de las siguientes verdad de las siguientes pro-
  proposiciones son verdaderas? posiciones?
F
Rpta.: I. (� p ∨ t) ∨ s I. (p ∨ q) ↔ (� p ∧ � q)
El valor de verdad de la ex- II. �  p ∧ (� q ∧ � p) II. (p ∧ q) → (p ∨ r)
presión es falsa III. � p ∨ (q ∧ � t) III (p → q) → r

Sigo practicando
15. ¿Cuántos de los siguientes a) V d) F II. No es cierto que 6 + 6 = 12,

enunciados son proposiciones b) � p ∨ p e) Ambigua entonces 7 + 7 = 13
lógicos? c) r → p III. Si 6 + 8 = 14 y 8 + 8 = 16
- El nació en Lima. IV. 7+3≠10 Si solo si 5 + 2 = 7
- 2 es número primo. 20. Si p y r son verdaderas, señala a) FFFF d) FVFV
el valor de verdad de la propo- b) VVVV e) VVFF
- ¿Qué día es hoy?
sición: c) FVVF
- ¡Ayúdame! ~[(p→~r)∧(p∨r)]
- 6−3≤ 9 a) V b) p∧ � r 26. Indica el valor del esquema
a) 3 d) 4 molecular si p = V; q = F y r = V
c) r ∧ � r d) p ∧ � p
b) 1 e) 5 [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
c) 2 e) p → � r
a) V b) F
16. ¿Cuántas proposiciones son 21. Determina la tabla de verdad
c) p∧ � p d) � q→q
simples? del siguiente esquema mole-
e) � p ↔ p
cular:
- 2 + 8 ≤ 6
� [(p∧ q) ↔ (q ∨� p)] → p
- x + 3 ≥ 9 27. Si (~p∧q) y (r→p) son propo-
- O Luis es abogado o Inge- siciones verdadera y falsa res-
a) VFVF b) VVFF
niero. pectivamente. ¿Cuáles de las
c) VVVV d) FFFF
siguientes proposiciones son
- Manuel estudia, entonces e) FFFV
verdaderas?
triunfa. 22. Si (~p∧~q)↔(~p∧t)) es ver-
I. (~q→r)∧~p
- 8 + 3 < 11 dadera, determina el valor de:
II.~[p∧(~q∧~p)]
a) 2 d) 3 (p∧q)∨t
III.[~q↔p]∨t
b) 4 e) 1 a) V b) F
a) Solo I d) I y II
c) 5 c) � p ∧ p d) t → p
b) Solo II e) Todas
e) p ∨ q
c) Solo III
17. Determina la tabla de verdad
del siguiente esquema mole- Nivel avanzado 28. Sabiendo que la proposición
cular: [(� q ↔ s) ↔ s ] “p“ es verdadera, ¿En cuáles de
23. Si la proposición
a) VVVV d) FFVV las siguientes casos es suficien-
(p → (p ∧ � q)) ∨ (r∨ t) es fal-
b) VFVV e) FFVV te dicha información para de-
sa, determina los valores de
c) VVFF terminar el valor de verdad de
p, q, r y t, respectivamente.
a) VVFF b) VFVF las siguientes proposiciones?
18. Simbolizar: c) FVFV d) FFVV I. ~[(p∨q)→(∨→~p)]
Si no trabajo y no duermo, en- e) FVFF II.(p∧r)→(p∧q)
tonces no ayudo a mis padres. III.(p∧t)↔p
24. Si el esquema molecular: a) Solo I d) I y II
a) (p ∧ � q) ∨� r
b) (p∨ q) ∧ r [(p∧ q) →� p ] ∨ (p∧ r) es fal- b) Solo II e) Todas
so, deduce el valor de verdad c) Solo III
c) (� p ∧� q)∧ � r
de: ~(p→~q)∧(p→r)
d) (� p ∧� q) →� q a) ~q b) p∧ � q 29. Si “q” es falsa y la proposición
e) (� p ∧� q) →� r c) V d) F [(p →� q) ↔ (s∧ p)] ∨ (r ∧� q)
e) ∨p
también, determina los valo-
Nivel intermedio
25. Determina el valor de verdad res de p, r y s.
19. Si ~[(p → q)→ q] es verda- de los siguientes enunciados: a) FVV d) FFV
dera, señala el valor de verdad I. No es verdad que 5 + 5 = 10 b) VFF e) VVV
de: ~[(p ∨ q)∧~ q] o 8 + 6 = 12 c) VFV

Lógica proposicional II
TIPOS DE ESQUEMAS MOLECULARES
Según los valores de la matriz principal, los esquemas

moleculares son:
1. Tautología
Cuando los valores de verdad de la matriz princi-
pal resultan ser todos verdaderos.
Ejemplo:
Evaluar p → (p∨ q)
3. Contingente
Cuando en valores de verdad de la matriz prin-
cipal se obtiene al menos un valor verdadero y al
menos un valor falso.
Ejemplo:
Evaluar: [ p ∧ (p → q)] ∨ ~ p
2. Contradictorio
Cuando los valores de verdad de la matriz princi-
pal resultan ser todos falsos.
Ejemplo:
Evaluar: [(p∧ q) ↔ (q →� p)]
PRINCIPALES LEYES LÓGICAS
1. Idempotencia 3. Asociativa
p∧p ≡ p (p∨ q) ∨ r ≡ p∨ (q∨ r)

p∨ p ≡ p (p∧ q) ∧ r ≡ p∧ (q ∧ r)

2. Conmutativa 4. Distributiva
p∧q ≡ q ∧p p ∨ (q ∧ r) ≡ (p∨ q) ∧ (p∨ r)

p∨q ≡ q ∨ p p ∧ (q∨ r) ≡ (p∧ q) ∨ (p∧ r)


5. Ley de doble negación 10. Del complemento
~ (~ p) ≡ p p∨ � p ≡ V

p∧ � p ≡ F
6. De De Morgan
11. De la identidad
~ (p∨ q) ≡~ p ∧ ~ q p∨ V ≡ V

~ (p∧ q) ≡~ p ∨ ~ q p∧V ≡ p
p∨F ≡ p
7. De absorción p∧F ≡ F
p ∨ (p∧ q) ≡ p
Circuitos lógicos
p ∧ (p∨ q) ≡ p
Un circuito lógico es la representación gráfica de
p ∨ (~ p∧ q) ≡ p∨ q
una o más proposiciones utilizando los esquemas
p ∧ (~ p∨ q) ≡ p∧ q denominadas circuitos lógicos.
8. De la condicional A. Circuito en serie

p → q ≡~ p ∨ q Está dado de la forma
p → q ≡� q → � p
9. De la bicondicional B. Circuito en paralelo

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) Está dado de la forma
p ↔ q ≡� (p ↔
/ q)
p ↔ q ≡� p ↔� q
Trabajando en clase
Integral PUCP 5. Se tiene el circuito lógico

cuyo valor de verdad es ver-
1. Según la definición dada, in- 4. Se tiene el siguiente circuito
dadero.
dica qué tipo de esquema es lógico cuyo valor de verdad
la siguiente proposición: es verdadero.
� p → (q∨ p)
¿Cuáles son los valores de p y

¿Cuáles son los valores de p y q, respectivamente?
2. Simplifica: q, respectivamente?
� (� (� (� (p∨ q)))) Resolución
6. Simplifica:
Del circuito lógico tenemos:
(p → q)∧ � p
3. Según la definición dada, in-
dica qué tipo de esquema hay
en la siguiente preposición: Observamos:
7. Simplifica:
p≡V
� (p ↔ q)∧ � (p → q) q≡F (p∨ q) → (� p∧ q)

UNMSM 10. Determina la negación de: “Si Resolución
Orlando estudia y saca bue- [(� p ∨ q) ∧ p] ∨ p"Simplificando
8. Simplifica: 
nas notas, entonces logrará p absorción"
[ p → (p ∧ � q)] → (� p∨ q) obtener la beca”.
Entonces:
Resolución:
p → (p∧ � q)" Del condicional " 11. Simplifica: [� (q↵p) → (p ∧ q)]↵(p↵q)
� p ∨ (p ∧ � p)" Absorción " [� q → (p ∧ q)]↵(p↵q) Condición
[(� p → q) ∧ (q → p)] ∧ � p
[q ∨ (p ∧ q)] ↵(p↵q)
(∼p ∧ ∼ q) q ↵p

Ahora: UNI q
(� p ∨ � q) → (� p ∨ q)" Del condicional " 12. Definimos el conector lógico

13. Definimos el conector lógico.
� (� p ∨ � q) ∨ (� p ∨ q)" De morgan " “ ”

(� p ∧ q) ∨ q ∨ V � p " Absorción " [ p ∧ q ]@[� (� p@q) → (q ∧ � p)]
∴q ∨ � p p q ≡ [(~p ∨ q) ∧ p] ∨ p
9. Simplifica: Simplificar: 14. La negación de:

“x es positivo ya que z es ne-
� (� p → q) → (q ∧ p) [~(q p)→(p ∧ q)] (p q) gativo” es:
Sigo practicando
15. Realiza la tabla de verdad e in- 17. Indica el valor de verdad del 20. Simplifica:
dica qué tipo de esquema es: siguiente esquema molecular.
p ↔ (� q∨ p) � [(p ∨� q)∧ � (p ∨� q)] (q →� p) →
� p
a) � p ∧ q
a) Contradictoria a) V d) � p b) p ∨ q
b) Tautología b) F e) � q c) � q
c) Contingente c) p d) � p ∨ q
d) Disyunción e) F
e) Conjunción
18. Reduce: 21. Reduce el siguiente esquema
[ p∧ � (p → (p∨ q))] molecular:
16. Simplifica:
~(~(~(~(~(~(q∨p)))))) a) p d) p ∧ q
a) q b) F e) � q
b) q ∨ p c) Q
c) p ∨ q
d) � (p ∨ q)
Nivel intermedio
e) p
a) p
19. Simplifica: b) q
(p → q)∧ � � ( p∧ q) c) � q
d) � p
a) p d) p∧ q e) V
b) q e) � p
c) V

22. Reduce el esquema molecular 25. Simplifica el siguiente circuito: 29. Simplifica el siguiente circuito
p∨(p→q) y grafica su circuito lógico
lógico:

a)
b) a) � p ∨ r
b) F
c) � p ∧ q
c) –~p – r –
d) V a) � q
e) p b) p∧ � q
d) 26. ¿Qué tipo de esquema mole- c) � p∨� q
cular es la siguiente proposi- d) V
ción? e) � p → q
e) [(� p∨ q) → q ] →� ( q ∧ p)
a) Tautología
Nivel avanzado
b) Contradicción
23. Determina la negación de: c) Contingente
“Leyti es delgada, dado que d) Disyuntiva
realiza ejercicios a diario”. e) Conjuntiva
a) No es cierto Leyti es del- 27. Definimos el conector lógico:

gada y no realice ejercicios "↵”
diarios. q ↵ p ≡ [(~p∨q)∧ p]∨p
b) Leyti es delgada y realiza Simplificar:
ejercicios diarios. [~(p ↵ q)→ (p∧q)] ↵ (q ↵ p)
c) Leyti es delgada o realiza a) ∨
ejercicios diario. b) q
d) Leyti realiza ejercicios, c) p
dado que es delgada. d) p∧q
e) Leyti es delgada; ya que no e) p→q
realiza ejercicios diarios.
28. La negación de:
24. Simplifica: "A es negativo ya que B es po-
sitivo".
[(q →� p) → p ] ∧� q
a) "B es positivo y A no es ne-
a) P gativo"
b) (p ∧ � q) b) "B no es negativo ya que A
c) p ∨ q no es negativo"
d) p∨ � q c) "A es positivo y B es negativo"
e) p∨ � q d) "B es negativo y A es negativo"
e) No se puede determinar


Razones
RAZÓN
Es la comparación de dos cantidades de una misma Ejemplo:
magnitud mediante la operación de sustracción o Si en un corral hay 30 patos y 60 pavos, calcu-
división. la la razón geométrica del número de patos y
el número de pavos.
1. Clases de razón Resolución:
1.1 Razón aritmética (RA)
Es la comparación de dos cantidades median-
te la sustracción. Pa
= 30
= 1
Dadas las cantidades a y b Pv 60 2
Interpretación:
La razón geométrica del número de patos y
número de pavos es 1/2.
El número de patos es como 1 y el número de
pavos es como 2.

El número de patos y pavos están en relación
Ejemplo:
de 1 a 2.
Si la edad de Marcos es 16 años y la de Luis
es 13 años, calcula la razón aritmética de sus El número de patos y pavos son entre si como
edades. 1 es a 2.
Resolución: Por cada pato hay 2 pavos.
16 – 13 = 3
Interpretación: Ten en cuenta:

Marcos es mayor que Luis en 3 años. En la resolución de problemas es conveniente
La edad de Marcos excede a la edad de Luis en expresar la razón geométrica de la siguiente
3 años. forma:
Luis es menor que Marcos en 3 años
La edad de Luis es excedida por la edad de
Marcos en 3 años “a” es una vez más que “b” < > a = 2b
1.2
Razón geométrica (R.G) “a” es dos veces más que “b” < > a = 3b
Es la comparación de dos cantidades median-
te la división.
Dadas las cantidades a y b
Antecedente
b = 3k
a =k Valor de la razón geométrica  
b
Consecuente “a” es n veces más que “b” < > a = (n + 1)b


Trabajando en clase
Integral UNMSM UNI
8. Se observa que en una fiesta, 12. Dos autos se desplazan en sen-
1. Determina: a × b
por cada 5 mujeres hay 6 hom- tidos opuestos, uno al encuen-
a= 8 bres y por cada 5 hombres que tro del otro con velocidades
b 11 ; b – a = 12 beben hay uno que no bebe. que están en relación de 51 a
Calcula cuántos hombres be- 39. Si cuando están separados
2. Dos personas tienen dinero en ben si en total hay 24 hombres 270 m por segunda vez al más
la relación de 5 a 7. Si la segun- más que mujeres. rápido le faltan 198 m para
da le entregara a la primera Resolución: llegar a uno de los puntos de
S/.100, entonces tendrían am- Mujeres 5k partida, ¿cuál fue la separa-
bos la misma cantidad. ¿Cuánto =
Hombres 6k ción inicial de los autos?
tiene la primera persona? H(beben) Resolución
5Q
= Se tiene:
H(no deben) 1Q
3. Las edades de Ana y Rocío Recordemos: las distancias
son entre sí como 2 es a 3. Si Hombres – Mujeres = 24 recorridas en tiempos iguales
dentro de 8 años las edades 6k – 5k = 24 son proporcionales a las velo-
estarán en la relación de 5 a 7. k = 24 cidades.
¿Qué edad tendrá Rocío den- Entonces:
tro de 4 años? H(beben) + H(no beben) = 39k + 51k = 270
Hombres 90k = 270
5Q + 1Q = 144 k=3
PUCP 6Q = 144
4. Si “m” es a “n” como 5 es a 3 Q = 24 Reemplazando
y “n” es a “p” como 4 es a 7, Hombres que beben = 5 x 24 = 39n = 51(3) + 198 → = 9
determina la relación de “m” y 120
→ AB 51n + 39 n = 90 n = 90(9)
“n”.
9. En una reunión el número de ∴ AB =
810
Resolución mujeres es al número de mu-
jeres que no bailan como 10
=m 5=n 4 es a 3. Si todos los hombres
n 3 p 7 13. Dos autos parten de las ciu-
están bailando y son 20 más dades M y N al encuentro con
m × n 5× 4 que las mujeres que no bailan, velocidades en la relación de
× 3× 7 ¿cuántas personas hay en la re- 17 y 11. Si cuando están se-
m 20 unión? parados 140 m por segunda
p 21 vez al más lento le faltan 132
10. En un salón de clase se sabe m ara llegar al punto M, ¿cuál
que la cantidad de varones es fue la separación inicial de los
5. Si “p” esa “q” como 6 es a 11 y
a la de las mujeres como 3 a 7. autos?
“q” es a “r” como 3 es a 2, de-
Si se aumentan 5 varones y 1
termina la relación de “p” y “r”.
mujer, la relación sería de 4 a 14. El número de vagones que lle-
9. ¿Cuántas mujeres había al va un tren “A” es los 5/11 del
6. Determina: x – a inicio? número de vagones que lleva
a =3 un tren “B”, el que lleva el tren
; 2a + x = 39
x 7 11. Hace 4 años un padre tenía “C” es los 7/13 de los que lleva
14 veces la edad de su hijo. Si otro tren “D”. Entre “A” y “B”
7. La razón aritmética entre dos dentro de 6 años la edad del llevan tantos vagones como
números es 9. Si la diferencia padre y la de su hijo se encon- los otros dos. Si el número de
de sus cuadrados es 225, de- trarán en la relación de 4 a 1, vagones de cada tren no puede
termina la suma de los núme- ¿cuál es la diferencia de sus pasar de 60, ¿cuál es el número
ros. edades actuales? de vagones que lleva cada tren?

