EJERCICIOS GRUPO 8

1. Sea
U ={ x ∈ N|0< x ≤ 10 } y los subconjuntos : A={ x ∈ N|x es primo } , B={ x ∈ U|x es un cudrado perfe
'
a ¿ ( A ∪ B ) −C '
'
b ¿ ( A−C ) ∩B
c ¿( A ∆ B)−(A ∆ C)
'
d ¿ ( A ∩C ) −(B∪ C )'
SOLUCION:

Hallamos elementos de:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {2,3,5,7}
B = {4,9}
C = {1,3,5,7,9}

2.
3.
4. A C B
10 5.
6.
7. 3
8. 4
5
9. 2 1 9
10. 7
11. 8

6 U

'
a ¿ ( A ∪ B ) −C '
{1}

3
10
1 5
6
7
 '
b ¿ ( A−C ) ∩B
{4,9}

2 5 9
3
7 7

c ¿( A ∆ B)−(A ∆ C)
{3,4,5,7}

A △ C
A △ B 3
3 4 2
2 3 4 2 5 9
5 7 9
5 9
7
7
'
d ¿ ( A ∩C ) −(B∪ C )'
{1,9,4}

A C A C

3 1 3
1 9
2 5 4 5
9
7 7
2. Para conjuntos tenemos las afirmaciones:
a) A ⊂ C → A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ C
b) A U (B∩A) = A ∩ (B UA) =A
c) B=A’ ↔ A U B = U y A ∩B ¿ ∅
d) A U [ B ∩{ A U C }¿=A U (B ∩ C)

Demostrar que tales afirmaciones son verdaderas

SOLUCION:

a) A ⊂ C → A U (B ∩ C) = (A U B) ∩C
Demostración por gráficas.
A U (B ∩ C)

(A U B) ∩ C

QUEDA DEMOSTRADA.

b) A U (B∩A) = A ∩ (BUA) = A

Demostración por gráficas.

Aquello sucederá solo si C ⊂ B Y B ⊂ A
c) B = A’ ↔ A u B = U y A∩ B= ∅

Cumple en la siguiente gráfica.

d) A U [ B ∩{ AUC }¿ = A U (B ∩ C)

A U (B ∩ C)

3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones para conjuntos son siempre verdaderas?

 a) A⊂B↔AUB=B
b) A ⊂B' ↔ B⊂A '
c) A∩B = ∅ → A ⊂ B’
d) (AUB')’ = B-A
SOLUCION:

a. A ⊂ B ↔ A U B = B (V)
V ↔V = V
b. A ⊂B' ↔ B⊂A ' (V)
V↔ V =V A≠ B
c. A∩B = ∅ → A ⊂ B’ (V )
V → V = V A≠ B
d. (AUB')’ = B-A (V)
A'∩ B=B−A
B-A = B-A

4. Si U={a,b,c,d,e} ; A∪B={a,b,c,d}; A∩B={a,c} y A-B={b}; hallar A y B.

SOLUCION:
A B

e
a
b d
c

ENTONCES:
A = {a, b, c}
B = {a, c, d, e}

5. Demostrar que la proposición p:x∈{ A−(C−B)}’, es equivalente a:

q:x∉ {A ∩¿ C'u B)}.
SOLUCION:

p: x∈{ A−(C−B)}’ = A ' ∪( C ∩ B' )

llevando en términos de lógica

A=p
B=q
C=r

p ˅(r ˄ q)
 q:x∉ {A ∩(C' u B)}.= ( A ∩ ( C' u B ) )
llevando en términos de lógica
A=p
B=q
C=r
( p ˄ ( r ˅ q ))

6. Dados los siguientes conjuntos: M = {-3,-2/3,0,1/2,2,√ 2,3+√ 2,2i),

A={ x ∈ M |x ∉ M → x ∉ Z } , B= { x ∈ M |x ∈ R↔ x ∈ I } D={x ∈ M ∨x ∈ C y x ∉ Q}
Hallar (A ∩C) U (B-A)
SOLUCION:

Hallamos los elementos de cada conjunto.

A= {-3,0,1,2}
B = {2i, -2/3, √ 2,3+√ 2 }
D = {2i, -2/3, √ 2,3+√ 2

(A ∩C) u (B-A) = {∅ }
 7. Sea el conjunto universal U={-6,-3,0,0.4,0.'3.3/5,√ 6,4,1-i} y los subconjuntos:
A ¿ { x ∈ U|x ∈ C ˄ x ∈ I } , B={x ∈ U∨x ∈ N ' ˄ x ∈ Q }
D={x ∈ U∨ X ∈ Z ˅ X ∈ N }
Determinar M∩ P , por extensión, Si: M = { x ∈U| X ∈ A → X ∈ B } ;
p={x ∈ U∨ X ∈ D↔ X ∈ B }
SOLUCION:
Hallamos los elementos de subconjuntos.
A = {0.3’,√ 6}
B = {3/5,0.4}
D = {-6,-3,0,4}
M = {3/5,0.4}
P = {0.3’, √6, -6,-3,0,4}
M∩ P={∅ }
8. Si se sabe que: p∗q ≅ p → q ; p € q ≅ p ↔ q , y se dan los conjuntos:

A={−9 ,−√ 2 , 0. 3' , π , 6 ,3 i } , B={ X ∈ A∨ X ∈ Z € X ∉ R }

D= { X ∈ A| X ∈ Q∗X ∈ I } , E={X ∈ A∨X ∈C € X ∈ N }
Hallar (AUB)∩ (D-E).

SOLUCION:
Hallamos los elementos de subconjuntos.

