Tema 1.variables Aleatorias y Sus Distribuciones
Tema 1.variables Aleatorias y Sus Distribuciones
Tema 1.variables Aleatorias y Sus Distribuciones
=
=
n
i
i
x P
1
1 ) (
1 ) ( 0 s s
i
x P
probabilidades a cada valor y a todos los valores que estn a su izquierda, es decir, que
son menores que l. La funcin de distribucin de una variable aleatoria discreta X, para
un valor o punto concreto x, se representa por F(x), y se define as:
Vemos que representa la suma de las probabilidades del valor x y de todos los valores
que sean menores que l.
El alumno debe razonar y vislumbrar cmo este mtodo F(x) de asignar probabilidades
es un mtodo operativo [al igual que lo era la funcin de cuanta: P
i
=P(X =x
i
)] y que
nos permite calcular la probabilidad de cualquier suceso que nos puedan pedir.
Distribucin de probabilidad en variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria continua necesariamente ha de tomar una infinidad NO
numerable de valores. Al repartir el total de probabilidad 1 entre esa infinidad no
numerable de valores, la probabilidad que le corresponder ser necesariamente cero. Es
decir:
P(x
i
) =P(X =x
i
)=0
Y ello nos conduce a que el mtodo de la funcin de cuanta P(x
i
) no tiene sentido en las
distribuciones de tipo continuo. Qu se hace entonces?
Se introduce un nuevo concepto: la densidad de probabilidad. Es el cociente -como tal
densidad que es- entre la probabilidad asignada a ese punto, que hemos visto que vale
cero, y la amplitud del intervalo cuando ste tiende a cero. La densidad de probabilidad
desde un punto de vista conceptual nos dara una indeterminacin (0/0) para cada valor
de la variable y que se resolver tomando el nmero que corresponda a cada valor en
cada problema en cuestin.
Insistamos al alumno que la densidad de probabilidad NO es una probabilidad y, por
tanto, puede perfectamente tomar valores mayores que uno. Se simboliza por f(x).
Probabilidad elemental
Al multiplicar la densidad de probabilidad f(x) asignada a un punto x por la expresin
diferencial dx, obtendremos: f(x)dx. A esta expresin f(x)dx se le llama probabilidad
elemental y es la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome valores
comprendidos entre x y x +dx.
) ( ) ( dx x X x P dx x f elemental ad Probabilid + s s = =
Si sumamos (en concepto matemtico integramos) todas las probabilidades debemos
obtener lgicamente el total de la probabilidad, que es uno. y para sumar, utilizamos el
smbolo sumatorio:
=
= = s =
n
x x
i
i
x X P x X P x F
1
) ( ) ( ) (
mtodo que introducimos para las variables aleatorias continuas y que se llama el
mtodo de la funcin de densidad.
1. La funcin de densidad. Para cada valor x de una variable aleatoria continua X se
representa por f(x). Los dos requisitos que, necesariamente, ha de cumplir f(x) para ser
una funcin de densidad son:
}
= > 1 ) ( 0 ) ( dx x f x f
El alumno debe entender esto con suma claridad.
Conocida la funcin de densidad todo est resuelto. Cualquier probabilidad que nos
pidan estaremos en condiciones de poderla hallar. As, por ejemplo, si nos piden cul es
la probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome valores comprendidos entre
a y b, bastar con sumar (integrar en nuestro caso) la probabilidad elemental f(x)dx
entre los valores a y b. Es decir:
}
= s s
b
a
dx x f b x a P ) ( ) (
2. Funcin de distribucin. Designada por F(x), tambin en las distribuciones
continuas nos servir -al igual que lo haca en las discretas- como funcin de
probabilidad. En realidad, ser la probabilidad asignada a todos los valores que estn a
la izquierda de x (son menores que x). O que van desde - 4 hasta x. Se expresa as:
}
= s =
x
dx x f x Px x F ) ( ) ( ) (
Como f(x)dx es la probabilidad elemental, estamos calculando la probabilidad de
que se nos presentan valores entre - 4 y x.