Sigo practicando
15. Halla: b – a 21. Si la suma, la diferencia y el produce la máquina A, la má-

a = 9 ; a + b = 800 producto de dos números es- quina B produce 3 y, por cada
b 11 4 botellas que produce la má-
tán en la misma relación que
a) 80 b) 60 c) 20 quina B, la máquina C produ-
los números 10; 6 y 32. Determi-
d) 70 e) 50 ce 7. Si en un día, la máquina
na la suma de dichos números. A produjo 3000 botellas me-
a) 16 b) 19 c) 17 nos que C, ¿cuántas botellas
16. Una persona tiene una bolsa
d) 20 e) 18 produjo la máquina B ese día?
donde hay 165 monedas. Si
a) 36000 d) 86000
por cada 5 monedas de S/.2
22. Si “A” es a “B” como 1 es a 2 y b) 45000 e) 33000
hay 8 monedas de S/.5 y por c) 64000
“A” es a “C” como 3 es a 4, cal-
cada 2 monedas de S/.5 hay 5
cula “A” si la suma de “B” y “C”
monedas de S/.1, determina el 27. Dos autos se desplazan en sen-
es 40.
número de monedas de S/.5. a) 12 b) 17 c) 25 tidos opuestos, uno al encuen-
a) 32 b) 64 c) 56 d) 20 e) 23 tro del otro, con velocidades
d) 40 e) 48 que están en la relación de 19
a 32. Si cuando están separa-
Nivel avanzado dos 255 m por segunda vez, al
17. Las edades de Susana y María
23. De un salón de clase se sabe más rápido le faltan 68 m para
están en la relación de 3 a 5. Si llegar a un punto de partida.
que la relación de mujeres es a
dentro de 8 años sus edades Calcula la separación inicial
la de los varones como 5 a 6. Si
sumarán 48 años. Determina se aumentan 7 varones, la re- de los autos.
la edad de María. lación es de 10 a 19. ¿Cuántas a) 612 d) 645 b) 629
a) 28 b) 46 c) 18 mujeres hay? e) 389 c) 428
d) 20 e) 42 a) 10 d) 50 b) 30
e) 60 c) 40 28. Se tienen dos recipientes de
18. Si el antecedente de una razón igual capacidad, a los que lle-
24. Hace 6 años la edad de un pa- nan con agua y vino, en la rela-
geométrica es 6 veces el valor
dre era 4 veces la edad de su ción de 2 a 3 en el primer reci-
del consecuente y la razón piente y de 2 a 1 en el segundo
aritmética de los términos es hijo. Si dentro de 6 años la
relación será de 5 a 2, ¿cuál recipiente. Se extraen 10 L y
30. Determina la suma de los 21 L del primer y segundo re-
es la diferencia de las edades
términos. actuales? cipiente, respectivamente. Si
a) 42 b) 45 c) 43 a) 16 d) 19 b) 17 se observa que en total que-
d) 46 e) 44 e) 20 c) 30 dan, en los recipientes, 239
litros de vino, calcula la capa-
Nivel intermedio cidad de los recipientes.
25. Si en una reunión se retiran 4
19. Determina “a+ b” mujeres, la relación que que- a) 260 L b) 270 L c) 180 L
da entre varones y mujeres es d) 280 L e) 135 L
a b c
= = ; 2b – c = 18 de 3 a 4. Luego de esto, llegan
3 5 7 29. Actualmente las edades de dos
14 varones; si la relación se
a) 32 b) 71 c) 27 invierte, ¿cuál era al inicio, la personas están en la relación
d) 30 e) 48 diferencia entre el número de de 8 a 11 y dentro de 10 años
varones y mujeres? en la relación de 7 a 9. Deter-
a) 3 d) 6 b) 4 mine en qué relación se en-
20. La razón aritmética entre dos
e) 10 c) 2 contraban dichas edades hace
números es 5. Si la diferencia 4 años.
de sus cuadrados es 55, calcula a) 5/8 d) 8/9 b) 3/7
26. En una fábrica embotelladora,
la suma de los números. se tienen 3 máquinas (A, B y e) 4/9 c) 7/10
a) 17 b) 20 c) 11 C). Por cada 5 botellas que
d) 21 e) 19

Proporciones
DEFINICIÓN
Es la igualdad de 2 razones de una misma clase y que Proporciones Discreta
tienen el mismo valor de razón.
Aritmética Geométrica
I. Clases de proporciones a=c
1. Proporción aritmética a − b =c −d b d

Es la igualdad de dos razones aritmética. d: 4ta diferencial d: 4ta proporcional
Ejemplo: de a; b y c de a; b y c
17 – 9 = 20 – 12
Ejemplo: Ejemplo:
Donde: Calcula la cuarta Calcula la cuarta
17 y 12 son términos extremos diferencial de proporcional de
9 y 20 son términos medios 15, 4 y 28 30; 36 y 20
Se cumple:
Resolución Resolución
Sea “d” la cuarta Sea “d” la cuarta
 Suma de términos   Suma de términos  diferencial proporcional
 = 
 extremos   medios 

⇒ 30 =20
⇒ 15 − 4 = 28 − d 36 d
2. Proporción geométrica ∴d = 17 ∴d = 24

Es la igualdad de dos razones geométricas.
Ejemplos: Proporción Continua
Aritmética Geométrica
16 = 12
4 3 a b
a −b = b−c b c

Donde:
16 y 3 son términos extremos c: 3ra diferencial c: 3ra proporcional
4 y 12 son términos medios de “a y b” de “a y b”
b: media diferencial b: media
proporcional
 Producto de términos   Producto de términos 
 =  de “a y c” de “a; b y c”
 extremos   medios 
Ejemplo Ejemplo:
Calcula la tercera Calcula la tercera
Según sus términos medios, las proporciones diferencial de proporcional de
serán discretas (términos medios diferentes)
18 y 15. 9 y 6.
o continuas (términos medios iguales).

Propiedades a1 a 2 a
a c = = ...= n= k
Si = b1 b2 bn
b d
a+b +d a+b
c= c+d
=
b d a−b c−d Propiedades
a−b c−d a −b c−d
= =
b d a+b c+d a1 + a 2 + ... + a n
a c a+c a c =k
= = = b1 + b2 + ... + bn
b+a d+c b+d b d
a c a −c a c a1 × a 2 × ... × a n
=k
b − a= d −c b−a
= =
b d
b1 × b2 × ... × bn
3. Razones geométricas equivalentes m m m

Es la igualdad de más de 2 razones geomé-  a1   a2   an  m
 b  =  b  = ...=  b  = k
tricas que tienen el mismo valor.  1   2  n
Trabajando en clase
Integral Donde: UNMSM
a= b= k
1. Calcula la suma de la tercera 8. Si el producto de los 4 tér-
b c
diferencial de 24 y 18, con la minos de una proporción
2
geométrica continua es 625,
cuarta proporcional de 18; 6 y → ck =ck =k
81. ck c determina la media propor-
cional.
Del dato:
2. Calcula M = E + T + A Resolución:
a = 9c
Si “E” es la media proporcional Sea:
de 3 y 27, “T” es la tercera di- c k2 = 9 c
a= b= k
ferencial de 50 y 27 y “A” es la k =3
b c
media diferencial de 28 y 12,
Entonces:
También:
9c = 3c
3. En una proporción geométrica
3c c ck=2
ck
continua, los términos extre- = k
⇒ a + b = 36 ck c
mos están en la relación de 16
9c + 3c = 36
a 25. Si la suma de los términos
12c = 36 Del dato:
diferentes es 366, calcula la me-
dia proporcional. = c 3 = ∴c 3
ck 2 ⋅ ck ⋅ ck ⋅ c =
625
5. Calcula: C c4 ⋅ k 4 =625
PUCP
a = b ; a = 25c ck = 5
4. Si b c a+c = 78
a = 9c; → La media proporcional
a=b
b c y a+b= 36 6. Si la suma de los 4 términos de es b = ck
una proporción aritmética con-
∴ b=
5
tinua es 60, ¿cuál es la media
Calcula c
diferencial?
9. Si el producto de los 4 tér-
Resolución
7. Calcula: c – a minos de una proporción
a=b geométrica continua es 256,
Sea una proporción
b c a= b= c determina la media propor-
geométrica continua. 3 4 7 ; y a + b + c = 70 cional.

10. Si la razón de una propor- Resolución 13. Calcula:
ción geométrica contínua es Sea:
4 y los términos extremos su- a+b+c
man 85, determina la media a=.b b .c c .d b+c+d
= = k
proporcional. b .b c .c d .d
ab= bc= cd= k= 5 a= b= c= k
11. Si en una proporción aritmé- 2 b c d
b c2 d 2
tica continua la suma de sus a 2 b + b 2 c + c 2d = 9
términos es 60, determina la
Entonces: b3 + c 3 + d 3
suma de sus términos extre-
mos. a=. a b . b c .c
= = k 14. Calcula:
b .a c .b d .c
UNI
12. Determina: 2 2 2 M= a
a= b= c= k d
ab cb cd
a 2 + b2 + c 2 2 2 2
ab + bc + cd Si: a + b + c = 4 ;
a 2 + b2 + c2= k= 5 b2 + c 2 + d 2
Si; ab + cb + cd
a= b= c ; ab + bc + cd= 5 2 2 2 a= b= c= 2

b c d b2 + c 2 + d 2 ∴ a +b +c = 5
ab + cb + cd b c d
Sigo practicando
15. Calcula la suma de la tercera diferencial de 57 y Nivel intermedio
46, con la cuarta proporcional de 169, 13 y 39.
a) 33 c) 37 e) 42 19. Si la suma de los cuatro términos de una propor-
b) 34 d) 38 ción aritmética continua es 228, calcula la media
diferencial.
16. Si “A” es la media proporcional de 64 y 25; “B” es a) 63 c) 57 e) 28
la tercera diferencial de 67 y 48 y “C” es media b) 37 d) 68
proporcional de 36 y 16, calcula “M”.
M=A+B+C 20. Calcula: c – a
a) 93 c) 99 e) 67
a b c y a + b + c = 297
b) 64 d) 91 = =
11 7 15
17. En una proporción geométrica continua, los tér- a) 36 c) 22 e) 47
minos extremos están en la relación de 16 y 64. Si b) 32 d) 37
la suma de los términos diferentes es 784, calcula
la media proporcional. 21. Si el producto de los términos de una proporción
a) 229 c) 212 e) 216 geométrica continua es 2401, determina la media
b) 296 d) 224 proporcional.
a) 11 c) 7 e) 9
18. La diferencia entre el mayor y menor término de b) 49 d) 3
una proporción geométrica continua es 15. Si el
otro término es 10, calcula la suma de términos. 22. Las edades de Juan y Sofía están en la relación de
a) 45 c) 40 e) 60 5 a 7. Si hace 22 años la relación de sus edades fue
b) 55 d) 35 de 4 a 10, ¿cuál será la edad de Sofía dentro de 5
años?
a) 47 c) 30 e) 25
b) 42 d) 35

Nivel avanzado
28. María, Fernanda y Alejandra tienen dinero en can-

23. Si la razón de una proporción geométrica continua
tidades proporcionales a los números a, b y c, res-
es 9 y los términos extremos suman 328, determina
pectivamente. María da la tercera parte de lo que
la media proporcional.
tiene a Alejandra; Alejandra da S/.300 a Fernanda,
resultando Fernanda y Alejandra con igual cantidad
a) 32 c) 36 e) 30
de dinero. Si 3(c - b) = 5a, ¿cuánto dinero tenía Ma-
b) 46 d) 28
ría inicialmente?
a) S/.200 c) S/.300 e) S/.100
24. En una proporción aritmética continua, la suma de
b) S/.600 d) S/.500
sus términos es 300. Determina la mayor suma de
dos de sus términos, si la diferencia de extremos es
29. Si:
24.

3
27+a3 3 125+b3 3 343+c3
a) 220 c) 164 e) 195 = =
39 65 91
b) 162 d) 149
Halla “b”, si c –a = 20
a) 20 c) 30 e) 25
25. Calcula:
b) 28 d) 32
E = ( A5 + B5 + C 5 + D5 ) (a 5 + b5 + c5 + d5 )

A = B = C = D =3
Si:
a b c d
a) 250 c) 35 e) 950
b) 3 d) 650
26. Dos números son proporcionales a 2 y a 5, respec-

tivamente. Si se aumenta 1651 al primero y 115 al
otro, se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el nú-
mero menor?
a) 5450 c) 1024 e) 2340
b) 2550 d) 1516
2 2 2
27. Si A = B = D = k y A + B + D = 49
a b d a 2 + b2 + d 2
a 3 + b3 + d 3
Calcula
A3 + B3 + D3
1
a) 243 c) 21 e)
21
1 1
b) d)
49 243

Promedios
DEFINICIÓN
Es aquella cantidad que representa a un conjunto de Ejemplo:

cantidades, es un valor de tendencia central, pues está Calcula el promedio geométrico de 1; 2; 4; 6
comprendida entre la mínima y la máxima cantidad
promediada. P.G. = 4 1× 2 × 4 × 6
Sean las cantidades:
4 4
a1; a2; a3; …; an = 4=
P.G. 48 2 ×3
Sea P el promedio
P.G. = 2 4 3
a1 ≤ P ≤ a n
Promedio armónico:
Ejemplo: Sean: a1; a2; a3; …an
Si un alumno tuviera en un mismo curso la nota: 12;
14; 16 y 18, el promedio no podrá ser 10 ni 20. n
P.H. =
1 + 1 + 1 + ... + 1
12 < P < 18 a1 a 2 a 3 an
Promedios importantes Número de Cantidades

PH =
Promedio aritmético Suma de las inversas
Sean: a1; a2; … + an
de las cantidades.
a + a + ... + a n
P.A. = 1 2 Ejemplo:
n
Calcula el promedio armónico de 4; 6; 8
Suma de las cantidades
P.A. =
Número de cantidades 3
P.H. =
1+1+1
Ejemplo: 4 6 8
Calcula el promedio aritmético de: 1; 3; 5; 7; 10 3 72
=
P.H. =
1 + 3 + 5 + 7 + 10 6 + 4 + 3 13
⇒ P.A. = 24
5
26
= = 5,2
P.A.
5 P.H. = 72
13
∴ P.A. =
5,2
Nota:
Promedio geométrico
Sean: a1; a2; …an Si a todas las cantidades promediados se les
afecta matemáticamente (sumando, restando,
P.G.= n a1 ⋅ a 2 ⋅ ... ⋅ a n multiplicando, dividiendo) por una misma
Nºcantidades
cantidad, entonces el promedio quedará
P.G. = Producto de cantidades afectado del mismo modo.

Promedio ponderado Ejemplo:
Sean las cantidades: Sean 14 ; 13 ; 16 y 20 y sus
a1; a2; a3; …an
y los pesos Pesos 3 ; 4 ; 2; 1
p1; p2; p3; …pn
14 × 3 + 13 × 4 + 16 × 2 + 20 × 1
⇒ PP =
3 + 4 + 2 +1
a P + a P + ... + a nPn
PP = 1 1 2 2 = 146
PP = 14,6
P1 + P2 + ... + Pn 10
Trabajando en clase
Integral ta en 60. Determina el quinto P5 = 70
1. Calcula la media aritmética de número. ∴ P5 =70

20; 30; 60 y 10. 6. El promedio aritmético de 5
9. La nota promedio de 6 alum-
Resolución: números es 140, si se agregan
nos es 16. Si ninguna nota es
5 números, la media aritmé-
2. Calcula la media geométrica menor de 12, ¿cuál es la máxi-
tica queda aumentada en 60.
de 2; 12 y 9. ma nota que puede tener uno
¿Cuál es la media aritmética
3. Calcula la media armónica de de ellos?
de los 5 nuevos números?
2; 3 y 6. 10. Si el P.G. de tres números pa-
7. El promedio de 50 números es
res diferentes es 6, ¿cuál es el
PUCP 14; si extraemos 20 números,
promedio aritmético de di-
4. El promedio de 5 números es el promedio de los números
chos números?
200; si se considera un sexto que quedan es 12. Determina
el promedio de los números 11. La edad promedio de 4 her-
número, el promedio aumenta manos es 15 años. Si ninguno
en 50. Determina el sexto nú- que se extrajeron.
de ellos tiene más de 12 años.
mero. UNMSM ¿Cuál es la mínima edad que
Resolución 8. El peso promedio de 5 señoras puede tener uno de ellos?
es 50 kg. Si ninguna pesa me-
Sean:
nos de 45 kg, ¿cuál es el máxi- UNI
x1; x2; x3; x4; x5 mo peso que puede tener una
12. De 40 alumnos de un aula, se
de ellas?
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 sabe que el promedio de las
P.A. = 200 Resolución:
notas es 13,5. Los 6 primeros
5 Sean los pesos: P1; P2; P3; P4; P5 obtuvieron un promedio de
→ x1 + x2 + … + x5 = 200 x 5 P1 + P2 + P3 + P4 + P5 18; otros 10 alumnos un pro-
= 1000 = → P.A. = 50
5 medio de 8 y de los demás,
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 50 ⋅ 5 ninguno superó 15 de nota.
Ahora:
Determina la nota mínima po-
x1 + x 2 + ... + x 6 P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 250
= P.A. = 250 sible que pudo tener un alum-
6 no de este último grupo.
Ahora, los pesos no son me- Resolución
→ x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 =

1500 nores que 45 kg; entonces el Sean las notas:
peso mínimo serás 45 kg. x1; x2; …; x40
1000 +x6
x1 + x 2 + ... + x 40
→ P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 250
    = P.A. =
40
13,5
mínimo máximo
∴ x6 = 500
x1; x2; …; x40 = 540
5. El promedio de 4 números es
300; si aumentamos un quinto 45 + 45 + 45 + 45 + P5 = 250 Ahora, veamos los grupos:
número, el promedio aumen- 180 + P5 = 250

x1 + x 2 + ... + x 6 + x 7 + ... + x16 + x17 + ...x 40 =
 
540 ∴ La nota mínima de un 14. La media aritmética de “n”
18×6 10×8 alumno es 7. números es 50; si se suprimen
13. De 30 alumnos de un aula, se todos los 18 que son un total
→ 108 + 80 + x + … + x = 540 de “x”, la MA aumenta en “x”
17 40 sabe que el promedio de notas
fue 14,5. Los 5 primeros alum- unidades. Determina “n” si
x17 + … + x40 = 352 nos obtuvieron un promedio este número es a “x” como 11
La nota máxima. de 17, otros 12 alumnos ob- es a 3.
x A + x 8 + ... + x 39 + x 40 =352 tuvieron un promedio de 14 y
  
15 × 23 + x 40 =352 de los demás, ninguno superó
15 de nota. Determina la nota
345 + x40 = 352 mínima que pudo tener un
alumno de este último grupo.
x40 = 7

Sigo practicando
15. Calcula la media aritmética de 21. Se tiene 60 objetos, cuyos pe- entre x y el número mayor re-
5; 10; 15; 20 y 30. sos son un número entero de tirado.
a) 18 b) 15 c) 17 kilogramos. Sabiendo que el a) -24 b) -20 c) 24
d) 20 e) 16 promedio de los peso0s es 50 d) 30 e) 20
kg, ¿cuánto puede pesar como
16. Calcula la media geométrica máximo uno de ellos si ningu- 26. El promedio armónico de 40
de 4; 12 y 36. no pesa menos de 48 kg? números es 16 y el promedio
a) 3 b) 5 c) 4 a) 168 kg b) 171 kg c) 169 kg armónico de otros 30 números
d) 7 e) 12 d) 172 kg e) 170 kg diferentes entre sí, es 12. Cal-
cula el promedio armónico de
17. Calcula la media armónica de 22. La edad promedio de un gru- los 70 números.
5; 4 y 20. po de personas dentro de “y” a) 10 b) 16 c) 12
a) 4 b) 5 c) 6 años aumentará en 8 años res- d) 18 e) 14
d) 12 e) 8 pecto a la edad promedio que
tenía hace “x” años. Si dentro 27. La media aritmética de “a” nú-
18. El promedio de 5 números es de “x” años la edad promedio meros es 60, si se suprimen to-
“x”. Si el promedio de dos de será 36 años, ¿cuál era la edad dos los 24 que son un total de
ellos es x/2, ¿cuál es el prome- promedio hace “y” años? “b” números, la MA aumenta
dio de los otros tres? a) 28 b) 20 c) 24 en “b” unidades. Determina “a”
d) 18 e) 22 si este número es a “b” como
4x (x − 3)
a) b c ) 41 es a 5.
x3 4 Nivel avanzado
a) 5 b) 8 c) 6
3 23. El promedio geomético de 3 d) 9 e) 7
(x − 4)
d) e) 3x números diferentes entre sí es
3 4 6. Calcula la media aritmética 28. Determina dos números en-
Nivel intermedio de dichos números. teros cuyo producto es 600,
19. Si el promedio de 15 números a) 31/4 b) 29/4 c) 33/5 sabiendo que la media aritmé-
es 32 y se agregan 5 números, d) 27/4 e) 21/4 tica y la media armónica son
el promedio quedaría disminui- dos números consecutivos.
do en 1. ¿Cuál es el promedio de 24. El promedio aritmético de las Da como respuesta el número
los 5 números agregados? edades de 8 personas es 30. Si menor.
a) 28 b) 22 c) 30 ninguno de ellos es menor de a) 20 b) 30 c) 25
d) 15 e) 52 28 años, ¿cuál es la máxima d) 10 e) 15
edad que podría tener uno de
20. El promedio de 30 números es ellos? 29. Si la media geométrica de dos
18; si extraemos 18 números a) 52 b) 44 c) 56 números es 12 y su media ar-
el promedio de los restantes es d) 68 e) 60 mónica es 9 3 , calcula la ra-
30. Determina el promedio de zón aritmética5de los números.
los números extraídos. 25. El promedio de 6 números es a) 12 b) 21 c) 15
a) 20 b) 50 c) 30 “ x ”. Si se retira el mayor, el d) 18 e) 16
d) 60 e) 40 promedio se reduce en cuatro
unidades. Calcula la diferencia

Magnitudes proporcionales I
MAGNITUD
Es toda propiedad de los cuerpos que puede ser Asimismo, “K” representa que el cociente entre los
medida. Otra acepción nos dice también, que es todo valores de las magnitudes es el mismo.
aquello que tiende a cambiar de valor o intensidad. En las magnitudes DP, su cociente es constante,
mientras que en las magnitudes IP, su producto es
Magnitudes proporcionales constante.
Son aquellas que al ser comparadas y variar una
de ellas, hace que la otra también varíe en forma 2. Magnitudes inversamente proporcionales
proporcional. Estas magnitudes se dividen en dos Son aquellas que al aumentar o disminuir una de
clases:
ellas, hace que la otra disminuya y aumente en la
misma proporción. Entre ellas se cumple que su
1. Magnitudes directamente proporcionales
producto es siempre constante. Si tenemos que
Son aquellas que al aumentar o disminuir una de
ellas, hace que la otra también aumente o dismi- dos magnitudes (A y B) son inversamente pro-
nuya en la misma proporción. Entre ellas se cum- porcionales, entonces deben cumplir que:
ple que su cociente siempre debe ser constante.
Si tenemos dos magnitudes (A y B), estas serán Magnitud A × Magnitude B =
Cosntante
directamente proporcionales si se cumple que:
Además, si las dos magnitudes son IP (inversa-
Magnitud A mente proporcionales), tienen el siguiente gráfico
= Constante
Magnitud B que las vincula:
Además, si las dos magnitudes nombradas son

DP (directamente proporcionales) tendrán un
gráfico que la vincula:
Donde se cumple que:

Donde se cumple lo siguiente:
a1 × b1 = a 2 × b2 = a 3 × b3 = k
a1 a 2 a 3 a 4 a 5
= = = = = k Asimismo, “k” representa que el producto entre
b1 b2 b3 b4 b5
los valores de las magnitudes dadas es el mismo.