A = {−9 ,−√ 2 , 0. 3' , π , 6 ,3 i }

B = {−√ 2 , 0.3' , π , 3 i}

D = {−√ 2 , 0.3' , π }

E = {∅ }

ENTONCES:
(AUB)∩ (D-E) = {-√2,0.3^',π}

9. Presentar cuatro diagramas de los conjuntos numéricos y en cada uno de

estos diagramas sombreen la zona correspondiente a cada uno de los
siguientes conjuntos.
A={ X ∈C|X ∉ I ↔ X ∈ R } , B={ X ∈C∨ X ∈ N → X ∉ R }
D= { X ∈ C| X ∉C ˅ X ∉ R } , E={ X ∈C∨ X ∉ Z ˄ X ∈ R }

SOLUCION:

A={ X ∈C|X ∉ I ↔ X ∈ R }
B={ X ∈C∨X ∈ N → X ∉ R }

D= { X ∈ C| X ∉C ˅ X ∉ R }
 E={X ∈ C∨ X ∉ Z ˄ X ∈ R }

10. Dados los conjuntos: L={ x ∈ C| x ∉ N ˄ x ∉ I },S= { x ∈ R| x ∉ Z v x ∉ N }, v D= { x ∈

R|x∉ Q ↔ x ∉ I }. Sombrear en el diagrama de los conjuntos numéricos la zona
correspondiente a M= { x ∈ C| x ∉ (L ∩ S) ˄ x ∈ ( S-D)}

11. Dados los conjuntos X, Y, Z y su representación en el diagrama adjunto:

X= {Polígonos regulares}; Y= {Cuadriláteros} Z= {Triángulos Equiláteros}. ¿Cuáles
de las regiones enumeradas en el diagrama son vacías?

X Y
1 2 3

5
4 6

7
Z
12. La parte sombreada del diagrama representa a:
a) C- [ ( A-B)∩ (B-A)]
C-[(A-B) ꓵ (B-A)]
{4,5,6,7}- [{1,4} ꓵ {3,6}]
{4,5,6,7}-Ø
{4-5-6-7}

b) [C ∩ (A-B)’] ∩ (B-A)
C- [(A-B) U B-A ]
{4,5,6,7}-[{1-4} U {3,6}]
{4,5,6,7}-{1,3,4,6}
{5,7}
RESPUESTA = 6

A B

1 3

5
4 6
7

13. La región sombreada representa a:

a) A- (B∩ C)
{1,2,4,5}-{5,6}
{1,2,4}

b) A ∩ (B U C)’
{1,2,4,5} ∩ {2,3,4,5,6,7}
{1,2,4,5} ∩ {1}
{1}
c) (A-B) ∩ (C-A)’
{1,4} ∩ {1,2,3,4,5}
{1,4}
d) A ∩ (B-C)’
{1,2,4,5} ∩ {2,3}’
{1,2,4,5} ∩{1,4,5,6,7}
{1,4,5}
 RPTA: D

14. En el siguiente diagrama, las regiones sombreadas se identifican como la expresión:

a) (B ∩ A) U (B∩ C)
{4,8,11,12} U {6,10,12}
{4,6,8,10,11,12}
b) (A U C) – (A∩ B ∩C ¿
{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12}- {12}
{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11}
c) (B ∩ (A U C)] – (A∩ B∩ C)
[{4,5,6,10,11,12,13} ∩ {1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12}- {12}
{4,6,10,11,12}- {12}
{4,6,10,11,12}- {12}
{4,6,10,11}
RPTA: C
d) (A∩ C) U [ (A∩ B)- ( B∩C )]

5 7
1 4 6
5 C
2 12 8
11 10 9
3 13

15. Sombrear en el siguiente diagrama la zona correspondiente a la siguiente operación:

[(A ∩ B)’ ∩ C’] ∩ [( A-B’)’ ∩ D’]

[(A ∩ B)’ ∩ C’]∩ [( A ∩B’)’ ∩ D’]

 [{1,3,4,5,6,7,8} ∩ {1,2,3,7,8}] ∩ [{1,3,4,5,6,7,8} ∩ { 1,2,3,4,5,8}]

[{1,3,7} ∩ }1,3,4,5,8}]

{1,3}

A 8 B C
D

1 2 3 5 7
4 6

16. Sombrear en el siguiente diagrama la zona correspondiente a la siguiente operación:

[( A U B)- ( C∩ D)] U [ ( C-D)’ ∩ (B-A)]

[{ ,1,2,9,10,4,5,6,7}- {6,8,9}] U [{10,11,7}'∩ {4,5,6,7}]

[{{1,2,4,5,7,10}] U [{1,2,3,4,5,6,8,9,12}∩ { 4,5,6,7}]

[{1,2,4,5,7,10}] U [{ 4,5,6}]
{1,2,4,5,6,7,10}

12 3 5
1 2 2
8 6
10 9 7
11

17. Cuáles de las siguientes proposiciones: Equivalen a la negación de la proposición x ∈ [C

U (B-A)]?

[{3,6}'- {4,5,6,7}]
[{1,2,4,5,6,7}- {4,5,6,7}]
[{1,2}]

[{1,2] U {2,3,4,5,6,7}']
[{1,2} U {1}]
{1,2}

[{1,2,4,5} U {1}]
{1,2,4,5}
 NEGAR
[(U(B-A)]
[C'ꓵ (B-A)']
[{ 1,2,3} ꓵ(3,6)']
[{1,2,3} ꓵ {1,2,4,5,7}]
[{1,2}]

A
B
2
1 3
5
4 6

7
C

31. A∗B=( A−B ' ) U B .Demostrar que las afirmaciones siguientes son verdaderas:

a) A∗B=B∗A → A=B
b) ( A∗B )∗C= A∗( B∗C)
c) A∗(B U C)=( A∗B ) U ( A∗C)

SOLUCION:
A*B=(A-B)UB B*A=(B-A)UA

A*B=(A ꓵ B)UB B*A=(B ꓵ A)UA

A*B=B B*A=A

A=B

B*C=B*C
C=C
BUC=BUC

32. Sean A={ 1 ,2 , 3 } , B={ x ∈ Z / x 2−x−6=0 } , C={ x ∈ N / 2< x <6 } , D=C−( A ∩ B ) .

¿Cuántos elementos tiene el conjunto P{P(D)}?

