Unidad 3 Calculo Vectorial
Unidad 3 Calculo Vectorial
Unidad 3 Calculo Vectorial
Donde las funciones componentes f,g,h son funciones del parámetro t con valores reales.
r (t ) f (t ), g (t ) o r(t)=<f(t),g(t),h(t)>
Nota: Una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y las ecuaciones
paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo,
cada una de las curvas dadas por
Tiene grafica el circulo unidad, pero esas ecuaciones no representan la misma curva, ya que el
circulo esta recorrido de dos formas distintas.
Ejercicio:
Determinar la gráfica de la curva dada por la intersección de las superficies indicadas y encontrar
la función vectorial de la curva utilizando el parámetro dado.
z x 2 y 2 , x + y= 0 x=1
r (t ) i + g(t) j + h(t) k
r(t)= xi + yj + zk
Ejercicio:
Determinar la gráfica de la curva dada por la intersección de las superficies indicadas y encontrar
la función vectorial de la curva utilizando el parámetro dado.
z x 2 + y 2 , z=4 x= 2cost
Obtener x,y,z en funcion de "t"
x=2cost
Despejando "y" de 1
z x2 + y2
z x2 y2
z x2 y
4 4 cos 2 t y
r (t ) 2 cos ti 4 4 cos 2 t j + 4k
Tarea
4
16 4(t 2 ) 2 (t ) 2
z
4
16 4t 4 t 2
z
4
y 4 ( 4 t 2 )2
y t 2
Sust. 1 y despejando "z"
z 2 4 (t ) 2
z 4 t2
Generando la funcion vectorial
v(t ) ti t 2 j 4 t 2 k
lim r (t ) r (a)
t a
Una función vectorial en r es continua en un intervalo f si es continua en todo punto de ese
intervalo.
r (t t) r(t)
r (t) lim
t 0 t
Para todo t en que el limite existe. Si r(t) existe, se dice que r es derivable en t ; Si r(t) existe para
toda t en un intervalo anterior, se dice que r es derivable e el intervalo t . La derivabilidad de
funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados, considerando limites laterales.
Propiedades de la derivada
Sean r y u funciones vectoriales de t, f una función derivable de t con valores reales y c un escalar
1. Dt cr (t) cr´(t )
2. Dt r (t ) u (t ) r´(t)+u´(t)
3. Dt f(t ) r (t ) f(t)r´(t)+f´(t)r(t)
4. Dt r(t ) u (t ) r(t) u´(t)+r´(t) u(t)
5. Dt r(t ) u (t ) r(t) u´(t)+r´(t) u(t)
6. Dt r (f(t)) r´(f(t)) f´(t)
7. Si r(t) r(t)= c , entonces r(t) r´(t)=0
1-. Si 𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗, donde f y g son funciones continuas en [𝑎 , 𝑏 ] la integral identificada
la anti derivada de r es:
r (t ) dt= f (t ) dt i + g (t ) dt j
Y su integral definida sobre el intervalo a ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 es
b
b b
a r (t ) dt=
a
f (t ) dt
i +
a
g (t ) dt j
2-. Si 𝑟(𝑡) = 𝑓 (𝑡) , + 𝑔(𝑡) 𝑗 + ℎ(𝑡)𝑘, donde 𝑓 , 𝑔, ℎ son funciones continuas es [𝑎, 𝑏] la integral
indefinida la anti derivada de r es:
h(t ) dt = H(t) + C 3
f (t ) dt = f(t) + C 1 i + g (t ) C2 j + H (t ) C3 k
c Ci i + C2 j C3 k
Ejemplo:
d
v (t ) r (t ) 4i- 3 sen tj + 3 cos t k Velocidad