3. Determinación de una fórmula en magnitu- Entonces, cuando “A” es DP a “B” y A es IP a “C”.
des proporcionales se cumple la siguiente relación:
Si “A” es DP a “B”, entonces se debe cumplir lo
siguiente: A × C = Constante
A Constante ...(a) B
=
B
A esta expresión obtenida se le denomina “fór-
mula entre magnitudes proporcionales”.
Si “A” es IP “C”, entonces se debe cumplir lo si-
guiente: La expresión entre magnitudes: “A” DP a “B” y
“A” IP a “C”, es lo mismo que “A” DP a “B” e IP a
=
A × C Constante ...(b) “C”.
Trabajando en clase
Integral Resolución: 6. Calcula el valor de “a” en el
1. Relaciona las siguientes mag- siguiente cuadro.
Las campanadas son un caso
nitudes: especial, pues se toman en
# obreros – rapidez cuenta los intervalos. A 20 x 65
Eficiencia – tiempo 6:00 am ⇒ toca 6 campana- B 28 63 91

das
Área - # carpetas
En 6 campanadas hay 5 inter- 7. Si las magnitudes A y B3 son
Provisiones - # personas
valos inversamente proporciona-
(raciones)
11:00 am ⇒ toca 11 campa- les y cuando A vale 7, B es 8,
Resolución: nadas ¿cuál es el valor de A cuando
En 11 campanadas hay 10 in- B vale 4?
2. Se sabe que “A” DP “B”. Cal- tervalos
cula “A” cuando B = 15, si # intervalos es “DP” a seg UNMSM
cuando A = 105, B = 25.
#int ervalos 8. Se contrata un emple4ado
= constante por el tiempo de un año, acor-
seg
3. Calcula “a” si: 3 dando pagarle S/.700 más un
5 = 10 ⇒ x = 10 × 15
televisor; pero si al cumplir
15 x 5 los siete meses se le despide
1 pagándole S/.250 más el te-

levisor, ¿cuál es el precio del
x = 30 televisor?
Rpta.: Resolución:
Demorara 30 seg. Tiempos de “DP” pago tra-
PUCP bajo
Tiempo
4. Un reloj que señala las horas 5. Si un reloj que señala las ho- = constante
con igual número de campa- Pago
ras con igual número de cam-
nadas como número indica, panadas como número indi-
demora 15 segundos para in- ca, demora 10 segundos para 1 año = 12 meses
dicar las 6:00 am, ¿cuánto de- indicar las 4:00 am, ¿cuánto
morará para indicar las 11:00 tiempo demorará para indi- 12 7
=
am? car las 10:00 am? 700 + (tv) 250 + (tv)

3000 + 12 (tv) = 4900 + 7 tv f(5) = z
5 (tv) = 1900 z . 5 = 6 . 14
tv = 380 z = 84
Rpta.: 5
Costo S/.380 42 × 28
E 5 5= 14
= = 2,8
84 5
9. Se contrató a un contador Calcula el valor numérico de 5

por el tiempo de un año tres
“a + b”.
meses, acordando pagarle 13. Si g(x) es una función de pro-
S/.800 más un celular; pero si UNI
porcionalidad inversa. Cal-
al cumplir los nueve meses se 12. Siendo f(x) una función de cula “B” si se cumple que
le despide pagándole S/.312 proporcionalidad inversa, g(4) = 9.
más el celular ¿cuál es el pre- determina “E”:
cio del celular?
E = f(10) × f(15) , si f(6) = 14 B=
g(2) × g(6)
f(5) g(3)
10. Si A “IP” B calcula x.
Resolución:
f(6) = 14 es inversa se cumple 14.
6 x 14 = constante
f(10) = x
x . 10 = 6 . 14
x = 42
5
f(15) = y
11. La siguiente gráfica muestra
y . 15 = 6 . 14
los ingresos de José por la
cantidad de productos que
fabrica.
y = 28
5
Calcula ( a2 ) ( 3b5 )
Sigo practicando
15. Relaciona las magnitudes y da como respuesta la 17. Calcular “a x b”

cantidad de relaciones que son IP.
- # obreros - # días a) 72
- Presión – volumen c) 84
- # cuadernos - # alumnos e) 56
- # velocidad - horas b) 64
a) 2 c) 0 e) 1 d) 38
b) 4 d) 3
18. Se ha medido la presión ejercida por un gas y el
16. Si “P” es DP a “R” cuando P = 7, R = 3. Determi- volumen que ocupa, y se obtuvieron los siguien-
nar “P” cuando R = 54. tes datos:
a) 232 c) 269 e) 89
b) 301 d) 126 Volumen ( cm3 ) 10 15 20

(
Presi n kg/ cm3 ) 12 a b
Calcula “a + b”
a) 16 c) 13 e) 14
b) 19 d) 18

Nivel intermedio 25. Se tiene tres magnitudes A, B y C, tales que “A” es
DP a “ B ”; “A” es IP a “C2”. Cuando A = 8; B =
A 4 A 60 16 y C = 6. Calcula “B” si A = 9 y C = 4.
a) 8 c) 5 e) 2
19. Calcula el valor de “A2” B 30 15 2
b) 6 d) 4
a) 25 c) 36 e) 16 26. Si se cumple que f(5) = 12
b) 64 d) 49
f (4) × f (6)
Calcula
f (2)
20. Calcula “a + b”
a) 13 Sabiendo que f(x) es una función de proporciona-
b) 18 lidad inversa.
a) 7,2 c) 2,6 e) 5
c) 34
b) 1,4 d) 7,4
d) 23
e) 28 27. Calcula a + b
21. Orlando observa en el parque la sombra que pro-

yecta un árbol a cierta hora del día.
Sombra 4 6 b
Altura Ærbol 2 a 6

Calcula “a + b”
a) 13 c) 15 e) 17
b) 10 d) 12 a) 102 c) 144 e) 132
b) 214 d) 186
22. Si “M” es DP a “3N”, calcula “x + y”
28. Se tiene el siguiente cuadro que muestra que A y
B guardan cierta relación de proporcionalidad.
a) 37
b) 72 A 18 m 27 9 45
c) 54 B 225 25 100 n 36
d) 48
e) 24 Calcula “m + n”
a) 1024 c) 594 e) 614
b) 954 d) 724
Nivel avanzado 29. “A” es DP “B” e IP a “C2”. Si cuando C = 5; B = 5A,
23. Si “A” es IP “ B ” cuando A = 10, B = 4. Calcular ¿cuál es el valor de B cuando C = 2 y A = 5?
“B” cuando A = 5. a) 1 c) 3 e) 5
a) 25 c) 32 e) 81 b) 2 d) 4
b) 16 d) 64
24. La siguiente gráfica muestra la producción de una

zapatería y sus costos de producción.
Calcula a + b
a) 225
b) 215
c) 325
d) 350
e) 275

Magnitudes proporcionales II
RUEDAS DENTADAS (ENGRANAJES)

Este caso nos lleva a hacer asociaciones con nuestra Donde:
realidad, la cadena de nuestra bicicleta está conectada # DA = Número de dientes de A
a dos ruedas dentadas, y los relojes antiguos se movían # VA = Número de vueltas de A
en base a un complicado sistema de engranaje. De # DB = Número de dientes de B
estos ejemplos, se pueden desprender dos posibles # VB = Número de vueltas de B
situaciones:
2. Cuando las ruedas están en el mismo eje
1. Cuando las ruedas están en contacto (en- de giro (concéntricas)
granadas) Se nota que cuando están en el mismo eje de giro;
si la rueda “A” da una vuelta, la rueda “B” dará
también una vuelta, finalmente se cumplirá que:
Si la rueda “A” (la que tiene más dientes) gira una

vuelta; entonces la rueda “B” (de menos dientes) # Vueltas de A = # Vueltas de B
gira más de una vuelta. Finalmente, mientras
más dientes tenga una rueda, en contacto con
otra rueda, girará menos vueltas o viceversa; se Advertencia Pre
deduce entonces que “El número de dientes y el
número de vueltas son IP; entonces para las rue-
das “A” y “B” se cumple que: Si dos magnitudes cambian en el mismo sentido,
son directas y si lo hacen en sentido contrario,
# DA ⋅ # VA = # DB ⋅ # VB
son inversas.
# Vueltas IP # Dientes

Trabajando en clase
Integral tes y B, 18 dientes), ¿cuántas ¿Cuánto costará otro libro de
1. Dos ruedas en contacto dan 72 vueltas dará B cuando A dé 20 600 páginas y de 30 cm de lon-
y 63 vueltas. Si la primera tie- vueltas? gitud?
ne 35 dientes, ¿cuántos dientes UNMSM
tendrá la segunda? 8. El costo de un automóvil es 11. Si las ruedas A, B y C están
Resolución: DP al número de llantas de en contacto y tienen 20; 25 y
repuesto que dan de regalo, e 30 dientes, respectivamente,
2. Las ruedas A y B se encuen- IP al número de puertas que al dar 60 vueltas la rueda A,
tran en el mismo eje de giro. Si tiene. Si un auto de dos puer- ¿cuánto sumarán las vueltas
A da 20 vueltas, ¿cuántas vueltas y de una llanta de repuesto que dan las ruedas B y C?
tas dará B? cuesta S/.6000, ¿cuánto costa-
rá otro auto de 4 puertas por el
UNI
que dan 2 llantas de repuesto?
3. Si Juan, por resolver 18 pre- 12. Según la ley de Boyle, la pre-
Resolución:
gunta de matemáticas cobra sión es IP al volumen que con-
C. costo del automóvil tiene cierta cantidad de gas. Si
S/.50, ¿cuánto cobrará por 27
preguntas? L: número de llantas 200 cc de una está sometido
P: número de puertas a una presión de 5 atm, ¿qué
Del problema: presión debe soportar 250 cc
PUCP
C × P = cte del mismo gas?
4. Si una docena de libros cuesta
L Resolución:
S/.72, ¿cuánto costarán 3 cen-
tenas de libros? C1 = 6000 C2 = ? P: presión
Resolución: P1 = 2 P2 = 4 V: volumen
Del problema: (costo) DP L1 = 1 L2 = 2
(Número de libros) Del problema: P x V = cte.
Costo Reemplazando valores: P1 = 5 V1 = 200
=k
Número de libros 600 × 2 = C 2 × 4 P2 = ? V2 = 250

1 2
Reemplazando valores:
Reemplazando valores: C2 = 6000
5 x 200 = 250 x P
x = 72
300 12 9. El costo de un automóvil es P = 4 atm
x = 1800 DP al número de llantas de re-
puesto que dan de regalo, e IP
13. Según la ley de Boyle, la pre-
al número de puertas que tie-
sión es IP al volumen que con-
5. Si media docena de libros ne. Si un auto de 3 puertas y de
tiene cierta cantidad de gas. Si
cuesta S/. 48, ¿cuánto costarán dos llantas de repuesto cuesta 500 cc de un gas está sometido
18 libros? S/.5000, ¿cuánto costará otro a una presión de 8 atm, ¿qué
auto de 5 puertas por el que presión debe soportar 40 cc
6. Si 12 obreros pueden hacer dan 3 llantas de repuesto? del mismo gas?
un trabajo en 6 días, ¿cuán-
tos obreros más se necesitarán 10. El costo de un libro es DP al 14. Las ruedas “A” y “B” están en
para hacer el trabajo en 4 días? número de hojas que tiene, e contacto y tienen “x” y “x + 5”
IP a su longitud. Si un libro de dientes. Si estas ruedas dan 25
7. Si se tiene los piñones engra- 400 hojas y de 12 cm de longi- y 20 vueltas, respectivamente,
nados A y B (A tiene 45 dien- tud cuesta S/.50. calcula “x”.

Sigo practicando
15. Dos ruedas dentadas tienen 40 20. Si un tornillo perfora 0,7 mm 25. Mario puede correr 5 km en
y 45 dientes. Cuando la prime- en 45 vueltas, ¿cuántas vueltas “2n” horas y 15 km a la misma
ra gire 18 vueltas, ¿cuánto gi- dará para perforar 9,1 mm? velocidad en “3n + 9” horas.
rará la segunda rueda? a) 570 d) 465 Calcula el valor de “n”.
a) 10 d) 16 b) 575 e) 585
a) 2 d) 8
b) 12 e) 18 c) 685
c) 14 b) 4 e) 10
21. Una guarnición de 165 hom- c) 6
16. Una rueda A de 80 dientes se bres tiene víveres para 5 me-
26. Si Miguel Ángel puede pintar
engrana con otra rueda B de ses; si se quiere que los víveres una pared cuadrada de 5 m
15 dientes. Si la rueda A da 12 duren 15 días, ¿cuántos hom- de lado en 2 horas, ¿en cuán-
vueltas, ¿cuántas vueltas dará bres habrá que disminuir de la to tiempo podrá pintar una
la rueda B? guarnición? pared del doble de lado que la
a) 24 d) 54 anterior?
a) 15 d) 25
a) 4 h d) 16 h
b) 34 e) 64 b) 18 e) 28 b) 8 h e) 20 h
c) 44 c) 20 c) 12 h
17. Si Miguel, por resolver 30 pre- 27. Dos ruedas A y B de 21 y 35

22. Si un móvil que viaja a veloci-
guntas de Aritmética cobra dientes están en contacto. Si A
S/.90, ¿cuánto cobrará por 45 dad constante recorre 300 km
da 20 RPM, ¿cuántas vueltas
preguntas? en 6 h, ¿qué distancia recorre-
dará B en 10 min?
a) 95 d) 135 rá al cabo de 15 h? a) 80 d) 140
b) 115 e) 145 a) 420 km b) 450 km b) 100 e) 160
c) 125 c) 550 km d) 650 km c) 120
e) 750 km
18. Si una persona tarda 30 mi- 28. Un engranaje A de 16 dientes
nutos para pintar las caras de engrana con otro engranaje B
Nivel avanzado
de 10 dientes. Si fijo al eje B,
un cubo, ¿cuánto tardará otra
23. El costo de un libro es DP al existe otro engranaje C de 45
persona, cuya rapidez es el dientes que engrana con otro
número de hojas que tiene. Si
triple de la anterior, en pintar engranaje D de 120 dientes,
un libro de 200 hojas cuesta
otro cubo cuyo volumen es 8 ¿cuántas vueltas dará D cuan-
S/.8, ¿cuánto costará otro libro
veces el volumen del cubo ando A de 45 vueltas?
de 300 páginas? a) 17 d) 47
terior?
a) S/.12 d) S/.6 b) 27 e) 57
a) 40 min
b) S/.10 e) S/.4 c) 37
b) 60 min
c) S/.8
c) 75 min 29. Si F(6) = 7 y F(x) es una fun-
d) 80 min ción de proporcionalidad in-
24. En un sistema de 3 engranajes
e) 90 min versa, señala el valor de:
A, B y C; donde A y B están en
F(5) × F(10)
Nivel intermedio contacto y tienen 20 y 30 dien-
F(8)
19. Si 10 personas pueden cons- tes. Si C está en el mismo eje
truir 5 casas en 40 días, ¿cuán- que B, ¿cuántas vueltas dará C a) 4,72 d) 7,72
tos obreros podrán construir 2 si se sabe que A da 2 vueltas b) 5,72 e) 8,72
casas iguales que las anteriores más que B? c) 6,72
en 20 días? a) 3 d) 9
a) 12 d) 10
b) 5 e) 11
b) 11 e) 9
c) 8 c) 7

Repaso
1. ¿Cuántos de los siguientes e) 19
enunciados son proposiciones 5. En una reunión, la razón en- 9. Determina la media armónica
lógicas? tre hombres y mujeres es de de: 2; 6; 12; …; 90
- x + 3 > 8 3 a 5. Luego de media hora se
- 2 + 3 = 6 a) 15 b) 10
retiran 20 parejas; si la nueva
- Sofía es la capital de Bul- relación es de 4 a 7, ¿cuántas c) 12 d) 18
garia. mujeres había al inicio? e) 20
- ¿Messi es el mejor tenista
del mundo? a) 200 b) 150
a) 1 b) 2 c) 120 d) 180 10. Si “A” es DP a “B” cuan-
c) 0 d) 3 e) 300 do A = 2 y B = 7, calcula “A”
cuando B = 28.
e) 4
6. Si en una proporción geomé- a) 4 b) 16
2. Si ~ (~ p → q) es verdadera, trica continua el producto de c) 8 d) 12
determina el valor de verdad los 4 términos es 81, ¿cuál es e) 6
de “p” y “q”. su media proporcional?
a) VV b) VF a) 8 b) 3 11. Si 30 obreros hacen una obra
c) FV d) FF c) 5 d) 6 en 20 días, ¿cuántos días tar-
e) No se puede determinar e) 2 darán 25 obreros en hacer la
misma obra?
3. Simplifica: ~ (~ p →~ q) 7. Calcula “a” a) 25 días d) 24 días
a) ~ p ∧ q b) p∧ ~ q a= b= c ; además b + c = 65 b) 16 días e) 30 días
c) ~ p ∨ q d) p∨ ~ q 2 5 8 c) 20 días
e) ~ p∧ ~ q a) 10 b) 15
c) 18 d) 20 12. Calcula “A + B” si “A” es la me-
4. Si “A” es a “B” como 2 es a 3 y e) 12 dia proporcional de 4 y 9 y “B”
“B” es a “C” como 4 es a 7, ¿en
qué relación están “A” y “C”? es la tercera diferencial de 20 y
8. Si el promedio geométrico de 16.
6 4 3 números enteros diferente4s
a) b) a) 10 b) 12
21 21 es 7, calcula su media aritmé-
8 21 tica. c) 14 d) 16
c) 21 d)
8 a) 11 b) 13 e) 18
6
e) c) 15 d) 17
28
Sigo practicando
13. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son propo- b) 2 d) 3
siciones lógicas?
- x + 3 > 8 14. Si � � ( p → q) es verdadera, determina el valor
- 2 + 3 = 6 de verdad de “p” y “q”.
- Sofía es la capital de Bulgaria. a) VV d) FF
- ¿Messi es el mejor tenista del mundo? b) VF e) No se puede determinar
a) 1 c) 0 e) 4 c) FV

