Ecuaciones Cuadráticas
Ecuaciones Cuadráticas
Ecuaciones Cuadráticas
1. Ecuación cuadrática EL CAMINO DEL JARDÍN Un jardín rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho, está
rodeado por un camino de arena uniforme.
𝑃 = 2(𝑏 + ℎ)
P= 168 + 8x
P= 168 + 8*3
P= 192
3.1. ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro del camino externo al Jardín?
𝑃 = 2(𝑏 + ℎ)
Respuesta: La expresión que representa el perímetro del camino externo del jardín es 𝑃 = 2((𝑏 + 2𝑥) + (ℎ + 2𝑥)).
Resolvemos la ecuación:
b: 50+2x
h: 34+2x
P= 2((50+2x)+(34+2x))
P= 2 (50+2x+34+2x)
P= 2 (84+4x)
P= 168+8x
4.1. ¿Cuál es el área del jardín?
𝐴=𝑏×ℎ
b: 50+2x
h: 34+2x
x: 3
A= (50+2x)(34+2x)
A= (50+2*3)(34+2*3)
A= 56*40
A= 2240
5.1 ¿Qué expresión algebraica representa el área del camino del jardín?
𝐴=𝑏×ℎ
𝐴 = (𝑏 + 2𝑥)(ℎ + 2𝑥) − (𝑏 × ℎ)
𝐴 = (𝑏 × ℎ) + 2𝑏𝑥 + 2ℎ𝑥 + 4𝑥 2 − (𝑏 × ℎ)
Respuesta: La expresión algebraica que representa el área del camino del jardín es 𝐴 =(𝑏 × ℎ) + 2𝑏𝑥 + 2ℎ𝑥 + 4𝑥 2 − (𝑏 × ℎ).
Se resuelve la ecuación y da una ecuación cuadrática, por medio de la fórmula de ecuación cuadrática se halla el valor de 𝑥 y se
reemplaza en la ecuación de perímetro (resueltos en los puntos 1.1. y 2.1.).
2. Consulte:
RESPUESTA: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión
general:
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término
independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta
representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de existir,
con el eje X son las raíces reales de la ecuación. Si la parábola no corta el eje X las raíces son números complejos, corresponden a
un discriminante negativo.
Existen tres formas principales de resolver ecuaciones de segundo grado: 1) factorizar la ecuación (si es posible), 2)
utilizar la fórmula cuadrática, o 3) completar el cuadrado.
A continuación, le mostraré dos procesos diferentes para solucionar una ecuación cuadrática:
1. Combinar todos los términos semejantes y se transportarlos a un lado de la ecuación: bueno, el primer paso para
factorizar una ecuación es transportar todos los términos a un lado de la ecuación, manteniendo positivo
el término 𝑥 2 . Para combinar los términos, se suman o restan todos los términos 𝑥 2 , los términos 𝑥, y las
constantes (términos enteros), transportándolos a un lado de la ecuación hasta que no quede nada en el
otro lado. Una vez que nos quedamos sin términos restantes, simplemente se escribe "0" en ese lado del
signo igual (=). Por ejemplo:
2𝑥 2 + 8𝑥 − 4 = 3𝑥 − 𝑥 2
2𝑥 2 + 𝑥 2 − 8𝑥 − 3𝑥 − 4 = 0
3𝑥 2 − 11𝑥 − 4 = 0
2. Factorizar la expresión: para factorizar la expresión, se tienen que utilizar los factores del término 𝑥 2 (3)
y los factores del término constante (-4) para que se multipliquen y luego se sumen al término medio (-
11). Así:
Dado que 3𝑥 2 sólo tiene un conjunto de posibles factores, 3𝑥 y 𝑥 se puede colocar entre paréntesis:
(3𝑥±? )(𝑥±? ) = 0.
Luego, se realiza un proceso de descarte para reemplazar los factores de 4 y encontrar una
combinación que cuando se multiplique dé como resultado “-11x”. Se pueden utilizar las
combinaciones: 4 y 1, o 2 y 2, ya que, al multiplicar ambas, se obtiene 4. Cabe recordar que uno de
los términos debe ser negativo, ya que el término es -4.
Hacemos varias pruebas y comenzamos con esta combinación de factores: (3𝑥 + 1)(𝑥 − 4). Si los
multiplicamos, obtendremos: 3𝑥 2 − 12𝑥 + 𝑥 . Si combinamos los términos −12𝑥 y 𝑥 , nos da
−11𝑥 , que es el término medio que estamos buscando. Con esto, acabamos de factorizar la
ecuación.
