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    1 Método de Euler

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    Karina Escalante Zegarra
    Este documento describe el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales con valor inicial. El método divide el intervalo en subintervalos y aproxima la curva solución mediante segmentos de línea recta. Se resuelve un ejemplo numéricamente usando el método de Euler con cinco subintervalos.

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    1 Método de Euler

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    Karina Escalante Zegarra
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    Este documento describe el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales con valor inicial. El método divide el intervalo en subintervalos y aproxima la curva solución mediante segmentos de línea recta. Se resuelve un ejemplo numéricamente usando el método de Euler con cinco subintervalos.

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    1 Método de Euler

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    Este documento describe el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales con valor inicial. El método divide el intervalo en subintervalos y aproxima la curva solución mediante segmentos de línea recta. Se resuelve un ejemplo numéricamente usando el método de Euler con cinco subintervalos.

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    CÁLCULO NUMÉRICO

    COMPUTACIONAL
    SEMANA 9
    MÉTODO DE EULER
    ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALOR INICIAL

    Dr. Ing. Dennis Alberto Espejo Peña


    LOGRO DE LA SESIÓN

    Al finalizar la sesión el
    estudiante conoce y aplica el
    método de Euler para resolver
    ecuaciones diferenciales con
    valor inicial.
    SABIAS QUE
    ¿Cómo podemos
    obtener una
    aproximación de una
    curva ?

    ¿Es posible aproximarse


    a la curva ?
    MÉTODO DE EULER
    El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para
    resolver un problema de valor inicial del tipo:

    𝑑𝑦
    = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑓
    𝑑𝑥

    𝑦 𝑥0 = 𝑦0

    Consiste en dividir el intervalo De manera que se obtiene un


    que va de 𝑥0 a 𝑥𝑓 en 𝑛 conjunto discreto de 𝑛 + 1 puntos
    subintervalos de ancho ℎ; esto es 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
    𝑥𝑓 − 𝑥0 del intervalo de interés
    ℎ= 𝑥0 , 𝑥𝑓
    𝑛
    MÉTODO DE EULER
    Para cualquiera de estos puntos se cumple que:
    𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ; 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛
    La condición inicial 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 representa el punto 𝑃0 = 𝑥0 , 𝑦0 por donde
    pasa la curva solución, consideremos que la solución sea 𝑦 = 𝐹(𝑥).

    ′
    𝑑𝑦
    𝐹 𝑥 = ቤ = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
    𝑑𝑥 𝑃0

    Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por 𝑃0 = 𝑥0 , 𝑦0
    y tiene pendiente 𝑓′ 𝑥0 , 𝑦0
    MÉTODO DE EULER
    Entonces

    𝑦1 − 𝑦0 𝑑𝑦
    = ቤ = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
    𝑥1 − 𝑥0 𝑑𝑥 𝑃0

    Despejando 𝑦1
    𝑦1 = 𝑦0 + 𝑥1 − 𝑥0 𝑓 𝑥0 , 𝑦0

    𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓 𝑥0 , 𝑦0

    Es evidente que la ordenada 𝑦1 calculada de esta manera no es igual a 𝐹 𝑥1 ,


    pues existe un pequeño error. No obstante el valor 𝑦1 sirve para aproximar
    𝐹 ′ (𝑥) en el punto 𝑃 = 𝑥1 , 𝑦1 y repetir el procedimiento anterior a fin de
    generar la sucesión de aproximaciones siguiente
    MÉTODO DE EULER

    𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓 𝑥0 , 𝑦0
    𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓 𝑥1 , 𝑦1
    ⋮
    𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖
    ⋮
    𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ℎ𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑦𝑛−1