15. Simplifica: � � ( p →� q)
a) � p ∧ q c) � p ∨ q e) � p∧� q 22. Si “A” es DP a “B” cuando A = 2 y B = 7, calcula “A”
b) p∧ � q c) � p ∨ q cuando B = 28.
16. Si “A” es a “B” como 2 es a 3 y “B” es a “C” como 4 a) 4 c) 8 e) 6

es a 7, ¿en qué relación están “A” y “C”? b) 16 d) 12
6 8 e) 6 23. Una rueda “P” engrana con otra rueda “Q”; si la
a) c)
21 21 28 primera rueda tiene 40 dientes y la segunda 30;
4 21
b) d) ¿cuántas vueltas dará la primera rueda cuando la
21 8
segunda dé 80 vueltas?
a) 20 c) 30 e) 60
Nivel intermedio
b) 50 d) 40
17. En una reunión, la razón entre hombres y muje-
res es de 3 a 5. Luego de media hora se retiran 20 24. La rueda “A” está en el mismo eje que la rueda “B”.
parejas; si la nueva relación es de 4 a 7, ¿cuántas Si “A” da 20 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas
mujeres había al inicio? dará “B” en 3 minutos?
a) 200 c) 120 e) 300
b) 150 d) 180 a) 30 c) 90 e) 28
b) 60 d) 50
18. Si en una proporción geométrica continua el pro-
ducto de los 4 términos es 81, ¿cuál es su media 25. Si 30 obreros hacen una obra en 20 días, ¿cuántos
proporcional? días tardarán 25 obreros en hacer la misma obra?
a) 25 días c) 20 días e) 30 días
a) 8 c) 5 e) 2 b) 16 días d) 24 días
b) 3 d) 6
26. Calcula “A + B” si “A” es la media proporcional de
19. Calcula “a” 4 y 9 y “B” es la tercera diferencial de 20 y 16.
a) 10 c) 14 e) 18
a b c ; además b + c = 65
= = b) 12 d) 16
2 5 8
a) 10 c) 18 e) 12 27. Si F(6) = 7 y F(x) es una función de proporciona-
b) 15 d) 20 lidad inversa, señala el valor de:
F(5) × F(10)
20. Si el promedio geométrico de 3 números enteros
F(8)
diferente4s es 7, calcula su media aritmética.
a) 11 c) 15 e) 19 a) 4,72 c) 6,72 e) 8,72
b) 13 d) 17 b) 5,72 d) 7,72
21. Determina la media armónica de: 2; 6; 12; …; 90

a) 15 c) 12 e) 20
b) 10 d) 18

GEOMETRÍA
Primer Bimestre
3
SECUNDARIA
Pág.
Ángulos 63
Ángulos entre rectas paralelas y una secante 68
Triángulos 73
Líneas Notables asociadas a un triángulo 78
Congruencia de triángulos 84
Aplicaciones de la congruencia de triángulos 89
Triángulos rectángulos notables y pitagóricos 93
Repaso 98
Ángulos
DEFINICIÓN
Cuando dos rayos se juntan, de manera que estos no En el gráfico, las medidas de los ángulos se simbolizan
formen una recta, entonces se ha formado la figura como a, b y q respectivamente.
geométrica conocida como ángulo. • Notación: m∠AOB
• Se lee: Medida del ángulo AOB.
Bisectriz de un ángulo
En todo ángulo, por su vértice se pueden trazar
infinitos rayos, pero uno de ellos determina en el
ángulo dos ángulos parciales de igual medida. A
dicho rayo se le denomina bisectriz.
• Notación: ∠AOB
Se lee: ángulo AOB.
• Elementos: α
O: Vértice del ángulo α
Rayos OA y OB : Lados del ángulo
Rayos OA y OB : Lados del ángulo

Los ángulos se pueden comparar entre sí, pero esta
comparación es realizada respecto de la separación
de sus lados (abertura del ángulo). Esta separación OP : Bisectriz del ángulo AOB
m∠AOP = m∠POB = ∝
se mide teniendo en cuenta que mientras se separan
los lados del ángulo, cualquier punto ubicado en uno Clasificación de ángulos
de ellos describe un arco como el mostrado, lo que A. Según su medida
sugiere la forma de construir la regla (transportador) Atendiendo a los valores que puede tomar la me-
para medirlo. dida de un ángulo, se clasifica en agudo, recto y
obtuso.
A
A
β
O B
β
O B
Recto
3ro SECUNDARIA 63 Geometría

A Ángulos complementarios
Se definen así a dos ángulos cuyas medidas suman
90°. De estos dos ángulos se dice que uno es el
β complemento del otro.
O Obtuso B
En la figura, el ángulo AOB y el ángulo CPD serán

Según las posiciones relativas de sus lados
complementarios si se cumple lo siguiente:
De acuerdo con su disposición en el plano, los
a + q= 90°
ángulos se clasifican de la siguiente manera:
En ese caso: El complemento a es q: C ( a ) = q
Adyacentes El complemento q es a: C ( q ) = a
C: Se lee «complemento de».
Ángulos suplementarios
Se definen así a dos ángulos cuyas medidas suman
180°. De estos dos ángulos se dice, que uno es el
suplemento del otro.
Consecutivos D
En la figura, el ángulo AOB y el ángulo CPD serán

O suplementarios: si se cumple lo siguiente:
a + q = 180°.
En ese caso: El suplemento a es q: S( a ) = q
El suplemento q es a: S( q ) = a
S: Se lee «suplemento de».

Opuestos por el vértice
Observación:
A B
C D Cuando un conjunto de ángulos
B E se agrupa de manera que están a
un mismo lado de una recta, las
A F medidas de todos ellos suman
α + γ + Ψ + θ + β = 180° 180°.
B C
D A
Cuando un conjunto de ángulos
D se agrupa de manera que están
F E entorno a un punto, la suma de
α + β + φ + θ + Ψ + γ = 360° las medidas de todos ellos es 360°.
Geometría 64 3ro SECUNDARIA

Trabajando en clase
Integral 6. Calcula “b”
1. Calcula “x”.
2. Calcula “a + b”. 7. Si los ángulos AOB y BOC son adyacentes ta-

les que la m∠BOC = 4m∠AOB =° 50 , calcula la
m∠BOC,
UNMSM
8. Se tienen tres ángulos consecutivos,∠AOB,
∠BOC y ∠COA.
“O”, tal que m∠AOB m∠BOC m∠COA
= = .
6 7 11
 
3. Si OB y OC son bisectrices de los ángulos
Calcula la m∠BOC.
Resolución:
AOC y AOD, respectivamente,w calcula la m∠AOB m∠BOC m∠COA
= = = k
m∠BOC, si la m∠AOD =°
80 . 6 7 11
6k + 7k + 11k = 360°
k = 15°
m∠BOC =7k =7(15°)
m∠BOC =105°

PUCP
4. Si la diferencia de dos ángulos suplementarios
es 48°, calcula la medida del menor ángulo.
Resolución:
Sean “a” y “b” las medidas de los ángulos suple-
mentarios.
9. Se tienen tres ángulos consecutivos ∠AOB,
Teoría → a += b 180° ; a > b
∠BOC y COA alrededor de un punto “O”, tal
Además: a – b= 48°
m∠AOB m∠BOC m∠COA
Piden “b”: que = = .
8 9 13
a +=
b 180° ↓ (–)
Calcula la m∠AOB.
a – b= 48°

2=
b 132° 10. Si OM es bisectriz del ∠AOC, calcula la
∴b= 66° m∠BOM si m∠BOC – m∠AOB = 56°
5. Si la diferencia de dos ángulos suplementarios

es 56°. Calcula la medida del menor de ellos.

m∠AOD :
2a + 2b + 26=
° 104°
a + b= 39°
x= 26° + 39°
x= 65°
11. Calcula “x”.
 
13. Se sabe que OM es bisectriz del ∠AOB y ON
es bisectriz del ∠COD; si m∠AOD = 135° y
3m∠BOC =
m∠AOD, calcula la m∠MON.
D
UNI
 
12. Se sabe que OM es bisectriz del ∠AOB y ON
es bisectriz del ∠COD; si m∠AOD = 104° y

4m∠BOC = m∠AOD, calcula la m∠MON. 14. S i OB es bisectriz del ∠AOC, 7m∠AOC=
4m∠BOD y m∠AOD=108°, calcula la m∠COD.
A B
C
Resolución
m∠AOD = 4m∠BOC. O D
104°
m∠BOC =
4
m∠BOC =° 26
Sigo practicando
15. Calcula “x”. 16. Calcula “a+b” 17. Si OB y OC son bisectrices del
B A B ∠AOC y del ∠AOD, respecti-
15 C vamente, calcula la m∠BOD, si
5°
m∠AOD = 160°.
A C 70° b
x O 3a O 3b
a a) 60°
F 150°
D b) 100°
D
c) 150°
a) 50° d) 60° E d) 80°
b) 35° e) 65° a) 15° d) 45° e) 120°
c) 25° b) 25° e) 50°
c) 35°

18. Calcula “x”. Nivel avanzado
B 23. Si OM es bisectriz del ∠AOC 27. Si OB es bisectriz del ∠AOC,
A calcula la ∠BOM, si m∠BOC 5m∠AOC = 6m∠BOD y
C – m∠AOB = 76°. m∠AOD = 120°. Calcula la
m∠COD
x 2x C
x + 30° M A B
110°
O D
0 °
10
B C
E
A
a) 30° c) 15° e) 10° O
b) 20° d) 5° a) 19° d) 76° D
b) 38° e) 65° O
Nivel intermedio
c) 57° a) 10° c) 15° e) 45°
19. Calcula “x”. b) 20° d) 30°
C 24. Calcula “x”
B M A 28. Calcula la medida del ángulo
formado por las bisectrices de
los ángulos AOB y COD.
4x x B C
b b
x + 10°
80
A O B
°
O a
12 a
a) 8° d) 30° 0° A D
O
b) 16° e) 36°
c) 24° a) 120° d) 160° a) 120° c) 145° e) 150°
b) 130° e) 170° b) 135° d) 110°
20. Si los ángulos AOB y BOC c) 150°
son adyacentes la m∠BOC 25. Calcula el valor de “x” si se 29. Calcula “x”, si OP es bisectriz del
= 3m∠AOB y la m∠AOC = ∠AOC y m∠AOB – m∠BOC =
sabe que OM es bisectriz del
100°, calcula la m∠BOC. 50°.
a) 45° c) 55° e) 75° ∠AON y ON es bisectriz del
A
b) 50° d) 60° ∠BOC.
M B P
21. Si la suma del complemento
más el suplemento de cierto N
ángulo es igual a 130°, calcu- B
x x
la la medida de dicho ángulo. 30°
a) 50° c) 70° e) 90° A C O C
b) 60° d) 80° O
a) 5° d) 20°
a) 30° d) 45° b) 10° e) 25°
22. Calcula “x”. b) 35° e) 50° c) 15°
B c) 40°
C 26. Si dos ángulos suplementarios

7b
están en relación de 5 a 7, cal-
A D cula el complemento del me-
2b x nor.
a) 5° b) 15°
a) 36° c) 72° e) 54° c) 10° d) 25°
b) 144° d) 18° e) 20°

Ángulos entre rectas
paralelas y una secante
En este capítulo, veremos los tipos de ángulos Propiedades adicionales
que se forman al trazar dos rectas paralelas y una  
recta secante. Para ello, partiremos de los gráficos • L1 / /L2
siguientes:
• Alternos internos
 
Si L1 / /L2
a + q + b= a + b + c
a =b  
• L1 / /L2
• Correspondientes
 
Si L1 / /L2
a =b
x = a +b
• Conjugados
   
Si L1 / /L2 • L1 / /L2
a + q + b + γ +=
φ 180°
q +=
b 180°
Observación: Advertencia Pre
Ten en cuenta que en muchos problemas de examen
de admisión de la UNI se presenta en la siguiente
gráfica:
 
Por lo tanto L1 / /L2 por ser el ángulo " a " en
correspondencia.
x = a +b
Trabajando en clase
Integral PUCP
    
1. Si L1 y L 2 son paralelas. Calcula “x”. 4. Si L1 , L2 y L3 son paralelos. Calcula “x – y”.
30°
40°
Resolución:
   
2. Si L1 y L2 son paralelos. Calcula " b ".
L1 / /L3 : x + 20=
° 180°
=
x 160°
 
L1 / /L3 : y + 60=
° 180°
=
y 120°
. Piden: x – y = 160° – 120°

x – y= 40°
 
3. Si L1 y L 2 son paralelos. Calcula “x”.   
5. Si L1 , L2 y L3 son paralelos, calcula “x – y”.
30°
40°

  
6. Si L1 ;L2 y L3 son paralelas, calcula “x”.
 
9. Si L1 y L 2 son paralelos q + q = 4x, calcula
el valor de “x”.
 
7. Si L1 y L 2 son paralelas, calcula " q ".
UNMSM
 
8. Si L1 y L 2 son paralelos y a + b =5x, calcula el
valor de “x”.  
10. Si L1 y L 2 son paralelos, calcula “x”.
(UNMSM – 2010-II)
Resolución:  
11. Si L1 / /L2 calcula “x”.
En L 3 : 2x +=
b 180°...(1)
En L 4 : 2x + a + 180°....(2)
Dato: a + b = 5x
Piden “x”, (1) + (2).

4x + a +=
b 360°
4x + 5x = 360°
x= 40°

UNI x + 59° = q – 44° + 180 – q
 
12. Calcula “x”, si L1 // L2 . x =136° – 59°
x= 77°
 
13. Calcula “x” si L1 / /L2 .
Resolución:
Completamos los ángulos para aplicar la pro-
piedad del serrucho.  
14. Si L1 / /L2 calcula “x”.
59°
Sigo practicando
Integral
sr
u sr u
15. Calcula “x” si L1 // L2 , sr
u sr u sr
u sr u
16. Calcula “q” si L1 // L2 , 17. Calcula “x” si L1 // L2 ,
a) 10° d) 18°
a) 8° d) 40°
b) 12° e) 20° a) 30° d) 10°
b) 16° e) 48°
c) 15° b) 40° e) 25°
c) 32°
c) 20°

sr
u sr u sr
u sr u sr
u sr u
18. Calcula “x” si L1 // L2 , 22. Calcula “x” si L1 // L2 ,
26. Calcula “x” si L1 // L2 ,
a) 20° d) 15° a) 60° b) 10°

a) 15° d) 30°
b) 30° e) 25° c) 15° d) 25°
b) 20° e) 35°
c) 10° e) 30°
sr
u sr u c) 25°
sr
u sr u sr u sr
u sr u
19. Calcula “x” si L1 // L2 ,// L 3 , 23. Calcula “x” si L1 // L2 ,
a) 10° d) 30°
b) 20° e) 35° a) 28° d) 60°
a) 27° d) 30°
c) 25° b) 14° e) 65°
b) 28° e) 35°
sr
u sr u c) 56°
20. Calcula “ α ” si L1 // L2 , c) 29°
sr
u sr u sr u sur
sr
u sr u 28. Calcula “x” si L1 // L2 y L3 // L 4
L3
80° L1
20
x
°
a) 10° b) 15° L2
c) 20° d) 30°
e) 40° L4
sr
u sr u a) 60° d) 90°
21. Calcula “x” si L1 // L2 , b) 70° e) 120°
c) 80°
a) 18° b) 36°
sru sr u
c) 40° d) 20° 29. Calcula “a + b”, si L1 // L2
e) 24°
sr
u sr u 120° 35°
25. Calcula “x” si L1 // L2 , L1
a) 50° b) 40° a
c) 30° d) 20° b
L1
e) 10° x
L2
150°
140
° a) 135° b) 155°
L2
c) 145° d) 165°
e) 125°
a) 20° b) 40°
c) 30° d) 50°
e) 10°

Triángulos
INTRODUCCIÓN
Se denomina triángulo, a la figura geométrica La suma de las medidas de los ángulos externos de
determinada al unir tres puntos no colineales un triángulo, (uno en cada vértice) siempre es igual
mediante segmentos de recta. El perímetro de un a 360°.
triángulo, es la suma de las medidas de sus lados.
Notación: ∆ ABC
x + y + z= 360°
En un mismo triángulo se cumple que al mayor lado

se le opone el mayor ángulo y viceversa.
Elementos:
• Vértices: A, B, C
• Lados: AB, BC, AC
• Ángulos internos: ∠ABC, ∠BAC, ∠ACB
• Ángulos externos: ∠MAT, ∠TBC, ∠FCA a<b⇒a >b
Teoremas fundamentales En todo triángulo se cumple que la medida de un

En todo triángulo se cumple que la suma de las lado es menor que la suma de las medidas de los otros
medidas de los ángulos internos es 180°. dos y mayor que su diferencia. Sea a > b > c.
a + b + c= 180° a–c < b < a +c
Nota: Esta relación también es conocida como la

desigualdad triangular.
En todo triángulo se cumple que la medida de un
ángulo externo es la suma de las medidas de los Propiedades adicionales
ángulos internos no adyacentes al exterior.
x= a + b

x +=
y 180° + a b+a = q+ω

• Triángulo obtusángulo
Es el que tiene un ángulo obtuso y dos ángu-
los agudos:
x =a+b+c

a < 90°,c < 90° y b > 90°

2. Según la congruencia de sus lados

A. Triángulo escaleno
x + y =a + b a + b + c + d + e= 180° Es aquel que tiene sus lados diferentes, ade-

más sus ángulos también son diferentes.
Clasificación de los triángulos
1. Según la medida de sus ángulos
A. Triángulo rectángulo
Es aquel que tiene un ángulo recto y dos án-
gulos agudos. Los lados que forman el án-
gulo recto se llaman catetos y el que se le a≠b≠c
opone recibe el nombre de hipotenusa.
B. Triángulo isósceles
Hipotenusa Es aquel que tiene dos lados de diferente mag-
nitud además los ángulos opuestos a dichos
lados también son de diferentes medidas.
a + b= 90°

B. Triángulo oblicuángulo
Es aquel que no tiene ángulo recto, puede
ser: C. Triángulo equilátero
• Triángulo acutángulo
Es el que tiene sus tres ángulos agudos.

