Funciones
Funciones
Funciones
A B
A
A B
A B
Relación multiforme
INTERVALOS
Sean los números reales a y b tal que a ¿ b. Se llama
intervalo al conjunto de los números comprendidos
entre a y b.
Los intervalos pueden ser finitos o infinitos, abiertos o
cerrados.
Intervalos finitos
(a, b) = {x / x ∈R, a ¿ x ¿ b} abierto
¿ a, b] = {x / x ∈R, a ≤ x ≤ b} cerrado
(a, b] = {x / x ∈R, a ¿ x ≤ b} semiabierto por la izq.
¿ a, b) = {x / x ∈R, a ≤ x ¿ b} semiabierto por la der.
FUNCIONES EXPLÍCITAS
Una función es explícita cuando en la ecuación que
actúa como regla de correspondencia, se tiene
despejada la variable dependiente “y” en términos de
la variable independiente x.
FUNCIONES IMPLÍCITAS
Son aquellas cuya regla de correspondencia es una
ecuación del tipo f(x, y) = 0. Una función de este tipo
se caracteriza porque en la ecuación que actúa como
regla de correspondencia, la variable dependiente “y”
no se encuentra despejada.
FUNCIONES PARAMÉTRICAS
Una función paramétrica tiene la siguiente forma:
f = { (x, y) / x = f(t), y = g(t), t ∈ Df ∩ Dg ≠∅ }
A B
FUNCIONES BIYECTIVAS
Una función f es biyectiva si f es inyectiva y además
suprayectiva.
SUMA DE FUNCIONES
Se define como la suma de las funciones f y g a la
función denotada f + g con dominio D = D f ∩ Dg , tal
que (f + g) (x) = f(x) + g(x), x ∈ D
RESTA DE FUNCIONES
Se llama diferencia de la función f menos la función g
y se denota por f – g a la función dada por
(f – g) (x) = f(x) – g(x), x ∈ D
donde D = Df ∩ Dg es el dominio de f – g
MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES
El producto de las funciones f y g es la función con
dominio D = Df ∩ Dg , denotada por fg y tal que si x
∈D (fg) (x) = f(x) g(x)
DIVISIÓN DE FUNCIONES
Se llama cociente de la función f entre la función g a la
función
f
g tal que ( fg )(x) = gf (x( x)) en donde
x ∈ D = D f ∩ Dg , g(x) ≠ 0
1
f0 =1 y f −n =f n donde n ∈ N
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES O
FUNCIÓN DE FUNCIÓN
Dadas las funciones f y g con dominios Df y Dg
respectivamente, se define como la composición de la
función f con la función g a la función denotada por
f ° g tal que [f ° g ] = f( g(x) )
fg
A
A
A A
A
Generalmente la composición de funciones no es
conmutativa, es decir, f ° g ≠ g ° f
La gráfica de la función f ° g puede construirse
partiendo de las gráficas de f y g.
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Las funciones algebraicas son aquellas en las que
interviene un número finito de operaciones
algebraicas de las funciones constante e identidad.
FUNCIÓN CONSTANTE
Es la función que tiene como dominio el conjunto de
los números reales y cuyo rango es un solo número
natural. Simbólicamente:
C = {(x, y) / x ∈ R, y = c} = {(x, c) / x ∈ R}
La gráfica de la función constante es una recta
paralela al eje de las abscisas, con ordenada c.
y
c
y=c
x
0
FUNCIÓN IDENTIDAD
Es la que tiene como dominio al conjunto de los
números reales y en la que a cada valor de la variable
independiente x le corresponde el mismo valor de la
variable dependiente “y”, por lo que su rango es
también el conjunto de los números reales.
La función identidad se representa de la siguiente
manera: I = {(x, y) / x ∈R, y = x} = {(x, x) / x ∈R} o
bien, I(x) = x
La gráfica de la función identidad es la recta que pasa
por el origen y tiene un ángulo de inclinación ∝ = 45o
y=x
0 45o
x
FUNCIONES ENTERAS O POLINOMIALES
Son las que se obtienen al efectuar con las funciones
constante e identidad un número finito de
operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
Una función polinomial es de la forma:
P = ao + a1 I + a2 I2 + … + an In
Donde ak, k = 0, 1, 2, 3, … , n son funciones
constantes, I es la función identidad y el número
natural n es el grado de la función polinomial.
Una función de este tipo puede describirse por medio
de su regla de correspondencia como:
P(x) = ao + a1 x + a2 x2 + … + an xn
cuyo dominio es R, en donde ao, a1, a2, … , an son
números reales y n es el grado si an ≠ 0.
FUNCIÓN RACIONAL
Se definen como el cociente de dos funciones enteras
o polinomiales. Las funciones racionales son de la
P1
forma r = P2 en donde P1 y P2 son funciones enteras.
donde P2 ( x) ≠ 0
FUNCIONES IRRACIONALES
Son aquéllas en donde además de intervenir
operaciones de adición, sustracción, multiplicación,
división y potenciación, interviene la radicación.
FUNCIÓN CRECIENTE
Sea una función f = { (x, y) / y = f(x), x ∈ D }f
x
0 a b
FUNCIÓN DECRECIENTE
Sea una función f = { (x, y) / y = f(x), x ∈ D } f
x1 ¿ x2
y
x
0 a b
FUNCIÓN INVERSA
Si f es una función inyectiva (biunívoca o uno a uno)
entonces la inversa de f es la función f-1 definida por
(x, y) ∈ f-1 si y sólo si (y, x) ∈ f
TEOREMA
Si una función f es biunívoca y su función inversa es
f-1:
1) f ° f-1 = I, donde el dominio de I es el rango de f
DI =R =D
f f −1
FUNCIONES TRASCENDENTES
Una función que no es algebraica es trascendente.
Estas incluyen las funciones circulares directas,
circulares inversas, exponenciales de base a y base
e; logarítmicas de base a, base e y base 10; y
función potencia.
FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función es periódica con período P ¿ 0, si
siempre que x esté en el dominio de f, entonces
x + P también está en el dominio de f y además
f(x + P) = f(x). Gráficamente:
y
f(x) f(x+P)
x
0 x x+P
r=1
x
0
La función seno está definida por sen θ = y; y la
función coseno por cos θ = x.
El dominio de ambas funciones es el conjunto de los
números reales y su rango es el intervalo [-1, 1]. Son
continuas en cualquier intervalo de θ.
Las funciones seno y coseno son periódicas con
período 2 π , por lo que:
sen θ = sen (θ + 2 π )
cos θ = cos (θ + 2 π )
http://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometr%C3%ADa)
A partir de las funciones seno y coseno se define la
función tangente como:
sen θ
tg θ = cos θ donde cos θ ≠ 0
y su gráfica
x
-1 1
Para la cosecante, si
π π
y = csc x, x ∈ {(- π , - 2 ] U (0, 2 ]}, y ∈ {(-∞ , -1] U [1, ∞ )}
π π
x = csc y, y ∈ {(- π , - 2 ] U (0, 2 ]}, x ∈ {(-∞ , -1] U [1, ∞ )}
π π
y = ang csc x ↔ x = csc y, y ∈ {(- π , - 2 ] U (0, 2 ]}
y
x
-1 1
PLANTEAMIENTO DE FUNCIONES
Las funciones son modelos matemáticos que
representan algún fenómeno físico de la vida real.
Para el planteamiento de funciones no existen reglas
precisas ni método general. La recomendación en
este sentido sería identificar cuáles son los datos,
variables e incógnitas del problema, y después
encontrar alguna relación entre ellos. Es de especial
ayuda el trazo de una gráfica o diagrama.