B={-2,3} X²-X-6
X-3 (X-3)(X+2)
X2 X=3 X=-2

C={3,4,5}

D={3.4.5}-{3}
D={4,5}
P(P(D)
P(4)=2⁴=16

33.
si A , BY C son conjuntos y C ⊂ A ' , entonces demostrar que : { [ (C U B ) ∩ A ] U C' } ∩ B=B ∩C '
APLICANDO LEY DISTRIBUTIVA

{ [ (C U B ) ∩ A ] U C' } ∩ B=B ∩C '

{[C ∩ A ¿ U (B ∩ A)¿UC ' }∩B

{(C ∩ A ¿ UC ' ¿ U (B ∩ A )UC ' }∩ B

{((C UC’) ∩(C ' U A )¿ U ((B U C ')∩(C ' UA ))}∩B

SEGÚN EL ENUNCIADO C ⊂ A '

SIMPLIFICANDO

{((C UC’) ∩C ' ¿U (C ' ∩C ')}∩ B

{((C ∩C ' ¿U (C' ∩ C’) U (C ' ∩C ' )}∩ B

{(∅ U C’) U C ' }∩B

{ C’ U C ' }∩B

C’ ∩ B = B∩ C ’

B ∩C ' = B∩ C '
34. Dados los conjuntos A Y B. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a ¿ . ( A U B )=( A ∆ B)∆( A ∩ B)

b ¿ . ( A ∩ B )=¿
c ¿ . ( A ∩ B ) =( A U B ) −( A ∆ B)
SOLUCION:
Se demuestra gráficamente.

a ¿ . ( A U B ) (A ∆ B)∆ ( A ∩B)

Por lo tanto, es verdadera la expresión.

b ¿ . ( A ∩ B)¿

Por lo tanto, son no son verdaderas la igualdad de enunciados

c ¿ . ( A ∩ B ) ( A U B )−( A ∆ B)
 Por lo tanto, la igualdad es verdadera.

35. Si A, B Y C son conjuntos, simplificar usando propiedades:

a ¿ . [ ( A ∩ B ) U C ' ] U (BUC )
b ¿ . {¿

a ¿ . [ ( A ∩ B ) U C ' ] ' U (BUC )

POR DISTRIBUTIVA

¿
¿
¿
BUC
b ¿ . {¿

{ [ CU (B ∩ A) ] ∩ [ B ∩(C U A ) ] ' }UB

DISTRIBUCION.

{ [ CU (B ∩ A) ] ∩ [ B' U (C U A) ' ] }UB

{ [ (CUB)∩(CUA ) ] ∩ [ B' U (C ' ∩ A ' ) ] }UB

{ [ (CUB)∩(CUA ) ] ∩¿

{ [ (CUB)∩(B¿¿ ' U C ')¿ ] ∩¿

{ ∅ ∩ [ (CUA) ∩(B ' UA ') ] }UB

{ [ (CUA) ∩(B ' UA ') ] }UB

[(CUA )UB ∩(B ' UA ' )UB ]

[ (CUA)UB ∩(B ' UB)UA ' UB ¿ ]
[ (CUA)UB ∩(B ' UB)UA ' UB¿ ]
AUBUC
36. Dado os conjuntos A, B Y C en U, simplificar la expresión:

{ A ∆ ( B ∆ C ) } ∆ {C ∆ B' }
SOLUCION:

{ A ∆ ( B ∆ C ) } ∆ {C ∆ B' } A= {1,2,4,5}

{A∆ ( 2,3,4,7)} ∆ {C ∆ B’} B={ 2,3,5,6}

{3,7} ∆ {4,5,6,7} ∆ {1,4,7} C={ 4,5,6,7}

{3,7} ∆ {1,5,6}

{1,3,5,6,7}
{ A ∆ B- C} U { C-A}

37. Si A ⊂ B , simplificar : A ∩{[ ( BUA ) ∩C ∩B ' ] U A' UB ' }

A ∩ {[( B U A) ∩ C ∩ B’] U A’ U B’}

A∩ {[ B ∩C ∩ B’] U B’ U A’}

A ∩ {[ B’ ∩ ( C ∩ B)] U B’ U A}

A ∩{B’ U A}

( A ∩B’) U (A∩ A)

A U ( A ∩B)

38. Sean A={ 3 , ∅ } , B= { {3 } , ∅ , { 3 , ∅ } } Y C={ { ∅ } , {3 } } . Determinar P ( A ) −{B∩ P ( C ) }

SOLUCION:

P ( A )={ { ∅ } , {3 } , {3 , ∅ }}

P ( C ) = { { ∅ } , {3 } }

B= { {3 } , ∅ , { 3 , ∅ } }
Entonces.

