Universidad Tecnológica de Panamá

Facultad de Ingeniería Mecánica

Laboratorio #1 de Teoría de Control

Tema: Linearizacion de Ecuaciones Diferenciales

Profesora: Ilka Banfield

Estudiantes:

Carolina Rojas 20-36-2514

Fecha de Entrega: 6/9/2016

 Marco Teórico:
Una gran parte de los sistemas físicos son lineares dentro de un rango de variables. Los sistemas
en general a la larga se convierten en sistemas no lineares a medida que las variables
incrementan sin límite.

Como por ejemplo, el sistema de resorte-masa-amortiguador es linear y esta descrito por la

ecuación mientras que la masa está sometida a pequeñas deflexiones:

𝑑 2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡)
𝑀 2
+𝑏 + 𝑘𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡

Sin embargo, si la función incrementara continuamente, eventualmente el resorte se extendería

hasta un punto de ruptura. Por consiguiente, es necesario cuestionar la linealidad y el rango de
aplicabilidad que se debe considerar para cada sistema.

Un sistema se define como lineal en términos de la excitación y respuesta del mismo. En el caso
de una red eléctrica, la excitación seria la corriente de entrada r(t) y la respuesta seria el voltaje
v(t). En general, una condición necesaria para un sistema linear se puede determinar en
términos de una excitación x(t) y una respuesta y(t). Cuando el sistema está el reposo se puede
decir que está sometido a una excitación x1(t), lo que provee una respuesta y1(t).
Adicionalmente cuando el sistema es sometido a una excitación x 2(t), esto produce una
correspondiente respuesta y2(t). Para un sistema linear, es necesario que esa excitación
x1(t)+x2(t) resulte en una respuesta y1(t)+y2(t). Este tipo de respuesta es considerada como el
principio de superposición.

El factor de magnitud de escala debe preservarse en un sistema linear. De nuevo, se considera

un sistema con una entrada x(t) que resulta en una salida y(t). Entonces la respuesta a un
sistema linear a una constante multiplicadora 𝛽 de una entrada x, debe ser igual a la respuesta
de la entrada multiplicada por la misma constante para que la salida sea igual a 𝛽y. Esta
propiedad es considerada la propiedad de la homogeneidad.

Un sistema caracterizado por la relación y = x2 es un sistema no lineal porque la propiedad de

la superposición no se satisface. Otro ejemplo es el sistema representado por la relación y = mx
+ b, porque no satisface la propiedad de homogeneidad. Sin embargo, este último sistema se
puede considerar lineal alrededor de un punto de operación x 0, y0 para pequeños cambios de
∆x y ∆y. Donde x= x0 + ∆x y y= y0 + ∆y. Entonces tenemos:

y=mx+b

y0 + ∆y = m x0 + m∆x +b

Por consiguiente, ∆y = m∆x, lo que satisface las condiciones necesarias.

La linealidad de muchos elementos mecánicos y eléctricos se puede asumir sobre un rango de

variables razonablemente amplio. Este no es el caso usual para elementos térmicos y fluidicos,
que son con más frecuencia no lineales en carácter. Afortunadamente, usualmente se pueden
linealizar elementos no lineares asumiendo condiciones de pequeñas señales. Este es el método
normal de enfoque usado para obtener un circuito equivalente linear para circuitos y
transistores electrónicos. Se considera un elemento general con una excitación variable x(t) y
una variable de respuesta y(t). La relación de estas variables se puede escribir como:

y(t)=g(x(t)),

Donde g(x(t)) indica que y(t) es una función de x(t). El punto normal de operación esta
designado por x0. Debido a que la curva (función) es continua sobre el rango de interés, se
puede utilizar una expansión de Series de Taylor alrededor del punto de operación. Lo que
produciría:

𝑑𝑔 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑 2 𝑔 (𝑥 − 𝑥0 )2
𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥0 ) + | + 2| + ⋯,
𝑑𝑥 𝑥=𝑥0 1! 𝑑𝑥 𝑥=𝑥 2!
0

