CAMBIO ESTRUCTURAL 227

El coeficiente de y1t − 1tiene un estadístico t de –2,17. Dado el valor crítico del 5%, no
podemos rechazar la hipótesis nula de una raíz unitaria no estacional. El estadístico t para
el coeficiente en y2t − 1es -4,17; por tanto, es poco probable que exista una raíz unitaria
estacional con una frecuencia semestral. El estadístico F de muestra para la hipótesis nula
de que el coeficiente en y3t − 1 y y3t − 2 conjuntamente igual cero es 6,81. Por lo tanto, al
nivel de significancia del 5%, no hay una raíz unitaria estacional en la frecuencia anual
(6,81 <6,57). Por tanto, como en el capítulo 2, podría no haber sido correcto diferenciar y
diferenciar estacionalmente en presencia de variables ficticias estacionales deterministas.
Como grupo, las variables ficticias estacionales son muy significativas; el estadístico F de
muestra para la presencia de variables ficticias estacionales es 7,49. Sin embargo, si
4
experimentas con el modelo en la forma mt = (1 - L) (1 - L ) ytutilizado en el Capítulo 2,
debería encontrar que los términos AR (1) y MA (4) funcionan mejor que un modelo con
variables ficticias estacionales deterministas. Además, si realiza la prueba HEGY sin
dummies estacionales, encontrará raíces unitarias tanto estacionales como anuales.

8. CAMBIO ESTRUCTURAL
Al realizar pruebas de raíz unitaria, se debe tener especial cuidado si se sospecha que se
ha producido un cambio estructural. Cuando hay rupturas estructurales, las diversas
estadísticas de la prueba Dickey-Fuller están sesgadas hacia el no rechazo de una raíz
unitaria. Para explicarlo, considere la situación en la que hay un cambio único en la media
de una secuencia que de otro modo sería estacionaria. En el gráfico superior de la Figura
4.9, el {yt} la secuencia se construyó de manera que fuera estacionaria alrededor de una
media de cero para t = 0,…, 50 y luego fluctuara alrededor de una media de 6 para t = 51,
…, 100. La secuencia se formó dibujando 100 de forma normal e independiente valores
distribuidos para el { t} secuencia. Configuración y0 = 0, los siguientes 100 valores de la
secuencia se generaron mediante la fórmula:

yt = 0,5 añost−1 +t + DL
donde DL es una variable ficticia tal que D L = 0 para t = 1,…, 50 y D L= 3 para t =
51,…, 100. El subíndice L está diseñado para indicar que el nivel de la variable
ficticia cambia. En ocasiones, será conveniente referirse al valor de la variable
ficticia en el período t como D L(t); en el ejemplo que nos ocupa, D L(50) = 0 y
DL(51) = 3.
En la práctica, el cambio estructural puede no ser tan evidente como la
ruptura que se muestra en la figura. Sin embargo, la gran ruptura simulada es
útil para ilustrar el problema de usar una prueba de Dickey-Fuller en tales
circunstancias. La línea recta que se muestra en la figura destaca el hecho de
que la serie parece tener una tendencia determinista. De hecho, la línea recta es
la ecuación MCO que mejor se ajusta:

yt = a0 + un2t + et
En la figura, puede ver que el valor ajustado de un 0 es negativo y el valor
ajustado de un2es positivo. La forma correcta de estimar (4.38) es ajustar un
modelo AR (1) simple y permitir que la intersección cambie al incluir la variable
ficticia DL. Sin embargo, supongamos que ajustamos sin sospechar la ecuación
de regresión:

yt = a0 + un1yt−1 + et
 228 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

yt = 0,5 añost - 1 + εt + DL
8

–2
0 20 40 60 80 100

yt = yt - 1 + εt + DPAGS
8

–2
0 20 40 60 80 100

FIGURA 4.9 Dos modelos de cambio estructural

Como puede inferir de la Figura 4.9, el valor estimado de un 1está necesariamente

sesgado hacia la unidad. La razón de este sesgo al alza es que el valor estimado de un 1
captura la propiedad de que los valores "bajos" de y t(es decir, aquellos que fluctúan
alrededor de cero) son seguidos por otros valores "bajos", y los valores "altos" (es decir,
aquellos que fluctúan alrededor de una media de seis) son seguidos por otros valores
"altos". Para una demostración formal, tenga en cuenta que como1se acerca a la unidad,
(4.39) se acerca a un paseo aleatorio más la deriva. Sabemos que la solución al modelo
de caminata aleatoria más deriva incluye una tendencia determinista; es decir,
∑t
yt = y0 + un0t + yo
yo= 1
 CAMBIO ESTRUCTURAL 229

Por lo tanto, la ecuación mal especificada (4.39) tenderá a imitar la línea

de tendencia que se muestra en la Figura 4.9 al sesgar un 1hacia la unidad.
Este sesgo en un1 significa que la prueba de Dickey-Fuller está sesgada
hacia la aceptación de la hipótesis nula de una raíz unitaria aunque la serie
sea estacionaria dentro de cada uno de los subperíodos.
Por supuesto, un proceso de raíz unitaria también puede presentar una
ruptura estructural. La parte inferior de la Figura 4.9 simula un proceso de
caminata aleatoria con un cambio estructural que ocurre en t = 51. Esta
segunda simulación utilizó las mismas 100 realizaciones para el { t}
secuencia y la condición inicial y0 = 2. Las 100 realizaciones del {y t}
secuencia se construyeron como
yt = yt−1 +t + DPAGS

donde DPAGS(51) = 4 y todos los demás valores de DPAGS = 0.

Aquí, el subíndice P se refiere al hecho de que hay un solo pulso en la
variable ficticia. En un proceso de raíz unitaria, un solo pulso en el maniquí
tendrá un efecto permanente en el nivel de {y t} secuencia. En t = 51, el pulso en
el maniquí es equivalente a unt+51Choque de cuatro unidades extra. Por lo tanto,
el impacto único a DPAGS(51) tiene un efecto permanente sobre el valor medio
de la secuencia para t ≥ 51. En la figura, se puede ver que el nivel del proceso
da un salto discreto en t = 51, nunca exhibiendo ninguna tendencia a regresar al
pre-break nivel.
Este sesgo en las pruebas Dickey-Fuller se confirmó en un experimento de Monte
Carlo. Perron (1989) generó 10,000 réplicas de un proceso como el de (4.38). Cada
replicación se formó dibujando 100 valores distribuidos normal e independientemente para
el {t} secuencia. Para cada una de las 10,000 series replicadas, usó MCO para estimar
una regresión en forma de (4.39). Como se podía anticipar de nuestra discusión anterior,
Perron encontró que los valores estimados de un 1estaban sesgados hacia la unidad.
Además, el sesgo se hizo más pronunciado a medida que aumentaba la magnitud de la
ruptura.