Es aquel que tiene sus tres lados congruen-
a < 90°, b < 90° y c < 90° tes; sus ángulos también son congruentes y
miden 60° cada uno.

Observaciones
En todo triángulo rectángulo Los ángulos congruentes de un Si PQ = PR y m∠QPR = 60°, se
la hipotenusa es mayor que triángulo isósceles son agudos. recomienda unir los puntos “Q”
cualquiera de los catetos. y “R” para formar un triángulo
equilátero.
Si AB = BC
c<a y b <a a < 90°
Trabajando en clase
Integral Resolución:
1. Calcula “x”.
∆BPC Isósceles
2. Calcula “x”. ⇒ m∠PBC = 40°
Luego: m∠APB= 40° + 40°= 80°
ABO: Isósceles
ABP : Isósceles ∆ABP :
⇒ m∠BAP = 80° x + 80° + 80° = 180°
piden " x " ∴x = 20°

3. Calcula “x”.
5. En un triángulo ABC, se traza el segmento de
recta BP(P está en AC de manera) que AB = BP
= PC. Calcula la m∠ABP. Si m∠BCA = 25°.
6. Si AB = BC, calcula “x”.
PUCP
4. En un triángulo ABC, se traza el segmento de
recta BP (p es punto AC)de manera que AB =
BP = PC. Calcula la m∠ABP, si m∠BCA = 40°.

7. Calcula BC si AD = BD = 4u. UNI
12. Calcula “x” si AB = BC = AD.
UNMSM
8. Si AM = MP y NC = NP, calcula la m∠MPN.
Resolución:
Se traza BD tal que ∆ABD es equilátero
⇒ AB = AD = BD
∆DBC: Isósceles.
BD = BC
Resolución: m∠BDC =∠
m BCD =
x
∆AMP : Isósceles
m∠MAP = m∠MPA =b
∆PNC : Isósceles
m∠NPC = m∠NCP =q
∆ABC : b +=
q 110°
Piden: m∠MPN = x
x + b +=
q 180°
x + 110=
° 180°
Luego; Piden ”x”
x= 70° ∆DBC: x + x + 40° = 180°

x = 70°
9. Si AM = MT y TN = NC, calcula la m∠MTN.
13. Calcula “x” si AB = BC = AD.
10. En un triángulo ABC, se ubica el punto “D” en

AC, tal que AD = DB y DC = BC. Si m∠BAD
= 25°, calcula la m∠ACB.
11. Calcula “x”. 14. Calcula “x” si AC = BC.

Sigo practicando
Integral 20. Calcula BC, si AD = BD = 10u. 25. Calcula “x” si BC = CD.
a) 5u d) 15u
b) 8u e) 18u a) 40° d) 60°
a) 56° b) 62° c) 58°
c) 10u b) 50° e) 65°
d) 64° e) 60°
c) 55°
21. En un triángulo ABC (AB = BC) 26. Calcula la m∠ABC. Si AF =
B se ubica el punto “D” en AB, FC = DE = DF = EF.
135° tal que CD = AC. Calcula la
150° x m∠CBA, si la m∠DCA = 20°.
A C a) 5° c) 15° e) 25°
b) 10° d) 20°
a) 95° b) 130° c) 105°
d) 110° e) 125° 22. Calcula “x” si AB = BC = BD.
E B
17. Calcula “x”
D a) 15° d) 60°
x
35° b) 30° e) 75°
B c) 45°
50° 70°
4x 75° A 27. Calcula “x” si AC = BC.
A C
C D a) 40° c) 50° e) 65°
a) 5° b) 20° c) 10° b) 45° d) 60° a) 48°
d) 25° e) 15° b) 60°
23. En un triángulo ABC, se ubi- c) 50°
18. Calcula “x” si el triángulo ABC d) 62°
es equilátero y BM = MC. ca el punto “D” en AC, tal e) 56°
que AD = DB y DC = BC. Si
la m∠BAD = 40°, calcula la 28. Calcula “a” si AB = CD.
m∠ACB.
a) 20° c) 15° e) 40° a) 3°
b) 10° d) 30° b) 12°
24. Calcula “x”. c) 6°
d) 15°
a) 60° b) 100° c) 70° e) 9°
d) 120° e) 80°
29. Si AB = BC y x + y = 150°, cal-
19. Calcula “x” si AB = BC cula la m∠ABC.
a) 20° a) 20° c) 30° e) 40° a) 120°

b) 10° b) 25° d) 35° b) 110°
c) 30° c) 100°
d) 15° d) 130°
e) 40° e) 80°

Líneas Notables
asociadas a un triángulo
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A UN TRIÁNGULO
1. Mediana 3. Bisectriz
Es el segmento de recta cuyos extremos son un Es el segmento que, partiendo de uno de los vérti-
vértice del triángulo y el punto medio del lado ces del triángulo, divide al ángulo en dos ángulos
opuesto. de igual medida.
BD : Bisectriz interior
En la figura, si M es el punto medio de AC , en-
tonces BM es la mediana relativa de AC.
2. Altura
Es el segmento perpendicular a un lado del trián-
gulo trazado a partir del vértice opuesto.
BE : Bisectriz exterior
4. Mediatriz
La mediatriz de un segmento es la recta perpen-
dicular a dicho segmento en su punto medio.

En la figura, BH ⊥ AC. Entonces, BH es altura Si M es punto medio de AB, entonces L es la
del triángulo ABC. mediatriz de AB.
Observación Propiedades
1.
En el triángulo ABC la mediatriz de AC
interseca a BC en P.
x= 90° + a
2

5. Ceviana 2.
Es el segmento de recta cuyos extremos son un
vértice del triángulo y un punto cualquiera del
lado opuesto o de su prolongación.
x= 90° – a
2
En el triángulo ABC:
3.
BD: es ceviana interior
BE: es ceviana exterior
q
x=
Observación: 2
En el triángulo isósceles ABC, la altura BH es 4. BE: bisecttriz del triángulo ABC

también bisectriz y mediana. BH: altura del triángulo ABC.
a –b
x=
2

Trabajando en clase
Integral ⇒ m∠ABE =∠
m EBC =
x
1. Calcula “x”.
Luego:
2. Calcula “x”. ABC : x + x + x + 51°= 180°
3x = 129
x= 43°
5. Si BE es bisectriz interior y EF es mediatriz de

BC , calcula la m∠ACB.
3. Calcula “x”.
6. Calcula “x” si AE y CF son alturas.
F E
PUCP
4. Si BE es bisectriz interior y EF , es mediatriz de
BC calcula la m∠ACB .
7. Calcula “x”.
Resolución
Piden: m∠ACB = x
Datos: EF es mediatriz de BC.
⇒ m∠FCE = m∠EBC = x
BE : bisectriz

UNMSM 11. Calcula “x”.
8. Calcula “a”
m
m
Resolución:
UNI
Prolongación MA y NC hasta que se cortan en
el punto E. 12. Calcula “x”.
Luego:
m∠AEC = 90° – 90°
2 Resolución:
m∠AEC = 45°
Piden: “x”
�MNE :
a + 60° + 45=
° 180° m∠AIC= 90° + 72°
2
∴a= 75° m∠AIC =126°
mAIE= 36°
9. Calcula “x”.
10. Calcula “x” si AD y BC son bisectrices de los

ángulos BAC y ACD, respectivamente.
Luego:
2ω + 2=
q 180°
ω + q= 90°
x + 36°= 90°
∴ x = 54°

13. Calcula “x” 14. Calcula “x” .
Sigo practicando
15. Calcula “x” 17. Calcula “x”.

D 19. Calcula “x” si AE y CF son al-
B 150°
B turas.
140° 5x
  

I A C
x a) 14° d) 20°
 
  b) 16° e) 25°
A C c) 18°
a) 105° c) 100° e) 90° 18. Calcula “x”.
B a) 100° d) 140°
b) 108° d) 110°
b) 120° e) 150°
70° c) 130°
x B 20. Calcula “x”.
A C
  
E 7 5x 
0° F
A C
 
 
D
a) 10° d) 13°
b) 11° e) 14° a) 12° d) 20°
c) 12° b) 15° e) 25°
115° D
c) 18°
a) 110° d) 140°
b) 120° e) 150°
c) 130°

21. Si BE es bisectriz interior y 24. Calcula “x”. 27. Calcula “x”.
B
EF es mediatriz de BC, calcu-
la “x”.  A
 30°

3x x
I
60°


A C

a) 20° d) 50° 
b) 30° e) 60° B
c) 40°
25. Calcula “x”. a) 100° d) 75°

a) 10° d) 30° b) 105° e) 80°
b) 20° e) 40° c) 110°
c) 25° 28. Calcula “x”
D
B 80°
F
8x
E



A C
a) 5° d) 10°
a) 9° d) 45° a) 10° d) 30° b) 6° e) 18°
b) 18° e) 54° b) 20° e) 40° c) 7°
c) 36° c) 50°
26. Calcula “x” 29. Si en un triángulo ABC se tra-
23. Calcula “x” si AD y BC son za la bisectriz del ∠BAC que
B
bisectrices de los ángulos BAC corta al lado BC en P. Calcula
y ACD respectivamente.   m∠ABC.
x
°
110
°
140 D


A C
a) 120° d) 140°
b) 100° e) 110°
a) 105° d) 210° c) 130°
b) 100° e) 110° a) 70° d) 73°
c) 90° b) 80° e) 72°
c) 71°

Congruencia de triángulos
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
Dos triángulos ABC y DEF son congruentes si sus lados y ángulos son respectivamente congruentes.
Para indicar que el triángulo ABC es congruente

con el triángulo DEF, se escribe: DABC @ DDEF .
En dos triángulos congruentes, a lados
congruentes se le oponen ángulos congruentes
y, recíprocamente, a ángulos congruentes se le
oponen lados congruentes.
Casos o criterios de congruencia
Primer caso Segundo caso

Dos triángulos son congruentes si tienen un Dos triángulos son congruentes si tienen dos
lado y los ángulos adyacentes, respectivamente lados y el ángulo comprendido, respectivamente
congruentes. (Postilado A. L. A.) congruentes. (Postulado L. A. L.)
Tercer caso
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados, respectivamente congruentes. (Postulados L. L. L.)

Trabajando en clase
Integral Completando ángulos en ABC y CDE.
1. Si BC = CD, AB = 5 u y DE = 9 u, calcula AE . ABC @ CDE
® CD = AB = 8 m
Luego por Pitágoras: CE = 10 m
Piden perímetro � ACEF
\ 2p�ACEF = 4(10m) = 40m

2. Calcula DE si AB = BC; AE = 8 u y DC = 20 u. 5. Si AB = 12 m y ED = 5 m, calcula el perímetro del

cuadrado ACEF.

3. Si AB = BC, AF = 12 m y CG = 5 m, calcula FG .
6. Si ABCD es un cuadrado, calcula «x».
PUCP
4. Si AB = 8 m y ED = 6 m, calcula el perímetro del
cuadrado ACEF.
7. Desde el punto medio M del lado AB de un trián-

gulo isósceles ABC se traza la perpendicular MN
a la base AC (N en AC ) y sobre BC se ubica el
punto F. Si NF es perpendicular a BC , AN = FC
y NC = 5 m, calcula AB .
Resolución UNMSM
8. Si AB = DC y DB = DE, calcula «b».

Resolución: UNI
12. Si GA = FH y FA = 8 m, calcula FG .
Completando datos en el gráfico

D DBE es isósceles
m∠DBE = m∠BED = 70º y m∠BDE = 40º
® m∠BAD = 40º
DABD @DDEC Resolución
Caso LAL
® m∠ECD = 40º
Luego piden «b».
DDEC : b+ 40º = 70º
b = 30º

9. Si AB = DC y DB = DE, calcula «a».
Completando en el gráfico los datos y ángulos.
D AFB es isósceles
AF = FB = 8 m
DHAF @DABG
Caso (A-L-A)
® AF = BG = 8 m
10. Si AQ = 7 m y QC = AB, calcula AC . \ FG = 16m

13. Si GA = FH y FA = 12 m, calcula FG .

11. Si AB = BE, AD = EC y BD = BC, calcula q.

14. Calcula AE si AB + DE = 12 u.

Sigo practicando
Integral 18. Calcula x – y. 21. Calcula «x».

15. Calcula AE si BC = CD; AB = 8 u
B C
y DE = 14 u.
E
D F
A
a) 1 u c) 3 u e) 5 u a) 40º c) 80º e) 120º

a) 8 u d) 18 u b) 2 u d) 4 u b) 50º d) 100º
b) 10 u e) 22 u
c) 14 u Nivel intermedio 22. Calcula «y».

16. Calcula DE si AB = BC; DC = 12 u 19. Calcula “x” si ABCD es un
y AE = 18 u. cuadrado.
a) 46º
b) 92º
c) 100º
d) 120º
e) 134º
a) 6 u d) 18 u a) 10º c) 30º e) 50º Nivel avanzado

b) 8 u e) 30 u b) 20º d) 40º
c) 12 u 23. Si AQ = 11 m y QC = AB,
20. Desde el punto medio M del calcula AC.
17. Calcula BE si AC = CD; DE =
lado AB de un triángulo isós-
15 m y AB = 6 m.
celes ABC se traza la perpen-

dicular MN a la base AC (N
en AC ) y sobre BC se ubica
el punto F. Si NF es perpendi-
cular a BC , AN = FC y NC =
12 u, calcula AB.
a) 6 m d) 15 m a) 6 u d) 24 u a) 22 m c) 15 m e) 11 m
b) 9 m e) 21 m b) 12 u e) 30 u b) 18 m d) 10 m
c) 12 m c) 18 u

24. Calcula «x» si AB = BE; 26. Calcula «x». 28. Calcula AM si AB = BC;
BD = BC y AD = EC. MN = 17 u y CN = 9 u.

a) 9 cm d) 20 cm a) 8 u d) 15 u
b) 15 cm e) 25 cm b) 9 u e) 17 u
c) 12 u
c) 18 cm
a) 20º c) 60º e) 100º 29. Si PC = AB, calcula «a».
b) 40º d) 80º 27. Calcula AE si BC = CD; AB =
6 u y DE = 7 u.
25. Calcula «x + y».

a) 20º d) 40º
a) 8 u d) 15 u b) 37º e) 30º
b) 9 u e) 17 u c) 53º
a) 1 u c) 3 u e) 5 u c) 13 u
b) 2 u d) 4 u

Aplicaciones de la congruencia
de triángulos
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1. Propiedad de la bisectriz Si AM @ MB; MN// AC

Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángu-
lo, equidista de sus lados. ® N es punto medio de BC
Si P Î a la bisectriz AM
AC
MN =
2

ìïPQ @ PR
ï
Þí
ïïAQ @ AR
ïî
2. Propiedad de la mediatriz
Todo punto situado en la mediatriz de un seg-
mento, equidista de sus extremos.

L ® mediatriz de AB
4. Teorema de la mediana relativa a la hipo-
tenusa
En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa
a la hipotenusa mide la mitad de ella.
BM ® mediana
BM = AC
2
 ì
ïPA @ PB
P Î Lï í AM = BM = MC
ï
îDAPB ® isósceles
ï
3. Teorema de los puntos medios

En un triángulo, la paralela a un lado, trazada
por el punto medio de otro, corta al tercero en su
punto medio. El segmento determinado se llama
base media o paralela media y mide la mitad de la
longitud del lado al cual es paralelo.

Trabajando en clase
Integral
1. Calcula «x».
6. Si AB = 12 u, calcula MN .
2. Calcula «x».
3. Calcula «x + y». 7. Si MN es mediatriz de AC y NC = 10 u. Calcula

AB .
PUCP

4. Calcula BF si AC = 36 u.
UNMSM
8. Calcula «x» si AB + AM = 15 m y EM = 8 m.
Resolución: x
Se pide: BF = x
Se traza la mediana relativa a la hipotenusa BM .
AM = MC = BM = 18 u

Resolución:

Luego: D MBF es isósceles
BF = BM = 18 u
5. Calcula BF si AC = 48 m. AB + AM = 15 m
a + b = 15 m
Por propiedad de la bisectriz AM = AD = b
EM = DE = 8 m

Resolución
DEB: pitagóras
BE = 17 m Dato: a + b + c = 32 m
Luego: BM = x Prolongamos AC y CA
x + 8 = 17
D AMB y D BCN son isósceles
x=9m
EM = EB y BF = FN
9. Si AB + AM = 12 m y EM = 9 m, calcula MB. Por base media
a + b + c 32
EF = = = 16m
2 2
10. Si BM = 16 u, calcula EF.

13. Si la longitud del perímetro del triángulo ABC es
24 u, calcula MN.

11. Calcula MQ si AC = 26 u y QN = 12 u.
14. Calcula «x».

UNI
12. Si la longitud del perímetro de triángulo ABC es
32 m, calcula EF.

Sigo practicando
Integral
16. Calcula «x». 17. Calcula x + y.
15. Calcula «x».
a) 1 u a) 1 u
a) 2 u b) 4 u b) 4 u
b) 5 u c) 2 u c) 2 u
c) 3 u d) 5 u d) 5 u
d) 6 u e) 3 u e) 3 u
e) 4 u

18. Calcula PQ si AB = 8 u y BC = 15 u. 22. Calcula AC si AM = MC; BG = 26. Calcula «x».
GM y FG = 4 u.

a) 15º d) 45º
b) 20º e) 53º
a) 2 u d) 16 u
a) 2 u c) 7 u e) 10 u b) 4 u e) 20 u c) 30º
b) 5 u d) 9 u c) 8 u
27. Calcula «x».
Nivel intermedio
Nivel avanzado
19. Si AB = 18 u, calcula MN.
23. Calcula EF si BM = 10 m.

a) 6 u d) 10 u
a) 9 u c) 12 u e) 18 u b) 8 u e) 12 u
b) 10 u d) 15 u a) 4 m c) 6 m e) 10 m c) 9 u
b) 5 m d) 8 m
24. Calcula MQ si AC = 30 u y 28. Calcula «x».
20. Si PQ es mediatriz de AC y PA
= 7 u; calcula BC. QN = 12 u.

a) 3 u d) 8 u a) 6 u d) 12 u
b) 6 u e) 10 u b) 8 u e) 15 u
c) 9 u a) 1 u d) 4 u
c) 7 u b) 2 u e) 5 u
25. Calcula x si MC = 2AB. c) 3 u
21. Calcula x + y.
29. Calcula «x».

a) 30º d) 50º
b) 40º e) 60º a) 2 u c) 6 u e) 10 u
a) 6 u d) 15 u b) 3 u d) 8 u
b) 10 u e) 18 u c) 45º
c) 12 u

Triángulos rectángulos
notables y pitagóricos
Se denominan así a ciertos triángulos en los que, Triángulos rectángulos notables aproximados
conociendo las medidas de sus ángulos internos
(denominados ángulos notables), se presenta una Triángulo rectángulo de 37º y 53º
determinada relación entre las longitudes de sus
lados y viceversa.
Entre los más usados tenemos:
Triángulo rectángulo de 45º y 45º
Triángulo rectángulo de 53º/2

Triángulo rectángulo de 37º/2


Triángulo rectángulo de 74º y 16º Triángulo rectángulo de 82º y 8º
Trabajando en clase
1. Calcula «x».