P ( A )− { B ∩ P ( C ) }={ 3 }

39. Simplificar. { ( AUB )−( C−A ) } ∩{ ( A ∩ B ) −( A ∩C ) }

[(AUB) -(C-A)] ∩ [(A∩B) -(A∩C)ꞌ]

[(AUB) ∩ (C-A)’] ∩ [(A∩B) ∩¿ AUC)´]

 [(AUB) ∩¿ )] ∩ [((A∩B) ∩ (A’ U C’)]

[(AUB) ∩ A ∩C )] ∩ [((A∩B) ∩ A’) U (A ∩B) ∩C ¿ ]

[A ∩C ¿ ∩ ¿ A ∩ A ' ¿ U ( A ∩ B ∩C)¿

[ (∅ ∩ B) U ( A ∩ B∩ C ¿ ¿

[ A ∩C] ∩ [ ∅ U ( A ∩ B∩ C ¿ ¿

[ A ∩ C ] ∩[( A ∩C ¿ ∩ B ¿

( A ∩C ¿ ∩( A ∩C)∩ B

A ∩C ∩ B

40. Si A, B, C Y D Son conjuntos tales que: c ⊂ A ' , y C ∪ D=D . Sinplificar :

C ⊂ A A< Bꞌ C U D =D
(c ∩ A) = ø A∩B=ø C ∩B=D
[ (Aꞌ U B ꞌ ) ∩ ( C ꞌ U D ꞌ ] U [ ( [ ( C U B ) ∩ A] U C ꞌ ) ∩ B ]
[ ( ( 2,3,4,5 ) ∩ ( 1,2,3,) ] ∩ (( 1,2,4))] U [(3,4) ∩1] U (1,2,4)) ∩ 4]
[(1,2,3,4,5) ∩ (1,2,4)] U [ ø U ( 1,2,4)]
(1,2,4 ) U ( 1,2,4 ) = ( 1,2,4 ) = A U B U C – D ∩ C

A C B
D

1 3 4
5 B

41. Si para conjuntos A, B, C Se tiene: A ⊂ By C ∩ A=∅

Simplificar la expresion: { [ A ∪ ( B−C ) ] ∩ [ B ∪ ( C− A ) ] } ∪ {( A−B ) ∆C }

A<B C ∩ A= ø
{[A U (B – C ) ] ∩ [B U ( C – A ) } U { ( A – B ) AC }
{ [ 3U (2,3 ) ] ∩ [ B U (1) ] } U { ø A1}
{( 2,3 ) ∩ ( 1,2,3 ) } U { 1 }
{2,3 }U {1}
{1,2,3}= A U B U C
 C B
2
A

1 3

42. A ∩ B∩ C=∅ , Simplificar :( A−B) ∪(B−C )∪(C−A )

A∩B∩C= ø A≠B≠C
(A– B ) U ( B – C ) U ( C –A)
AU B U C

43. Sean A, B Y C Conjuntos no vacíos, tales que ( B∩ C ) ⊂ ∅ , ( B ∪C )−A= ∅ , justificando el

desarrollo, hallar:

Z=( A ∆ B ) U ( A ∆ C)∪(B ∆ C )
B∩C⊂ø (BUC)–A=ø
B∩C=ø BUC=A
Z= (A △ B ) U ( A △ C ) U (B △ C )
ØU ØUØ
Z= Ø
44. Usando propiedades de conjuntos, hallar R U S, donde

R=[ A−( B−D ) ] ∩ [ A ∆ ( B−D ) ] Y S=[ ( B− A ) ∪ ( D−A ) ] ∪[ A ∪ ( B ∆ D ) ]

' '

R = [A –( B-D) ] ꞌ ∩ [A ꞌ △ (B-D )]
R=[ A ∩ (B-D) ]ꞌ [ A ꞌ △ (B ∩Dꞌ )]
R= [Aꞌ U (B-D) ∩ [ A ꞌ △ (B ∩Dꞌ )]
R= [AꞌU(B∩Dꞌ )] ∩[ A ꞌ △ (B ∩Dꞌ )]
R= [Aꞌ U(B∩Dꞌ )] ∩[ A ꞌ △ (B ∩Dꞌ )] ∩ ( B∩ Dꞌ)ꞌ]
R=( B∩Dꞌ )] ∩ Aꞌ ∩ [ AꞌU( B∩Dꞌ )]
R=( B∩Dꞌ ) ꞌ ∩ Aꞌ
R= Aꞌ-B ∩ Dꞌ ) =A-D→ A-D

45. SI A Y B son conjuntos demostrar que.

si ( A ∪ B ) ⊂ ( B' −( A−B )) , entonces A=∅ , B=∅

SOLUCION:
Se reemplazará la igualdad de A y B para comprobar lo verdadero.

( A ∪ B ) ⊂ ( B ' −( A−B ) )

( ∅ ∪ ∅ ) ⊂ ( ∅ ' −( ∅ − ∅ ) )

( ∅ ) ⊂ (∅ ' ∩ ( ∅ ∩ ∅ ' ) ' )

( ∅ ) ⊂ (∅ ' ∩ ( ∅ ' ∪ ∅) )

( ∅ ) ⊂ (U ∩ ( U ∪ ∅ ) )

( ∅ ) ⊂ ( U ∩U )
(∅ ) ⊂U
POR LO TANTO, LOS VALORES DE “A” Y “B” SON CORRECTAS.
46. Demostrar usando propiedades sobre conjuntos que:

{ A ∩ B ∩C } ∪ { ( A−B )−C }=B− A ' → B⊂ A

C<A
(B ∩ C) U(B - C) U(B -A) =B-Aꞌ
(B ∩ C) (B - C) U Ø =B-Aꞌ
A

U Ø = B-Aꞌ
B B
B=B∩A
B=B

47. Demostrar, Usando elementos, que: A' ∆ B' =A ∆ B

SOLUCION:

A{1,2,3} A B

1 3
4
2
B{3,4}

48. Dados los conjuntos A Y B. Demostrar que:

{ A ∩ B ∩C } ∪ { ( A−B )−C }= { A−( B−C ) } ∩¿

A{1,2,4,5}
B{2,3,5,6}
C{4,5,6,7}
A∩B∩C={5} [A∩B∩C]U [(A-B)-C] = [A-(B-C)]∩{A-(C-B)]
A-B ={1,4} {5}U{1} = [{1,2,4,5} – {2,3}] ∩[{1,2,4,5}-{4,7}]
(A-B) – C={1] {1,5} = [{1,4,5}] ∩ [{1,2,5}]
{1,5} = {1,5}

A B

1
3
2
4 5
6
7
C

49. Dados los conjuntos A Y B demostrar que:

a ¿ Si A−B= ∅ Y B−A= ∅ → A=B

B ¿ Si A ∆ B=∅ → A=B
a ¿ Si A−B= ∅ Y B−A= ∅ → A=B
USANDO EL ENUNCIADO QUE A = B

B−B= ∅ , A−A= ∅,
'
B∩ B = ∅ , A ∩ A ' =∅
B ¿ Si A ∆ B=∅ → A=B
USANDO EL ENUNCIADO QUE A = B

B ∆ B= ∅
(B ∩B)∪(B ∩B)=∅
(B ∩B ') ∪(B ∩ B' )=∅
∅ ∪ ∅=∅
∅= ∅
50. Dados los conjuntos A, B, C Y D. demostrar:

a ¿ Por elementos que : Si B=C ∩ D→ B⊂ C

b ¿ Por elementos que : Si(A ⊂C y B ⊂ D)→( A ∩ B)⊂(C ∩ D)

c ¿ Usando propiedades que : Si ( A ∆ B' )=B →(B ⊂ A)

SOLUCION:

B=C ∩ D→ B ⊂C
Por el enunciado B = D
Por lo tanto
B=C ∩ B
sí B está incluida en C entonces

B=B
( A ⊂ C y B⊂ D) →( A ∩B) ⊂(C ∩ D)
La grafica del ensuciado ( A ∩ B)⊂ ( C ∩ D ) sería la siguiente

Por lo tanto, según la grafica

A ⊂C y B ⊂ D

( A ∆ B' )=B →(B ⊂ A )

( A ∩ B ) ∪( A' ∩B ' )=B
Según el enunciado

B∪ A '=B
Por lo tanto, la igualdad es incorrecto.
51. Demostrar, por definición, que: P [ ( A ∩B ) ∪ C ] =P ¿

SOLUCION:
P[(A∩B)UC] = P(AUC) ∩ P(C) ∩P(B)

ABSORCION
P[(A∩B)UC] = P(C∩B)

A=C=B
52. Sean A, B Y C conjuntos no vacíos. Usando elementos, demostrar que:
B ∈ P (A) y A △ B = AU B – A ∩ B → A △ B = A-B

B∈A

A={1,2,3} A
B={1,2} 3
AΔB = {3} 1 2 B
AUB-A∩B={3}

AΔB={3}
A-B={3}
AΔB= A-B
53. Dados los conjuntos A, B y C, usando propiedades para conjuntos: demostrar que:

{ A ' −( B' −C ) } ⊂ { A ∆ ( B−C' )' } → ( A ∪ B ∪C ) ⊂ ( A ∪ B' ∪ C ' )

Según el enunciado, ( A ∪ B∪ C ) ⊂ ( A ∪ B ' ∪ C ' )

C⊂B⊂A
por lo tanto.

{ A ' −( B' −C ) } ⊂ { A ∆ ( B−C' )' }

{ A ' ∩ ( B' ∩ C ' ) ' }⊂ { A ∆ ( B∩ C )' }
{ A ' ∩ B } ⊂ { A ∆ C '}
∅ ⊂C ,
el vacio siempre estara incluido dentro de un conjunto , por lo tanto LQQD
54. Usando propiedades y justificando el desarrollo, demostrar que para conjuntos A, B y C, se
verifica las siguientes proposiciones:

a ¿ . { ( A ∪ B )−C } ∪ { A− ( B ∩C ) }= A−C
b ¿ . {[ A−B ) ∪ ( B − A ) ]−B }∪ {B−[ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∪ B ) ]}= A '
' ' '

SOLUCION:

a ¿ . { ( A ∪ B )−C } ∪ { A− ( B ∩C ) }= A−C

{ ( A ∪ B ) ∩C ' } ∪ { A ∩ ( B ∩C ) ´ }= A ∩C '
DISTRIBUTIVA.

¿
¿
A ∩C ' = A ∩C '

b ¿ . {[ A−B ) ∪ ( B − A ) ]−B }∪ {B−[ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∪ B ) ]}= A '

' ' '

{ [ A ∩ B ) ∪ ( B ' ∩ A ' ) ] ∩ B ' }∪ {B ∩[ ( A ∩B ) ∪ ( A ∪ B )' ]' }=A '

{ [ A ∩ B ) ∪ ( B ' ∩ A ' ) ] ∩ B ' }∪ {B ∩ ¿
{ [ A ∩ B ) ∪ ( B ' ∩ A ' ) ] ∩ B ' }∪ {B ∩ ¿
{ [ A ∩ B ) ∪ ( B ' ∩ A ' ) ] ∩ B ' }∪ ∅ = A '
{ [ A ∩ B ) ∪ ( B ' ∩ A ' ) ] ∩ B ' }= A '
A ' =A '
55. Usando elementos y justificando el desarrollo, demostrar que para conjuntos A, B y C, se
verifica la siguiente proposición.
[ A’ – (B’- A’)] U [(A’ – B’ ) – A’] ⊂ (A ∩ B)’