Prueba de Perron para el cambio estructural

Volviendo a los dos gráficos de la figura 4.9, puede haber casos en los que el ojo sin
ayuda no pueda detectar fácilmente la diferencia entre los tipos alternativos de
secuencias. Un procedimiento econométrico para probar las raíces unitarias en presencia
de una ruptura estructural implica dividir la muestra en dos partes y usar las pruebas
Dickey-Fuller en cada parte. El problema con este procedimiento es que los grados de
libertad para cada una de las regresiones resultantes disminuyen. Además, es posible que
no sepa cuándo ocurre realmente el punto de ruptura. Es preferible tener una única
prueba basada en la muestra completa.
Perron (1989) continúa desarrollando un procedimiento formal para
probar raíces unitarias en presencia de un cambio estructural en el período
de tiempo t = + 1. Considere la hipótesis nula de un salto único en el nivel de
una raíz unitaria. proceso frente a la alternativa de un cambio único en la
intersección de un proceso estacionario de tendencia. Formalmente, sean
las hipótesis nula y alternativa
 H1 : y t = a 0 + yt−1 + 1rePAGS + t
UN
1: yt = a 0 + un2t + 2reL + t
230 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

25

20

15

10

–5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

FIGURA 4.10 Representaciones alternativas del cambio estructural

donde DPAGS representa una variable ficticia de pulso tal que D PAGS = 1 si t
= + 1 y cero en caso contrario y D L representa una variable ficticia de nivel
tal que DL = 1 si t> y cero en caso contrario.
Bajo la hipótesis nula, {yt} es un proceso de raíz unitaria con un salto único en el
nivel de la secuencia en el período t = + 1. Bajo la hipótesis alternativa, {y t} es la
tendencia estacionaria con un salto único en la intersección. La figura 4.10 puede
ayudarlo a visualizar las dos hipótesis. Simulando (4.40) configurando un0 = 0.2 y
usando 100 realizaciones para el { t} secuencia, la línea discontinua errática en la
figura representa la trayectoria temporal de {y t} bajo la hipótesis nula. Puede ver el
salto único en el nivel del proceso que ocurre en el período 51. A partir de entonces,
el {yt} La secuencia continúa el proceso original de caminata aleatoria más deriva. La
hipótesis alternativa postula que el {y t} la secuencia es estacionaria alrededor de la
línea de tendencia discontinua. Hasta t =, {yt} está estacionario alrededor de un0 +
un2t, y comenzando en + 1, yt está estacionario alrededor de un0 + un2t + 2. Como lo
ilustra la línea discontinua, hay un aumento único en la intersección de la tendencia
si2 > 0.
El problema econométrico consiste en determinar si una serie observada
se modela mejor con (4.40) o (4.41). La implementación de la técnica de
Perron (1989) es sencilla:

PASO 1: A diferencia de la prueba de Dickey-Fuller, la hipótesis nula no está

directamente incluida en la hipótesis alternativa. En otras palabras, no
existe una forma directa de restringir los coeficientes de la alternativa para
obtener la hipótesis nula. Como tal, necesitamos combinar el nulo y la
alternativa de la siguiente manera:
yt = a0 + un1yt−1 + un2t +1rePAGS +2reL +t
 CAMBIO ESTRUCTURAL 231

PASO 2: Estime la ecuación de regresión formada en el Paso 1. Bajo la

hipótesis nula de una raíz unitaria, el valor teórico de una 1es la
unidad. Perron (1989) muestra que, cuando los residuos se
distribuyen de forma idéntica e independiente, la distribución de
un1depende de la proporción de observaciones que ocurran antes
de la ruptura. Denote esta proporción por = ∕ T donde T = número
total de observaciones.
PASO 3: Realice controles de diagnóstico para determinar si los residuos
del paso 2 no están correlacionados en serio. Si hay una
correlación serial, use la forma aumentada de la regresión:
∑pags
yt = a0 + un1yt−1 + un2t +1rePAGS +2reL + yo yt−i +t
yo= 1

PASO 4: Calcule el estadístico t para la hipótesis nula a1 = 1. Esta estadística se

puede comparar con los valores críticos calculados por Perron. Perron
generó la serie 5000 según H1utilizando valores de 0 a 1 en incrementos
de 0,1. Para cada valor de, estimó cada una de las regresiones y calculó la
distribución muestral de una1. Naturalmente, los valores críticos son
idénticos a los estadísticos Dickey-Fuller cuando = 0 y = 1; en efecto, no
hay cambio estructural a menos que 0 <<1. La diferencia máxima entre las
dos estadísticas se produce cuando = 0,5. Para = 0,5, el valor crítico del
estadístico t al 5% de nivel de significancia es −3,76 (que es mayor en
absoluto que el correspondiente estadístico de Dickey-Fuller de −3,41). Si
encuentra un estadístico t mayor que el valor crítico calculado por Perron,
es posible rechazar la hipótesis nula de una raíz unitaria.
Además, la metodología es bastante general en el sentido de que también puede
permitir un cambio único en la deriva o un cambio único tanto en la media como en la
deriva. Por ejemplo, es posible probar la hipótesis nula de un cambio permanente en el
término de deriva versus la alternativa de un cambio en la pendiente de la tendencia. Aquí,
la hipótesis nula es

H2: yt = a0 + yt−1 +2reL +t

donde DL= 1 si t> y cero en caso contrario. Con esta especificación, el {y t}
secuencia es generada por yt = a0 + t hasta el período y por yt = a0 + 2 +
tdespués de eso. Si2 > 0, la magnitud de la deriva aumenta para t>. Del
mismo modo, se produce una reducción en la deriva si2 <0.
La hipótesis alternativa postula una serie estacionaria de tendencia con
un cambio en la pendiente de la tendencia para t>
UN2: yt = a0 + un2t +3reT
+t donde DT = t - para t> y cero en caso contrario.
Por ejemplo, suponga que la ruptura ocurre en el período 51 de modo que = 50.
Por lo tanto, DT (1) hasta DT (50) son todos cero, de modo que, durante los primeros
50 períodos, {yt} evoluciona a medida quet = a0 + un2t +t. A partir del período 51, D T
(51) = 1, DT (52) = 2, ... de modo que, para t>,
{yt} evoluciona a medida quet = a0 + un2t + 3(t - 50) + t = un0 + (un2 + 3) t -
50 3 + t. Por lo tanto, reT cambia la pendiente de la línea de tendencia
determinista. La pendiente de la tendencia es un2 para
t≤ y un2 + 3 para t > .
232 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

