UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

SEMANA 12: FUNCIONES

FUNCIONES Y MODELACIÓN
A través de su definición o gráfica, halle el dominio y rango de las siguientes funciones:

a ) f ( x ) = −4 b ) g ( x ) = −3x + 2 ; x   −2;4
c ) h ( x ) = x − 6x − 16
2
d) i ( x ) = x 2 + 2x − 8 ; x   −1;6

e ) j ( x ) = 2x − 1 f ) k (x) = x 2 − 5x − 6
PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Para invitar a sus amigos al Estadio Monumental, Carlos tiene dos posibilidades:
• Inscribirse como socio del club Universitario de Deportes por S/800 y pagar la entrada a
S/10.
• Pagar cada entrada a S/50.
Sea “n” el número de amigos que invita Carlos, entonces:
a) Obtener en función de “n”, el precio a pagar en los dos casos.
b) Si finalmente Carlos va al Estadio Monumental con 19 amigos, ¿qué alternativa de pago le
conviene más?
2. Una institución educativa solicita el anillado de una separata de 10 hojas a una empresa de
servicio de papelería. La empresa cobra S/20 más S/1.30 por separata, si la cantidad de
separatas es menor de 400; pero si es de 400 separatas o más, se cobra S/20 más S/0.70 por
separata.
a) Construya el costo de anillado en función de la cantidad de separatas.
b) Estime el costo de anillado para dos órdenes de 250 y 650 separatas.
3. En Tottus se oferta la venta de arroz por kilo (o fracción de kilo). Si el cliente compra no más de
10 kilos, el precio que pagrá será de 2.50 soles por kilo; pero si el cliente compra más de 10
kilos, el precio que pagará será de 2.10 soles por kilo.
a) Hallar la función que exprese el costo total de un pedido en cada caso como una función de
la cantidad de kilos vendidos.
b) Determine el costo total de un pedido de 9.5 kg y otro de 10.5 kg e intérprete dichos
resultados.

4. La empresa SEDALIB S.A. ha modificado su tarifario mensual. La tarifa doméstica básica es de

S/ 2.94 y un cargo adicional de S/1.29 por cada m3 hasta los 8 m3/mes. Sobre el exceso de 8
m3/mes hasta los 20m3/mes, el cargo adicional es de S/1.356 por cada m3 mientras que si el
consumo sobrepasa los 20m3/mes, el cargo adicional m3 es S/3.273.
De lo anterior construya la función costo por consumo de agua mensual.

5. Una compañía de taxis, tiene una flota de 40 autos. Se sabe que cada uno de los cuales recorre
250 km al día, gasta un promedio de un galón cada 30 km y que el precio del galón de gasolina
es de $1.10.
Determine una función que exprese la cantidad de dinero que la compañía de taxis debe
calcular para gastos en gasolina durante los próximos “x” días.

Mg. Julio César Agustín Sangay Trujillo - 2023

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FUNCIONES LINEAL

1. Representa gráficamente cada una de las siguientes funciones:

a) y + 2x − 5 = 0 c) 2x + 5y = 7 ; x  −2;4 

b) −4y + 12x = 8, − 4  x  8 d) 5y = 15 ; x  −6;6

2. Graficar las siguientes funciones definidas por intervalos, e indicar su dominio y rango:

𝑥 ; 0≤𝑥<2 3𝑥 − 2 ; 𝑥<2
a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 ; 2 ≤ 𝑥 < 4 b) 𝑓(𝑥) = {−𝑥 + 2 ; 2 ≤ 𝑥 < 4
𝑥−4 ; 4≤𝑥 <6 4 ; 4≤𝑥

PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1 suponga que un fabricante de radios tiene la función de costo total C(q) = 43q + 1850 soles y la función
de ingreso I(q)= 80q soles. Donde “q” es el número de radios fabricados y vendidos
a) ¿Cuál es la función de utilidad para esta mercancía?
b) ¿Cuál es la utilidad de 30 unidades? Interprete su resultado.
c) ¿Cuántos radios se debe vender como mínimo, para evitar perder dinero?

2 Un estudiante universitario decide trabajar en verano cortando césped. El costo inicial de la podadora
es $250. Los costos de gasolina y mantenimiento son $1 por máquina.
a) Escriba una función C(q) para el costo total de movilizar “q” cantidad de podadoras.
b) El estudiante obtiene la función de utilidad total para el negocio de cortadoras de
césped dado por 𝑈(𝑥) = 9𝑥 – 250. Halle una función para los ingresos totales
para movilizar q podadoras. ¿Cuánto cobraría el estudiante por podadora?
c) ¿Cuántas podadoras como mínimo debe movilizar el estudiante para no generar
pérdidas?

