Nombre: Juan Esteban Acosta Gamboa Código: 20182174317

Taller #1

1) 5 cargas puntuales idénticas de 15µC se localizan se localizan en el centro y vértice

de un cuadrado definido por −2< X , Y <, Z=0. Hallar la intensidad del campo
eléctrico en (0,0,3) y la fuerza sobre la carga puntual de 5µC en (0,0,1)

Para hallar la intensidad del campo eléctrico en el punto P2 utilizamos la ecuación de E

para N cargas puntuales:

1
N
Q K (r−r k )
E= ∑
4 π ε o K=5 |r−r k|3

Podemos sacar Q K de la sumatoria ya que las 5 cargas son idénticas:

E=
QK
[( 0,0,3 )−(2 ,−2,0)
3
+
( 0,0,3 )−(−2 ,−2,0)
3
+
( 0,0,3 )−(−2,2,0) ( 0,0,3 ) −(2,2,0) ( 0,0,3 )−( 0,0,
+ +
4 π ε o |( 0,0,3 )−( 2,−2,0)| |( 0,0,3 ) −(−2 ,−2,0)| |( 0,0,3 ) −(−2,2,0)|3 |( 0,0,3 )−(2,2,0)|3 |( 0,0,3 )−(0,0,0

[ ]
QK (−2,2,3) (2,2,3) (2 ,−2,3) (−2 ,−2,3) ( 0,0,3 )
E= + + + +
4 π εo 3 3 3 3 3

|(4 +4 +9)| |(4 +4 +9)| |(4 +4 +9)| |(4 +4 +9)| |(0+0+ 9)|2
2 2 2 2

[ ]
−6
1 5 x 10 (−2,2,3) (2,2,3) (2 ,−2,3) (−2,−2,3) ( 0,0,3 )
E= + + + +
10
−9
17 √ 17 17 √ 17 17 √ 17 17 √ 17 27
4π
36 π

E=135 x 10 0,0 ,
3
( 12
+
3
17 √ 17 27 )
=38,1 a Z k
N
C
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Ahora hallamos la fuerza sobre la carga puntual P1:

F=
[
Q QK ( 0,0,1 )−(2 ,−2,0)
3
+
( 0,0,1 )−(−2 ,−2,0) ( 0,0,1 ) −(−2,2,0)
3
+ 3
+
( 0,0,1 )−(2,2,0)
3
+
( 0,0,1 )−(0,0,
4 π ε o |( 0,0,1 )−( 2,−2,0)| |( 0,0,1 ) −(−2 ,−2,0)| |( 0,0,1 )−(−2,2,0)| |( 0,0,1 )−(2,2,0)| |( 0,0,1 ) −(0,0,0

[ ]
Q QK (−2,2,1) (2,2,1) (2 ,−2,1) (−2 ,−2,1) ( 0,0,1 )
F= 3
+ 3
+ 3
+ 3
+ 3
4 π εo
|(4+ 4+1)| |(4 +4 +1)| |( 4+ 4+1)| |(4+ 4+ 1)| |(0+ 0+1)|2
2 2 2 2

E=
4π
10
−9 [
(5 x 10−6 ) ( 15 x 10−6 ) (−2,2 , 1) (2,2 ,1) (2 ,−2 ,1) (−2,−2 ,1) ( 0,0 , 1 )
27
+
27
+
27
+
27
+
1 ]
36 π

E=6,75 x 10−1 0,0 , ( 4

27 )
+ 1 =775 aZ mN

2) Sea la intensidad del campo eléctrico XY a X + X 2 aY . Hallar la densidad de flujo

eléctrico y la densidad de carga volumétrica.

Para hallar la densidad de flujo eléctrico usamos la siguiente ecuación:

D=ε o E=8,854 x 10−12 ( XY a X + X 2 aY )

2 C
D=8,854 XY a X + 8,854 X aY p 2
m

Para hallar la densidad de carga se multiplica el vector diferencial ∇ por la densidad de

flujo eléctrico D , sabemos que:
∂ ∂ ∂
∇= aX+ aY + a
∂X ∂Y ∂Z Z
Por lo tanto:
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C
ρv=∇ . D=8,854 Y p
m3

3) El plano 𝑋 + 2𝑌 = 5 porta una carga de 𝜌𝑠 = 6 𝑛𝐶/𝑚2. Determinar la intensidad del

campo eléctrico en el punto (-2,0,1).

