PROBLEMAS RESUELTOS DE CINEMATICA (OPTACIANO) - (Reparado)

Física General I Cinemática de una Partícula Optaciano Vásquez García 1900
Problema 01 El movimiento de una partícula se

define por la relación 𝑥 = 2𝑡 2 − 20𝑡 +
El movimiento de una partícula se 60, donde x se expresa en pies y t en
define por la relación 𝑥 = 2𝑡 3 − 6𝑡 2 + segundos. Determine: (a) el tiempo en
15, donde x se expresa en m y t en el cual la velocidad es cero, (b) la
segundos. Determine el tiempo, la posición y la distancia total recorrida
posición y aceleración cuando v = 0. cuando t = 8 s.
Solución Solución
Las ecuaciones de movimiento son Las ecuaciones de movimiento son
x  2t 3  6t 2  15 x  (2t 2  20t  60) pies
dx
v  6t 2  12t
dt dx
v  (4t  20) pies / s
dv dt
a  12t  12
dt dv
a  4 pies / s 2
dt
(a) El tiempo en el cual la velocidad es
nula. Parte (a) Instante en el que v = 0
v  4t  20  0  t  5s
v  6t 2  12t  0
t0  0 Parte (b): Posición cuando t = 8 s
t  2s
x  2t 2  20t  60
(b) La posición cuando v = 0 x8  2(8)3  20(8)  60
x8  28 pies
x  2t 3  6t 2  15
x0  2(0)3  6(0) 2  15 Parte (c): La distancia total recorrida
desde t = 0 hasta t = 8 s. Para
x0  15m
determinar la distancia total es
x2  2(2)3  6(2) 2  15 necesario hacer una gráfica v-t de donde
x2  7m se ve que la distancia total es igual es
igual al área bajo dicha curva en el
(c) La aceleración cuando v = 0. intervalo desde t = 0 s a t = 8 s.
Remplazando los valores del tiempo
cuando v = 0 se tiene
a  12t  12
a0  12(0)  12  12m / s 2
a2  12(2)  12  12m / s 2
Problema 02
1
1 1 k
dT  A1  A2  (5)(20)  (3)(12) vdv  ( )dx
2 2 x
dT  68 pies v x dx
0 vdv  k x0 x
Problema 03 v2
v
  k ln x x
x
El movimiento de una partícula es 2 0 0
rectilíneo y su aceleración se expresa v 2  2k[ln x  ln x0 ]

mediante la ecuación:
x 
v  2k ln  0 
k
a  ( )iˆ  x
x
Parte (b): velocidad cuando x = xo/2 y k
Donde a es la aceleración en mm/s2, x = 18 mm2/s2.
es la posición de la partícula expresada
en mm y k es una constante. La  
velocidad es nula cuando x = x0. (a) v  2(18) ln  x0 
 36 ln 2
 x0 
Obtenga una expresión para la  2
velocidad en términos de x, (b) calcule v  4,99mm / s
la velocidad cuando x = xo/2 y k = 18
mm2/s2.
Solución Problema 04
Parte (a): Se sabe que Una partícula se mueve en la dirección

del eje x de modo que su velocidad
dv d (viˆ) dv k
a   i  ( )iˆ varía según la ley 𝑣 = 𝛽√𝑥, donde v es
dt dt dt x
la velocidad instantánea en cm/s, x es la
posición en cm y β es una constante
Aplicando la regla de la cadena se tiene positiva. Teniendo en cuenta que en el
momento t = 0 la partícula se
dv dx dv k
 v  ( ) encontraba en el punto x = 0,
dx dt dx x determine: (a) la dependencia de la
velocidad y la aceleración respecto del
Separando variables e integrando, se tiempo, (b) la velocidad media de la
obtiene partícula en el tiempo, en el transcurso
del cual recorre los primeros S metros.
Solución.
Parte (a): velocidad en función del