3 Una firma de confecciones tiene costos fijos de 10 000 dólares por año. Para producir “q” unidades de
un tipo de vestido, éste cuesta 20 dólares por prenda y el ingreso por vender los “𝑞” vestidos es de 80
dólares por unidad.
a) Halle el costo total 𝐶(𝑞) e Ingreso total 𝐼(𝑞) de producir 𝑞 vestidos en un año.
b) Representa en una misma gráfica costo variable, costo fijo, costo total e ingreso.
c) Halle la función utilidad total.
d) Halle el punto de equilibrio de la empresa.

4 En la fabricación de un componente de una máquina, el costo inicial de un troquel es de $850 (dólares)

y todos los otros costos adicionales son de $3 por unidad fabricada.
a) Exprese el costo total 𝐶(en dólares) como función lineal del número 𝑞 de unidades que se
fabrican.
b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $1600?

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FUNCIONES CUADRÁTICA

• De las siguientes funciones cuadráticas indicar su vértice y su rango:

a) 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 𝑥 2 − 13 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 , [0; 3[
b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 𝑥 2 − 3 d) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 4𝑥 + 1 , [−5; 2[
• Graficar las siguientes funciones definidas por intervalos, e indicar su dominio y rango:
𝑥2; 0 ≤ 𝑥 < 2 −1 − 𝑥; 𝑥 < −2
a) 𝑓(𝑥) = {8 − 𝑥 2 ; 2 ≤ 𝑥 < 3 b) 𝑓(𝑥) = {5 − 𝑥 2 ; −2 ≤ 𝑥 < 2
𝑥 2 − 8; 3 ≤ 𝑥 < 4 𝑥 2 − 2𝑥 + 1; 𝑥 ≥ 2

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

𝑥2
1. El costo total para producir q unidades por día del producto es 𝐶 = + 20𝑥 + 5 soles y
2
el precio de venta de una unidad es 𝑝 = 30 – 𝑥 soles.
c) Hallar la función de Ingreso total
d) Hallar la función de utilidad
e) ¿Cuál es el costo medio para 𝑥 = 10?
f) ¿Cuál es la función de demanda?
2. Suponga que el costo total está dado por C ( x) = 10 + x , soles y el ingreso total por
I ( x) = 10 x − 0,5 x 2 soles ¿cuál es el valor de x para el cual se obtiene la ganancia máxima y
cuál es el valor de ésta?. Donde “x” es el número de unidades.

3. Trace las partes que están en el primer cuadrante de lo siguiente, en el mismo sistema.
a. La función de oferta: p = 1 q 2 + 10
4
b. La función de demanda: 𝑝 = 86 – 6𝑞 – 3𝑞 2
c. Identifique el punto de equilibrio en el mercado y calcule algebraicamente el punto
de equilibrio para las funciones de oferta y demanda
4. El señor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. Él
puede alquilarlas todas si fija un alquiler mensual de $200 por habitación. Con un alquiler
más alto, algunas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento de
alquiler de $5, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse.
Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de habitaciones
vacías. ¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total? ¿Cuál es este ingreso
máximo?

5. El gimnasio SUPER GIM hay 150 socios que pagan una cuota mensual de 60 dólares.
El dueño del gimnasio desea incrementar sus ingresos, por lo que ordena un estudio de
mercadotecnia, en el cual recomienda reducir la cuota, ya que por cada dólar que ésta
disminuya, se inscribirán cinco nuevos socios. ¿En cuántos dólares debe reducirse la tarifa
para obtener el máxima ingreso mensual?

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FUNCIONES EXPONENCIAL
• Graficar las siguientes funciones exponenciales y determinar su dominio y rango
x
1
a) y = 2 x
b) y =   c) y = 2(4 x )
2
x
d) y = 21− ; − 2  x  3 e) y = 3 −2 x +3 ; − 2  x  2 f) y = 3− x – 1
− x+2
1
k) y =   −x
g) 5 h) l) y = e − 1

• La siguiente gráfica, representa el comportamiento de las funciones:

f ( x ) = 8 x ; g ( x ) = 4 x ; h ( x ) = 2x

16

c a b
a. Calcule: a − b + c  d
b. Explicar el comportamiento de una función exponencial a medida que aumenta la base.