La pendiente en el punto de operación,

𝑑𝑔
|
𝑑𝑥 𝑥=𝑥0

Es una buena aproximación a la curva sobre el pequeño rango de (𝑥 − 𝑥0 ), la desviación del

punto de operación. Luego, esta como una aproximación razonable se convierte en:

𝑑𝑔
𝑦 = 𝑔(𝑥0 ) + | (𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑦0 + 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
𝑑𝑥 𝑥=𝑥0

Donde m es la pendiente en el punto de operación. Finalmente la ecuación no lineal expuesta

inicialmente 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, se puede reescribir como

(𝑦 − 𝑦0 ) = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )

∆𝑦 = 𝑚∆𝑥
 Casos de Estudio
Caso 1

La altura de un líquido y del nivel del líquido en un tanque se muestra en la siguiente

figura (2). El modelo matemático se representa por la siguiente ecuación diferencial:

𝑑𝑦(𝑡)
(𝐴0 + 𝑎𝑦) − 𝑄𝑖 (𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑡

Donde 𝑄𝑖 es el caudal de entrada y a,b, y 𝐴0 son parámetros constantes.

a) Encontrar el punto de operación 𝑦0 para la altura del líquido para un caudal de

entrada constante 𝑄𝑖0

Parámetros constantes:

𝐴0 = 5
𝑎=3
𝑏=4
𝑄𝑖0 = 12

Ecuación en estudio:

𝑑𝑦(𝑡)
(𝐴0 + 𝑎𝑦) − 𝑄𝑖 (𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑡

Condición de punto de operación:

𝑑𝑦
=0
𝑑𝑡

Punto de operación 𝒚𝟎 :

𝑏𝑦 = 𝑄𝑖

𝑄𝑖 12
𝒚𝟎 = = =𝟑
𝑏 4
b) Linearizar el modelo del sistema en la vecindad del punto de operación.

𝐴0 = 5
𝑎=3
𝑏=4
𝑄𝑖 = 12

Ecuación no lineal:

𝑑𝑦(𝑡)
(𝐴0 + 𝑎𝑦) − 𝑄𝑖 (𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑡

𝑓(𝑦, 𝑦̇ , 𝑄𝑖 ) = 0

𝜕𝑓
| = 𝐴0 + 𝑎𝑦 = 𝐾1
𝜕𝑦̇ 0

𝜕𝑓
| = 𝑎𝑦̇ + 𝑏 = 𝐾2
𝜕𝑦 0

𝜕𝑓
| = −1 = 𝐾3
𝜕𝑄𝑖 0

𝑑∆𝑦(𝑡)
𝐾1 + 𝐾2 ∆𝑦(𝑡)+𝐾3 ∆𝑄𝑖 (𝑡) = 0
𝑑𝑡

𝑑∆𝑦(𝑡)
(𝐴0 + 𝑎𝑦0 ) − ∆𝑄𝑖 (𝑡) + (𝑎𝑦̇ 0 + 𝑏)∆𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑡

𝑑∆𝑦(𝑡)
(𝐴0 + 𝑎𝑦0 ) − ∆𝑄𝑖 (𝑡) + 𝑏∆𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑡

𝑑𝑦
=0
𝑑𝑡

𝑏𝑦 = 𝑄𝑖

𝑄𝑖 12
𝑦0 = = =3
𝑏 4

𝑑∆𝑦(𝑡)
(5 + 3 ∙ 3) − ∆𝑄𝑖 (𝑡) + 4∆𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑡

𝑑∆𝑦(𝑡)
14 − ∆𝑄𝑖 (𝑡) + 4∆𝑦(𝑡) = 0
𝑑𝑡

Ecuación linealizada:

𝒅𝒚(𝒕) 𝑸𝒊(𝒕) − 𝟒𝒚
=
𝒅𝒕 𝟏𝟒
c) Resolver el sistema linealizado utilizando Scilab y graficar la respuesta. (Asuma valores
para los parámetros, y una entrada tipo escalón alrededor del punto de operación que
perturbe el sistema).

Utilicé la funcion dsolve de Matlab para obtener la solucion de la ecuacion diferencial

respecto a la variable independiente t y la función heaviside para representar la entrada
tipo escalón.