Para ser aún más general, es posible combinar las dos hipótesis nulas H 1 y H2. Un
cambio tanto en el nivel como en la deriva de un proceso de raíz unitaria se puede
representar mediante
H3: yt = a0 + yt−1 +1rePAGS +2reL +t
donde DPAGS y DLson los maniquíes de pulso y nivel, respectivamente,
definidos anteriormente. La alternativa adecuada para este caso es
UN3: yt = a0 + un2t +2reL +3reT +t
Nuevamente, el procedimiento implica combinar las hipótesis nula y
alternativa en una sola ecuación. Considerar
yt = a0 + un1yt−1 + un2t +1rePAGS +2reL +3reT +t
Compare el estadístico t de la estimación de un 1al valor crítico calculado por
Perron (1998). Si los errores de esta segunda ecuación de regresión no parecen
ser ruido blanco, calcule la ecuación en forma de una prueba de Dickey-Fuller
aumentada. El estadístico t para la hipótesis nula a 1= 1 puede compararse con
los valores críticos calculados por Perron (1989). Para varios valores de, Perron
informa los siguientes valores críticos del estadístico t al nivel de significancia del
5%:

H1 H2 H3
0,15-0,25 −3,77 −3,80 −3,99
0,45–0,55 −3,76 −3,96 −4,24
0,65-0,75 −3,80 −3,85 −4,18

Prueba de Perron y rendimiento real

Perron (1989) utilizó su análisis del cambio estructural para cuestionar los
hallazgos de Nelson y Plosser (1982). Con las mismas variables, sus resultados
indican que la mayoría de las variables macroeconómicas no se caracterizan por
procesos de raíz unitaria. En cambio, las variables parecen ser procesos de TS
junto con rupturas estructurales. Según Perron (1989), la caída de la bolsa de
valores de 1929 y el espectacular aumento del precio del petróleo de 1973
fueron shocks exógenos que tuvieron efectos permanentes en la media de la
mayoría de las variables macroeconómicas. El choque provocó una caída única
en la media. De lo contrario, las variables macroeconómicas parecen tener una
tendencia estacionaria.
Todas las variables del estudio de Perron (excepto los salarios reales, los precios de
las acciones y la tasa de desempleo estacionaria) parecían tener una tendencia con una
pendiente constante y exhibían un cambio importante en el nivel alrededor de 1929. Para
considerar varias hipótesis, En cuanto a los efectos de la caída del mercado de valores,
considere la ecuación de regresión:

∑k
yt = a0 +1reL +2repags + un2t + un1yt−1 + yo yt−i +t
yo= 1
donde DPAGS(1930) = 1 y cero en caso contrario
reL = 1 para todo t a partir de 1930 y cero en caso contrario
 CAMBIO ESTRUCTURAL 233

Cuadro 4.6 Nueva prueba de los datos de Nelson y Plosser para el

cambio estructural

T k un0 1 2 un2 un1

PNB real 62 0,33 8 3,44 −0,189 −0,018 0,027 0,282
(5,07) (−4,28) (−0,30) (5,05) (−5,03)
PNB nominal 62 0,33 8 5,69 −3,60 0,100 0,036 0.471
(5,44) (−4,77) (1,09) (5,44) (−5,42)
Producción industrial 111 0,66 8 0,120 −0,298 −0,095 0.032 0.322
(4,37) (−4,56) (−0,095) (5,42) (−5,47)

Notas:
1 T = número de observaciones; = proporción de observaciones que ocurren antes del cambio estructural; k
= longitud de retraso.
2
Los estadísticos t apropiados están entre paréntesis. Para 0, 1, 2y un2, el nulo es que el coeficiente es igual a
cero. Para1, la hipótesis nula es una 1 = 1. Tenga en cuenta que todos los valores estimados de 1 son
significativamente diferentes de la unidad al nivel del 1%.

Bajo la presunción de un cambio único en el nivel de un proceso de raíz

unitaria, un1 = 1, a2 = 0 y2 ≠ 0. Bajo la hipótesis alternativa de una ruptura única
permanente en el modelo estacionario de tendencia, un 1 <1 y 1≠ 0. Los
resultados de Perron (1989) utilizando el PNB real, el PNB nominal y la
producción industrial se presentan en el cuadro 4.6. Dada la longitud de cada
serie, el desplome de 1929 significa que es 1/3 para el PNB real y nominal e
igual a 2/3 para la producción industrial. Las longitudes de retardo (es decir, los
valores de k) se determinaron usando pruebas t sobre los coeficientes yo. Se
seleccionó el valor k si el estadístico t en k fue mayor que 1,60 en valor absoluto
y el estadístico t en yo para i> k fue menor que 1,60.
Primero, considere los resultados del PNB real. Cuando examina la última
columna de la tabla, está claro que hay poco apoyo para la hipótesis de la raíz
unitaria; el valor estimado de un1= 0,282 es significativamente diferente de la unidad
al nivel del 1%. En cambio, el PNB real parece tener una tendencia determinista
(un2se estima en más de cinco DE desde cero). También tenga en cuenta que la
estimación puntual1= −0,189 es significativamente diferente de cero en los niveles
convencionales. Por lo tanto, se estima que la caída del mercado de valores ha
inducido una caída permanente y única en la intersección del PNB real.
Estos hallazgos reciben apoyo adicional ya que los coeficientes estimados y sus
estadísticos t son bastante similares en las tres ecuaciones. Todos los valores de un1
son aproximadamente cinco DE de la unidad, y los coeficientes de las tendencias
deterministas (un2) son todos superiores a cinco SD desde cero. Dado que todos los
valores estimados de1 son significativas al nivel del 1% y negativas, los datos
parecen respaldar la afirmación de que las variables macroeconómicas reales son
TS, excepto por una ruptura estructural resultante de la caída de la bolsa.

Pruebas con datos simulados

Para ilustrar mejor el procedimiento, se extrajeron 100 números aleatorios
para representar el { t} secuencia. Estableciendo y0 = 0, los siguientes 100
valores en {yt} secuencia se dibujaron como
 yt = 0,5 añost−1 +t + DL
donde DL = 0 para t = 1,…, 50 y DL = 1 para t = 51,…, 100
234 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

Por tanto, la simulación es idéntica a (4.38) excepto que la magnitud de la

ruptura estructural se reduce. Esta serie simulada se encuentra en el archivo de
datos etiquetado BREAK.XLS; debería intentar reproducir los siguientes
resultados. Si tuviera que graficar los datos, vería el mismo patrón que en la
Figura 4.10. Sin embargo, si no trazó los datos o no se dio cuenta de la ruptura,
podría concluir fácilmente que {yt} secuencia tenía una raíz unitaria. El ACF del
{yt} secuencia sugiere un proceso de raíz unitaria; por ejemplo, las primeras seis
autocorrelaciones son

