03 - Hoja de Ejercicios

MATEMÁTICA BÁSICA
UNIDAD I: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
SESIÓN 03: FUNCION CUADRÁTICA Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
 De las siguientes funciones cuadráticas indicar su vértice y su rango:
a) 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 𝑥 2 − 13 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 , [0; 3[
b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 𝑥 2 − 3 d) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 4𝑥 + 1 , [−5; 2[
 Graficar las siguientes funciones definidas por intervalos, e indicar su dominio y rango:
𝑥2; 0 ≤ 𝑥 < 2
3𝑥 − 2; 𝑥 < 2
a. 𝑓(𝑥) = { 2 b) 𝑓(𝑥) = {8 − 𝑥 2 ; 2 ≤ 𝑥 < 3
𝑥 ; 𝑥≥2
𝑥 2 − 8; 3 ≤ 𝑥 < 4
3 − 𝑥; 𝑥 < −1 −1 − 𝑥; 𝑥 < −2
2
c) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 4; −1 ≤ 𝑥 < 1 d) 𝑓(𝑥) = {5 − 𝑥 2 ; −2 ≤ 𝑥 < 2
𝑥 2 − 1; 𝑥 ≥ 1 𝑥 2 − 2𝑥 + 1; 𝑥 ≥ 2
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
𝑥2
1. El costo total para producir q unidades por día del producto es 𝐶 = + 20𝑥 + 5 soles y el precio
2
de venta de una unidad es 𝑝 = 30 – 𝑥 soles.
c) Hallar la función de Ingreso total
d) Hallar la función de utilidad
e) ¿Cuál es el costo medio para 𝑥 = 10?
f) ¿Cuál es la función de demanda?
2. Suponga que el costo total está dado por C ( x)  10  x , soles y el ingreso total por
I ( x)  10 x  0,5 x 2 soles ¿cuál es el valor de x para el cual se obtiene la ganancia máxima y cuál es
el valor de ésta?. Donde “x” es el número de unidades.
3. Trace las partes que están en el primer cuadrante de lo siguiente, en el mismo sistema.
a. La función de oferta: p  1 q 2  10
4
b. La función de demanda: 𝑝 = 86 – 6𝑞 – 3𝑞 2
c. Identifique el punto de equilibrio en el mercado y calcule algebraicamente el punto de
equilibrio para las funciones de oferta y demanda
4. Trace las partes que están en el primer cuadrante de lo siguiente, en el mismo sistema.
1
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SEMESTRE 2019-1
MATEMÁTICA BÁSICA
a) La función de oferta: 𝑝 = 0,2𝑞 2 + 0,4𝑞 + 1,8

b) La función de demanda: 𝑝 = 9 – 0,2𝑞 – 0,1𝑞 2
c) Identifique el punto de equilibrio en el mercado y calcule algebraicamente el
punto de equilibrio para las funciones de oferta y demanda.
5. El ingreso total de la venta de un producto particular depende del precio cobrado

por unidad. Específicamente, la función de ingreso es 𝑅 = 𝑓(𝑝) = 1500𝑝– 50𝑝2 .
Donde R equivale al ingreso total en dólares y “p” es el precio, también expresado
en dólares.
a. ¿Qué ingreso total se espera obtener si el precio es de $10?
b. ¿Qué precio(s) daría(n) como resultado un ingreso total igual a cero?
6. El señor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60

habitaciones. Él puede alquilarlas todas si fija un alquiler mensual de $200 por
habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarán vacías. En
promedio, por cada incremento de alquiler de $5, una habitación quedará vacía
sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la relación funcional entre el
ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías. ¿Qué alquiler mensual
maximizaría el ingreso total? ¿Cuál es este ingreso máximo?
7. Si los manzanos se plantan con una densidad de 30 por acre. El valor de la cosecha
producida por cada árbol es de $180. Por cada árbol adicional que se planta en un
acre, el valor de la cosecha disminuye en $3. ¿Cuál es el número de árboles que
deben plantarse por acre con objeto de obtener el valor máximo de cosecha?
¿Cuál es éste valor máximo por acre de la cosecha?
8. El gimnasio SUPER GIM hay 150 socios que pagan una cuota mensual de 60
dólares. El dueño del gimnasio desea incrementar sus ingresos, por lo que ordena
un estudio de mercadotecnia, en el cual recomienda reducir la cuota, ya que por
cada dólar que ésta
disminuya, se inscribirán cinco nuevos socios. ¿En cuántos dólares debe reducirse la
tarifa para obtener el máxima ingreso mensual?
VISITA EL VIDEO CLASE EN EL CANAL TUCIENCIA
2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SEMESTRE 2019-1

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UNIDAD I: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

SESIÓN 03: FUNCION CUADRÁTICA Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

a) La función de oferta: 𝑝 = 0,2𝑞 2 + 0,4𝑞 + 1,8

5. El ingreso total de la venta de un producto particular depende del precio cobrado

6. El señor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60

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