3.3 Restricciones de liquidez, seguridad social y bienestar.

En este problema estudiaremos cómo

las restricciones de liquidez y la existencia de sistemas de seguridad social afectan el bienestar de
los individuos. Para ello, supondremos una economía compuesta por tres clases de individuos:
jóvenes, desde el nacimiento hasta los 20 años; adultos, desde los 21 hasta los 60, y viejos, desde
los 61 hasta los 70, edad a la cual mueren. Cada año nace un nuevo joven y muere un viejo. Los
individuos reciben anualmente ingresos iguales a Y A cuando son adultos, mientras que cuando
1 1
son jóvenes reciben Y J = Y A al año, y en la vejez su ingreso es igual a Y V = Y A anuales.
4 5
La función de utilidad de los habitantes de esta economía viene dada por:

70
U =∑ log Ct
t=1

Donde C trepresenta el consumo en cada período. Considere para todo el problema que r = ρ = 0 (
ρ es la tasa de descuento).

a.) Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de
optimización que afronta el individuo, incorporando la restricción presupuestaria (esta última no
es necesario deducirla) y obtenga el consumo óptimoC tpara cada período. Derive expresiones
para el ahorro St a lo largo de la vida del individuo y para el ahorro agregado St .
b.) Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de
forma tal que no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimización que enfrenta el
individuo en este caso y calcule la trayectoria ´optima del consumo C tel ahorro St y el ahorro
agregado de la economía St . ¿Cómo se compara con el calculado en la parte a.)?
c.) Calcule la utilidad de los individuos en los casos a.) y b.). ¿En qué caso es mayor la utilidad?
Explique su resultado.
d.) Discuta qué sucede con el ahorro agregado en caso que la población crezca a una tasa de n%
anual cuando no hay restricción de liquidez y cuando sí la hay. ¿Están mejor los individuos
cuando la economía tiene mayor capacidad de ahorro?
e.) Suponga ahora que los individuos no tienen restricciones de liquidez, pero se ven forzados a
1
pagar un impuesto de suma alzada τ = Y A durante su juventud y adultez que se les devuelve
6
íntegramente en forma de transferencia al llegar a la vejez. Calcule nuevamente las trayectorias
de ahorro y consumo. ¿Tiene algún efecto sobre la conducta del individuo este mecanismo de
seguridad social? ¿En qué casos se podría justificar la existencia de mecanismos de seguridad
social?

SOLUCIÓN:
 a) El individuo enfrenta distintos ingresos a lo largo de su vida:
 primeros veinte años:
1 1
YA = Y
4 4 Por facilidad de cálculo
se asumirá que Y A =Y
 los siguientes cuarenta años enfrenta:
Y A =Y
 Los últimos diez años de su vida:
1 1
Y A= Y
5 5

Se gasta todo su ingreso en consumo, por lo que tenemos que la restricción de consumo se
puede plantear para sus 70 años de la siguiente forma:
70
20∗1 10∗1
Y + 40∗Y + Y =∑ Ct
4 5 t=1

70
47 Y =∑ C t
t=1
Según los datos del problema se tiene como función de utilidad:
70
U =∑ log Ct
t=1

Entonces para obtener el consumo óptimo se calculará mediante Lagrange, donde se

maximizará la función utilidad, de ello:
70 70
L : ∑ log Ct −λ (∑ Ct −47Y )
t =1 t=1
∇ L=0
Entonces:
70 70
L : ∑ log Ct + λ( 47 Y −∑ C t )
t =1 t =1

∂L 1 Indica que para

= −λ=0 C t=C i
∂C t C t cualquier periodo
∂L 1 tendrá el mismo valor
= −λ=0
∂C i Ci
70
∂L
=47 Y −∑ C t =0 … (I)
∂λ t =1

De (I):
 70
47 Y =∑ C t
t=1
47 Y =70 Ct
47
Ć t= Y
70

Calculando el ahorro para cada periodo:

Y 47
 Ahorro para el periodo de juventud, donde Y t = y Ć t= Y :
4 70

SJ =Y t −Ćt
Y 47
SJ = − Y
4 70
−59
SJ = Y
140

47
 Ahorro para el periodo de adultez, donde Y t =Y y Ć t= Y:
70
S A =Y t −Ćt
47
S A =Y − Y
70
23
SA= Y
70

Y 47
 Ahorro para el periodo de vejez, donde Y t = y Ć t= Y :
5 70
SV =Y t −Ćt
Y 47
SV = − Y
5 70
−33
SV = Y
70

 Por tanto, el ahorro agregado será:

−59 23 33
St = ∗( 20 )∗Y + ∗ ( 40 )∗Y − ∗( 10 )∗Y
140 70 70
St =0

b) Dado que los individuos no pueden endeudarse en su juventud, el consumo durante

ese período de la vida será igual al ingreso que reciban en cada momento t. Por
tanto, se plantea la misma lógica que la parte a) solo que no se considera el
 consumo que podría generar en el periodo de juventud y se parte de un t=21
obteniendo:
70
10∗1
40∗Y + Y =∑ Ct
5 t =21
70
42 Y = ∑ Ct
t=21

Según los datos del problema se tiene como función de utilidad:

70
U = ∑ log Ct
t=21

Entonces para obtener el consumo óptimo se calculará mediante Lagrange, donde se

maximizará la función utilidad, de ello:
70 70
L : ∑ log Ct −λ ( ∑ Ct −42Y )
t=21 t=21
∇ L=0
Entonces:
70 70
L : ∑ log Ct + λ( 42Y − ∑ C t)
t=21 t=21

∂L 1
 = −λ=0
∂C t C t
∂L 1
 = −λ=0
∂C i Ci
70
∂L
 =42Y − ∑ C t=0
∂λ t=21

De lo anterior se obtiene:
C t=C i
70
42 Y = ∑ Ct
t=21
42 Y =50C t
42
Ć t= Y
50
Calculando el ahorro para cada periodo:

 Ahorro para el periodo de juventud: No genera.

42
 Ahorro para el periodo de adultez, donde Y t =Y y Ć t= Y:
50
S A =Y A −Ćt
 42
S A =Y − Y
50
8
SA= Y
50
4
SA= Y
25

Y 42
 Ahorro para el periodo de vejez, donde Y t = y Ć t= Y :
5 50
SV =Y V − Ćt
Y 42
SV = − Y
5 50
−32
SV = Y
50
−16
SV = Y
25

 Por tanto, el ahorro agregado será:

4 16
St =0+ ∗( 40 )∗Y − ∗( 10 )∗Y
25 25
St =0

NOTA: El ahorro agregado se mantiene en cero, pero ahora el ahorro en la adultez es

menor que en el caso en que no tenía restricciones crediticias durante la juventud. Esto
ocurre, ya
que no puede suavizar consumo durante su juventud.

c) En el primer caso (a), la utilidad queda definida de la forma:

70
47 Y
U 1=∑ log Ćt =70 log ⁡( )
t =1 70
En el segundo caso (b), la utilidad queda definida de la forma:
20 70
U 2=∑ log CJ + ¿ ∑ log Ćt ¿
t =1 t =21
Y 21Y
U 2=20∗log ⁡( )+50∗log ⁡( )
4 25

Donde: U 1 >U 2
El primer caso entrega una mayor utilidad. Esto ocurre debido a que en el segundo
caso, el individuo enfrenta a una restricción intertemporal más acotada, el no tener
posibilidades de endeudamiento en su juventud. Esto lo limita al nivel de consumo
que él quisiera conseguir para ese período de su vida, ya que es mayor a lo que puede
acceder con el ingreso que recibe en ese momento.
d) Hasta el momento, la población no crecía (nacía un niño, a las par moría un
anciano). Ahora, el crecimiento es distinto de cero y positivo. Eso quiere decir
que de un año a otro, el endeudamiento va a crecer en un n%, por lo que el
ahorro agregado va a ser negativo. Esto no ocurre con restricciones crediticias,
ya que los jóvenes no se podrían endeudar. De todas maneras, individualmente
ocurre que las personas están mejor sin las restricciones crediticias, ya que
pueden alcanzar un mayor nivel de utilidad.
e) Reconstruyendo la restricción presupuestaria para este caso, tenemos que:
 Para el período de juventud, el ingreso será:
Y/4 − Y/6 = Y/12.
 Para la adultez, tenemos:
Y − Y/6 = 5Y/6.
 Para el período de la vejez:
Y/5 + impuestos devueltos
Donde: Impuestos devueltos = 60 · Y/6 = 10Y
Por lo tanto, la restricción intertemporal del individuo queda descrita como:

70
Y 5Y Y
∗( 20 ) + ∗( 40 ) + ∗( 10 ) + Impuestosdevueltos=∑ Ćt
12 6 5 t =1
70
Y 5Y Y
∗( 20 ) + ∗( 40 ) + ∗( 10 ) +10Y =∑ Ć t
12 6 5 t=1

47 Y =70 Ćt
47
Ć t= Y
70
El valor de Ć tes el mismo del obtenido en el apartado (a), entonces los valores de los
ahorros por periodos serán obtenidos mediante el mismo procedimiento seguido en (a),
entonces:

Y 47
 Ahorro para el periodo de juventud, donde Y t = y Ć t= Y :
12 70

SJ =Y t −Ćt
Y 47
SJ = − Y
12 70
 −247
SJ = Y
420

47
 Ahorro para el periodo de adultez, donde Y t =5 Y /6y Ć t= Y:
70
S A =Y t −Ćt
5 Y 47
SA= − Y
6 70
17
SA= Y
105
Y 47
 Ahorro para el periodo de vejez, donde Y t = y Ć t= Y :
5 70
SV =Y t −Ćt
Y 47
SV = − Y
5 70
−33
SV = Y
70

 Por tanto, el ahorro agregado será:

−247 17 33
St = ∗( 20 )∗Y + ∗( 40 )∗Y − Y ∗10+10 Y
420 105 70
St =0
Se puede observar que el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones óptimas
de consumo del individuo.
Este mecanismo de seguridad social puede servir para una sociedad con muchos
individuos poco previsores, que no ahorran para el futuro y se inclinan fuertemente por
el consumo actual.
EJERCICIO:

En este problema estudiaremos cómo las restricciones de liquidez y la existencia de sistemas de

seguridad social afectan el bienestar de los individuos. Para ello, supondremos una economía
compuesta por tres clases de individuos: jóvenes, desde el nacimiento hasta los 18 años; adultos,
desde los 19 hasta los 55, y viejos, desde los 56 hasta los 70, edad a la cual mueren. Cada año
nace un nuevo joven y muere un viejo. Los individuos reciben anualmente ingresos iguales a Y A
1
cuando son adultos, mientras que cuando son jóvenes reciben Y J = Y al año, y en la vejez su
5 A
1
ingreso es igual a Y V = Y anuales.
6 A
La función de utilidad de los habitantes de esta economía viene dada por:

70
U =∑ log Ct
t=1

Donde C trepresenta el consumo en cada período. Considere para todo el problema que r = ρ = 0 (
ρ es la tasa de descuento).

a.) Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de
optimización que afronta el individuo, incorporando la restricción presupuestaria (esta última no
es necesario deducirla) y obtenga el consumo óptimoC tpara cada período. Derive expresiones
para el ahorro St a lo largo de la vida del individuo y para el ahorro agregado St .
b.) Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de
forma tal que no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimización que enfrenta el
individuo en este caso y calcule la trayectoria ´optima del consumo C tel ahorro St y el ahorro
agregado de la economía St . ¿Cómo se compara con el calculado en la parte a.)?
c.) Calcule la utilidad de los individuos en los casos a.) y b.). ¿En qué caso es mayor la utilidad?
Explique su resultado.
d.) Discuta qué sucede con el ahorro agregado en caso que la población crezca a una tasa de n%
anual cuando no hay restricción de liquidez y cuando sí la hay. ¿Están mejor los individuos
cuando la economía tiene mayor capacidad de ahorro?
e.) Suponga ahora que los individuos no tienen restricciones de liquidez, pero se ven forzados a
1
pagar un impuesto de suma alzada τ = Y A durante su juventud y adultez que se les devuelve
7
íntegramente en forma de transferencia al llegar a la vejez. Calcule nuevamente las trayectorias
de ahorro y consumo. ¿Tiene algún efecto sobre la conducta del individuo este mecanismo de
seguridad social? ¿En qué casos se podría justificar la existencia de mecanismos de seguridad
social?
SOLUCIÓN:

a) El individuo enfrenta distintos ingresos a lo largo de su vida:

 primeros DIECIOCHO años:
1 1
YA = Y
5 5 Por facilidad de cálculo
se asumirá que Y A =Y
 los siguientes TREINTA Y SIETE años enfrenta:
Y A =Y
 Los últimos QUINCE años de su vida:
1 1
Y A= Y
6 6

Se gasta todo su ingreso en consumo, por lo que tenemos que la restricción de consumo se
puede plantear para sus 70 años de la siguiente forma:
70
18∗1 15∗1
Y +37∗Y + Y =∑ C t
5 6 t =1

70
431
Y =∑ Ct
10 t=1
Según los datos del problema se tiene como función de utilidad:
70
U =∑ log Ct
t=1

Entonces para obtener el consumo óptimo se calculará mediante Lagrange, donde se

maximizará la función utilidad, de ello:
70 70
431
L : ∑ log Ct −λ (∑ Ct − Y)
t =1 t=1 10
∇ L=0
Entonces:
70 70
431
L : ∑ log Ct + λ( Y −∑ C t )
t =1 10 t=1

∂L 1 Indica que para

= −λ=0 C t=C i
∂C t C t cualquier periodo
∂L 1 tendrá el mismo valor
= −λ=0
∂C i Ci
 70
∂ L 431
= Y −∑ C t =0 … (I)
∂ λ 10 t =1

De (I):
70
431
Y =∑ Ct
10 t=1
431
Y =70C t
10
431
Ć t= Y
700

Calculando el ahorro para cada periodo:

Y 431
 Ahorro para el periodo de juventud, donde Y t = y Ć t= Y:
5 700

SJ =Y t −Ćt
Y 431
SJ = − Y
5 700
−291
SJ = Y
700

431
 Ahorro para el periodo de adultez, donde Y t =Y y Ć t= Y:
700
S A =Y t −Ćt
431
S A =Y − Y
700
269
SA= Y
700

Y 431
 Ahorro para el periodo de vejez, donde Y t = y Ć t= Y:
6 700
SV =Y t −Ćt
Y 431
SV = − Y
6 700
−943
SV = Y
2100

 Por tanto, el ahorro agregado será:

−291 269 943

St = ∗( 18 )∗Y + ∗( 37 )∗Y − ∗( 15 )∗Y
700 700 2100
St =0
 b) Dado que los individuos no pueden endeudarse en su juventud, el consumo
durante ese período de la vida será igual al ingreso que reciban en cada
momento t. Por tanto, se plantea la misma lógica que la parte a) solo que no se
considera el consumo que podría generar en el periodo de juventud y se parte
de un t=19 obteniendo:
70
15∗1
37∗Y + Y =∑ Ct
6 t=19
70
79
Y = ∑ Ct
2 t =19

Según los datos del problema se tiene como función de utilidad:

70
U = ∑ log Ct
t=19

Entonces para obtener el consumo óptimo se calculará mediante Lagrange, donde se

maximizará la función utilidad, de ello:
70 70
79
L : ∑ log Ct −λ ( ∑ C t− Y)
t=19 t=19 2
∇ L=0
Entonces:
70 70
79
L : ∑ log Ct + λ( Y −∑ Ct)
t=19 2 t=19

∂L 1
 = −λ=0
∂C t C t
∂L 1
 = −λ=0
∂C i Ci
70
∂ L 79
 = Y − ∑ C t=0
∂λ 2 t=21

De lo anterior se obtiene:
C t=C i
70
79
Y = ∑ Ct
2 t =19
79
Y =52 C t
2
 79
Ć t= Y
104
Calculando el ahorro para cada periodo:

 Ahorro para el periodo de juventud: No genera.