1 2 3 4 5 6

Niveles 0,95 0,89 0,86 0,84 0,80 0,77

Primeras
diferencias −0,002 −0,211 −0,112 0.083 −0,007 −0,025

Dickey: rendimiento de
pruebas más completo
t-estadística para = 0: -
yt = −0,0233yt−1 +t 0,985
t-estadística para = 0: -
yt = 0.0661 - 0.0566yt−1 +t 1.706
t-estadística para = 0: -
yt = −0,0488 - 0,1522yt−1 + 0,004t +t 2.734
Las pruebas de diagnóstico indican que no se necesitan retrasos más largos.
Independientemente de la presencia de la constante o la tendencia, el {y t} secuencia
parece ser DS. Por supuesto, el problema es que la ruptura estructural sesga los
datos hacia sugerir una raíz unitaria.
Ahora, usando el procedimiento de Perron, el primer paso es estimar el
modelo

yt = 0.083 + 0.479yt −1 - 0,002t + 0,025DPAGS + 0.479DL + t

(1,30) (5,52) (−1,25) (0,076) (5,52)

En el siguiente paso, todas las estadísticas de diagnóstico indican que { t} se

aproxima a un proceso de ruido blanco. Finalmente, dado que el error estándar
de un1 es 0.0897, el estadístico t para un 1 = 1 es −6.01 (es decir, una 1 es
aproximadamente seis SD de la unidad). Dado que el valor crítico del 5% es
−3,76, podemos rechazar el nulo de una raíz unitaria y concluir que los datos
simulados están estacionarios alrededor de un punto de ruptura en t = 51.
Se debe tener cierto cuidado al utilizar el procedimiento de Perron, ya que
se supone que se conoce la fecha de la ruptura estructural. En su propio trabajo,
si la fecha de la ruptura es incierta, debería consultar Amsler y Lee (1995),
Perron (1997), Vogelsang y Perron (1998), Zivot y Andrews (1992), Enders y Lee
(2012), o Lee y Strazicich (2003). El número completo del Journal of Business
and Economic Statistics de julio de 1992 está dedicado a los puntos de corte y
las raíces unitarias. Una aplicación interesante se encuentra en Ben-David y
Papell (1995). Consideran un período largo (de hasta 130 años) de datos del PIB
para 16 países. Teniendo en cuenta las rupturas, rechazan el nulo de una raíz
unitaria en aproximadamente la mitad de los casos. El uso apropiado de las
pruebas de Perron (1989), Zivot y Andrews (1992) y Lee y Strazicich (2003) se
muestran en el Capítulo 6 del Manual de Programación.
 EL PODER Y LOS REGRESORES DETERMINISTAS 235

9. EL PODER Y LOS REGRESORES DETERMINISTAS

Las pruebas de raíces unitarias no son especialmente buenas para distinguir
entre una serie con una raíz característica cercana a la unidad y un
verdadero proceso de raíz unitaria. Parte del problema tiene que ver con la
potencia de la prueba y la presencia de regresores deterministas en las
ecuaciones de estimación.

Poder
Formalmente, la potencia de una prueba es igual a la probabilidad de rechazar una
hipótesis nula falsa (es decir, uno menos la probabilidad de un error de tipo II). Una
prueba con buena potencia rechazaría correctamente la hipótesis nula de una raíz unitaria
cuando la serie en cuestión es realmente estacionaria. Las simulaciones de Monte Carlo
han demostrado que la potencia de las diversas pruebas Dickey-Fuller puede ser muy
baja. Como tal, estas pruebas indicarán con demasiada frecuencia que una serie contiene
una raíz unitaria. El problema es que, en muestras finitas, cualquier proceso estacionario
de tendencia puede aproximarse arbitrariamente bien mediante un proceso de raíz
unitaria, y un proceso de raíz unitaria puede aproximarse arbitrariamente bien mediante un
proceso estacionario de tendencia. Para explicarlo, examine la serie de tasas de interés y
la serie de tasas de cambio que se muestran al comienzo del Capítulo 3. Si no conocía los
procesos reales de generación de datos, sería difícil saber cuáles, si es que hay alguno,
están estacionarios. De manera similar, es difícil para cualquier procedimiento estadístico
distinguir entre procesos de raíz unitaria y series que son altamente persistentes.
Es simple realizar un experimento de Monte Carlo que determina la potencia
de la prueba Dickey-Fuller. Para ser más específico, suponga que el verdadero
proceso de generación de datos para una serie es y t = a0 + un1yt−1 + t donde |
a1| <1. Si no conocía el proceso real de generación de datos, puede probar la
serie para una raíz unitaria usando una prueba Dickey-Fuller. La pregunta en
cuestión es ¿Con qué frecuencia la prueba Dickey-Fuller no detecta que la serie
es realmente estacionaria? Dado que los intervalos de confianza para los
estadísticos t de Dickey-Fuller superan los de la prueba t habitual, es de esperar
que la potencia de la prueba de Dickey-Fuller sea baja. Para encontrar la
respuesta exacta a la pregunta, podemos generar 10,000 series estacionarias y
aplicar una prueba de Dickey-Fuller a cada una. Entonces podemos calcular el
porcentaje de veces que la prueba identifica correctamente un proceso
verdaderamente estacionario.
La capacidad de la prueba para detectar adecuadamente que la serie está
estacionaria dependerá del valor de un 1. Esperaríamos que la prueba tenga la menor
potencia cuando | a1| está cerca de la unidad. Por tanto, tiene sentido examinar cómo la
magnitud de un1afecta el poder de la prueba. Primero construimos 100 observaciones de
la serie yt = a0 + un1yt−1 + t usando un valor de a1 = 0.8 y una { t} secuencia extraída de
una distribución normal estandarizada. La magnitud de un 0no es importante y, por lo
tanto, se establece igual a cero. El valor inicial de y 0 se establece igual a la media
incondicional de cero. A continuación, la serie simulada se estima en la forma y t = a0 +
yt−1 + t. Las estadísticas de Dickey-Fuller se utilizan para determinar si la hipótesis nula de
que = 0 puede rechazarse en los niveles de significancia del 10%, 5% y 1%. El
experimento se repite 10.000 veces y se registra la proporción de casos en los que la
hipótesis nula se rechaza correctamente. Finalmente,
236 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

todo el experimento se repite para otros valores de un 1. Considere la

siguiente tabla de proporciones:
un
10% 5% 1%
0,80 95,9 87,4 51,4
0,90 52,1 33,1 9.0
0,95 23,4 12,7 2.6
0,99 10,5 5.8 1.3

Cuando el verdadero valor de un1= 0,8, la prueba funciona razonablemente

bien. Por ejemplo, al nivel de significancia del 5%, la hipótesis nula falsa de
una raíz unitaria se rechaza en el 87,4% de las réplicas de Monte Carlo. Sin
embargo, cuando un1= 0,95, se estima que la probabilidad de rechazar
correctamente la hipótesis nula de una raíz unitaria es solo del 12,7% al
nivel de significancia del 5% y del 2,6% al nivel del 1%. Por lo tanto, la
prueba tiene una potencia muy baja para detectar series de raíces unitarias
cercanas.
¿Importa que a menudo sea imposible distinguir entre procesos estacionarios
limítrofes, estacionarios de tendencia y de raíz unitaria? La respuesta realista es que
depende de la pregunta en cuestión. En casos límite, los pronósticos a corto plazo de los
modelos alternativos pueden tener un desempeño de pronóstico casi idéntico. De hecho,
los estudios de Monte Carlo indican que cuando el verdadero proceso de generación de
datos es estacionario pero tiene una raíz cercana a la unidad, los pronósticos de un paso
adelante de un modelo diferenciado suelen ser superiores a los pronósticos de un modelo
estacionario. Sin embargo, los pronósticos a largo plazo de un modelo con tendencia
determinista serán bastante diferentes de los de otros modelos.