tiempo.
Sabemos que
2
v
dx
 x Un proyectil penetra en un medio
dt resistente en x = 0 con una velocidad
dx
  dt inicial v0 = 270 mm/s y recorre 100 mm
x antes de detenerse. Suponiendo que la
x t
 0
x 1/ 2 dx    dt
0
velocidad del proyectil esté definida por
1 22 la relación 𝑣 = 𝑣0 − 𝑘𝑥 , donde v se
x  t (1) expresa en m/s y x está en metros.
4
Determine: (a) la aceleración inicial del
Derivando la última ecuación respecto proyectil, (b) el tiempo que tarda en
del tiempo se tiene penetrar 95 mm en el medio.
1
d [  2t 2 ] Solución.
dx
v  4
dt dt
1 Parte a: Cálculo de la constante k: Se
v   2t (2)
2 sabe que cuando x = 0,1 m, la velocidad
es nula, entonces de la ecuación de la
Aceleración en función del tiempo. velocidad se tiene
dv d  1 2  v  v0  kx
a   t
dt dt  2  v  270  kx
2 0  270m / s  k (0,1m)
a (3)
2 k  2700s 1 (1)
Parte (b): Velocidad media Entonces la aceleración para cualquier

posición será
x x  x0 x  0 x dv d
vm     (4) av  (v0  kx) (v0  kx)
t t  t0 t 0 t dx dx
a  2700(270  2700 x) (2)
Cuando x = S, el tiempo es
La aceleración inicial es
1 22 4S 2
S  t t   S (5) a  2700(270  2700 x)
4  2

a0  2700[270  2700(0)]
Remplazando la ecuación (5) en (4) a0  729.103 m / s 2 (3)
resulta
Parte (b): Tiempo que tarda en penetrar
S  S 95 mm
vm  v
2 S 2

Problema 05
3
v
x dx t
 0
  dt
270  2700 x 0
v2
[2v0v  ]  5t
2 v
x 0
1
t ln(270  2700 x) 4v0v  v  3v  10t
2 2
0 (1)
2700 0
1  1 
t ln   Parte (a): Cálculo de v0. De los datos se
2700  1  10 x 
tiene que para t = 2 s, la velocidad es v
= v0/2, entonces de la ecuación (1) se
Cuando x = 95 mm, el tiempo será obtiene
1  1 
t ln  
v v
4v0 ( 0 )  ( 0 )2  3v02  10(2s)
2700  1  10(0, 095m)  2 2
t  1,11.103 s v0  4m / s (2)
Parte (b): Tiempo que tarda en

Problema 06 detenerse. Cuando la partícula se
detiene, su velocidad es cero, entonces
Cuando t = 0 una partícula parte de x =
0 y su aceleración definida por la 4v0v  v 2  3v02  10t
relación 4v0 (0)  02  3(4m / s) 2  10t
5
a t  4,8s
[2v0  v]
Parte (c): Su posición cuando la

Donde a y v se expresan en m/s2 y en velocidad es de 1 m/s.
m/s, respectivamente. Sabiendo que
para t = 2 s, la velocidad es v = 0,5 v0. v
Determine: (a) la velocidad inicial de la  2 v3 

v0 v  3   5 x
partícula, (b) su posición cuando la   v0
velocidad es de 1 m/s y (c) su posición v3 2v03
cuando la velocidad es de 1 m/s. v0 v 2    5 x
3 3
Solución Remplazando los valores

correspondientes resulta
En primer lugar se determina una
relación entre la velocidad y el tiempo, x  7,8m
es decir
Problema 07
dv 5
a 
dt [2v0  v] La velocidad de una partícula se define
(2v0  v)dv  5dt mediante la expresión
v  (5t 2  8t )iˆ
v t

v0
(2v0  v)dv  5 dt
0
Donde v y t se expresan en m/s y en s,
respectivamente. Cuando t = 1 s la
partícula se encuentra localizada en 𝑟⃗ =
4
3𝑖̂ , y se dirige hacia la izquierda. dT  6,83  10, 24  9  6,83  10, 24