El alumno debe hacer todo tipo de ejercicios con las funciones de probabilidad que
hemos sealado, hasta comprender perfectamente los conceptos. En el texto bsico
aparecen bastantes de ellos resueltos.
Tambin debe entender la representacin grfica. Distinguiendo muy bien desde la
vertiente grfica qu es una probabilidad, qu significa una grfica de densidad de
probabilidad o qu puede representar una ordenada concreta en la grfica de la funcin
de distribucin F(x) de una determinada variable aleatoria.
Propiedades de la funcin de distribucin
El alumno debe reflexionar y comprender las propiedades que cumple toda funcin de
distribucin F(x). Y resolver conceptual y grficamente todo tipo de problemas.
Relaciones entre la densidad de probabilidad f(x) y la funcin de distribucin
El alumno debe tener interiorizada la relacin que existe entre ambas funciones, y que
es:
}
= s =
x
dx x f x Px x F ) ( ) ( ) (
VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
Aqu se abordar el estudio de dos variables aleatorias. Es decir, se estudian
conjuntamente dos caractersticas de un fenmeno aleatorio.
Y para estudiar conjuntamente a las dos variables aleatorias, es decir, la variable
aleatoria bidimensional, necesitaremos conocer cul es la funcin de probabilidad
conjunta de ambas variables.
Funcin de probabilidad bidimensional
De manera similar a como suceda en la variable aleatoria unidimensional, tambin aqu
tendremos variables aleatorias discretas y continuas.
Para las variables aleatorias discretas, tendremos dos formas de representar su funcin
de probabilidad:
1. Funcin de cuanta:
) , ( ) , (
j i j i ji
y Y x X P y x P P = = = =
2. Funcin de distribucin:
s s
= s s =
y y
j i
x x
j i
y x P y Y x X P y x F ) , ( ) , ( ) , (
que representa la suma de las probabilidades puntuales P(x
i
, y
j
) hasta el valor (x, y)
inclusive de la variable aleatoria bidimensional (X, Y).
Para las variables aleatorias continuas tendremos, al igual que en las variables
unidimensionales, dos formas de clculo:
1. Funcin de densidad de probabilidad. Se representar por f(x, y) y debe cumplir los
dos requisitos:
} }
= > 1 ) , ( 0 ) , ( dy dx y x f y x f
2. Funcin de distribucin. Simbolizada por F(x, y) y, como probabilidad acumulada
que es, debe comprenderse bien que su expresi6n es:
dy dx y x f y PY x PX y x F
y
) , ( ) , ( ) , (
} }
= s s =
Qu relacin existe entre la f(x,y) y la F(x,y)?
Si expresamos la funcin de densidad conjunta f(x, y) en funcin de la funcin de
distribucin F(x,y), el alumno debe comprender bien que la relacin que los liga es:
y x
y x F
y x f
c c
c
=
) , (
) , (
2
es decir, que la f(x, y) coincide con la derivada parcial segunda, respecto a x e y, de la
funcin de distribucin F(x, y).
y la funcin de distribucin F(x, y) expresada a travs de la f(x, y) ser:
dy dx y x f y PY x PX y x F
y
) , ( ) , ( ) , (
} }
= s s =
Distribuciones marginales
Aqu tambin debe matizarse si nos referimos a una distribucin de tipo discreto o bien
de tipo continuo.
En las distribuciones marginales nos va a interesar conocer la distribucin de
probabilidad de una sola de las variables, pero sin tener en cuenta los posibles valores
que pueda tomar la otra (es decir, marginando a la otra variable). Y ello se har a
partir de la informacin que nos proporciona la distribucin conjunta de (X, Y).
Distinguimos si la distribucin es discreta o continua.