Completando los ángulos en el gráfico tenemos:
2. Calcula «x».
ED = 4 u y PD = 2 3 u
Piden EP = x
x+ 2 3 =4
x=4– 2 3
x = 2(2 – 3 )u
3. Calcula «a + b».
5. Se tiene un cuadrado ABCD; si AED es un
triángulo equilátero y CP es perpendicular a
ED , calcula EP.
PUCP
4. Se tiene un cuadrado ABCD; si AED es un
triángulo equilátero y CP es perpendicular a
ED , calcula EP.
6. Calcula BC si AB = 8 2 u.

10. Se tiene un triángulo ABC, de modo que la
7. Calcula BP si AC = 12 2 m.
m∠C = 45º y la m∠A = 53º. Si AB = 15 m, cal-
cula AC.
11. Calcula BC, si AM = MD = 24 u.
UNMSM
8. Si ABC es un triángulo equilátero de lado 32 m.
Calcular QR.
UNI
12. Calcula AE si EC = 16 u.
Resolución:
12 m
24 m Resolución:
Dato: AB = 32 m Piden: AE = x
P: punto medio de AB Trazamos EF AC
Completando ángulos m∠BAC = m∠BCQ = 60º
® D QRC: notable EF = 8 2 ( 45º)
\ x = 12 3 m
Luego D AEF ( 30º)
9. Si ABC es un triángulo equilátero de lado 8 m, x = 16 2 u)

calcula QR.

13. Calcula AE si EC = 20 u. 14. Calcula «x».
Sigo practicando
Integral a) 32 u d) 50 u
20. Calcula BP si AC = 16 2 m.
b) 40 u e) 56 u
15. Calcula «x».
c) 48 u

18. Calcula «x».

A
H
4u
30º
B x C
a) 1 u a) 12 m d) 18 m
b) 2 u b) 14 m e) 20 m
a) 2 3 u
c) 3 u c) 16 m
b) 3 3 u
d) 4 u
c) 4 3 u
e) 5 u 21. Calcula AC si AH = 8 m.
d) 6 u
e) 8 u
16. Calcula «x».
Nivel intermedio
19. Calcula «AB» BC = 12 2 u.
a) 16 m d) 56 m
a) 3 u b) 32 m e) 64 m
b) 7 u c) 40 m
c) 10 u
d) 14 u 22. Calcula HP si AC = 24 u.
e) 18 u
a) 10 u
b) 12 u
17. Calcula a + b.
c) 18 u
d) 24 u
e) 30 u
a) 3 u d) 12 u
b) 6 u e) 15 u
c) 9 u

28. Calcula «x».
a) 4 2 u d) 20 u
Nivel avanzado
b) 8 u e) 30 2 u
23. Se tiene un triángulo ABC, de c) 10 2 u
modo que la m ∠ C = 45º y la 26. Calcula «x».
m ∠ A = 53º. Si AB = 10 m,
calcula AC.

a) 10 m
b) 14 m
c) 16 m a) 7 m c) 10 m e) 17 m
d) 18 m b) 8 m d) 15 m
e) 20 m
24. Calcula BC si AM = MD = 12 m. 29. Calcula «x».

a) 15 u c) 40 m e) 50 m
b) 30 m d) 45 m

27. Calcula «x».
B

9m
a) 7 m d) 12 m
b) 8 m e) 14 m 37º
A C
c) 10 m
8m x a) 50 m c) 80 m e) 120 m
25. Calcula «x». b) 60 m d) 100 m
D

a) 10 m c) 15 m e) 14 m
b) 12 m d) 17 m

Repaso
Trabajando en clase
Integral PUCP
1. Si ABCD es un cuadrado y DPQ es un triángulo  
equilátero, calcula «x». 4. Si L1 y L2 son paralelas, calcular el valor de «x».

a) 10º b) 20º a) 30º b) 50º
c) 60° d) 70º
c) 30º d) 60º
e) 90º
e) 90º
 
2. Calcula «x». 5. Si L1 y L2 son paralelas, calcula «x».

a) 10º b) 20º
c) 30º d) 40º
a) 10º b) 16º e) 50º
c) 18º d) 20º
6. Calcula «x».
e) 22,5º
D
3. En un plano, alrededor de un punto p se forman

tres ángulos consecutivos cuyas medidas se en-
cuentran en progresión aritmética de razón 30º.
Calcula la suma de la medida del ángulo mayor y
la medida del ángulo menor.

a) 150º b) 180º
a) 151º b) 155º
c) 200º d) 220º c) 161º d) 170º
e) 240º e) 175º
7. Calcula «x». 10. Calcula «x».
a) 115º b) 120º a) 4 u b) 6 u
c) 125º d) 130º c) 8 u d) 10 u
e) 140º e) 12 u
UNMSM
11. Calcula «x».
8. Calcula «x».

a) 5 u b) 6 u
a) 5 2 m b) 8 2 m c) 7 u d) 8 u
c) 10 2 m d) 15 m e) 9 u
e) 18 2 m
UNI
9. Calcule el perímetro del cuadrado ABCD.
12. Calcula «x».

a) 5 m b) 10 m
a) 40 m b) 50 m
c) 60 m d) 70 m c) 15 m d) 20 m
e) 80 m e) 25 m
Sigo practicando
Integral
14. Calcula «x». 15. En un plano, alrededor de un
13. Calcula «x» si ABCD es un punto p se forman tres ángulos
cuadrado y DPQ es un trián- a) 10º consecutivos cuyas medidas se
gulo equilátero. b) 20º encuentran en progresión arit-
c) 16º mética de razón 30º. Calcula la
a) 10º d) 22,5º suma de la medida del ángulo
b) 60º e) 18º mayor y la medida del ángulo
c) 20º menor.
d) 90º a) 150º d) 220º
e) 30º b) 180º e) 240º
c) 200º

sur
16. Calcular
sur el valor de «x» si L1 y 19. Calcula «x». 22. Calcula «x».
L2 son paralelas.

a) 115º c) 125º e) 140º

b) 120º d) 130º a) 4 u d) 10 u
a) 30º c) 60º e) 90º b) 6 u e) 12 u
b) 50º d) 70º 20. Calcula «x». c) 8 u
23. Calcula «x».

Nivel intermedio
sur sur
17. Calcula «a» si L1 y L2 son pa-
ralelas.

a) 5 2 m d) 15 2 m
b) 8 2 m e) 18 2 m
c) 10 2 m
a) 5 u d) 8 u
a) 10º d) 40º b) 6 u e) 9 u
b) 20º e) 50º Nivel avanzado c) 7 u
c) 30º
21. Calcule el perímetro del cua-
drado ABCD. 24. Calcula «x».
18. Calcula «x».

a) 151º c) 161º e) 175º a) 40 m c) 60 m e) 80 m

b) 155º d) 170º b) 50 m d) 70 m a) 5 m d) 20 m
b) 10 m e) 25 m
c) 15 m

RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Primer Bimestre
3
SECUNDARIA
Pág.
Juegos de Ingenio 103
Inducción matemática 108
Deducción matemática 113
Sucesiones alfanuméricas 117
Sucesiones aritméticas y geométricas 120
Series aritméticas y geométricas 124
Sumas notables 128
Repaso 131
Juegos de Ingenio
INTRODUCCIÓN
Se presenta diferentes tipos de ejercicios en los cuales 2. Poleas
tienes que desarrollar tus habilidades lógicas, para Las poleas tienen dos tipos de giros: horario y
llegar a una respuesta adecuada. Veamos algunos antihorario, veamos la posición de dos poleas en
ejemplos: situaciones diferentes:
a. En el mismo eje:
Tener en cuenta:
ZZ No quebrar (romper) palitos para resolver el

problema.
ZZ No dejar cabos sueltos.
ZZ No superponer palitos en el mismo sentido.
1. Palitos de fósforo b.
Unidas por una faja:
¿Cuántos palitos, como mínimo, debo cambiar
de lugar para que queden solo tres cuadrados
iguales?
c. Una encima de otra
Tenemos que mover solo tres:
d.
En contacto:
3ro SECUNDARIA 103 Razonamiento Matemático

e. Unidas por una faja cruzada: 4. Relaciones familiares
¿Qué es para mí el hijo del tío de mi hijo si tengo
solo un hermano varón?
3. Ubicación de números
En estos tipos de ejercicios veremos tu Rpta.: mi sobrino.
capacidad para cumplir con las metas que te
exige el problema. 5. Día de la semana
Si el pasado mañana de hace 3 días de ayer fue
Ejemplo: Ubica los números del 1 al 5, de lunes, qué día es hoy.
manera que la suma de cada fila sea la misma.
Rpta.: hoy es miércoles.
Trabajando en clase
Integral
1. ¿Cuántos palitos debes mover, como mínimo,
para obtener una igualdad verdadera?
PUCP

4. Si el mañana del mañana del pasado mañana
del ayer del ayer es jueves, ¿qué día será en an-
Resolución: teayer del mañana de ayer?
2. Si la rueda “A” gira en sentido horario, ¿en qué Resolución

sentido gira la rueda “E”?
Si el mañana del mañana del pasado mañana del ayer
     
+1 +1 +2 −1
del ayer es jueves
 
−1 =

3. Coloca los números 2, 3, 4, 5, 6 y 7 en cada cír- ⇒ +1 + 1 + 2 − 1 − 1 =jueves

culo, de manera que la suma de los números =+ 2 jueves ⇒ hoy
= jueves 2
ubicados en cada lado sea igual a 13. Determina ∴ hoy es martes
la suma de los números ubicados en los vértices.
Razonamiento Matemático 104 3ro SECUNDARIA

¿Qué día será el anteayer del mañana del ayer ? 9. ¿Qué es de mi una persona que es el hijo de la
     
? = −2 +1 −1 esposa del hermano del esposo de mi madre?
⇒ ? = -2 + 1 – 1 10. ¿Cuántos palitos debes quitar, como mínimo,

? = +2 para obtener solo 3 cuadrados?
Rpta.:
Domingo
5. Si el ayer del pasado mañana del ayer del maña-

na es sábado, ¿qué día será el ayer del anteayer 11. Si la rueda “E” gira en sentido antihorario,
del mañana de mañana? ¿cuántas ruedas giran en sentido horario?
6. ¿Cuántos palitos debes mover, como mínimo,

para obtener 5 cuadrados?
UNI
12. Ubica los números del 1 al 9 de manera que la
suma de los números ubicados en cada lado sea
7. Si la rueda M gira en sentido horario, ¿en qué la misma e igual a 21. Determina la suma de los
sentido gira la rueda N? números ubicados en los vértices.
Resolución
UNMSM
8. ¿Qué es de mí una persona que es el único hijo
de la esposa del único hijo de mi abuela?
Resolución:
Suma real: SR = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 9
SR = 45
Suma aparente: SA = 21 + 21 + 21
Respuesta:
Soy yo. SA = 63

Propiedad:
SR + (x + y + z) =SA
 
suma de
vértices
45 + x + y + z = 63 ∴ x+y +z =
18
Rpta.:
18
13. Ubica los números del 2 al 10, de manera que la

suma de los números ubicados en cada lado sea 14. Si el pasado mañana del mañana de hace 3 días
la misma e igual a 25. Determina la suma de los fue martes, ¿qué día será el ayer del pasado ma-
números ubicados en los vértices. ñana del mañana del ayer de dentro de 2 días?
Sigo practicando
15. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo Nivel intermedio
para obtener una igualdad verdadera?
19. ¿Cuántos palitos debo mover, como mínimo, para
poder obtener cinco cuadrados?
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
16. Si la rueda E gira en sentido horario, ¿cuántas

ruedas giran en sentido antihorario?
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
20. Si la rueda A gira en sentido antihorario, ¿cuantas

a) 4 c) 5 e) 6 giran en sentido horario?
b) 3 d) 2
17. Coloca los números del 10 al 15 de tal manera que

la suma de cada lado sea la mínima posible. Indi-
ca dicha suma.
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
a) 31 c) 36 e) 35
21. ¿Qué es de mí, la única hija del suegro de mi pa-
b) 29 d) 34
dre?
a) Mi tía b) Mi hermana c) Mi madre
18. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de d) Mi cuñada e) Mi abuela
la única hermana de mi padre?
a) Es mi tío d) Es mi hermano 22. Siendo martes el ayer del día anterior, al pasado
b) Es mi padre e) Es mi cuñado mañana de ayer. ¿Qué día será el anteayer del pa-
c) Es mi abuelo sado mañana?
a) Lunes b) Martes c) Miércoles
d) Jueves e) Viernes

23. ¿Cuántos palitos debo quitar, como mínimo, para 27. Coloca los números del 3 al 11 de tal forma que
que queden solo cuatro cuadrados iguales? la suma de los números en cada lado sea a 25. Da
como respuesta la suma de los números que van
en los vértices?
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
24. Si la rueda N gira en sentido horario, ¿cuántas gi-

ran en sentido horario, contando con la rueda N? a) 21 c) 15 e) 12
b) 13 d) 18
28. Si con 6 tapas de gaseosa se puede pedir una ga-

seosa y Anita reúne 51 tapas. Calcula el máximo
número de gaseosas que se puede tomar.
a) 9 c) 11 e) 7
b) 10 d) 8
a) 4 c) 6 e) 5 29. Con 7 monedas se forma la cruz mostrada en el

b) 7 d) 8 gráfico. Cambia de posición la menor cantidad de
monedas para obtener una cruz con el mismo nú-
mero de monedas en la columna y fila.
Nivel avanzado
25. Si el anteayer del pasado mañana de mañana del

ayer del mañana de hace 2 días es el pasado ma-
ñana del mañana del mañana del anteayer del ma-
ñana del lunes, ¿qué día es el mañana del pasado
mañana del ayer de ayer?
a) Viernes d) Sábado
b) Jueves e) Miércoles a) 2 c) 4 e) 1
c) Domingo b) 3 d) 5
26. Sandro mira un retrato y dice: “No tengo herma-

nos ni hermanas y sin embargo el padre de este
hombre es hijo de mi padre”. ¿De quién es el re-
trato?
a) De Sandro
b) Del padre de Sandro
c) Del hijo de Sandro
d) Del abuelo de Sandro
e) Del sobrino de Sandro

Inducción matemática
¿QUÉ ES EL RAZONAMIENTO INDUCTIVO?
La inducción es un tipo de razonamiento que consiste Para nuestro caso: (2 795 875)2 = …25
en analizar casos particulares y sencillos, que tengan ∴ 2 + 5 = 7.
las mismas características del problema planteado,
relacionarlos y así llegar a una conclusión necesaria Otro ejemplo es el siguiente:
y suficiente.
¿Cuál es la suma de cifras de resultado de 11 111 1112?
Resolución:
Ejemplo:
Calcula la suma de las dos últimas cifras del resultado
de (2 795 875)2 Entonces, la suma de cifras de lo pedido es 82 = 64.
Nota
Este tipo de razonamiento inductivo es el

llamado incompleto.
No necesariamente en todos los casos se

cumplirá siempre. Por ejemplo, la suma de cifras
del resultado de 1 111 111 1112 no es 102 = 100.

Trabajando en clase
Integral 5. ¿De cuántas maneras se puede leer PAMERCITO
en el siguiente arreglo?
1. Calcula la suma de cifras del resultado de la si-
guiente operación:
2
E = (333...33)
 
78 cifras

guiente operación:
2
F = (111...1)
 
8 cifras
3. Calcula el valor de:

6. ¿Cuántas esferas hay en total en el siguiente arre-
glo?
M = 1
+ 3
+ 
5 + 7 +
...
45 sumandos
PUCP
4. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra PA-
TITO en el siguiente arreglo?

guiente operación?
2
A = (666...66)
 
Resolución 85 cifras
UNMSM
8. ¿Cuántos palitos hay en total en el siguiente arre-
glo?
Rpta.:
32 Resolución:

UNI
12. Calcula el valor de M.
M= 47 × 48 × 49 × 50 + 1
Resolución
Respuesta:
975
9. En el siguiente arreglo formado por palitos,

¿cuántos palitos hay en total? Rpta.:
2351
Opcional:
10. ¿Cuántos círculos hay en la figura 36?
13. Calcula el valor de E
E= 92 × 93 × 94 × 95 + 1
14. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra

11. Determina el número total de palitos en el arre-
EXITOSA en el siguiente arreglo?
glo.

Esquema Formulario
Números triangulares:
1, 3, 6, 10, 15, ...
Números cuadrados:
1, 4, 9, 16, 25, ...
Números rectangulares:
2, 6, 12, 20, 30, ...
Números cubos:
1, 8, 27, 64, 125, ...
Sigo practicando
15. Determina la suma de cifras del resultado de la
siguiente operación:
2
A = (1
333
42 ...333
43)
72 cifras
a) 400 c) 648 e) 684
b) 469 d) 468
16. Calcula la suma de las cifras del resultado de operar: a) 1275 c) 1310 e) 1425
E = (12
111
4 ...4
31)2 b) 1130 d) 1242
6 cifras
20. Resuelve la siguiente operación y da como res-
a) 36 c) 64 e) 25 puesta la suma de las cifras del resultado:
b) 44 d) 49
2
17. Calcula el valor de: M = (1
666
42 ...4
66
3)
S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... 63 cifras
38 términos a) 565 d) 666
a) 1444 c) 1162 e) 1221 b) 544 e) 641
b) 1365 d) 1625 c) 567
18. Determina la suma de las 2 últimas cifras luego de 21. Calcula la suma de los elementos de la siguiente
operar: matriz:
1 ×44
(1 3 ×452
×444 ...)2
7 × 93
1 2 3 4 K 7 8
345 factores 2
 3 4 5 K 8 9 
a) 6 c) 9 e) 8 3 4 5 6 K 9 10 
b) 5 d) 7  
M M M M M M M
Nivel intermedio 8
 9 10 11 14 15
19. ¿Cuántas circunferencias hay en total en el si-
guiente arreglo? a) 128 d) 343
b) 512 e) 49
c) 64

22. Resuelve la siguiente operación y da como res-
puesta la suma de las cifras del resultado. a) 210 c) 200 e) 229
b) 230 d) 235
2
E = (1
999
42 ...995
43)
40 cifras
26. Calcula la suma de cifras del resultado de operar:
a) 352 (1
999 ...4
99 2
b) 328 42 3)
121 cifras
c) 358
d) 348
a) 1200 c) 1362 e) 1243
e) 344
b) 1089 d) 1285
23. Calcula el total de triángulos sombreados del si-
27. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la pa-
guiente arreglo:
labra INGRESO en el siguiente arreglo?
a) 400 c) 210 e) 315

b) 105 d) 42
a) 128 c) 64 e) 127
24. Calcula el número total de palitos que conforman b) 126 d) 63
la torre.
28. Determina el total de puntos de contacto:
a) 900 c) 901 e) 955

b) 899 d) 855
Nivel avanzado a) 610 c) 630 e) 710

b) 580 d) 720
25. Halla el número total de palitos utilizados para
construir el siguiente arreglo:
29. Calcula la suma de los términos de la fila 23:
a) 12 167 c) 13 243 e) 16 343

b) 12 654 d) 15 342

Deducción matemática
INTRODUCCIÓN
La deducción matemática es un tipo de razonamiento que consiste en aplicar una variedad general, previamente
demostrada, en situaciones particulares. Uno de los usos más comunes del razonamiento deductivo lo
aplicamos cuando empleamos las fórmulas matemáticas en la resolución de problemas (casos particulares).
Si:
• (…5)2 = …25 Observaciones:
Para resolver los ejercicios en los que se aplica
• (…6)n = …6; n ∈ N el razonamiento deductivo, es necesario revisar
algunos conceptos previos.
• (…9)n = …1; si “n” es par
La deducción matemática es lo que generalmen-
. . . 9; si “n” es par te tenemos en el colegio, ya que el profesor al
enseñarnos una fórmula o alguna propiedad nos
• (…4)n = …4 si “n” es impar está enseñando a ver algunos casos particulares.
…6; si “n” es par Otro ejemplo práctico de la deducción lo encon-
tramos en los ejercicios de criptograma en los
que con los operadores básicos, deducimos los
21 = 2  valores por determinar.