A={1,2,3} [{4}-{(1,2)-(4)] U [{4}-{1,2})-{4}]⊂{1,2,4}

B={3,4} [{4} – {1,2}] U [{4}- {4}] ⊂ {1,2,4}

{4} U ∅ ⊂ {1,2,4}

{4}⊂{1,2,4}

56. Demostrar, Usando elementos. Que A ∩ ( B ∆ C )=( A ∩ B)∆( A ∩C )

A ∩ ( B ∆ C )=( A ∩ B)∆( A ∩C )
Asumiendo elementos

A={ 1 ,2 , 3 , 4 , 5 }
B= {2 , 3 , 4 , 5 }
C={ 4 , 5 }
Entonces.
B ∆ C={2 , 3 }
A ∩ ( B ∆ C )={2 , 3 }
A ∩ B={2 ,3 , 4 ,5 }
A ∩C={4 , 5 }
A ∩ B ¿ ∆( A ∩C )={2 , 3 }
POR LO TANTO

A ∩ ( B ∆ C )=( A ∩B ) ∆ ( A ∩C ) ={2 , 3}

57. Demostrar las siguientes propiedades de conjuntos, justificando cada paso:

a) A ⊂ B ↔ A ∩ B= A

b) A ⊂ B ↔ A ∩ B= B

A{1,2,3}
B={1,2}
A ∩B

a) A ⊂ B ↔ A ∩ B= A b) A ⊂ B ↔ A ∩ B= B

A=B A U B= {1,2}= B

B B

A A
1dd2 1 2

58. Para conjuntos A y B, demostrar las leyes de absorción.

a ¿ . A ∩ ( A ∪ B )= A

b ¿ . A ∪ ( A ∩B )= A
SOLUCION:

a ¿ . A ∩ ( A ∪ B )= A
A ∩ ( A ∪ B )= A
Para hallar la demostración se tendrá que convertir en términos de lógica proposicional.

A ˄ ( A ˅ B )=A
Donde
A=P , B=q
Para que cumpla la igualdad se tendrá que comprobar con tabla de verdades.

p ˄ ( p ˅q )= p

Como se observa son semejantes las proposiciones.

Por lo tanto, cumple la igualdad.

b ¿ . A ∪ ( A ∩B )= A
A ∪ ( A ∩ B )= A
Para hallar la demostración se tendrá que convertir en términos de lógica proposicional.

A ˅ ( A ˄ B )=A
Donde

A=P , B=q
Para que cumpla la igualdad se tendrá que comprobar con tabla de verdades.

p ˅ ( p ˄q )= p

Como se observa son semejantes las proposiciones.

Por lo tanto, cumple la igualdad.
A={1,2,3} {1,2,3}∩{1,2,3,4}

B={3,4} {1,2,3}=A

b ¿ . A ∪ ( A ∩B )= A
 {1,2,3}∩{3}

{1,2,3} = A

59. Sombrear en el diagrama de los conjuntos numéricos, la operación:

S= {( R−N ) ∩ (C−I ) } ∪ {( I ∩ R)∪(Q−R)}

'

R
N C
Q
2
1 3
9
5
4 6

7 8
I

S= {( 1,2,4,5 ) ∩ (2,3)} U [(4,5,6,7) U (∅ )]

S= {2} U {4,5,6,7}
S= {2,4,5,6,7}

EJERCICIOS GRUPO 9
1. Sean A y B dos conjuntos tales que: n (AU B) = 24, n(A-B) =10, n (B-A) = 6, hallar
5n(A)-4n(B)
SOLUCION:
n(a-b) = n(a) - n(a∩b) = 10
n(b-a) = n(b) - n(a∩b) = 6
n(a∪b) = n(a) + n(b) - n(a∩b) =24
n(a) + n(b) - n(a∩b) - n(a∩b) = 10 + 6 = 16
24 - 16 = n(a∩b)
8 = n(a∩b)
n(a) = 10 + n(a∩b) = 18
n(b) = 6 + n(a∩b) = 14

5(n(a))-4(n(b)) = 5×18 - 4×14 = 90 - 56 = 34

 2. Para un conjunto X. el número de elementos de X denotamos por n (X). Si n(A) = 4, n(B)
= 3 y n (A ∩ B) = 2, hallar lo suma: n(P(A) U P(B)) +n(P(A U B) .

SOLUCION:

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
n(AUB)=4+3-2= 5
n[P(A)ARRIBA(B)]+n[P(AUB)]- nP (AUB)+ nP(A∩B) +2⁵ = 2⁵+22+2⁵ = 68

3. Dado el conjunto U y los subconjuntos A, B y C; se tiene como datos: n(U) = 44.

n(A)=21. n(B)=17, n (A ∩ C) =14. n (B ∩C) =12, n (A∩ B ∩ C ') =3, n(A ∩ B ∩ C)=5 y
n(AU B U C) '=6. Hallar n(C).

SOLUCION:

Se desarrolla gráficamente, según el enunciado.

Por lo tanto, número de elementos de C =n(C) es 29

4. Si n(A)=8 y n(B) = 8; n(C)=5 y n(D)=5; n número máximo de elementos de

A U C=K y el número máximo de elementos de B ∩ D es h. Hallar: h*k

SOLUCION:
a) A U C
El número máximo de elementos de AUC=12
b) B∩D
El número máximo de elementos de B∩C=5, asumiendo que B está incluido en C
Por lo tanto, h*k = 12*5 = 60

5. Si A, B y C son conjuntos finitos demostrar que:

n{(A∆ B) ∪ C) = n(A)+n (B)+n (C)- 2n (A ∩ B)- 2n (A ∩ C)- 2n (B ∩ C) +3n (A ∩B ∩ C)