Como ejemplo de pruebas, intentemos revisar una combinación de factorización para 3𝑥 2 − 11𝑥 −
4 = 0 que sea un error (no funcione): (3𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 3𝑥 2 + 6𝑥 − 2𝑥 − 4. Si se combinan estos
términos, obtendremos: 3𝑥 2 − 4𝑥 − 4. Aunque al multiplicar los factores -2 y 2, obtenemos -4, el
término medio no funciona porque se necesitaba obtener −11𝑥 , y no −4𝑥.
3. Igualar cada conjunto entre paréntesis a cero como ecuaciones separadas. Al hacerlo, encontraremos dos valores
para 𝑥 que harán que toda la ecuación sea igual a cero (3𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0. Ahora que la ecuación está
factorizada, todo lo que debemos hacer es poner la expresión en cada conjunto de paréntesis igual a cero. Pero,
¿por qué? Porque para obtener cero multiplicando, tenemos el "principio, regla o propiedad" que un factor debe
ser cero, entonces al menos uno de los factores entre paréntesis, como (3𝑥 + 1)(𝑥 − 4) debe ser cero; (3x + 1)
o bien (x - 4) debe ser igual a cero. Por lo tanto, se escribe 3𝑥 + 1 = 0 y también 𝑥 − 4 = 0.
4. Resolvemos cada ecuación "cero" de manera independiente. En una ecuación de segundo grado,
existirán dos posibles valores para “x”. Debemos encontrar x para cada posible valor de x uno por uno
por medio de aislar la variable, y escribimos ambos valores para x como la solución final. Así:
Resolvemos 3x + 1 = 0 =
o 3x = -1 ... sustrayendo
o 3x/3 = -1/3 ... dividiendo
o x = -1/3 ... simplificado
Resolvemos x - 4 = 0
o x = 4 sustrayendo
x = (-1/3, 4) ... tenemos un conjunto de soluciones posibles, separadas, es decir, x = -1/3, o x = 4.
1. Combinar todos los términos semejantes y los transportamos a un lado de la ecuación. Transportamos
todos los términos a un lado del signo igual (=), manteniendo positivo el término 𝑥 2 . Escribimos los
términos en orden descendente de grados, de modo que el término "𝑥 2 ” venga primero, seguido del
término “x” y del término constante. Así:
4x2 - 5x - 13 = x2 -5
4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
3x2 - 5x - 8 = 0
4. Reemplazamos los valores de “a”, “b”, y “c” en la ecuación. Ahora que contamos con los valores de las
tres variables, las reemplazamos en la ecuación de la siguiente manera:
{-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2
{-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
{-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
5. Realizamos nuestros cálculos. Después de que hayamos reemplazado los números, realizamos los
cálculos restantes para simplificar los signos positivos o negativos. Multiplicamos o elevamos al
cuadrado los términos restantes. Así:
{-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
{5 +/-√(25 + 96)}/6
{5 +/-√(121)}/6
6. Simplificamos la raíz cuadrada. Si el número bajo el símbolo radical es un cuadrado perfecto, obtendremos un
número entero. Si no lo es, entonces debemos simplificarlo a su versión radical más simple. Si es negativo, y
estamos seguros de que debe ser negativo, entonces las raíces serán complejas. Para el siguiente ejemplo: √(121)
= 11, podemos escribir: x = (5 +/- 11)/6.
7. Encontremos dos respuestas. Si ya hemos eliminado el símbolo de la raíz cuadrada, entonces podemos
continuar hasta que encontremos ambos valores (positivo y negativo) para “x”. Ahora que ya tenemos:
(5 +/- 11)/6, podemos escribir dos opciones:
(5 + 11)/6
(5 - 11)/6
8. Obtenemos ambas respuestas (una positiva y otra negativa). Simplemente realizamos los siguientes
cálculos:
(5 + 11)/6 = 16/6
(5-11)/6 = -6/6
9. Simplificamos. Para simplificar cada respuesta, simplemente las dividimos por el número más grande
que divida igualmente ambos números. Dividimos la primera fracción entre 2 y dividimos la segunda
entre 6 para obtener los valores para “x”.
16/6 = 8/3
-6/6 = -1
x = (-1, 8/3)