2
2 =4 

23 = 8 
 Recuerda
24 = 16 
=(...2)n ...6;
= si n 4° Una deducción o demostración matemática es
5
2 = 32 
 una sucesión coherente de pasos que, tomando
26 = 64  como verdadero un conjunto de premisas llamado
 hipótesis, permite asegurar la veracidad de una
27 = 128 
 tesis.
28 = 256 

Trabajando en clase
Integral 5. Determina el valor de P + A + M + E + R si:
1. Si A + B = 14, calcula el valor de: PAMER × 99999 =
...27493
AB + BB + AA + BA
6. Si (S + U + M)2 = 324, calcula el valor de:
2. Calcula el valor de L + U + Z.
MUS + SMU + USM
LU4 +
42L 7. Calcula el valor de ab × ba
Z15Z
ab × a =196
3. Calcula el valor de A + B + C. ab × b =441
6 A B3 ×
4 UNMSM
8. Calcula el valor de a + c + n + m si:
ABC1A
abc − cba =
mn2
Resolución:
PUCP
4. Determinar el valor de P + E + R + U si:
PERU × 9999 = ...3414
Resolución
 × 9999
PERU  = ...3414 Por propiedad:
4 cifras 4 cifras ⇒ m+2=9 → m=7
n=9
Si la cantidad de cifras de cada factor es la misma, a–c=m+1
se cumple:
a–c=7+1
a − c = 8→ a = 9
↓ ↓ a= 9
9 1 c =1
⇒ a + c + n + m = 9 + 1 + 9 + 7 = 26
⇒ U + 4 = 10 → U = 6
Respuesta:
R+1=9 → R=8 26
E+4=9 → E=5
9. Calcula El valor de x – z + n + m si
P+3=9 → P=6
⇒ P + E + R + U = 6 + 5 + 8 + 6 = 25 xyz − zyx = 5nm
Rpta.: 10. Calcula el valor de P + A + P + E + R + A si:

25 1PAMER × 3 = PAMER1

2 U = 2; N = 5; I = 6; n = 4
11. Calcula el valor de ( abc ) ; si: abc × a =506
abc × b =
1265 ∴ U + N + I – n = 2 + 5 + 6 – 4 = 9
abc × c =759
Rpta.:
UNI
9
12. Calcula el valor de U + N + I – n si se cumple:
n
UNI = n 13. Calcula
Resolución
n
UNI = n U × N × M × S si se cumple: n UNMS = n
UNI = nn
1
→ 1 =
1
22 = 4 14. Calcula
33 = 27
U × I si UNI − INU =
mn5 y U + I + m = 17
44 = nn
256 → comprando con UNI =
Esquema Formulario
* Si : abc × 999 ...

= mnp
⇒ c + p= 10; b + n= 9; a + m= 9
* Si : abc − cba =xyz
⇒ y = 9; x + z = 9; a − c = x + 1
Sigo practicando
15. Si m + n = 15, calcula el valor de m3 + 4n + nm 17. Calcula el valor de A + B + C
a) 198 c) 98 e) 188
b) 218 d) 208
16. Calcula A + B + C; en:

a) 2 c) 5 e) 10
b) 6 d) 12
18. Calcula el valor de M + N + P
MNP + MPP + N54 = 9PP

a) 15 c) 18 e) 19
b) 21 d) 17 a) 12 c) 13 e) 16
b) 14 d) 11

Nivel intermedio a) 74 936
b) 11 069
c) 13 210
19. Determinar el valor de si (A + M + I)2 = 361
d) 96 132
e) 10 000
MAI + AIM + IMA
a) 2100 c) 2209 e) 1029 Nivel avanzado

b) 2109 d) 1009 25. Calcula el valor de A – C si
20. Calcula el valor de ABC × DS ABC – CBA = XY3
ABC × D = 375 a) 7 c) 4 e) 5
b) 3 d) 2
ABC × S = 625
a) 4375 c) 4007 e) 2079 26. Calcula C + A - B si: 11× CAB × 9 = ...779
b) 3200 d) 3250
a) 4 c) 2 e) 10
21. Calcula el valor de b) 3 d) 7
(p - c)(p - d)(p - e)(p - f) … (p - x)
27. Si CAN = PP, calcula: P × A × N
a) px
b) px a) 110
c) p2 b) 108
d) 0 c) 120
e) Se necesita más datos d) 116
e) 210
22. Calcula el valor de AB4 + B3A + 1AB si
A + B = 14 28. Si: EVA + AVE = 645, calcula: V + E + A
a) 1560 c) 1530 e) 2060 a) 18 c) 12 e) 13

b) 1688 d) 1400 b) 9 d) 14

23. Si: abc – cba = x9y; calcula x + y
29. Si: PPQQ = RR, calcula PGR
a) 6
b) 7 a) 348 c) 728 e) 123
c) 8 b) 635 d) 562
d) 9
e) 10
24. Calcula (APA)2

APA × A = 646
APA × P = 969

Sucesiones alfanuméricas
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Es un conjunto de elementos (números, letras o figuras) ordenados de tal forma que se puede distinguir cuál
es el primero, el segundo, el tercero, etc, de acuerdo a una ley de formación, fórmula de recurrencia o criterio
de orden, según sea el caso.
1. Sucesión numérica 2. Sucesión alfabética
Es aquella cuyos elementos son números. Es aquella cuyos elementos son letras.
Ejemplo: Ejemplo:
A, C, E, G, I, …
7; 9; 11; 13; 15; …
D, G, J, M, O, …
3; 6; 12; 24; 48; …
Nota
11; 13; 17; 23; 31, …
Para las sucesiones alfabéticas, es importante
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … recordar la posición que tiene cada letra en el
3; 6; 8; 16; 18; 36; 38; … alfabeto.
No se consideran las letras CH ni LL, salvo que el
1; 3, 2; 4; 3; 5; 4; … problema las mencione.
3. Sucesión alfanumérica Solución:

Es aquella cuyos elementos son letras y números
que guardan una relación lógica y, por lo general,
se presentan de manera alternada.
Ejemplos:
A; 3; C; 5; E; 7; …
Z; 40; V; 44; R; 48; …
E; 17; I; 25; M; 33; …
V; 15; S; 11; P; 7; …
4. Sucesión especial
Es aquella cuyos elementos pueden ser números, Incluso podemos mencionar que hay sucesiones
letras y/o figuras, los cuales pueden presentarse numéricas con algunas características especiales.
en conjunto, y se debe encontrar la solución de Aquí algunos casos:
manera intuitiva. Fibonacci 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …
Ejemplos: Tribonacci: 1; 1; 1; 3; 5; 9; 17; …
Determina qué letra continúa. D, L, M, N, ... Lucas 1; 3; 4; 7; 11; …

Trabajando en clase
1. ¿Qué término continúa?
2; 4; 8; 14; 22; …
2. ¿Qué letra continúa?

E, G, J, N, R, … Respuesta:
34
3. Indica los dos términos que continúan en la si- 9. Determina el término que continúa en la siguien-
guiente sucesión? te sucesión:
6; E; 8; G; 10; I; 12; K; …; … 2; 5; 11; 23; 47; …
10. Determina el término que continúa en la siguien-

PUCP
te sucesión:
4. Determina el término que continúa:
17; 1; 13; 5; 19; 3; 9; 21; …
3; 4; 9; 23; 53; …
Resolución
11. Determina la letra que continúa en la siguiente
sucesión;
A, A, B, C, E, H, …
UNI
te sucesión:
Rpta.: 2; 4; 3; 6; 5; 10; 9; …
108 Resolución
5. Determina el término que continúa.

2; 2; 3; 8; 22, …
Rpta.:
6. Indica la letra que continúa en cada sucesión: 18
C, F, I, L, Ñ, …
D, F, I, K, N, …
te sucesión:
7. Calcula “x – y” a partir de las siguientes sucesiones: 1; 3, 2; 6; 5; 15; 14; …
1; 4; 8; 14; 23; x
2; 2; 4; 6; 10; 16; y
14. Determina la letra que continúa en la siguiente
sucesión. UNI 2012 – II
UNMSM
8. Determina el término que continúa en la siguien- B, C, E, G, K, M, P, …
te sucesión:
3; 4; 6; 10; 18 Observación: no considere el dígrafo “LL”

Sigo practicando
15. Calcula el término que continúa en la siguiente a) 36/7 c) 35/21 e) 38/21

sucesión: b) 15/7 d) 12/7
1; 3; 6, 10; 15; …
23. ¿Qué número sigue en la sucesión?
a) 18 c) 20 e) 22 13; 14; 17; 17; 21; 20; 25; …
b) 21 d) 19
a) 29 c) 24 e) 25
16. ¿Qué letra continúa? b) 23 d) 31
A, D, H, K, Ñ, …
24. ¿Qué número completa correctamente la suce-
a) R c) S e) Q sión?
b) O d) P 9; 13; 25; …; 169
17. Indica los dos términos que continúan: a) 52 c) 63 e) 59

4; A, 10; B; 16; D; 22, G, … b) 61 d) 67
a) 29; I c) 28; K e) 27; I

Nivel avanzado
b) 29; K d) 28; I
25. ¿Qué término sigue en la sucesión?
18. Indica el número que continúa: 2; 1; 1; 2; 8; 64; …
0; 0; 1; 3; 8; 28; …
a) 128 c) 1024 e) 1204
a) 58 c) 56 e) 60 b) 192 d) 1240
b) 53 d) 25
26. Determina el valor de “w”.
5; 13; 43; 177; w
Nivel intermedio
19. Indica la letra que continúa: a) 533 c) 729 e) 101
A, B, D, H, … b) 282 d) 891
a) O c) Ñ e) R 27. Determina A + B en la siguiente sucesión:

b) M d) Q A; 5; 9; 14; 23; 37; 60; B
20. Calcula el valor de a + b. a) 103 c) 95 e) 98

128; 3; 32; 15; 8; 75; a, b b) 87 d) 101
a) 373 c) 377 e) 350 28. ¿Qué letra continúa?

b) 372 d) 370 Y, V, Q, K, ____
21. ¿Qué número sigue? a) B c) E e) G

3; 11/2; 8; 21/2; 13; … b) H d) D
a) 17 c) 16 e) 0,53 29. Determina el valor de “x” en la siguiente sucesión:

b) 29/2 d) 31/2 3; 4; 6; 11; 23; x
22. ¿Qué número sigue en la sucesión? a) 48 c) 53 e) 47

b) 50 d) 51
2 11 6 9
7 ; 21 ; 7 ; 7 ;...

Sucesiones aritméticas y geométricas
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es un conjunto de elementos (números, Las sucesiones geométricas están regidas por una
letras o figuras) ordenados de forma que se puede fórmula de recurrencia, llamada término enési-
mo, el cual se puede calcular con la siguiente fór-
distinguir al primero, al segundo, al tercero, etc,
mula:
de acuerdo a una determinada ley de formación,
fórmula de recurrencia o criterio de orden. En este t n= t1 × q n−1
capítulo estudiaremos específicamente el tema de las
t1: primer término
sucesiones numéricas.
q: razón geométrica
n: posición de cada término
1. Sucesión aritmética, lineal o de 1.er orden
Es aquella sucesión en la que se cumple que la 3. Sucesión polinomial
diferencia de dos términos consecutivos (el de
Es aquella sucesión cuyo término enésimo tiene
mayor posición menos el de menor posición) es
la forma de un polinomio de variable “n”, donde
constante. n∈� + .
Ejemplo:
t n = a1 × n k + a 2 × n k −1 + a 3 × n k −2 + ... + a k × n + a k +1; k ∈ � +
Dentro de las sucesiones polinomiales podemos

identificar, dependiendo del valor de “k”, a las
sucesiones lineales, cuadráticas, etc. De manera
general, el término enésimo de una sucesión poli-
Las sucesiones aritméticas están regidas por una nomial es:
fórmula de recurrencia, llamada término enési-
mo, el cual se calcula con la siguiente fórmula:
t n = r × n + t0
r: razón aritmética
n: posición de cada término
t0: término anterior al primero (t0 = t1 - r)
2. Sucesión geométrica r (n− 1) s1(n− 1)(n− 2)

tn = t1 + 1 + +
Es aquella sucesión en la que se cumple que el co- 1 1× 2
ciente de dos términos consecutivos (el de mayor u1(n− 1)(n− 2)(n− 3)
posición entre el de menor posición) es constante. 1× 2 × 3
Ejemplo: v(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4)
+
1× 2 × 3 × 4
Advertencia Pre
En los exámenes de admisión de la UNMSM, la
sucesión polinomial de segundo orden, es un tipo de
pregunta recurrente.

Trabajando en clase
Integral 7. Calcula la cantidad de términos de la siguiente
1. Calcula el término enésimo de la siguiente suce- sucesión:
sión: 4; 8; 16; 32; …; 2048
7; 11; 15; 19; …
Resolución: UNMSM
8. En una progresión aritmética el cuarto término es
2. ¿Qué número continúa? 13 y el décimo término es 31. Calcula el vigésimo
término.
2; 5; 8; 11; …
Resolución:
3. Calcula la cantidad de términos de la siguiente

sucesión:
13; 16; 19; 22; …; 82
PUCP
4. Calcula el término enésimo de la siguiente suce-
sión:
⇒ 6r =18
5; 10; 20; 40; …
r =3
Resolución
⇒ t 20 =31 + 10(3)
t 20 = 61
Respuesta:
t 20 = 61
9. Si el segundo y noveno término de una progre-

sión aritmética son 7 y 28, respectivamente, de-
Entonces: t n= t1 × q n−1 termina el vigésimo término de dicha progresión.
↓ ↓ UNMSM 2011-II
t n= 5 × 2n−1
10. Calcula el término enésimo en cada una de las
siguientes sucesiones:
Rpta.: a) 3; 6; 12; 24; …
b) 5; 11; 17; 23; …
t n = 5 × 2n−1
5. Calcula el término enésimo de la siguiente suce- 11. Calcula el término de lugar 15, en cada una de las
sión: siguientes sucesiones:
4; 12; 36; 108; … a) 67; 61; 55; 49; …
b) 2; 6; 18; 54; …
UNI
6. Calcula el término de lugar 15 de la siguiente su-
cesión: 12. En una progresión geométrica el sexto término es
12 y el décimo término es 192. Calcula el décimo
1; 3; 9; 27; …
tercer término.

Resolución Rpta.:
t13 = 1536
13. En una progresión geométrica el tercer término

es 2 y el sétimo término es 162. Calcula el nove-
no término.

⇒ q4 =16
q =2 14. Calcula el número de término en cada una de
las siguientes sucesiones:
⇒ t13 = 192 × (2)3 a) 11; 14; 17; 20;…; 101

t13 = 1536 b) 6; 12; 24; 48; …; 192
Esquema Formulario
Sucesión aritmética :t n = t 0 + n ⋅ r
Sucesión geomética :t n= t1 ⋅ q n−1
Sucesión cuadrática :t n = an2 + bn + c
Sigo practicando
15. Calcula el término enésimo en la siguiente suce-

sión: 18. Si la siguiente sucesión es una progresión geomé-
17; 24; 31; 38; … trica, calcula el valor de a + b.
a; 3a; 54; b; …
a) 24 – 7n c) 7n + 10 e) 27 – 10n
b) 7n – 10 d) 7 + 10n a) 170 c) 168 e) 152
b) 151 d) 162
16. Determina el trigésimo término de la siguiente
sucesión:
Nivel intermedio
-2; 2; 6; 10; …
19. Calcula el decimocuarto término en la siguiente
a) 111 c) 98 e) 114 sucesión:
b) 120 d) 110 2
; 2 ; 6 ;18 ;...
3
17. Calcula la cantidad de términos de la siguiente
sucesión: a) 2 × 312 c) 2 × 313 e) 3 × 211
16; 21; 26; 31; …; 106 b) 2 × 311 d) 2 × 312
a) 19 c) 16 e) 14
b) 17 d) 15

20. Calcula la cantidad de término de la siguiente su- a) 2039 c) 2037 e) 2048
cesión: b) 2057 d) 2059
3 3
; ; 3 ;12 ; 48 ;...; 3072 Nivel avanzado
16 4
a) 6 c) 7 e) 10 25. En una progresión aritmética el sexto término es
b) 8 d) 9 28 y es decimocuarto término es 68. Calcula el
vigésimo término.
21. Calcula el término enésimo de la siguiente suce- a) 94 c) 104 e) 102
sión: b) 98 d) 95
36 ;18 ; 9 ; 9 ;...
2
26. Si la siguiente sucesión es una progresión aritmé-
() ()
n −1 n −1 tica, calcula el valor de “a2”
1
a) 72 × 1 d) 36 ×
2 2 a – 3; 3a – 1; 4a + 4; …

a) 4 c) 9 e) 16
b) 18 × ( ) e) 12 × ( 1 )
n n
1 b) 1 d) 25
2 2
27. Calcula el valor de “n” si se sabe que en la siguien-
c) 72 × ( 1 )
n
te sucesión hay 16 términos.
2 2n; 2n + 4; 2n + 8; 2n + 12; …; 5n
a) 12 c) 16 e) 28
22. Calcula el tn de la siguiente sucesión: b) 20 d) 24
79; 75; 71; 87; …
28. Calcula el resultado de dividir el noveno término
con el sexto término de la siguiente sucesión:
a) 83 + 4n c) 75 + 4n e) 83 – 4n
b) 75 – 4n d) 79 + 4n
14 14 14
42 ;14 ; ; ; ;...
23. Indica la suma de los términos enésimos de cada 3 9 27
una de las siguientes sucesiones:
- 3; 12; 48; 192; …
- 11; 18; 25; 32; … a) 1/18 c) 1/6 e) 1/27
b) 1/9 d) 1/5
a) 4 × 3n −1 + 7n − 4
b) 3 × 4n −1 + 4n + 7 29. Calcula el valor de “a” si la siguiente sucesión es
c) 3 × 4n −1 + 7n + 4 una progresión geométrica:
d) 3 × 4n+1 + 7n + 4
e) 3 × 4n+1 + 7n − 4
1
; a − 2 ; 75 ;...
3
24. Indica la suma de los términos de lugar 15 de
cada una de las sucesiones:
- 1 ; 1 ; 1 ;1;... a) 5 c) 7 e) 8
8 4 2
b) 6 d) 3
- 75; 69; 63; 57; …

Series aritméticas y geométricas
ZZ t1: primer término
SERIE ARITMÉTICA ZZ n: número de términos
ZZ q: razón geométrica
Es la adición indicada de los términos de una sucesión
aritmética.
• Sucesión aritmética D. Serie geométrica infinita
Es aquella que tiene una cantidad ilimitada de
8; 14; 20; 26; 32; 38; 44 términos. Solo se puede calcular el valor de las
series geométricas si estas son convergentes.
• Serie aritmética:
8 + 14 + 20 + 26 + 32 + 48 + 44
Para calcular el valor de una serie aritmética,

emplearemos la siguiente relación:
t1: primer término

q: razón geométrica
Donde: 0 ≤ q ≤ 1

Ejemplo:
SERIE GEOMÉTRICA
¿Cómo resolvemos una serie aritmética de orden
superior?
Es la adición indicada de los términos de una sucesión
geométrica.
Pasos que se deben seguir:
Ejemplo:
1.º Calculamos el término general de la sucesión
aritmética superior.
A. Sucesión geométrica:
Por ejemplo, si tenemos:
• 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; …
tn = 2n2 + 3
B. Serie geométrica: 2.º Necesitamos saber cuántos términos hay, es
• 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + … decir, debemos reemplazar en el término ge-
neral desde el primero hasta el último.
En el caso de las series geométricas, podemos
identificar dos tipos: 3.º Supongamos que son 20 términos, es decir,
desde n = 1 hasta n = 20. Para nuestro ejem-
C. Serie geométricas finita plo, aplicamos de la siguiente manera:
Es aquella que tiene una cantidad limitada de tér- 2 2 2 2
2(1) + 3 + 2(2) + 3 + 2(3) + 3 + ... + 2(20) + 3
minos.
Para calcular el resultado aplicamos sumas
notables.
Advertencia Pre
En la UNI, las preguntas sobre series frecuentemente
son acerca de áreas al infinito.