Solución de la ecuación linealizada:

Corrí la funcion para distintas perturbaciones de la funcion de entrada (heaviside) y seguia

obteniendo el mismo resultado salvo el cambio del valor sobre el cual se perturba la señal.

Utilicé el comando ode45 para resolucion de ecuaciones diferenciales para evaluar la

solucion de la ecuacion para un rango de valores del tiempo de 0 a 20 con un paso de 0.5.
 Gráficas de la solucion de la ecuacion diferencial evaluada.

Ecuación linealizada con escalón unitario (izquierda) y escalon unitario (t-1) (derecha)

Ecuación linealizada ante distintas perturbaciones. Azul(5),Rojo(25), Magenta(30)

d) Resolver el sistema no lineal utilizando Scilab y graficar la respuesta. Compare con el
sistema lineal. ¿Hasta qué valores de entrada piensa usted que es válida la salida lineal?
Sustente su respuesta.

Utilicé nuevamente la funcion dsolve de Matlab para obtener la solucion de la ecuacion

diferencial respecto a la variable independiente t y la función heaviside para representar la
entrada tipo escalón.

Solución de la ecuación no lineal:

Utilicé el comando ode45 para resolucion de ecuaciones diferenciales para evaluar la

solucion de la ecuacion para un rango de valores del tiempo de 0 a 20 con un paso de 0.5.

Gráficas de la solucion de la ecuacion diferencial evaluada. En la grafica de la izquierda se

puede apreciar sin perturbacion en, mientras que en la grafica de la derecha se pueden
apreciar valor de entrada t-1.
Comparación de la ecuación no lineal y la ecuacion linealizada:

Gráficas de las soluciones de las ecuaciones diferenciales linealizada y no lineal:

Perturbación de t-1 (izquierda) y perturbación en 5 (derecha)

Perturbación en 25 (izquierda) y perturbación en 100 (derecha)

Al evaluar la ecuación para distintos valores de entrada, pude identificar que esta presentara
una gran similitud en la solución a la solución no linealizada en un rango de valores de entrada
de 1 hasta 25 aproximadamente. En un valor de entrada de 30 ya se podía apreciar una ligera
desviación del valor obtenido con la ecuación no lineal.

Valor de entrada de 30
Caso 2

Las siguientes ecuaciones diferenciales representan los modelos matemáticos de dos sistemas
respectivamente:

𝑑𝑦
𝑥 − 4𝑦 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 (6)
𝑑𝑥

𝑑2𝑦 𝑑𝑦
+𝑥 + 𝑦2 − 𝑥 = 0 (7)
𝑑𝑡 2 𝑑𝑥

a) Linearizar la ecuación 6 alrededor de 𝑥0 = −4. Utilice el toolbox simbolic de Matlab para

comprobar su linealización.

Ecuación no lineal:

𝑑𝑦
𝑥 − 4𝑦 − 𝑥 5 𝑒 𝑥 = 0
𝑑𝑥

𝑥0 = −4

𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥

𝑥 2𝑒 𝑥 −45 𝑒 −4
𝑦0 = − =− = −4.6888
4 4

𝑓(𝑦, 𝑦̇ , 𝑥) = 0

𝜕𝑓
| = 𝑥 = 𝐾1
𝜕𝑦̇ 0

𝜕𝑓
| = −4 = 𝐾2
𝜕𝑦 0

𝜕𝑓
| = 𝑦̇ 0 − (𝑥 5 𝑒 𝑥 + 5𝑥 4 𝑒 𝑥 ) = 𝐾3
𝜕𝑥 0

𝑑∆𝑦
𝐾1 + 𝐾2 ∆𝑦 + 𝐾3 ∆𝑥 = 0
𝑑𝑥

𝑑∆𝑦
𝑥0 − 4∆𝑦 − (𝑥0 5 𝑒 𝑥0 + 5𝑥04 𝑒 𝑥0 )∆𝑥 = 0
𝑑𝑥

𝑑∆𝑦
−4 − 4∆𝑦 − 4.6888∆𝑥 = 0
𝑑𝑥

Ecuación linealizada:

𝒅𝒚 𝟒𝒚 + 𝟒. 𝟔𝟖𝟖𝟖𝒙
=−
𝒅𝒙 𝟒
Para realizar la linealizacion por medio de los toolbox de matlab primero defini una
funcion donde se resolvia la ecuacion diferencial simbolica por medio de dsolve y
posteriormente con el uso de subs y eval logre evaluar la solucion para los distintos
valores de un vector definido x y al mismo tiempo con el comando tay obtuve la serie
de taylor de la solucion de la ecuacion y evalue la misma para los valores del vector x
definido.