Determinación de los regresores deterministas

A menos que el investigador conozca el proceso real de generación de datos, existe
la duda de si es más apropiado estimar (4.20), (4.21) o (4.22). Puede parecer
razonable probar la hipótesis = 0 utilizando el modelo más general:
pags
∑
y
yt = a0 + yt−1 + un2t + yo t−i + 1 +t
yo= 2

Después de todo, si el verdadero proceso es un proceso de paseo aleatorio,

esta regresión debería encontrar que un0 = = a2= 0. Un problema con esta línea de
razonamiento es que la presencia de los parámetros estimados adicionales reduce
los grados de libertad y la potencia de la prueba. Poder reducido significa que el
investigador no podrá rechazar el valor nulo de una raíz unitaria cuando, de hecho,
no hay raíz unitaria. El segundo problema es que el estadístico apropiado (es decir,,
y) para probar = 0 depende de qué regresores se incluyen en el modelo. Como
puede ver al examinar las tres tablas Dickey-Fuller, para un nivel de significancia
dado, los intervalos de confianza alrededor de = 0 se expanden dramáticamente si se
incluyen una desviación y una tendencia temporal en el modelo. Esto es bastante
diferente del caso en el que {y t} está estacionario. Cuando Yt} es estacionario, la
distribución del estadístico t no depende de la presencia de otros regresores.
 EL PODER Y LOS REGRESORES DETERMINISTAS 237

El punto es que es importante utilizar una ecuación de regresión que imite el

proceso real de generación de datos. La omisión inapropiada de la intersección
o la tendencia temporal puede hacer que la potencia de la prueba llegue a cero.
Por ejemplo, si como, en (4.44), el proceso de generación de datos incluye una
tendencia, omitiendo el término a2timparte un sesgo al alza en el valor estimado
de. Por otro lado, los regresores adicionales aumentan los valores críticos para
que no pueda rechazar el nulo de una raíz unitaria.
Campbell y Perron (1991) informan los siguientes resultados sobre las pruebas de
raíz unitaria:
1. Si la regresión estimada incluye regresores deterministas que no están
en el proceso real de generación de datos, el poder de la prueba de raíz unitaria
contra una alternativa estacionaria disminuye a medida que se agregan
regresores deterministas adicionales. Por lo tanto, no desea incluir regresores
que no estén en el proceso de generación de datos.
2. Si la regresión estimada omite una importante variable de tendencia
determinista presente en el verdadero proceso de generación de datos, como la
expresión a2t en
(4.44): la potencia de la prueba del estadístico t llega a cero a medida
que aumenta el tamaño de la muestra. Si la regresión estimada omite
una variable sin tendencia (como un intercepto), el estadístico t es
consistente, pero la potencia de la muestra finita se ve afectada
adversamente y disminuye a medida que aumenta la magnitud del
coeficiente en el componente omitido. Por lo tanto, no desea omitir los
regresores que se encuentran en el proceso de generación de datos.
La implicación directa de estos hallazgos es que el investigador puede fallar en
rechazar la hipótesis nula de una raíz unitaria debido a una especificación incorrecta
con respecto a la parte determinista de la regresión. Demasiados o muy pocos
regresores pueden causar una falla en la prueba para rechazar el nulo de una raíz
unitaria. ¿Cómo sabe si debe incluir una deriva o una tendencia temporal al realizar
las pruebas? El problema clave es que las pruebas para raíces unitarias están
condicionadas a la presencia de regresores deterministas y las pruebas para la
presencia de regresores deterministas están condicionadas a la presencia de una
raíz unitaria. Aunque nunca podemos estar seguros de que estamos incluyendo los
regresores deterministas apropiados en nuestro modelo econométrico, existen
algunas pautas útiles.
1. Trace siempre sus datos. La inspección visual puede ayudarlo a
determinar si existe una tendencia clara en los datos.
2. Sea claro acerca de la hipótesis nula apropiada y la hipótesis alternativa. Cuando
realice una prueba de Dickey-Fuller, siempre estime el modelo bajo la hipótesis alternativa
e imponga la restricción implícita en la hipótesis nula. Dado que la hipótesis nula es que la
serie tiene una raíz unitaria, siempre estime la serie como si fuera estacionaria o TS. Por
ejemplo, la serie del PIB real que se muestra en la Figura 4.1 se mueve decididamente
hacia arriba con el tiempo. El problema es si la serie tiene una tendencia estacionaria o
contiene una raíz unitaria más una
término de deriva. Como tal, el modelo apropiado para estimar tiene la
forma yt = a0 + yt−1 + un2t + Σyo yt−i +t. Luego prueba las restricciones
= 0 y / o = a2 = 0. No es necesario estimar un modelo sin un2t ya que
la hipótesis alternativa no está representada en tal especificación.
238 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

3. No desea rechazar la hipótesis nula cuando la serie en realidad tiene una

raíz unitaria (un error de Tipo I) o aceptar incorrectamente el nulo de una raíz unitaria
cuando la serie es estacionaria o TS (un error de Tipo II). Sin embargo, cualquier
prueba conlleva la posibilidad de cometer tales errores. Como tal, no desea realizar
pruebas innecesarias. En el ejemplo del PIB real, no tiene mucho sentido probar la
restricción a0 = = a2 = 0 dado que el PIB real aumenta claramente con el tiempo.
4. Probar una restricción en un modelo que ya ha sido restringido crea la
posibilidad de agravar sus errores. Suponga que una prueba de presencia
La tendencia del tiempo le permite establecer un2 = 0. Una prueba
posterior de la restricción a0 = = 0 en el modelo yt = a0 + yt−1 + Σyo
yt −i +t depende de si la primera prueba fue correcta al permitirle
excluir la tendencia determinista.
En un momento, los investigadores aplicaban una batería de pruebas sobre los
valores de un0 y / o un2cuando la forma de los regresores deterministas era
completamente desconocida. Un procedimiento estándar se analiza en la Sección
4.4 del Manual complementario y en el Capítulo 6 del Manual de programación.
Ahora, cuando la energía parece ser un problema, es típico usar variantes de la
prueba Dickey-Fuller que tienen una potencia mejorada.