PROBLEMAS DE APLIACIÓN
1. El valor de reventa V (expresado en dólares) de un cierto tipo de equipo industrial ha sido
encontrado para comportarse de acuerdo con la función 𝑉 = 𝑓(𝑡) = 100 000𝑒 −0.1𝑡 , donde 𝑡 está en
años desde la compra inicial.
a) ¿Cuál era el valor inicial de una pieza del equipo?
b) ¿Cuál es el valor de reventa esperado después de 5 años?

2. Con cada día que pasa, un nuevo empleado realiza con más eficiencia su trabajo; en forma tal que,
si se producen “y” unidades al día, entonces después de “t” días de haber iniciado en el puesto se
tiene que y = 80 − Be−kt donde k es una constante positiva. El empleado produce inicialmente 20
unidades, y 50 unidades después de haber trabajado 10 días. Encuentre:

a) El valor de la constante (tomar dos decimales).

b) El número de días para que el trabajador produzca 70 unidades diarias.

3. En la siguiente figura ilustra el crecimiento relativo en el número de médicos en EEUU por una
población de 100 000 habitantes. El número de médicos por una población de 100 000 habitantes
se estima por medio de una función de crecimiento exponencial. Usando los datos de 1955 (144
médicos) y 1970 (162 médicos):

Mg. Julio César Agustín Sangay Trujillo - 2023

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a) Determine la función de estimación

exponencial 𝑦 = 𝑓(𝑡), donde y es igual al
número de médicos por 100 000
habitantes y 𝑡 representa los años
transcurridos desde 1950.
b) ¿Cuántos médicos tendrán en el año
2018?
c) ¿En cuánto tiempo habrá 400 médicos?

4. Suponga que se invierten 10000 $ a 5% de interés, en una cuenta que se capitaliza trimestralmente
durante 6 años. Determina el saldo en la cuenta al cabo de 6 años.

5. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000 en:

a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto semestralmente.

b) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente.

6. Suponga que se invierta $1000 durante 10 años a 6% compuesto anualmente.

a) Encontrar el monto compuesto.
b) Encontrar el interés compuesto.
7. La población de una ciudad de 10,000 habitantes crece a razón de 2% anual.
a) Calcular la población dentro de 3 años.
b) ¿En cuántos años la población será de 30000 habitantes?

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FUNCIONES LOGARITMICA

• Graficar las siguientes funciones logarítmicas y determinar su dominio y rango

a) y = log 2 ( x) b) y = log 3 (1 − x) c) y = log5 (2x − 2)

g) y = 3log ( 4) ( x) h) y = − log 4 (3 − 2 x) + 3 i) y = log3 (x + 2)

• Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:

log ( x + 2 ) , − 1  x  8
f (x) = 
 − x − 8 , 8  x  17

PROBLEMAS APLICATIVOS
1. La ecuación de oferta de un fabricante es P = 28 + ln  5 + x  donde “x” es el número de unidades y “p”
 100 
es el precio por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 700 unidades?

2. ¿Durante cuánto tiempo debes mantener 10000 euros en un banco, a una tasa del 6,1 % anual, si quieres
duplicar tú capital?:
a) A interés compuesto anual. b) Si los intereses se abonan mensualmente.

3. La fórmula para calcular la cantidad de dinero, que se gasta en publicidad de ciertos juguetes es
A = 350 + 650 Ln(n) , en donde n es el número esperado de juguetes que se venderán.
a) Si la compañía desea vender 2200 juguetes. ¿Cuánto dinero gastará en publicidad?
b) ¿Cuántos juguetes puede vender si destina $6000 en publicidad?

4. Se invierte $7000 a una tasa de interés del 8.5% anual. Determine el tiempo que es necesario para que
este dinero se triplique si el interés se calcula de acuerdo con el método siguiente:
a) Compuesto semestralmente.
b) Compuesto bimestralmente.
c) Compuesto continuamente.

5. La siguiente tabla muestra cómo el precio de cierto artículo afecta las ventas.
p (soles) 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3
V (cientos de unidades) 384.16 274.4 196 140 100

a) Enuncie la relación funcional para la demanda en función del precio.

b) ¿Cuál fue el precio si se vendieron 50 cientos de unidades?

6. Determine cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $7209, colocado al 15% anual
de interés con capitalización cuatrimestral, produzca un monto de $15000.

7. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital, si la tasa es del 12% anual con capitalización continua?
8. Determine cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $9200, colocado al 18% anual
de interés capitalizable continuamente, produzca un monto de $18000.

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