dt
d
a (t ) v(t ) i- 3 cos tj + 3 sen tk Aceleracion
dt
En 𝑡 = 𝜋⁄2
r ( ) 2 i + 0j + 3k
2
v ( ) 4 i + 3j + 0k
2
a ( ) 0 i + 0j + 3k
2
Magnitudes
r = (2 )2 02 32 = 4 2 9 r= 6.9626 u
2
Velocidad
u
v = 42 (3) 2 02 v= .5
2 5
Aceleración
u
a = 02 02 (3)2 v= 3 2
2 5
1
a(t ) i 2j + k
t
para v(4) (0,1, 0) , r (0)=(1,0,1)
v(t ) a(t) dt
v(t ) (t c)i (t 2 c2 ) j (2 t c3 )k
Cuando los componentes en dirección de x,y,z son (0,1,0) relacionando componentes y evaluación
tenemos
=0,1,0
Despejado “ C1 ” de (4 C1 =0)
C1 =-4
16+ C2 =1
C2 =15
4+ C3 0
C3 4
Problema 13:
d 2t
r (t) r (t ) 1i 1 j k Velocidad
dt 2 9 t2
d 2t
d (t) v(t ) 0i 0 j k Aceleracion
dt 2 (9 t 2 )
en t=
2
2
r ( ) i j 9 k
2 2 2 4
2( )
2
v( ) i+ j + k
2
2 9( ) 2
2
i j k
2
2 9
2
4( )
2
a ai+aj+
2 2
4 9
2
2
ai oj k
2
4 (9 )3
4
Magnitudes
2
r ( ) ( ) ( ) (9 ) 2
2 2
2 2 2 2
2 2
( )2 ( )2 9 2
2 2 2 36 2
1.5420u / s
v( ) 2
2 1 1 ( 2
2 2
2 36 2
2 9
4
1.5420u / s
2
a ( ) a 02 (
2
)2
2 2 3
4 (9 )
4
4 2 u
=0.0941
2
s2
16(9 )3
4
r (t ) et cos t , et sent , et
d
v(t ) r (t )
dt
v x (t ) et cos t et sent , et cos t et sent
en t=
2
v( ) oi e 2
j e 2k
2
v ( ) e 2 i e 2
j e 2k
2
a ( ) 2 2 i 2e 2
j e 2k
2
Magnitudes
r ( ) a 2 (e 2 ) 2 (e 2 )
2
r 6.8030 u
3.5 Longitud de arco
a b
Ejemplo:
Dibujas la curva en el espacio dada por la función vectorial y determinar su longitud en el intervalo
dado de t
r (t ) a cost i a sent j + bt k
intervalo 0, 2
x(t ) a cos t -asent
y(t)= asen t= acost
z(t)=b
2
s 0
a 2 sen 2t a 2 cos 2 b 2 dt
2
s 0
a 2 ( sen 2t a 2 cos 2 t ) b 2 dt
2
s
0
a 2 b 2 dt
2
s= a 2 b 2 dt
0
s a b (2 )
2 2
s 2 a 2 b 2 u
3.6 Vectores tangentes, normal y binormal
Sea una curva suave en el intervalo abierto I representando por I. El vector unitario tangente t (T)
en t se define como
Sea C una curva suave en un intervalo abierto I representando r. si t(t)=0 entonces la reta unitario
normal principal en t se define como
I (t )
N (t )
I (t )
La definición previa se obtiene normalizando el vector T(t) se obtiene un vector especial llamado el
vector unitario normal principal.
El vector D(t) T (t ) N (t) se denomina el vector binormal principal unitario y es perpendicular
tanto a T(t) como a N (t) .
Al plano formado por los vectores T (t ) y N (t ) se les conoce como plano osculador en un punto
dado de una curva.
Vector aceleración:
Si r(t) es el vector posición de una curva suave c y N (t ) existe entonces el vector aceleración a (t )
se concentra en el plano determinado por T (t ) y N (t ) .
r (t )
T (t )
r (t )
r´(t) r(t)
v(t )
T(t)
v(t )
Despejando la velocidad
T v v
av
a D1 T v
a T D1 v + v T
T
a Dt v T + v T
T
En terminos de T (t ) y N (t )
a Dt v T + v T N
a at T an N
at Dt v Aceleracion tangencial
an v T Aceleracion Normal