Tema 11.

Raíces unitarias, cointegración y ECM (Resumen)

1. Introducción

El modelo de regresión clásico fue pensado para relaciones entre variables estacionarias
y cuando se usa con variables no estacionarias surgen problemas importantes. Así,
cuando empleamos este tipo de variables no pueden mantenerse los supuestos de que las
varianzas de los regresores tienden a una constante a medida que crece el tamaño de la
muestra (o si los regresores son estocásticos, que su límite probabilístico tiende a
constantes finitas). La teoría de grandes muestras, en la que se basa toda la inferencia
del modelo de regresión, deja de ser válida si se incumplen los supuestos anteriores. En
concreto no es válida la demostración habitual de la consistencia de los estimadores
MCO. Tampoco se verifica que el estadístico (b-β)/e.s.(b) siga una distribución t de
Student estándar.

Un problema relacionado con las variables no estacionarias y al que

frecuentemente se enfrentan los económetras cuando trabajan con series de tiempo, es el
problema de las regresiones espurias. El problema es que cuando se relacionan por
regresión variables dominadas por una tendencia, aunque éstas no estén relacionadas
suelen caracterizarse por presentar elevados coeficientes de determinación y estadísticos
t significativos, aunque las variables relacionadas no tengan nada que ver entre sí. En
econometría solemos hablar de regresiones espurias para referirnos a esta situación,
porque los aparentemente buenos resultados no tienen en realidad ningún sentido
(económico) y vienen determinados exclusivamente por la tendencia común.

La cuestión de las regresiones espurias tiene una fuerte base empírica, ya que,
aunque existía el precedente de Yule (1926), se puso de manifiesto como consecuencia
de diversos trabajos de simulación y experimentos de Montecarlo, realizados por
autores como Granger y Newbold (1974), Davies y otros. En estos trabajos se
generaban series artificiales no relacionadas por construcción y después se efectuaba la
regresión entre ambas, encontrándose en numerosos casos que la mayor parte de los
estadísticos (excepto el DW) eran bastante buenos, es decir un resultado típico de
regresión espuria. Posteriormente se desarrolló la teoría que justificaba esta situación
(Phillips, 1986).

2. Contraste de raíces unitarias

Interesa pues disponer de algún procedimiento que nos diga si las series objeto de
análisis son o no estacionarias (es decir si las series presentan algún tipo de tendencia?).
Dentro de la metodología econométrica se distingue entre no estacionaridad en
tendencia o determinística, que se daría en aquellas series con tendencias del tipo yt = a
+ bt + vt, y no estacionaridad en diferencias o estocástica, de las que el caso
paradigmático es el de camino aleatorio, xt =a+xt-1+ vt. Comenzaremos analizando el
segundo caso, que suele designarse con el nombre de tendencia estocástica.

1
 Ya vimos en el tema correspondiente que éste era un proceso no estacionario. De
la expresión de camino aleatorio (con deriva) se deduce que xt presentará una tendencia
creciente o decreciente a largo plazo en función del signo de a. Esta tendencia es
conocida como tendencia estocástica dado que la serie varía en tendencia de una forma
no previsible o estocástica. Además este tipo de tendencia puede eliminarse por medio
del operador diferencia, dado que Δxt = a + vt es un proceso estacionario por definición.
Es por ello que a veces nos referimos al proceso xt como proceso estacionario en
diferencias (difference stationary process o, abreviadamente, DS ).

A primera vista, para contrastar si una serie histórica se ajusta a un proceso

como el anterior, lo más inmediato sería estimar la ecuación de regresión,

xt = ρ xt-1 + vt (1)

y contrastar la hipótesis H0: ρ = 1 mediante el ratio t-Student habitual, contra la

alternativa H0: ρ < 1 (se entiende que ρ > 1 implica evidentemente no estacionaridad,
pero esta sería fácilmente detectable simplemente graficando la serie, ya que ésta
debería ser explosiva). La interpretación es que si se no puede rechazar la hipótesis, la
serie será no estacionaria en diferencias (es decir DS) y viceversa.

Sin embargo bajo la hipótesis nula (H0: ρ = 1) la ecuación anterior es no

estacionaria. Por tanto el contraste basado en la estimación por MCO podría incurrir en
el problema de las regresiones espurias, siendo inadecuadas las inferencias habituales.