79
 Ahorro para el periodo de adultez, donde Y t =Y y Ć t= Y:
104
S A =Y A −Ćt
79
S A =Y − Y
104
25
SA= Y
104

Y 79
 Ahorro para el periodo de vejez, donde Y t = y Ć t= Y:
6 104
SV =Y V − Ćt
Y 79
SV = − Y
6 104
−185
SV = Y
312

 Por tanto, el ahorro agregado será:

25 185
St =0+ ∗ (37 )∗Y − ∗ (15 )∗Y
104 312
St =0

NOTA: El ahorro agregado se mantiene en cero, pero ahora el ahorro en la adultez es

menor que en el caso en que no tenía restricciones crediticias durante la juventud. Esto
ocurre, ya que no puede suavizar consumo durante su juventud.

c) En el primer caso (a), la utilidad queda definida de la forma:

70
431 Y
U 1=∑ log Ćt =70 log ⁡( )
t =1 700
En el segundo caso (b), la utilidad queda definida de la forma:
18 70
U 2=∑ log CJ + ¿ ∑ log Ćt ¿
t =1 t =19
Y 79 Y
U 2=18∗log ⁡( )+ 52∗log ⁡( )
5 104

Donde: U 1 >U 2
El primer caso entrega una mayor utilidad. Esto ocurre debido a que en el segundo
caso, el individuo enfrenta a una restricción intertemporal más acotada, el no tener
posibilidades de endeudamiento en su juventud. Esto lo limita al nivel de consumo
que él quisiera conseguir para ese período de su vida, ya que es mayor a lo que puede
acceder con el ingreso que recibe en ese momento.
d) Hasta el momento, la población no crecía (nacía un niño, a las par moría un
anciano). Ahora, el crecimiento es distinto de cero y positivo. Eso quiere decir
que de un año a otro, el endeudamiento va a crecer en un n%, por lo que el
ahorro agregado va a ser negativo. Esto no ocurre con restricciones crediticias,
ya que los jóvenes no se podrían endeudar. De todas maneras, individualmente
ocurre que las personas están mejor sin las restricciones crediticias, ya que
pueden alcanzar un mayor nivel de utilidad.
e) Reconstruyendo la restricción presupuestaria para este caso, tenemos que:
 Para el período de juventud, el ingreso será:
Y/5 − Y/7 = 2Y/35.
 Para la adultez, tenemos:
Y − Y/7 = 6Y/7.
 Para el período de la vejez:
Y/6 + impuestos devueltos
Donde: Impuestos devueltos = 55 · Y/7 = 55Y/7
Por lo tanto, la restricción intertemporal del individuo queda descrita como:

70
2Y 6Y Y
∗(18 )+ ∗( 37 )+ ∗( 15 ) + Impuestos devueltos=∑ Ć t
35 7 6 t =1
70
2Y 6Y Y 55
∗(18 )+ ∗( 37 )+ ∗( 15 ) + Y =∑ Ć t
35 7 6 7 t=1
431
Y =70 Ć t
10
431
Ć t= Y
700
El valor de Ć tes el mismo del obtenido en el apartado (a), entonces los valores de los
ahorros por periodos serán obtenidos mediante el mismo procedimiento seguido en (a),
entonces:

2Y 431
 Ahorro para el periodo de juventud, donde Y t = y Ć t= Y:
35 700

SJ =Y J −Ćt
 2Y 431
SJ = − Y
35 700
−391
SJ = Y
700

431
 Ahorro para el periodo de adultez, donde Y t =6 Y /7y Ć t= Y:
700
S A =Y A −Ćt
6Y 431
SA= − Y
7 700
169
SA= Y
700
Y 431
 Ahorro para el periodo de vejez, donde Y t = y Ć t= Y:
6 700
SV =Y V − Ćt
Y 431
SV = − Y
6 700
−943
SV = Y
2100

 Por tanto, el ahorro agregado será:

−391 169 943 55

St = ∗( 18 )∗Y + ∗( 37 )∗Y − Y ∗15+ Y
700 700 2100 7
St =0
Se puede observar que el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones óptimas
de consumo del individuo.
Este mecanismo de seguridad social puede servir para una sociedad con muchos
individuos poco previsores, que no ahorran para el futuro y se inclinan fuertemente por
el consumo actual.