Como el plano es infinito, para determinar la intensidad del campo eléctrico usamos la
siguiente ecuación:
ρs
E= a
2εo n

Antes de hallar la intensidad del campo eléctrico debemos determinar a n, en este caso a n es
vector unitario normal al plano, esto indica que el campo eléctrico es normal al plano y es
independiente de la distancia entre el plano y el punto P. Por lo tanto, para obtener un
vector unitario a n tenemos la siguiente ecuación:
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∇f
a n=
|∇ f |
Donde f es la función que define el plano. Por ende, si aplicamos el vector diferencial a la
función nos queda que:

∇ f =a X + 2 aY

a X + 2 aY a X +2 aY
a n= =
|a X + 2 aY| √5

Ahora, si miramos el sistema de referencia podemos observar que P está detrás del plano,
por ende, a n será negativo. Una vez conociendo a n podemos ahora si encontrar E:

(( ))
−9
6 x 10 a X + 2a Y N
E= − =−151,5 a X −303,06 aY
2∗8,854 x 10
−12
√5 C

4) 3 cascarones esféricos concéntricos con radio 1, 2 y 3 metros, respectivamente,

poseen distribuciones de carga superficial de 5, -8 y 10 𝜇𝐶 𝑚2. Hallar la densidad
de flujo eléctrico en r=0,5 m, r=2.5 m y r=3.5 m.

La densidad de flujo eléctrico en este caso para una distribución de carga por volumen
viene dada por la siguiente ecuación:
ρv dv
D=∫ a
2 R
4π R
Aplicando la ley de Gauss tenemos que:

Q=∮ D dS=∫ ρv dv−→ pv ∫ dv= pv 4 π r

2

Por lo tanto, si remplazamos en D nos queda:

Para r =0,5 m:
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1
D=
4 π R2
∫ pv dv
1
D= 2
( pv 1∗4 π (0)2 )=0
4π R

Para r =2,5 m:
1
D=
4 π R2
∫ pv dv
1
D= 2
( pv 1∗4 π (1)2+ pv 2∗4 π (2)2 )
4π R
1
D= 2
( 5 x 10−6∗4 π ( 1 )2−8 x 10−6∗4 π (2)2 )
4 π (2,5)
−3 −6 −6
D=12,73 x 10 (62,8 x 10 −201 x 10 )
−6 C
D=−1,76 x 10 2
m

Para r =3,5 m:
1
2∫
D= pv dv
4π R
1
D= 2
( pv 1∗4 π (1 )2 + pv 2∗4 π ( 2 )2 + pv 3∗4 π (3)2 )
4π R
1
D= 2
( 5 x 10−6∗4 π ( 1 )2−8 x 10−6∗4 π ( 2 )2+10 x 10−6∗4 π (3)2 )
4 π (2,5)

D=12,73 x 10−3 (62,8 x 10−6−201 x 10−6 +1,13 x 10−3)

C
D=64,4 x 10−6
m2
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5) En la Figura 1. Podemos observar dos cascarones de esferas no conductores, el

cascaron azul tiene una distribución de carga de 12 𝑛𝐶/𝑚2 con radio 3 centímetros
y el cascaron naranja tiene una distribución de carga de 4 𝑛𝐶/𝑚2 con radio 2
centímetros; los centros de los cascarones están separados por una distancia L de 10
centímetros. Hallar el campo eléctrico total en Y= 2 centímetros.

Para hallar el campo eléctrico tenemos la siguiente ecuación:

Q
E=
4 π ε o R2

El campo eléctrico total va a ser igual a E=E 1+ E 2 . Donde:

E1(Cascaron naranja):

Q=D ∮ dS=4 x 10−9∗4 π r 2 =4 x 10−9∗4 π ( 0,02 )2=20 pC

Q 20 x 10−12 N
E 1= = =28
2 −12
4 π ε o R 4 π∗8,865 x 10 ∗0,08 2
C

E2(Cascaron azul):

Q=D ∮ dS=12 x 10 ∗4 π r =12 x 10 ∗4 π ( 0,03 ) =135,7 pC

−9 2 −9 2

Q 135,7 x 10−12 N
E 2= = =12,2 k
2 −12
4 π ε o R 4 π∗8,865 x 10 ∗0,0 1
2
C

Como el punto Y=2 esta dentro de la superficie del cascaron azul entonces E 2 será
negativo, por lo tanto:
N
E=28−12,2 x 103 =−12,17 k
C