Script para llamar a la función y graficar la ecuación no lineal y la linealizada por medio
de series de Taylor

Solución de ecuación diferencial (xxx1) y solución de la serie de taylor

b) Linealizar la ecuación 7 alrededor de 𝑥0 = 4. Utilice el toolbox simbolic de Matlab para
comprobar su linealización.

𝑑2𝑦 𝑑𝑦
2
+𝑥 + 𝑦2 − 𝑥 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑥0 = 4

𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥

𝑑2𝑦
=0
𝑑𝑥 2

𝑦2 − 𝑥 = 0
𝑦0 = √𝑥0 = √4 = 2
𝑓(𝑦, 𝑦̇ , 𝑦,̈ 𝑥) = 0

𝜕𝑓
| = 1 = 𝐾1
𝜕𝑦̈ 0

𝜕𝑓
| = 𝑥0 = 𝐾2
𝜕𝑦̇ 0

𝜕𝑓
| = 2𝑦0 = 𝐾3
𝜕𝑦 0

𝜕𝑓
| = −1 = 𝐾4
𝜕𝑥 0

𝑑 2 ∆𝑦 𝑑∆𝑦
𝐾1 2
+𝐾2 + 𝐾3 ∆𝑦 + 𝐾4 ∆𝑥 = 0
𝑑𝑡 𝑑𝑥
2
𝑑 ∆𝑦 𝑑∆𝑦
2
+ 𝑥0 + 2𝑦0 ∆𝑦 − ∆𝑥 = 0
𝑑𝑡 𝑑𝑥
𝑑 2 ∆𝑦 𝑑∆𝑦
+4 + 4∆𝑦 − ∆𝑥 = 0
𝑑𝑡 2 𝑑𝑥

𝑑2𝑦 𝑑𝑦
+4 + 4𝑦 − 𝑥 = 0
𝑑𝑡 2 𝑑𝑥
c) Resolver el sistema lineal y no lineal utilizando Matlab para ambas ecuaciones y
comparar. Comente sobre el rango de validez de la linealización.
 d) Determinar la función de Transferencia en cada caso.

Caso 2
d∆y
−4 − 4∆y − 4.6888∆x = 0
dx

En el punto de operación las condiciones iniciales son iguales a 0

𝑑∆𝑦
−4 − 4∆𝑦 = 4.6888∆𝑥
𝑑𝑥

−4𝑠∆𝑦(𝑠) − 4∆𝑦(𝑠) = 4.6888∆𝑥(𝑠)

∆𝑦(𝑠)(−4𝑠 − 4) = 4.6888 ∆𝑥(𝑠)

∆𝑦(𝑠) 4.6888
=
∆𝑥(𝑠) −4𝑠 − 4

∆𝑦(𝑠) 4.6888 4.6888

𝐺(𝑠) = = =
∆𝑥(𝑠) −4𝑠 − 4 −4(𝑠 − 1)

4.6888
𝐿−1 {𝐺(𝑠)} = 𝐿−1 { }
−4(𝑠 − 1)