Por tanto el procedimiento de contraste debería ser llevado a cabo con un

modelo que, bajo la hipótesis nula, fuera estacionario 1 . Un método apropiado para
contrastar el orden de integración de xt en (1) fue propuesto por Dickey y Fuller (1979)
(DF test). Este procedimiento consiste en reformular el modelo anterior, restando xt-1 en
ambos lados de la ecuación, obteniéndose:

xt −xt-1=ρ xt-1− xt-1+εt = (ρ−1) xt-1+εt

o lo que es lo mismo,
Δxt = δxt-1 + εt (2)

El test de Dickey Fuller consiste en contrastar H0: δ = 0 contra la hipótesis

alternativa HA: δ < 0 (estacionaridad).

Si H0: δ = 0 es cierta, entonces (ρ −1) = 0 ⇒ ρ = 1. Si se refuta la hipótesis nula

δ = 0 a favor de la alternativa δ < 0, esto implica que ρ < 1 y por tanto que xt es
estacionaria.

Pero la distribución en el muestreo de ρ no sigue un t Student normal, sino una

más complicada que ha sido tabulada (por simulación) por Dickey y Fuller y
posteriormente modificada por McKinnon. Por tanto, el procedimiento de contraste es el
habitual, es decir se calcula el ratio entre ρ y su desviación estándar, pero comparando

1
También se puede hacer el contraste a partir de ρ̂ en yt = ρ yt −1 + ut , utilizando el estadístico
T ( ρˆ − 1) (Ver Hamilton, p. 487 y ss).

2
el valor obtenido con los tabulados por McKinnon que son sustancialmente más
elevados (en valor absoluto) que los de la t normal. El contraste es de una sola cola: solo
se mira en la parte negativa de la distribución pues lo que nos interesa es solo si ρ < 1
(en otro caso x será no estacionaria). Pero esto implica (ρ −1) < 0.

Un problema adicional es que las regresiones de la ecuación (2) pueden

presentar residuos autocorrelacionados y en estas condiciones el test DF no es
adecuado. Para evitarlo, se introducen términos retardados de la endógena, Δx,
quedando la ecuación,

k
Δxt = δ xt −1 + ∑ δ i Δxt −i + ε t (3)
i =1

La idea es incluir retardos hasta que se obtengan residuos no autocorrelacionados, lo

que no se sabe de antemano, por lo que el número de retardos a incluir ha de decidirse
empíricamente. Sin embargo suele ser suficiente con incluir uno o dos.

La hipótesis nula sigue siendo la misma (H0: ρ = 1), así como el procedimiento
de contraste. El contraste con esta modificación recibe el nombre de contraste de Dickey
y Fuller aumentado (ADF).

Las tendencias determinísticas pueden causar tantos problemas como las

estocásticas en el análisis de regresión, de manera que interesa también poder contrastar
esta posibilidad. Una extensión lógica del procedimiento para contrastar tanto la
existencia de tendencia estocástica (raíz unitaria), como determinística, sería considerar
el modelo:

Δxt = μ +α·t + δxt-1 + εt (4)

Podemos contrastar si xt tiene exclusivamente una tendencia estocástica (y no una

determinística), contrastando la hipótesis conjunta H0: α = δ = 0. Si esta hipótesis no
puede ser rechazada en base a un contraste tipo F, concluiremos entonces que el proceso
tiene una tendencia estocástica [δ = 0 ⇒ (ρ −1) = 0 ⇒ ρ = 1], pero no determinística [α
= 0]. Como sucede con el contraste tipo t, los valores normales de la distribución F no
pueden ser utilizados, ya que la distribución del estadístico de contraste bajo la H0 no es
estándar. Sin embargo estos valores también han sido calculados por Dickey y Fuller,
siendo bastante más elevados de lo habitual. La regresión anterior suele “aumentarse”
añadiendo retardos de la endógena para evitar que haya residuos autocorrelacionados,
como en el caso ADF. Considerando por ejemplo un único retardo,

Δxt = μ +α·t + δxt-1 +λ1Δxt-1 + εt (5)

En este caso el contraste (tipo F) de la hipótesis conjunta H0: (ρ −1) = 0, α = 0,

podría llevarse a cabo mediante la técnica de las regresiones irrestricta (U) dada por (5)
y restringida (R),

Δxt = μ +λ1Δxt-1+ εt

3
calculando en cada caso la correspondiente suma cuadrática de los residuos. Se
demuestra que,

(n − k )( DR − DU )
qDU

donde k es el número de parámetros estimados en la regresión irrestricta y q las

restricciones, sigue una distribución Fq, n-k.