Distribuciones discretas
El alumno debe estar en condiciones de comprender:
Funciones de cuanta marginal. Referidas a X e Y, respectivamente, vienen
expresadas por P
i
Y P
j
y tienen la siguiente expresi6n:
= = = =
= = = =
i x
j i ij j
j y
j i ij i
i
j
y Y x X P P P
y Y x X P P P
) , (
) , (
Funciones de distribucin marginal. Simbolizadas por F l(X) y F 2(Y)'
respectivamente, el alumno debe comprender que sus expresiones son:
s
s
= s + s = + =
= + < s = + =
y y
j
x x
i
j
i
P y Y X P y F x F
P Y x X P x F x F
2
1
) , ( ) , ( ) (
) , ( ) , ( ) (
Distribuciones continuas
En este caso, el alumno debe entender que tendremos que hablar de las funciones de
densidad marginales y las funciones de distribucin marginales. (Al ser distribuciones
continuas deberemos sustituir el signo del sumatorio por el signo de la integral.)
Funciones de densidad marginales. Simbolizadas por f
1
(x) y f
2
(y), se expresan as:
}
}
=
=
dx y x f y f
dy y x f x f
) , ( ) (
) , ( ) (
2
1
[Al integrar la primera expresin respecto de y, el resultado final slo depender de x.
De ah que en el primer miembro aparezca f
1
(x).]
Funciones de distribucin marginales. Sus expresiones son:
}
}
= + =
= + =
y
x
dy y f y F y F
dx x f x F x F
) ( ) , ( ) (
) ( ) , ( ) (
2 2
1 1
Distribuciones condicionadas
En las distribuciones bidimensionales pueden resultar de inters el estudiar cmo se
distribuye una de las variables cuando a la otra variable se le impone alguna condicin.
Ello nos conducir al estudio de las distribuciones condicionadas. Tambin aqu
deberemos distinguir si estamos en presencia de una variable aleatoria de tipo discreto o
de tipo continuo.
Distribuciones discretas. El alumno entender que tendr todo el sentido hablar de:
las funciones de cuanta condicionadas y las funciones de distribucin
condicionadas.
Funciones de cuanta condicionadas se expresan por: P(x
i
/y
j
) y P(y
j
/x
i
).
Funciones de distribucin condicionadas son: F(x/y
j
) y F(y/x
i
).
Puesto que el alumno ya estudi en la Introduccin a la Estadstica el concepto de
probabilidad condicionada, no deber tener dificultad en comprender las expresiones
a que equivalen las funciones condicionadas anteriores.
Distribuciones continuas. Aqu cabr hablar de las funciones de densidad
condicionadas y las funciones de distribucin condicionadas.
Funciones de densidad condicionadas: se expresan por f(x/y) y f(y/x).
Funciones de distribucin condicionadas: expresadas por F(x/y) y F(y/x).
Al ser distribuciones continuas, recordemos que la probabilidad exigir siempre
integrar la probabilidad elemental f(x)dx.
El alumno debe abordar las expresiones a que equivalen los conceptos expresados y
consolidarlos con la realizacin de ejercicios prcticos. En el texto bsico aparecen
desarrollados diversos tipos de problemas.
INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS
Este concepto guarda paralelismo con el concepto de independencia de sucesos, que
abordamos en la Introduccin a la Estadstica.
Tambin aqu deber matizarse si hablamos de variables aleatorias discretas o continuas. Pues
en cada caso, deberemos emplear la funcin de probabilidad que le sea propia. (Por ejemplo,
el alumno deber estar totalmente de acuerdo que no tiene sentido hablar de la densidad de
probabilidad si la distribucin es de tipo discreto.)
El alumno debe entender el requisito de independencia de dos variables aleatorias X e Y. As,
en funcin de que se est utilizando la funcin de cuanta, la funcin de distribucin o la
funcin de densidad de probabilidad, las variables X e Y sern independientes si se cumple
que:
o bien
o bien
El alumno debe tener soltura para efectuar ejercicios prcticos de este tipo.
) , ( ) ( ) ( ) , (
j i j i j i
y Px y P x P y x P =
) , ( ) ( ) ( ) , (
2 1
y x y f x f y x f =
) , ( ) ( ) ( ) , (
2 1
y x y F x F y x F =