SOLUCION:
n{(A∆ B) ∪ C) = n(A)+n (B)+n (C)- 2n (A ∩ B)- n (A ∩ C)- n (B ∩ C) +2n (A ∩B ∩ C)
' '
n {(( A ∩ B )∪ (A ∩ B)∪ C)=n (A )+ n( B)+ n(C)−2n (A ∩B)−n( A ∩C)−n(B ∩C)+2 n( A ∩ B ∩C)
¿ n ( A ) +n ( B ) +n ( C )−2 n ( A ∩B )−n ( A ∩C )−n ( B∩ C ) +2 n ( A ∩B ∩C )=n( A)+n( B)+n(C )−2 n( A ∩ B)−n(
6. SI A, B y C son conjuntos no disjuntos dos a dos, demostrar que:
n{(A∆ B) ∆ C) = n(A)+n (B)+n (C)- 2n (A ∩ B)- 2n (A ∩ C)- 2n (B ∩ C) +3n (A ∩B ∩ C)

SOLUCION:
n{(A∆ B) ∆ C) = n(A)+n (B)+n (C)- 2n (A ∩ B)- 2n (A ∩ C)- 2n (B ∩ C) +3n (A ∩B ∩ C)

n¿
n¿
n( A)+ n(B)+ n(C)−2 n (A ∩ B)−2 n (A ∩C)−2 n( B ∩C)+3 n( A ∩ B ∩C)=n( A)+n(B)+n(C )−2 n( A ∩ B
1. Sean A, B y C tres conjuntos tales que: A⊂C , B⊂C, n(C)=120, n(A∪ B)=90
n(A∩B) =30 y n(A)=n(B)+30. Determinar:

a) n {(C-B) ∩ A}

b) n {(A∪ B)-n (A ∩ B)}

c) n{(C-A) ∪ (A ∩ B)}

d) n {(A ∪ B) -(A-B)}

SOLUCION:
Grafica del enunciado.

a) n {(C-B) ∩ A} = 45
b) n {(A∪ B)-n (A ∩ B)} = 60

c) n{(C-A) ∪ (A ∩ B)} = 75

d) n {(A ∪ B) -(A-B)} = 45
8. Un club consta de 78 personas. De ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 vóley. Además 6
figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si x es el total de personas que
practican exactamente un deporte, "y" el total de personas que practican exactamente dos
deportes; hallar x-y.
SOLUCION:

Realizamos la gráfica.

Entonces:

a+ b+c=x … 1
m+n+ p= y … 2
a+ b+c +m+n+ p+6 +10=78
a+ b+c +m+n+ p=62
De 1 y 2
x + y=62 … 3
a+ m+ n=50−6=44
b+ m+ p=32−6=26
c +n+ p=23−6=17
Sumando las tres ecuaciones resulta.

a+ b+c +2(m+n+ p)=87

De la 1 y 2

x +2 y=87 … 4
Entre 3 y 4

62− y=87−2 y … 4
y=25
x=37
Por lo tanto

x− y =37−25=12

9. Supóngase que Juan come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de
enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas, ¿cuántas
mañanas come solamente huevos?
SOLUCION:
Grafica del enunciado

Tenemos:

25−x+ x +18−x=31
45=31+ x
12=x
Por lo tanto, solamente huevos comen en 18 – x días
18 – 12 = 6 días
10. De 120 personas de cierta Universidad se obtuvo la información:
72 alumnos estudian el curso A
64 " " " " B
36 " " " " C
12 " " los tres cursos
¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos cursos?
SOLUCION:

a+m+n+12 =72
b+m+p+12=64
c+n+p+12=36
a+b+c+m+n+p=120
a+b+c = 120-( m+n+p)…(1)
sumamos.
A+b+c+2m+2n+2p +36 = 172
De la ecuación 1
120-( m+n+p)+2m+2n+2p =136
M+n+p = 120-136 = 16 alumnos.

11. Un club deportivo consta de 79 socios, de los cuales 52 practican fútbol, 36 basquet, 49 voley,
63 fútbol o basquet. Si 15 practican solamente fútbol y basket, y 16 solamente voley:
a) Cuántos socios practican los tres deportes.
b) Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes

SOLUCION:

a) Cuántos socios practican los tres deportes

a+b+c+d+e+31= 79
a+b+d+2(c+e) =28
a+b+ =63-15 = 48
De donde:
e+c = -15-d
Por lo tanto, d = 0
b) Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes
de la ecuación anterior
e + c= 28
practican 28+15+16 = 59 alumnos.
12. En una encuesta entre alumnos de una Universidad, se obtuvieron los siguientes resultados:
El 55% de los encuestados aprobaron Química Básica
El 30% " " " " Matemática Básica
El 50% " " " " Lengua
El 10% " ” " " los tres cursos
El 40% de los que aprobaron Química no aprobaron ningún otro curso y el 20%
de los que aprobaron Química también aprobaron MB1 pero no Lengua.
El 14% de los encuestados no aprobó ninguno de los tres cursos. Si se sabe
que 256 de los encuestados aprobaron MB1 y Lengua, determinar:
a) Cuántos aprobaron los tres cursos? -
b) Cuántos aprobaron MB1 o Lengua, pero no Química
SOLUCION:

Ejercicio que resolveremos con el Diagrama de Venn

De acuerdo a la información:

determinaremos el porcentaje en las diferentes asignaturas con el 100% de

aprobados

Un 30% solo aprobó Matemática y no las otras dos asignaturas.

En el conjunto de Matemática:
20% +10% +30% +256 =100
256 representa el 40%256 representa el 40% de los que aprobaron Matemática
y Lengua

a) ¿Cuántos aprobaron los tres cursos?