10. PRUEBAS CON MÁS POTENCIA

Si examina la regresión básica utilizada en la prueba de Dickey-Fuller, y t =
a0 + yt−1 + un2t +t, verá que hay dos tipos diferentes de regresores. La
intersección y la tendencia temporal son puramente deterministas mientras
que yt−1es un proceso de raíz unitaria bajo la hipótesis nula. Observe que
los coeficientes de las expresiones deterministas, un 0 y un2, juegan papeles
muy diferentes bajo las hipótesis nula y alternativa. Si cambiamos los
números y símbolos de la ecuación para que coincidan con los utilizados en
el texto, Phillips y Schmidt (1992, p. 258) hacen la siguiente observación
sobre los parámetros en las regresiones de Dickey-Fuller
"... el parámetro a0 representa la tendencia cuando = 0 (ya que la
solución para yt, luego incluye el término de tendencia determinista a 0t),
pero determina el nivel cuando <0 (desde yt entonces está estacionario
alrededor del nivel −a0∕). De manera similar, [en la ecuación (4.44)],
cuando = 0, el parámetro a 0 representa tendencia y un2 representa una
tendencia cuadrática, mientras que bajo la alternativa 0 determina el nivel
y un2determina la tendencia. Esta confusión sobre los significados de los
parámetros se muestra en las propiedades de las pruebas Dickey-Fuller
".

El problema esencial es que la intersección y la pendiente de la tendencia a menudo

se estiman mal en presencia de una raíz unitaria. En cierto sentido, el principio de
mínimos cuadrados es incapaz de separar adecuadamente los movimientos de y ten los
inducidos por la tendencia determinista y los inducidos por la tendencia estocástica.
Incluso en la circunstancia en la que {y t} es estacionario, la intersección y la tendencia se
pueden estimar mal si el {y t} la serie es bastante persistente. Por supuesto, si las
estimaciones de un0 y un2tiene un error sustancial, la estimación de también tendrá un
error estándar grande. Puede ver este efecto comparando los valores críticos de Dickey-
Fuller para, y con los de una tabla t estándar. El demasiado
 PRUEBAS CON MÁS POTENCIA
239

intervalo de confianza amplio para significa que es menos probable que

rechace la hipótesis nula de una raíz unitaria incluso cuando el valor
verdadero de no es cero.
Varios autores han ideado métodos inteligentes para mejorar las
estimaciones de los coeficientes de intersección y tendencia. Por ejemplo,
Schmidt y Phillips (1992) propusieron un procedimiento de prueba de dos pasos
que tiene mejor poder que la prueba de Dickey-Fuller. Aunque llaman a su
prueba una prueba de multiplicador de Lagrange (LM), el método es bastante
simple. En lugar de la especificación Dickey-Fuller, bajo la hipótesis nula, la {y t}
secuencia es una caminata aleatoria más una deriva de modo que:
∑t−1
yt = a0 + un2t + t−i
yo= 0

o
yt = a2 +t
La idea es estimar el coeficiente de tendencia, un 2, usando la regresión yt = a2 + t.
Como tal, la presencia de la tendencia estocástica Σ yo no interfiere con la estimación de
un2. La estimación resultante de un 2 (llamado a2) es una estimación de la pendiente de la
dt
tendencia temporal. Utilice esta estimación para formar la serie sin tendencia como y =
yt - (y1 - â2) - â2t, donde y1 es el valor inicial de {yt} serie. Tenga en cuenta que (y1 - â2)
actúa como la intersección de la línea de tendencia estimada y â 2actúa como pendiente.
El uso de (y1 - â2) en el detrending
re
procedimiento asegura que el valor inicial de la serie sin tendencia (es decir, y ) es cero. En el
1

segundo paso del procedimiento, se estima una variante de la prueba de Dickey-

Fuller utilizando
la serie sin tendencia en lugar del nivel de yt−1

yt = a0 + ytd−1 +t
o, si hay alguna correlación serial en los residuos, estime
∑
pags
re re
yt = a0 + y t−1
+ cyo y t−i
+t
yo= 1

El nulo de una raíz unitaria puede rechazarse si se encuentra que ≠ 0. El

punto es que Schmidt y Phillips (1992) muestran que es preferible estimar los
parámetros de la tendencia utilizando un modelo sin la variable persistente y t−1.
Una vez que la tendencia se estima de manera eficiente, es posible eliminar la
tendencia de los datos y realizar la prueba de raíz unitaria en los datos sin
tendencia. Algunos de los valores críticos para la prueba son

Valores críticos de Schmidt−Prueba de raíz unitaria de Phillips

T 1% 2,5% 5% 10%
50 −3,73 −3,39 −3,11 −2,80
100 −3,63 −3,32 −3,06 −2,77
200 −3,61 −3,30 −3,04 −2,76
500 −3,59 −3,29 −3,04 −2,76
240 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

Elliott, Rothenberg y Stock (1996) muestran que es posible mejorar aún

más la potencia de la prueba estimando el modelo usando algo cercano a
las primeras diferencias. La idea es que, bajo la hipótesis alternativa de que
la serie es estacionaria, el modelo de Schmidt-Phillips en las primeras
diferencias está mal especificado. Por lo tanto, considere el modelo TS:
yt = a0 + un2t + B (L)t
En lugar de crear la primera diferencia de y t, Elliott, Rothenberg y Stock (ERS)
preseleccionan una constante cercana a la unidad, digamos, y restan y t−1 desde yt
para obtener
̃Yt = a0 + un2t - un0 - un2(t - 1) + et,
para t = 2,…, T
donde ̃yt = yt - yt−1 y etes un término de error estacionario. Para t = 1, tal
diferenciación cercana no es posible y el valor inicial ̃y 1 se establece igual
ay1. Para simplificar, recopile términos con un0 y un2 para obtener
̃Yt = (1 - )un0 + un2[(1 -) t+ )] + et
Ahora, debe quedar claro cómo obtener estimaciones de un 0 y
un2utilizando OLS. Crea la variable z1 t igual a la constante (1 -) y la variable
z2tigual a la tendencia determinista + (1 -) t. Para obtener las estimaciones
deseadas de un0 y un2, simplemente retroceda z1t y z2t en ̃yt. En otras
palabras, use OLS para estimar:
̃Yt = a0z1t + un2z2t + et
Tenga en cuenta que la prueba está condicionada al valor inicial de {y t} serie en
ese año1 = a0 + un2 +1. Como tal, los valores iniciales de z1 t y z2t debe establecerse
igual a la unidad y el valor inicial de ̃y t debe establecerse igual ay1 (es decir,
establezca z11 = 1, z21 = 1 y ̃y1 = y1). Dado que el objetivo es obtener los valores
estimados de un0 y un2, en este paso, no es especialmente importante si el residuo,
et, está correlacionado en serie. El punto importante es que las estimaciones de0 y
un2 se puede utilizar para reducir la tendencia de {yt} serie como
dt
y = yt - â0 - â2t
En el segundo paso del procedimiento, estime la regresión Dickey-Fuller
básica utilizando los datos sin tendencia. Por lo tanto, estime la ecuación de
dt dt regresión:
y = y −1
∑pags yo=
+
1
Elliott, Rothenberg y Stock (1996) recomiendan seleccionar la longitud de rezago p
utilizando el SBC. Como en la prueba de Schmidt-Phillips, el nulo de una raíz unitaria se
puede rechazar si se encuentra ≠ 0. Los valores críticos de la prueba dependen de si se
incluye una tendencia en la prueba. Si hay una intersección pero no una tendencia, los
valores críticos son precisamente los de
 dt dt
y = y −1 +t
Si existe una correlación serial en los residuos, la forma aumentada de
la prueba se puede estimar como
dt
Cyo y −i +t
 PRUEBAS CON MÁS POTENCIA
241