1
𝑔(𝑡) = −1.1722𝐿−1 { }
𝑠−1

1
𝑔(𝑡) = −1.1722𝐿−1 { }|
𝑠 𝑠→𝑠−1

Función de Transferencia
𝑔(𝑡) = −1.1722 𝑒 𝑡
Para 𝐲𝟎 = 𝟐

∆ÿ + 4∆ẏ + 4∆y − ∆x = 0

En el punto de operación las condiciones iniciales son iguales a 0

∆𝑦̈ + 4∆𝑦̇ + 4∆𝑦 = ∆𝑥

2
𝑠 ∆𝑦(𝑠) + 4𝑠 ∆𝑦(𝑠) + 4 ∆𝑦(𝑠) = ∆𝑥(𝑠)
∆𝑦(𝑠)(𝑠 2 + 4𝑠 + 4) = ∆𝑥(𝑠)
Δ𝑦(𝑠) 1
=
Δ𝑥(𝑠) 𝑠 2 + 4𝑠 + 4
Δ𝑦(𝑠) 1 1
𝐺(𝑠) = = 2 =
Δ𝑥(𝑠) 𝑠 + 4𝑠 + 4 (𝑠 + 2)2
1
𝐿−1 {𝐺(𝑠)} = 𝐿−1 { }
(𝑠 + 2)2
1
𝑔(𝑡) = 𝐿−1 { 2 }|
𝑠 𝑠→𝑠+2

Función de Transferencia

𝑔(𝑡) = 𝑡 𝑒 2𝑡

Para 𝐲𝟎 = −𝟐

∆𝑦̈ + 4∆𝑦̇ − 4∆𝑦 − ∆𝑥 = 0

∆𝑦̈ + 4∆𝑦̇ − 4∆𝑦 = ∆𝑥

2
𝑠 ∆𝑦(𝑠) + 4𝑠 ∆𝑦(𝑠) − 4 ∆𝑦(𝑠) = ∆𝑥(𝑠)
∆𝑦(𝑠)(𝑠 2 + 4𝑠 − 4) = ∆𝑥(𝑠)
Δ𝑦(𝑠) 1
=
Δ𝑥(𝑠) 𝑠 2 + 4𝑠 − 4
Δ𝑦(𝑠) 1 1
𝐺(𝑠) = = 2 =
Δ𝑥(𝑠) 𝑠 + 4𝑠 − 4 (𝑠 + 4.8284)(𝑠 − 0.8284)
1
𝐿−1 {𝐺(𝑠)} = 𝐿−1 { }
(𝑠 + 4.8284)(𝑠 − 0.8284)
A B
𝑔(𝑡) = 𝐿−1 { + }
(𝑠 + 4.8284) (𝑠 − 0.8284)

1 1
𝐴= = 0.176778 ; 𝐵= = −0.176778
0.8284 + 4.8284 −4.8284 − 0.8284
0.176778 0.176778
𝑔(𝑡) = 𝐿−1 { − }
(𝑠 + 4.8284) (𝑠 − 0.8284)

Función de Transferencia
𝑔(𝑡) = 0.176778 𝑒 −4.8284 − 0.176778 𝑒 0.8284
 Conclusión
Un aspecto importante en el estudio de sistemas dinámicos es la estabilidad local en un punto
de operación. Usualmente este punto de operación es parte de un sistema de ecuaciones
diferenciales no lineales. Por ello la importancia del estudio de la linealización de estas
ecuaciones donde lo que se busca es encontrar una aproximación lineal en la cercanía de
dicho punto de operación en estudio.

Mediante el presente laboratorio pude utilizar las Series de Taylor para linealizar tres distintos
casos. Debido a problemas con el manejo de Matlab, solamente pude observar el
comportamiento de la resolución por medio de Series de Taylor en el primer Caso y en la
ecuación 6 del segundo Caso. Los resultados de ambas mostraron una aproximación bastante
confiable de las ecuaciones lineales obtenidas con la ecuación no lineal analizada. En el caso
de la ecuación 6 del segundo Caso, pude comparar los resultados obtenidos por medio de la
linealizacion manualmente con la linealizacion por medio del comando de series de Taylor de
Matlab, los resultados demostraron una aproximación lineal confiable.

En cuanto al rango de validez de la linealizacion puedo comentar que el rango de valores de

entrada que puede tener la ecuación linealizada en torno a un punto puede no ser muy
amplio, sin embargo los resultados son muy exactos en este rango. Otro aspecto importante
sobre el análisis de los resultados obtenidos, es que la ecuación linealizada no tiene un
comportamiento exactamente igual a la ecuación linealizada pero dentro del rango de
resultados validos permite obtener una respuesta idéntica a la no lineal.