Alternativamente podrían evaluarse los estadísticos t de los parámetros

correspondientes para llevar a cabo contrastes individuales, pero ahora teniendo en
cuenta que la introducción de una tendencia temporal vuelve a modificar la distribución,
obteniéndose unos valores críticos todavía más elevados que los de DF sin tendencia
determinista.

Ejemplos

a) Sea la serie histórica representada en la figura 1,

25

X
20

15

10

-5

-10
1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

Figura 1. Serie generada artificialmente, Xt = Xt-1 + Vt

Efectuada la regresión (3), se obtiene,

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1502 2000
Included observations: 499 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
X(-1) -0.011275 0.006599 -1.708720 0.0881
D(X(-1)) -0.028250 0.044489 -0.634978 0.5257
C 0.066824 0.056622 1.180178 0.2385
R-squared 0.007016 Mean dependent var 0.004673
Adjusted R-squared 0.003012 S.D. dependent var 0.970625
S.E. of regression 0.969162 Akaike info criterion 2.781224
Sum squared resid 465.8806 Schwarz criterion 2.806551

4
 Log likelihood -690.9155 F-statistic 1.752175
Durbin-Watson stat 2.009594 Prob(F-statistic) 0.174468

Tabla 1

El ratio t (en negrilla) vale –1,7, que indicaría la no significatividad estadística incluso
con los valores de la distribución t de Student. Menos aún con los tabulados por
McKinnon, que son más elevados. En este caso concreto el valor crítico para el 95% es
- 2,87, aproximadamente.

El resultado anterior quiere decir que no se puede rechazar H0: δ = 0, y por lo

tanto que no se puede rechazar la presencia de una raíz unitaria en el modelo, es decir
no se puede rechazar la no estacionaridad de xt. Concluiríamos que la serie es no
estacionaria en diferencias.

c) Como posible ejercicio de examen, contrastar si la serie de precios de cierre

de las acciones del Banco de Santander, representadas en la figura 3, contiene o no una
raíz unitaria.

Los datos son de periodicidad semanal y hay 222 observaciones.

13
Acciones BSCH
12

11

10

4
00:01 00:07 01:01 01:07 02:01 02:07 03:01 03:07 04:01

Figura 3. Acciones de BSCH

dados los datos de la tabla siguiente (valor crítico al 95% = - 2.87)

X(-1) DX(-1) DX
X(-1) 3.362449 0.076263 -0.084188
DX(-1) 0.076263 0.159624 -0.006581
DX -0.084188 -0.006581 0.159592

Tabla 4

El contraste ADF comienza por la estimación de la ecuación (3). Si suponemos

un único retardo en los términos diferenciados, queda,

5
 Δxt =α + δ xt −1 + δ1Δxt −1 + ε t

o en desviaciones,

Δxt = δ xt −1 + δ1Δxt −1 + ε t

cuya estimación a partir de los datos de la tabla 3, es inmediata:

−1
⎛ 3.3624 0.07626 ⎞ ⎛ −0.0842 ⎞ ⎛ −0.02437 ⎞
b =⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝ 0.07626 0.15962 ⎠ ⎝ −0.00658 ⎠ ⎝ −0.02958 ⎠

el parámetro que interesa para el contraste es el correspondiente a xt-1, es decir

δ = − 0.024371. Su varianza se obtiene de D 2 (b) = σ v2 ( X´X)−1 , donde,

⎡ ⎛ s y1 ⎞ ⎤
n ⎢ s y2 − n ( b1 b2 ) ⎜ ⎟ ⎥
⎢ ⎝ s y 2 ⎠ ⎦⎥
= ⎣
d´d Y´Y - b´X´Y
σˆ v2 = =
n−k n−k n−k

es decir,
⎡ ⎛ −.0842 ⎞ ⎤
222 ⎢0.159592 − ( −.024371 −.02958 ) ⎜ ⎟⎥
⎣ ⎝ −.00658 ⎠ ⎦ 34.9307
σˆ v =
2
= = 0.1588
222 − 2 220

y por tanto,

−1
−1 1 ⎛ 3.3624 .07626 ⎞ 1 ⎛ 0.3007 −0.14366 ⎞
D (b) = 0.1588( X´X) = 0.1588
2
⎜ ⎟ = 0.1588 ⎜ ⎟
220 ⎝ .07626 .15962 ⎠ 220 ⎝ −0.14366 6.3343 ⎠

de manera que ee(b1 ) = .00021705 = .01473 , y el ratio t es,

−0.024371
= − 1.654
0.01473

Como el valor crítico para el 95% en las tablas de McKinnon es –2.87, no se puede
rechazar la hipótesis nula de que la serie en cuestión contiene una raíz unitaria y es por
tanto, no estacionaria.