la prueba de Dickey-Fuller informada en la parte superior de la Tabla A. En esencia,

utiliza los valores críticos de Dickey-Fuller como si no hubiera interceptación en el
proceso de generación de datos. Si hay una tendencia, los valores críticos dependen
del valor de seleccionado para realizar la variable “casi diferenciada” ŷ t. ERS informa
que el valor de eso parece proporcionar la mejor potencia general es = (1 - 7 ∕ T) para
el caso de una intersección y = (1 - 13.5 ∕ T) si hay una intersección y una tendencia.
La siguiente tabla informa los valores críticos para el caso de una tendencia y = 1 -
13,5 ∕ T. Observe que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra T, se acerca a
la unidad de modo que ŷt es aproximadamente igual ayt. En la literatura, la prueba
ERS a menudo se denomina prueba de mínimos cuadrados generalizados Dickey-
5
Fuller (DF-GLS).

Valores críticos de la prueba ERS con tendencia y = 1 - . ∕T

T 1% 2,5% 5% 10%
50 −3,77 −3,46 −3,19 −2,89
100 −3,58 −3,29 −3,03 −2,74
200 −3,46 −3,18 −2,93 −2,64
∞ −3,48 −3,15 −2,89 −2,57

Un aspecto de la prueba ERS que algunos investigadores pueden encontrar

objetable es la suposición de que el valor inicial ̃y 1 se establece igual ay1. Esto
equivale a suponer que el valor inicial del término de error es igual a cero. Un
supuesto alternativo es que el valor inicial del choque se extrae de su distribución
incondicional. Tenga en cuenta que relajar la suposición relativa a la condición inicial
actúa para reducir la potencia de esta versión de la prueba. En esta circunstancia, el
2 0,5 2 0,5 2 0,5 6
primer valor de ̃y1 se establece igual ay1(1 - ) , z11 = (1 - ) y z21 = (1 - ) . Por
lo tanto, en lugar de condicionar la magnitud de y1, condiciona el número de SD
desde cero. Tenga en cuenta que Elliott (1999) recomienda utilizar = (1 - 10 ∕ T)
independientemente de si se incluye o no una tendencia en la regresión. Los valores
críticos para esta prueba son diferentes a los reportados anteriormente. Los valores
críticos asintóticos para regresiones con un intercepto y un intercepto más tendencia
son los siguientes:

1% 2,5% 5% 10%
Interceptar −3,28 −2,98 −2,73 −2,46
Tendencia −3,71 −3,41 −3,17 −2,91

Un ejemplo
Para ilustrar el uso apropiado del procedimiento, el archivo etiquetado
ERSTEST.XLS contiene 200 observaciones generadas a partir de la ecuación: y t = 1
+ 0,95 añost−1 + 0.01t + t. Aunque la serie es claramente tendencialmente
estacionaria, el objetivo de este ejercicio es ilustrar el uso apropiado de la prueba
ERS y comparar los resultados.
242 CAPÍTULO 4 MODELOS CON TENDENCIA

a los de una prueba Dickey-Fuller. Si examina el archivo, verá que las

primeras cinco filas están

t y y_tilde z1 z2 yarda
1 20.03339 20.03339 1,0000 1,0000 0.036376
2 21.85126 3.170125 0.0675 1.0675 1.692188
3 22.01347 1.637169 0.0675 1,1350 1.692338
4 22.08649 1.558934 0.0675 1.2025 1,603304
5 22.17255 1.576890 0.0675 1.2700 1.527297

La serie de la columna 2, llamada 200 realizaciones que

y, contiene la representan
En serie. Dado que los contener tende
y
g los t datos un ncia, el valor apropiado de
utili 1 - 13,5 ∕ 200 =
a zar es 0,9325. Esta valor de se utilizó para construir el
próxima como yt - 0,9325
serie (y_tilde) añost−1. por ejemplo, ̃y1 = y1, ̃Y2 = y2 - y1 =
Ya
21,85126 - 0,9325 (20,03339) = 3,170125 y ̃Y3 = y3 - y2 = 1,637169. que
= 0,0675. Del mismo modo, z2t = 0.9325 +
= 0,9325, z12 = z13 = · · · = 1 - 0.0675t entonces
ese z21 = 1,0000, z22 = 1.0675, z23= 1,1350,…. La regresión de ̃yt en z1t y
rendim
z2t ientos
̃Yt = 19,835∗ z1t + 0.162∗ z2t
Estas estimaciones de un0 y un2 se utilizan para construir la serie
dt
sin tendencia como y = yt - 19,835 - 0,162t
Esta serie se informa en la última columna de ERSTEST.XLS. Antes de
continuar, es interesante considerar la solución particular para el esqueleto de yt = 1
+ 0,95 añost−1 + 0.01t + t. A partir de su conocimiento del Capítulo 1 (vea también la
pregunta 7 del Capítulo 2), no debería tener problemas para verificar que la solución
deseada es 16.2 + 0.2t. La ecuación de tendencia estimada, 19.835 + 0.162t, está
razonablemente cerca de la solución particular.
Ahora que ytse ha eliminado la tendencia, es sencillo realizar la prueba
de raíz unitaria. Si usa los datos en la hoja de cálculo, debe encontrar
dt dt
y = −0,0975y −1
(−3,154)
Los valores críticos de 2,5% y 5% para la prueba son −3,15 y −2,89,
respectivamente. Como tal, la hipótesis nula de una raíz unitaria se rechaza claramente al
nivel del 5% y apenas se rechaza al nivel del 2,5%. Encontrará que aumentar esta
regresión con rezagado
dt
valores de y −i solo actúa para aumentar el valor del SBC. Puedes realizar
Elliott's
(1999) de la prueba de la misma manera, excepto que establezca = 1 - 10∕200 =
2 0,5 2 0. 5 2 0,5
0.95, y1(1 - ) = 6.255, z11 = (1 - ) = 0.3122 y z21 = (1 - ) = 0,3122. Por lo
tanto, suponiendo que el valor inicial de la serie se extrae de su incondicional
es decir, debe obtener el estadístico t −3,147. La hipótesis nula de una raíz unitaria no se
rechaza (aunque está muy cerca de ser rechazada) utilizando el valor crítico del 5% de
−3,17.
Los resultados de la prueba de Elliott (1999) son muy similares al resultado de la
prueba de Schmidt-Phillips. Para realizar la prueba LM de Schmidt-Phillips, primero
debe realizar una regresión yt en una constante y obtener: y t= 0,1713. Desde y1 =
20.03339, destrendiste
 PRUEBAS DE RAÍCES DE UNIDAD
DE PANEL 243
dt
ellost serie usando y = 20.03339 - (20.03339 - 0.1713) - 0.1713t. Ahora, debería
dt
poder reproducir la ecuación de regresión yt = 0.0691 - 0.0903y . Dado que el
dt
estadístico t para el coeficiente en y es −3.052, la hipótesis nula de una raíz unitaria
simplemente se rechaza al nivel de significancia del 5%. Se obtienen resultados muy
diferentes cuando se realiza una prueba Dickey-Fuller estándar. Considere el modelo
estimado:
yt = 2.0809 + 0.0158t - 0.0979yt−1 +t
(3.265) (3.106) (−3,124)