X = 10%*256/40%
X = 64personas

b) Cuántos aprobaron MB1 o Lengua, pero no Química

30% +256 = Alumnos que aprobaron Matemática básica o Lengua, pero no Química
Si 256 representa el 40%
X representa el 30% X representa el 30%
X = 192 X = 19
192+256 =Alumnos que aprobaron Matemática básica o Lengua, pero no Química
448 = Alumnos que aprobaron Matemática básica o Lengua, pero no química.
13. En una encuesta real izada sobre un determinado número de profesionales se observa que: El
72% son matemáticos, el 52% físicos, el 37% químicos, el
32% físico-matemáticos, el 12% físico-químicos, el 22% matemático-químicos
y el 2% físico-matemático-químicos. Hallar:
a) El porcentaje de encuestados que siguen una carrera
b) El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras.
SOLUCION:
Graficamos con los datos
 a) El porcentaje de encuestados que siguen una carrera
35%
b) El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras.
62%
14. El registro central de una Universidad proporcionó los siguientes datos respecto a un grupo
de 300 estudiantes del primer ciclo. 155 están inscritos en el curso A, 170 en el curso B y 110 en el
curso C, 85 están inscritos en A y B, 70 en B y C, 50 en A y C, y 35 en los tres cursos. Determinar
el número de inscritos en:
a) El curso A pero no en C.
b) Ninguno de los tres cursos.
SOLUCION:
Generamos la gráfica según los datos del enunciado

a) El curso A, pero no en C.
 105
b) Ninguno de los tres cursos.
30
15. De 150 personas consultadas sobre el deporte que practican manifestaron lo siguiente: 82
juegan fútbol, 54 juegan basket, 50 sólo juegan fútbol 30 sólo juegan basket. Además, el número
de personas que juegan sólo basket y tenis es la mitad de las que juegan sólo fútbol y tenis; el
número de personas que juegan sólo fútbol y basket es el triple de las que juegan los 3 deportes;
las personas que no practican ningún deporte son tantas como las que practican sólo tenis.
Hallar:
a) El número de personas que practican sólo dos deportes.
b) El número de personas que no practican ninguno de los tres deportes.
SOLUCION:
solución grafica según datos.

a) El número de personas que practican sólo dos deportes.

36 personas
b) El número de personas que no practican ninguno de los tres deportes.
15 personas.

16. En una encuesta realizada en un Super Mercado a 400 amas de casa sobre sus preferencias
de 3 productos A, B y C, se obtuvo el siguiente resultado: El número de amas de casa que
consume los tres productos es:
1/4 de los que consumen solamente el producto A
1/5 ” ” ” ” B
1/3 ” ” ” ” C
1/2 ” ” ” ” Los productos A y B
1/3 ” ” ” ” B Y C
1/3 ” ” ” ” A Y C
Sí 40 amas de casa declararon no consumir ninguno de los 3 productos hallar:
a) Cuantas amas de casa consumen solo un producto
b) Cuantas amas de casa consumen al menos dos productos
SOLUCION:
Planteamiento gráfico.

a) Cuántas amas de casa consumen sólo un producto.

Por el enunciado
a = 4x
b = 5x
c = 3x
n + x = 2x
n + p = 3x
m + x = 3x
sumando
a+b+c+n+m+p+3x = 20x
a+b+c+n+m+p = 17x… (1)
a+b+c+n+m+p+x+40 = 400
a+b+c+n+m+p+x = 360
de la ecuación (1)
18x + x = 360
X = 20 caseras que prefieren los tres productos.
b) Cuántas amas de casa consumen al menos dos productos.
N +m +p + x = 6x = 6(20)
 = 120 caseras prefieren al menos dos productos.
17. En una encuesta realizada en un Instituto de idiomas, se obtuvieron los siguientes resultados:
El número de personas que estudian inglés es 60, alemán 48 y francés 28. El número de personas
que estudian sólo franceses 1/3 de los que estudian sólo inglés y 1/2 de los que estudian sólo
alemán. El número de personas que estudian los tres idiomas es 1/2 de los que sólo estudian
inglés y francés. El número de personas que sólo estudian alemán y francés es 1/3 de los que sólo
estudian inglés y alemán.
Hallar:
a) Cuántas personas estudian un solo idioma.
b) Cuántas personas estudian sólo dos idiomas
SOLUCION:
Planteamiento gráfico.

a. Cuántas personas estudian un solo idioma.

Del enunciado
a=3c
b = 2c
2x = m
3p = n
a + n + x + m = 60
n + x + c + p = 48
m +x +c + p = 28
sumando tenemos
a+b+c+3x+2(m + n + p) = 136…(1)
6c + 3x + 2(2x + 4p) =136
6c + 3x + 2(m-28) =136
6c + 3x + 2(2x-28) =136
6c + 11x = 248
Donde
C=1
X = 22
Por lo tanto.
a=3
b=2
 c=1
lo que pide
a+b+c = 6 personas
b. Cuántas personas estudian sólo dos idiomas
De la ecuación 1
2(m + n + p) = 136 – 6(1) – 3(22)
2(m + n + p) = 64
Lo que nos pide
(m + n + p) = 32 personas.
18. En un edificio de departamentos, se sabe que: en el primer piso viven el 20% de las familias,
de las que la mitad tiene refrigerador. En el segundo piso viven el 40% de las familias, de las que
la mitad tiene refrigerador. En el tercer piso viven el 30% de las familias, de las que la tercera
parte tiene refrigerador. En el cuarto piso viven el 10% de las familias, ninguna de las cuales
tiene refrigerador.
a) Entre las familias con refrigerador, ¿qué porcentaje viven en el segundo piso?
SOLUCION:
ASUMIMOS QUE HAY 100 PERSONAS, ENTONCES:

PERSONAS CON TOTAL, PERSONAS PISOS

REFRIGERADOR
10 20 1
20 40 2
10 30 3
0 10 4
Entre las familias con refrigerador, ¿qué porcentaje viven en el segundo piso?
20
∗100=50 %
40