    Como se muestra en la siguiente figura , en esencia se trata de aproximar la


    curva 𝑦 = 𝐹(𝑥) por medio de una serie de segmentos de línea recta, es
    evidente que se comete un error el cual se denomina error de truncamiento.
    EJERCICIO RESUELTO
    1 Resolver el siguiente problema de valor inicial:
    𝑑𝑦 𝑦 = 𝑒 − ‫ ∙ 𝑥𝑑)𝑥(𝑃 ׬‬න 𝑄 𝑥 𝑒 ‫𝑃 ׬‬ 𝑥 𝑑𝑥
    𝑑𝑥 + 𝑐
    =𝑥−𝑦
    𝑑𝑥
    𝑦 0 =2
    𝑦 1 = ? 𝑦 = 𝑒 −𝑥 ∙ න 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
    Solución
    𝑑𝑦 𝑦 = 𝑒 −𝑥 ∙ 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑐
    + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
    𝑑𝑥
    𝑦 = 𝑥 − 1 + 𝑐𝑒 −𝑥
    𝑑𝑦
    +𝑦 =𝑥 𝑦 0 =2
    𝑑𝑥
    Solución particular
    𝑦 = 𝑥 − 1 + 𝑒 −𝑥 𝑐 2=0−1+𝑐 𝑦 = 𝑥 − 1 + 3𝑒 −𝑥

    Solución general 𝑐=3 𝑦 = 1.10 𝑦 1 =? ?


    EJERCICIO RESUELTO
    1 Resolver el siguiente problema de valor inicial, mediante el método de
    Euler: 𝑑𝑦
    =𝑥−𝑦
    𝑑𝑥 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 − 𝑦
    𝑦 0 =2
    𝑦 1 = ?

    Solución
    Identificaremos los datos del Dado el intervalo 0,1 y al dividirlo
    problema en cinco subintervalos se tiene

    𝑥0 = 0 1−0
    𝑥𝑓 = 1 ℎ= = 0.2
    5
    𝑦 0 = 𝑦0 = 2
    EJERCICIO RESUELTO
    𝑥0 = 0 𝑦0 = 2
    𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 − 𝑦
    𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖 ∙ ℎ 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖−1 + ℎ𝑓 𝑥𝑖−1 , 𝑦𝑖−1

    i Xi Yi F(xi;yi)

    0 0 2 −2
    1 0.2 2 + 0.2 ∙ −2 = 1.6 −1.4
    2 0.4 1.6 + 0.2 ∙ (−1.4)= 1.32 −0.92
    3 0.6 1.32 + 0.2 ∙ (−0.92) = 1.136 −0.536
    4 0.8 1.136 + 0.2 ∙ (−0.536) = 1.0288 −0.2288
    5 1 1.0288 + 0.2 ∙ (−0.2288) = 0.98304
    EJERCICIO RESUELTO
    2 Resolver el siguiente problema de valor inicial
    𝑑𝑦
    = 2𝑥𝑦
    𝑑𝑥
    𝑦 1 =1
    𝑦 1.5 = ?
    Solución

    𝑑𝑦 𝑥 2 −1
    = 2𝑥𝑑𝑥 𝑦 1 =1 𝑦=𝑒
    𝑦

    𝑑𝑦 ln(1) = 12 + 𝑐 𝑦(1.5) = 3.4903


    න = න 2𝑥𝑑𝑥
    𝑦 𝑐 = −1

    ln 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐 ln 𝑦 = 𝑥 2 − 1
    EJERCICIO RESUELTO
    2 Resolver el siguiente problema de valor inicial, mediante el método de
    Euler: 𝑑𝑦
    = 2𝑥𝑦
    𝑑𝑥 ℎ = 0.05
    𝑦 1 =1
    𝑦 1.5 = ?
    Solución
    EJERCICIO RESUELTO
    3 Resolver el siguiente problema de valor inicial, mediante el método de
    Euler: 𝑑𝑦
    =𝑥−𝑦+2
    𝑑𝑥 ℎ = 0.05
    𝑦 0 =2
    𝑦 1 = ?
    Solución

    Dr. Ing. Dennis Alberto Espejo Peña


    ALGORITMO

    Dr. Ing. Dennis Alberto Espejo Peña


    ALGORITMO

    Dr. Ing. Dennis Alberto Espejo Peña


    RETROALIMENTACIÓN

    ¿Para qué sirve el método de Euler?

    ¿Qué sucede si tenemos muchos puntos?


    Mejora la solución !!!
    REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

    Burden, R. L., Faires, J. D., & Solorio Gómez, P. (. (2011). Análisis numérico:
    Richard L. Burden (9a. ed. --.). México D.F.: Cengage Learning

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