El valor estimado de es −0,0979 y el estadístico t para la hipótesis nula ̂

= 0 es −3,124. De la Tabla A, los valores críticos de la estadística en los
niveles de significancia del 5% y el 10% son aproximadamente −3,45 y
−3,15, respectivamente. Por lo tanto, si usamos la prueba de Dickey-Fuller,
la hipótesis nula de una raíz unitaria no puede rechazarse a niveles de
significancia convencionales.
La Sección 9 informó los resultados de un estudio simple de Monte Carlo
sobre la potencia de la prueba estándar Dickey-Fuller para el proceso: y t =
a0 + un1yt−1 + t. Ahora, si usamos la prueba ERS, las proporciones (de
10,000 réplicas) en las que la hipótesis nula de una raíz unitaria fue
correctamente rechazada son
un
10% 5% 1%
0,80 99,8 99,1 86,6
0,90 93,9 79,0 33,4
0,95 64,3 39,8 10.0
0,99 23,3 11,1 2.3

Aunque estos resultados son muy superiores a los de la prueba Dickey-

Fuller, la potencia de la prueba para valores grandes de un 1 sigue siendo
decepcionante.
La sección 6.3 del Manual de programación utiliza DGP de EE. UU. Real
para ilustrar el uso apropiado de la prueba.

11. PRUEBAS DE RAÍCES EN UNIDADES DE PANEL

La sección 6 presentó algunas pruebas sólidas de que las tres series de tipos de
cambio reales que se muestran en el gráfico 4.7 son procesos de raíz unitaria. Por
supuesto, es posible que las series tengan una reversión media, pero las pruebas de
Dickey-Fuller tienen poco poder para detectar el hecho de que las series son
estacionarias. Una forma de obtener una prueba más poderosa es combinar las
estimaciones de varias series separadas y luego probar el valor combinado. La teoría
subyacente a la prueba es muy simple: si tiene n estimaciones independientes e
insesgadas de un parámetro, la media de las estimaciones también es insesgada.
Más importante aún, mientras las estimaciones sean independientes, la teoría del
límite central sugiere que la media muestral se distribuirá normalmente alrededor de
la media verdadera.
 Im, Pesaran y Shin (2002) muestran cómo usar este resultado para construir una
prueba para una raíz unitaria cuando tiene varias variables de series de tiempo similares
(es decir, un panel). El único factor de complicación es que las estimaciones de MCO para
en la prueba de Dickey-Fuller están sesgadas a la baja. Suponga que tiene n series, cada
una de las cuales contiene T observaciones. Para cada
 MODELOS CON
244 CAPÍTULO 4 TENDENCIA
serie, realice una prueba ADF de la
forma
pagsy
o

y
∑

e = ayo0 + yoyeso−1 +
y +
so unyo2t + ij eso−j eso yo = 1,…, n (4,45)
j= 1

Debido a que las longitudes de retardo pueden diferir entre ecuaciones, debe realizar
pruebas de longitud de retardo por separado para cada ecuación. Además, puede optar
por excluir la tendencia temporal determinante. Sin embargo, si la tendencia se incluye en
una ecuación, debería incluirse en todas. Una vez que haya estimado los distintos yo,
obtenga el estadístico t para la hipótesis nula yo = 0. En una prueba tradicional de Dickey-
Fuller, cada uno de estos estadísticos t, denotados por tyo —Se compararía con el valor
crítico apropiado informado en la Tabla A. Sin embargo, para la prueba de raíz unitaria de
panel, forme la media muestral de los estadísticos t como
norte
∑

t = (1 ∕ n) tyo
yo= 1

Es sencillo construir el estadístico Zt como

√

norte[t - E (t)]

donde Et y var (t) denotan la media teórica y la varianza de t. Si las estimaciones de

MCO del individuo tyofueran insesgados, el valor de Et sería cero. Sin embargo, para
corregir el sesgo, los valores Et y var (t) pueden calcularse mediante simulación de
Monte Carlo. Im, Pesaran y Shin (IPS) informan estos valores de la siguiente
manera:

T 6 8 10 15 20 50 100 500
Et −1,52 −1,50 −1,50 −1,51 −1,52 −1,53 −1,53 −1,53 var (t) 1,75
1,23 1,07 0,92 0,85 0,76 0,74 0,72

Im, Pesaran y Shin muestran que Zttiene una distribución normal estandarizada
asintótica. Por tanto, para T y n grandes, puede aproximar Ztcon una distribución
normal. Este hecho no debería sorprender demasiado. Si cada uno de los valores
estimados de los distintos tyoson independientes, el teorema del límite central indica
que la desviación del promedio muestral de la media verdadera tendrá una
distribución normal. Rechazando la hipótesis nula Zt = 0 es equivalente a aceptar la
hipótesis alternativa de que al menos un valor de layodifiere de cero. Después de
todo, si el promedio muestral de las estadísticas t es significativamente diferente de
cero, al menos uno de los valores deyo es estadísticamente diferente de cero.
La prueba de que Zttiene una distribución normal se basa en muestras muy grandes.
Para los tamaños de muestra que suelen utilizar los econometristas aplicados, es
preferible utilizar los valores críticos contenidos en la Tabla 4.7. Observe que los valores
críticos dependen de n, T y de si se incluye una tendencia temporal en (4.45). Por
ejemplo, si tiene siete series que contienen cada una 50 observaciones e incluye una
tendencia temporal en (4.45), el valor crítico del 5% para t es −2.67. Si ha utilizado la
prueba de Dickey-Fuller, el valor crítico correspondiente para cada uno de los siete
valores de tyosería −3,50 (consulte la Tabla A). Tenga en cuenta que es necesario tener
valores de T y n, que sean mayores que cuatro. Los valores grandes de T son estándar