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    Integrales y Antiderivadas

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    Carlos Enrique Chilel
    El documento define las integrales definidas e indefinidas, y describe sus propiedades. La integral definida representa la suma de áreas infinitesimales bajo una curva entre dos puntos, mientras que la integral indefinida encuentra todas las funciones primitivas de una función dada. Algunas propiedades clave son que la integral de una constante multiplicada por una función es igual a esa constante multiplicada por la integral de la función, y la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

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    Integrales y Antiderivadas

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    Carlos Enrique Chilel
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    El documento define las integrales definidas e indefinidas, y describe sus propiedades. La integral definida representa la suma de áreas infinitesimales bajo una curva entre dos puntos, mientras que la integral indefinida encuentra todas las funciones primitivas de una función dada. Algunas propiedades clave son que la integral de una constante multiplicada por una función es igual a esa constante multiplicada por la integral de la función, y la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

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    Matematicas

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    El documento define las integrales definidas e indefinidas, y describe sus propiedades. La integral definida representa la suma de áreas infinitesimales bajo una curva entre dos puntos, mientras que la integral indefinida encuentra todas las funciones primitivas de una función dada. Algunas propiedades clave son que la integral de una constante multiplicada por una función es igual a esa constante multiplicada por la integral de la función, y la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

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    El documento define las integrales definidas e indefinidas, y describe sus propiedades. La integral definida representa la suma de áreas infinitesimales bajo una curva entre dos puntos, mientras que la integral indefinida encuentra todas las funciones primitivas de una función dada. Algunas propiedades clave son que la integral de una constante multiplicada por una función es igual a esa constante multiplicada por la integral de la función, y la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

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    Integrales

    Definición de integral definida de una función

    Sea f(x) una función definida en un intervalo I=[a, b], supongamos que
    esta función sea contínua en todo el intervalo I, entonces....

    Se llama integral definida (en sentido de Riemann) de f(x) entre a y b:

    * Propiedades inmediatas:

    Sin más que considerar el significado geométrico de la integral como


    suma de áreas infinitesimales, las siguuientes propiedades son todas
    ellas obvias:

    1) Para un intervalo de un solo punto [a, a]:

    2) Para un intervalo [a, b]:

    3) Si tenemos una constante, k , multuplicando a f(x), ésta puede ser


    extraída del símbolo integral:

    4) Para dos funciones f(x) y g(x) definidas en el mismo intervalo [a, b]:
    Lo cual suele exponerse diciendo: "la integral de una suma de funciones
    es la suma de las integrales de las funciones". Y si consideramos
    además la propiedad (3) con k=-1, podemos añadir: "la integral de una
    resta de funciones es la resta de las integrales de las funciones".

    5) Si el punto c es un punto intermedio del intervalo [a, b] , es decir, a<c<b,


    entonces:

    Visitad la página Construction of the Riemann Integral para una mejor


    explicación del sentido geométrico de la integral.

    Integral indefinida
    Sea una función integrable en cierto dominio I, se llama integral
    indefinida de f(x) , , al conjunto de todas las primitivas de f(x):

    Una vez hallada una primitiva de f(x), tal como g(x), la integral indefinida
    es g(x) + C, representando por C cualquier constante numérica.

    Propiedades.

    Sea f(x) una función integrable, si expresamos la variable x como función de otra
    variable t, es decir, x=g(t). Y puesto que dx = g’(t) dt, tenemos:

    Que es la base para el método de integración de cambio de variable.


    Antiderivadas

    La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es


    decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función
    dada.
    Por ejemplo:
    Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no
    existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5,
    entonces es otra antiderivada de f(x).
    La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se
    expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable
    de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
    Notación
    La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

    Teorema
    Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D
    de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una
    constante.

    Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales,


    entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como

    c constante real.
    Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

    A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener


    disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:
     Concepto.
     Propiedades.
     Reglas de integración.
     Integrales inmediatas.
     Métodos clásicos de integración:
    -Integración por sustitución.
    -Integración por partes.
    -Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.
     Uso de tablas.
     Integración de funciones trigonométricas sencillas.
     Integración de funciones racionales sencillas.

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