Los resultados del contraste con Eviews, se muestran en la tabla 5

Null Hypothesis: X has a unit root

Exogenous: Constant
Lag Length: 1 (Fixed)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.650289 0.4552

6
Test critical values: 1% level -3.460035
5% level -2.874495
10% level -2.573751
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(X)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 12/03/1999 2/13/2004
Included observations: 220 after adjusting endpoints
Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.
t
X(-1) -0.024367 0.014765 -1.650289 0.1003
D(X(-1)) -0.029586 0.067767 -0.436583 0.6628
C 0.212109 0.134041 1.582420 0.1150
R-squared 0.014074 Mean dependent var -
0.004409
Adjusted R-squared 0.004987 S.D. dependent var 0.400401
S.E. of regression 0.399401 Akaike info criterion 1.015841
Sum squared resid 34.61609 Schwarz criterion 1.062117
Log likelihood -108.7425 F-statistic 1.548813
Durbin-Watson stat 1.995748 Prob(F-statistic) 0.214840

Tabla 5

7
Cointegración

Hemos visto que cuando las series que se manejan son no estacionarias, la regresión
entre las mismas conlleva el peligro de incurrir en lo que hemos denominado
regresiones espurias. En tales casos se recomienda diferenciar las series (si la tendencia
es estocástica) como paso previo a la regresión.

Aunque este procedimiento evita el problema formal de la regresión espuria, la

diferenciación implica pérdida de información, en concreto se pierde la información
sobre la (hipotética) relación a largo plazo entre las variables, precisamente aquella que
puede ser más interesante para la investigación empírica.

Por ello es importante analizar si existen condiciones en las que pueda llevarse a
cabo la regresión en niveles entre series no estacionarias, sin que ello implique la
pérdida de las propiedades habituales (consistencia, etc). Esas condiciones existen y se
concretan en el concepto de cointegración, presentado tiempo atrás pero cuyo desarrollo
formal no tuvo lugar hasta los trabajos de Granger (1983) y Engle y Granger (1987).

Para los fines que aquí interesan, diremos que dos series están cointegradas si
siendo originalmente integradas de orden 1 (y por tanto no estacionarias), pueden
relacionarse por medio de alguna combinación lineal para dar lugar a una serie que sí lo
es. Aunque el concepto es generalizable a más de dos variables (y a órdenes superiores
de integración), en el programa sólo se contempla el caso más sencillo.

Cuando las series están cointegradas, puede efectuarse la regresión en niveles

obteniéndose estimadores consistentes y siendo válidos los procedimientos de inferencia
habituales. La verificación de la cointegración se basa en contrastar la estacionariedad
de los residuos de la regresión entre las variables en niveles. Si éstos son estacionarios,
se concluye que las series están cointegradas.

Un contraste alternativo consiste en examinar el valor del estadístico de DW.

Puesto que el numerador del mismo viene dado por la expresión ∑ (dt − d t −1 ) 2 , en el
caso de que los residuos presentasen una raíz unitaria (dt = dt-1+ vt), el sumatorio
anterior estaría próximo a cero. Por tanto en una regresión entre x e y, el estadístico de
DW debería estar “razonablemente” alejado de cero si ambas están cointegradas.
Basándose en esta idea Sargan y Bhargava (1983) han tabulado un estadístico
alternativo, conocido como DWRC, para contrastar la cointegración. Para un nivel de
confianza del 95% y T = 100, el valor crítico aproximado de ese estadístico sería 0.389
(0.511 al 99%). Es decir, la cointegración entre dos variables X e Y exigiría un
estadístico DW superior a esos valores.

Para el caso de más de dos variables existen contrastes más complejos como el
de Johansen, basado en la modelización VAR, pero queda fuera del alcance de este
programa.

En resumen, la contrastación de la cointegración se limita en nuestro programa a

un contraste de raíces unitarias sobre los residuos de la regresión entre las variables en
niveles.