Trabajando en clase
Integral 6. Calcula el valor de la siguiente serie:
R = 3 + 6 + 12 + 24 + … + 1536
1. Calcula el valor de la siguiente serie:
S =8
+ 13 
+ 18 + 23 +
 ...
20 términos M = 9 + 3 + 1 + 1 + ...∞
2
2. Calcula el valor de la siguiente serie: UNMSM

M = 4
+ 8 + 16 + 32 + ... 8. Calcula el valor de la siguiente serie:
10 términos E = 0,2 + 0,5 + 0,8 + 1,1 + … + 4,4
Resolución:
E = 0,2 + 0,5 + 0,8 + 1,1 + … + 4,4
Multiplicamos la serie por 10:
E = 4 + 2 + 1 + 1 + ...∞ ⇒ 10 E = 2 + 5 + 8 + 11 + … + 44
2 Luego:
PUCP
A = 9 + 13 + 17 + 21 + … + 77
Resolución
⇒ t n = t0 + n ⋅ r
t n =−1 + n(3)
t=n 3n − 1

Luego calculamos la cantidad de términos:

⇒ tn = t0 + n ⋅ r tn = 44
3n – 1 = 44
tn= 5 + n(4)
3n = 45 ⇒
t=
n 4n + 5

Calculamos el valor de la serie:
Luego calculamos la cantidad de términos:
tn = 77 (2 + 44)
10E = ×15
4n + 5 = 77 2
4n = 72 10E = 345
Þ E = 34,5

Calculamos el valor de la serie: Rpta.:
=
A
( t1 + t n ) ⋅ n ⇒=
A
(9 + 77)
× 18
34,5
2 2
A = 774 9. Calcula el valor de la siguiente serie:
A = 0,1 + 0,5 + 0,9 + 1,3 + …+ 6,1
Rpta.:
774 10. Calcula el valor de la siguiente serie:
5. Calcula el valor de la siguiente serie: M = 3

+ 6 + 12 + 24 + ...
C = 14 + 17 + 20 + 23 + … + 80 30 términos


11. Calcula el valor de la siguiente serie: En valor de la serie es:
S = 8 − 4 + 2 − 1 + 1 − 1 + ...∞  t1 + t n 
 ⋅n = 171
2 4  2 
UNI ( 2 )(
7+m m−4
⋅
3 )=171
12. De la siguiente serie, calcula el valor de “m”.
7 + 10 + 13 + 16 + … + m = 171 (m+ 7)(m− 4)= 171× 2 × 3
Resolución
= 19 × 9 × 2 × 3

m + 7 = 38
m = 31
⇒ t n = t0 + n ⋅ r Rpta.:
t n= 4 + n(3) m = 31
t=
n 3n + 4
13. Calcula el valor de “x/2” si:
2 + 4 + 26+ 38 + … + x = 816
Calculamos la cantidad de términos: UNI 2006-I
tn = m
3n + 4 = m 14. Determina la suma de los 50 primeros términos
de la sucesión:
2; 5; 5; 3; 4, 5; 7; 3; …
UNI 2006 - I
Sigo practicando
15. Calcula el valor de la siguiente serie: 18. Calcula el valor de R.

A = 19 + 22 + 25 + 28 + … + 61
R = 89 + 85 + 81 + 77 + ...

20 términos
a) 600 c) 620 e) 590
b) 540 d) 585 a) 1020 c) 1050 e) 1225
b) 995 d) 1115
16. Calcula el valor de M

Nivel intermedio
M = 5 + 10 + 20 + 40 + ...
9 términos
E = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1024
a) 2600 c) 2540 e) 2500
b) 2555 d) 2630
a) 2048 c) 1049 e) 2120
b) 2047 d) 1880
17. Calcula el valor de S:
S = 250 + 50 + 10 + 2 + ...∞
20. Calcula el valor de: A = 64 + 16 + 4 + 1 + ...∞
a) 300 c) 325 e) 312 128
a) 128 c) 127 e)
3
689 625
b) d) 256
2 2 b) 64 d)
3

21. Calcula el valor de E:
E = 18 + 23 + 28 + 33 + … + 93 27. Calcula el valor de “x”:
11 + 15 + 19 + 23 + … + x = 518
a) 888 c) 735 e) 805
b) 728 d) 792 a) 72 c) 71 e) 66
b) 68 d) 63
22. Calcula el primer término de una serie aritmética
cuya razón es 2, si la suma de sus 35 términos es 28. Calcula el valor de la serie:
1575.
E = 7 + 77 + 777 + 7777 + ... + 777
4 ...4
12 77
3
a) 16 c) 11 e) 15 20 cifras
b) 17 d) 12
7 ( 21
a) 10 − 190 ) d) 1 (1021 − 190 )
81 81
E = 2 + 6 + 18 + 54 + ... 7 ( 21
25 términos
b) 10 − 180 ) e) 7 (1021 − 180 )
9 81
a) 325 - 1 c) 2 x 324 e) 326 - 1
7 ( 21
b) 2 x 325 - 1 d) 325 – 2 c) 10 − 170 )
27
24. Calcula el valor de P
29. Calcula el valor S:
1
P = 16 − 8 + 4 − 2 + 1 − + ...∞
2 1 1 1
S = 2 − + − + ...∞
2 8 32
a) 32 c) 18 e) 12
a) 1,4 c) 2,5 e) 1,2
32
b) d) 8 b) 1,6 d) 1,8
3
Nivel avanzado
25. Calcula el valor de S en:
S = 0,9 + 1,4 + 1,9 + 2,4 + … + 7,9
a) 62 c) 66 e) 72
b) 60 d) 64
26. Si la suma de 15 números consecutivos es 595,

calcula la suma de los 15 siguientes números con-
secutivos.
a) 791 c) 788 e) 820

b) 812 d) 800

Sumas notables
INTRODUCCIÓN
Sumas notables es el nombre que reciben aquellas series que guardan una especial formación. Entre ellas
tenemos algunas series aritméticas especiales para las que se han deducido relaciones particulares.
Las más importantes son las siguientes:
Serie de números naturales positivos Serie de los números triangulares
n(n+ 1) n(n+ 1) n(n+ 1)(n+ 2)

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + =
2 2 6
Serie de números pares positivos Serie de los primeros productos binarios
n(n + 1)(n + 2)
2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n)= n(n+ 1) 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + n × (n + 1) =
6
Serie de números impares Serie de los primeros productos ternarios
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n− 1) =n2 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + n × (n + 1)(n + 2)

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
=
Serie de números cuadrados perfectos 4
n(n+ 1)(2n+ 1)
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = Serie de los primeros inversos de los productos
6
binarios
Serie de números cubos perfectos
2 1 1 1 1 1 n
 n(n+ 1)  + + + + ... + =
13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 n(n + 1) n + 1
 2 

Trabajando en clase
Integral
M = 14 × 15 × 29
1. Calcula el valor de M: 6
M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 45
M = 105
2. Calcula el valor de S: Rpta.:
S = 2 + 4 +6 + 8 + … + 38 1015
3. Calcula el valor de R: 5. Calcula el valor de A:

R = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 29
A = 1 + 4 + 9 +16 + … + 400
PUCP 6. Calcula el valor de H:

4. Calcula el valor de M: H = 13 + 23 + 33 + 43 + … + 153
M = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 196
Resolución
M = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 196
M = 12 +22 + 32 + 42 +...+ 142 S = 15 + 16 + 17 + 18 + … + 30
UNMSM
8. Calcula el valor de B:
B = 82 + 92 + 102 + 112 + … + 202
Resolución:
B = 82 + 92 + 102 + 112 + … + 202
2
+ 22 + 32 + 42 + ... + 72 + 82
B = 1 + 92 + 102 + 112 + 122 + ... + 202
 − (1
2
+ 22 + 32
 + 42 + ... + 7
2
)
20(21)(41) 7( 8 )(15 )
6 6
7(8)(15)
= B 20 × 21× 41 −
6 6
=B 2870 − 140
B = 2730
Respuesta:
B = 2730
E =1× 17 + 2 × 16 + 3 × 15 + 4 × 14 + ... + 17 × 1
9. Calcula el valor de la siguiente serie: E =×
1 (18 − 1) + 2 × (18 − 2) + 3 × (18 − 3) + 4 × (18 − 4) + ... + 17 × (18 − 17)
M = 19 + 21 +23 + 25 + ... + 41
E =1× 18 − 12 + 2 × 18 − 22 + 3 × 18 − 32 + 4 × 18 − 42 + ... + 17 × 18 − 172
E =1× 18 + 2 × 18 + 3 × 18 + 4 × 18 + ...17 × 18 − (12 + 22 + 32 + 42 + ... + 172 )
10. Calcula el valor de S: E= 18(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 17) −
17 × 18 × 35
6
S = 112 + 122 + 132 + 142 + … + 212
→ E=2754–1785=969
11. Calcula el valor de C:
Rpta.: 969
C = 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 16 ×17
13. Calcula el valor de A:
UNI A =1× 20 + 2 × 19 + 3 × 18 + 4 × 17 + ... + 20 × 1
12. Calcula el valor de E:
Resolución 14. Calcula el valor de A
E =1×17 + 2 ×16 + 3 ×15 + 4 ×14 + ... + 17 ×1 A = 1 + 3 + 6 + 10 + … + 190

Sigo practicando
15. Calcula el valor de P 23. Calcula el valor de S:
P = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 50 S = 112 + 122 + 132 + 142 + … + 202
a) 2550 c) 2000 e) 1375 a) 2485 c) 3000 e) 3050

b) 1275 d) 50 b) 3485 d) 4854
16. Calcula el valor de M 24. Calcula el valor de Q:

M = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 40 Q = 19 + 21 + 23 + 25 + … + 51
a) 1640 c) 840 e) 120 a) 400 c) 520 e) 352

b) 1600 d) 830 b) 595 d) 350
17. Calcula el valor de Z:

Z = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 27 Nivel avanzado
a) 729 c) 54 e) 196 25. Calcula el valor de E:

b) 296 d) 47
E = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 16 × 17
18. Calcula el valor de Q.
Q = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 256 a) 1782 c) 1502 e) 1632
b) 1600 d) 1304
a) 1408 c) 1496 e) 1015
b) 1880 d) 1800
Nivel intermedio S = 1 × 20 + 2 × 19 + 3 × 18 + 4 × 17 + ... + 20 × 1

19. Calcula el valor de R:
R = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 900 a) 1330 c) 4210 e) 1540
b) 6320 d) 3970
a) 9455 c) 9000 e) 8000
b) 9400 d) 8455 27. Calcula el valor de C
20. Calcula el valor de M: C = 1 × 30 + 2 × 29 + 3 × 28 + 4 × 27 + ... + 30 × 1

M = 13 + 23 + 33 + 43 + … + 163
a) 14 415 c) 12 315 e) 9455
a) 18 496 c) 18 096 e) 18946 b) 13 415 d) 4960
b) 18 400 d) 20 960
21. Calcula el valor de M: 28. Calcula el valor de A

M = 13 + 23 + 33 + 43 + … + 183 A = 1 + 3 + 6 + 10 + … + 210
a) 29 241 c) 24 200 e) 14 000 a) 2407 c) 1540 e) 17 600

b) 30 240 d) 30 000 b) 2550 d) 1600
22. Calcula el valor de C: 29. Calcula el valor N:

C = 82 + 92 + 102 + 112 + … + 302 N = 1 + 3 + 6 + 10 + … + 666
a) 10 455 c) 9400 e) 9315 a) 2024 c) 3024 e) 8436

b) 9455 d) 10 450 b) 2040 d) 3000

Repaso
Trabajando en clase
Integral PUCP
1. ¿Cuántos palitos, como mínimo, se deben mover 4. Determina el número total de palitos en el arre-
para obtener solo 3 cuadrados iguales? glo.
a) 1 b) 2 c) 3 a) 722 b) 625 c) 729

d) 4 e) 5 d) 900 e) 728
5. Calcula el término que continúa en la siguiente

2. Coloca los números 1; 2; 3; 4; 5; 6; en cada círculo,
sucesión:
de manera que la suma de los números ubicados
en cada lado sea la misma e igual a 10. Determina -1; 0; 1; 0; 1; 2; 3; 6; ….
la suma de los números ubicados en los vértices. UNI 2012 - II
a) 8 b) 10 c) 11
d) 12 e) 14
A ÷2
6. Calcula el valor de: partir de la siguiente
2
sucesión: 5; 6; 9; 17; 34; 65; A.
a) 25 b) 26 c) 27
a) 9 b) 10 c) 12 d) 28 e) 29
d) 11 e) 13
7. Determina el término de lugar 18 de la siguiente
P.A.: Villarreal 2011
3. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra PI- 20; 16; 12; 8; …
TUFO? a) 48 b) -52 c) -48
d) 52 e) -44
UNMSM
8. Si en una progresión aritmética el término de lu-
gar 4 y el término de lugar 7 son 1 y 2 respectiva-
mente, calcula el término de lugar 13.
7 8
a) 31 b) 32 c) 16 a) 3 b) c)
3 3
d) 15 e) 63 d) 4 e) 11/3

9. Calcula el valor de la siguiente serie: 11. Calcula el término enésimo en la siguiente suce-
sión:
A = 1 + 8 + 27 + 64 + … + 1000
-5; 1; 7; 13; …
a) 3025 b) 3000 c) 3125 a) 6n – 11 b) -6n c) 11 – 6n
d) 1975 e) 3350 d) 4n – 5 e) 4n – 9
UNI
10. Calcula el valor de M
12. Calcula el valor de abc × m0n , si:
M = 0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + … + 2
516 y abc × n =
abc × m = 774 (0 = cero)
a) 10,6 b) 11 c) 10,8
a) 52 347 b) 52 473 c) 52 743
d) 12 e) 10 d) 52 374 e) 52 734

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3

Razonamiento Matemático 101

Potenciación y ecuación exponencial 07

Radicación y ecuación exponencial 10

División algebraica de polinomios 20

1. Exponente natural m a ∈ � − {0}

Si: a ∈ R – {0}, definimos:

3ro SECUNDARIA 7 Álgebra

Álgebra 8 3ro SECUNDARIA

3ro SECUNDARIA 9 Álgebra

n: índice; n ∈ N,n ≥ 2 m n p m⋅n⋅p

Álgebra 10 3ro SECUNDARIA

5 6. Calcula: 10. Resuelve:

3ro SECUNDARIA 11 Álgebra

Álgebra 12 3ro SECUNDARIA

A. Partes de un término algebraico

3ro SECUNDARIA 13 Álgebra

5. Si P(x +3) = 2x – 5, calcula ⇒ T.I. P(0) = (0-1)47 + (0+2)3

7. Si el grado absoluto de R es 11, ∴ a =−19

Álgebra 14 3ro SECUNDARIA

16. Calcula el grado relativo y grado absoluto en cada caso: a) –35/8 c) –2 e) 3

3ro SECUNDARIA 15 Álgebra

a) 1 c) 3 e) 5 26. Si la suma de coeficientes de

24. Dado el polinomio: a) x2 + 2x + 2 d) x2 + 2x – 3

Álgebra 16 3ro SECUNDARIA

Es creciente con respecto a x

Es creciente con respecto a y

2. Polinomio completo Es aquel polinomio cuyos coeficientes son nulos.

Tiene todos los exponentes y es de grado 4. 6. Polinomio Mónico

3ro SECUNDARIA 17 Álgebra

Como P es Mónico, su coefi- 9. P(x) =3x2 + bx + 5 – ax2 – 2x + c, Suma de coeficientes: 13.

Álgebra 18 3ro SECUNDARIA

22. Calcula “a + b” en el siguiente polinomio.

3ro SECUNDARIA 19 Álgebra

1. IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE Paso 3: Se multiplica el término hallado del co-

Pero al dividir no nos genera un polinomio.

3. MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN

Álgebra 20 3ro SECUNDARIA

6x 4 + 2x 5 + x + 5 7. Al dividir 11. Calcula “K” en la división

3ro SECUNDARIA 21 Álgebra

Álgebra 22 3ro SECUNDARIA

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES (3x + 2y)2 − (3x − 2y)2 =

1. Trinomio cuadrado perfecto 3. Diferencia de cuadrados

=n2 − 10n + 25 4. Multiplicación de dos binomios con un

YY (x + 5)2 + (x − 5)2= 2(x 2 + 52 ) YY (x − 7)(x + 3)= x 2 + (−7 + 3)x + (−7)(3)

3ro SECUNDARIA 23 Álgebra

3. Desarrolla: (3x + 4y)2 − (3x − 4y)2 ⇒ x2 + y 2 =

Álgebra 24 3ro SECUNDARIA

3ro SECUNDARIA 25 Álgebra

(a + b)3 ≡ (a)3 + 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 + (b)3

Ejemplos: (a + b + c)3 = a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Álgebra 26 3ro SECUNDARIA

Resolución: (a+ b +c)2 = a

3ro SECUNDARIA 27 Álgebra

Álgebra 28 3ro SECUNDARIA

3ro SECUNDARIA 29 Álgebra

Álgebra 30 3ro SECUNDARIA

3ro SECUNDARIA 33 Aritmética