Calcule: (a) el desplazamiento de la dT  15,82m
partícula durante el intervalo entre t = 0
s y t = 3 s, (b) la distancia total Parte (c): aceleración cuando la
recorrida por la partícula durante el velocidad es nula
intervalo entre t = 0 s y t = 3 s. y (c) la
aceleración de la partícula cuando su dv d
velocidad es nula. a  [(5t 2  8t )iˆ]
dt dt
a  [10t  8]i
Solución.
a  [10(1, 6)  8]i
Parte (a): desplazamiento t = 0 s y t =
3 s. a  (8iˆ)m / s 2
Se sabe que
Problema 08
dr
v  (5t 2  8t )iˆ La aceleración de una partícula es 𝑎 =
dt
𝑘 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡/𝑇) . Si tanto la velocidad
dr  (5t 2  8t )iˆ
r t 3 como la coordenada de posición de la
 r0
dr  
0
(5t 2  8t )dtiˆ partícula son cero cuando t = 0.
3 Determine: (a) las ecuaciones de
5t 3
r  r0  [  4t 2 ]i movimiento, (b) La máxima velocidad,
3 0 (c) la posición para t = 2T, (d) la
3
5(3) velocidad media en el intervalo de t = 0
r  [  4(3) 2 ]i
3 hasta t = 2T.
r  (9iˆ)m
Solución
Parte (b): Distancia total entre t = 0 s y
t = 3 s. Parte (a) Ecuaciones de movimiento
Para calcular la distancia total primero dv  t   t 

a  ksen    dv  ksen   dt
se determina la el instante en el cual la dt T  T 
velocidad se anula, esto es v t  t 
0 dv  k 0 sen  T  dt
dr
 (5t 2  8t )iˆ  0
t
v kT    t  
v
   T   0
dt cos
t  1, 6s
kT    t 
v 1  cos    (1)
Entonces la distancia total será    T 
1,6 s 3s
La posición en función del tiempo será
dT  
0
(5t 2  8t )dt  1,6 s
(5t 2  8t )dt
1,6 s 3s
5t 3 5t 3
dT   4t 2   4t 2
3 0
3 1,6 s
5
dx kT    t  Entonces s aplica los frenos y el auto se

v  1  cos  T  
dt     detiene por 5 s más. Determine la
kT    t 
distancia recorrida por el auto.
dx  1  cos    dt
   T 
Solución
x 
kT t   t 
0 dx   0 1  cos  T  dt
En la figura se muestra los datos del
kT  t t  t   enunciado del problema
x 
 0 dt   cos   dt 
0
T  
kT 2   t   t 
x  2   sen    (2)
 T  T 
Parte (b). La velocidad será máxima

cuando t = T
Movimiento de A hasta B. Es un
MRUV
kT    t   kT    T 
v 1  cos     1  cos   1
   T     T  xB  x0  v0t  a1t 2
2
2kT
vmax  1
xB  0  0(1s)  (1m / s 2 )(1s) 2
 2
xB  0,5m (1)
Parte (c). La posición cuando t = 2T. vB  v0  at
kT 2   t vB  0  (1m / s 2 )(1s)
  t 
x  2   sen   
 T  T  vB  1m / s (2)
kT 2   (2T )  2 T 
x2T  2   sen   Movimiento de B hasta C. Es un
  T  T 
2kT 2
MRUV
x2T 

1
xC  xB  vBt  a2t 2
2
Parte (d). Velocidad media para 0 ≤
1
𝑡 ≤ 2𝑇 xC  0,5  1m / s(10s)  (0, 05m / s 2 )(10 s) 2
2
2kT 2
0 xC  8m (3)
x2T  x0
 
kT
vm   vm  vC  vB  a2t
t 2T  t 0 2T  0 
vB  1m / s  (0, 05m / s 2 )(10s)
vB  0,5m / s (4)
Problema 09
Movimiento de B hasta C. Es un
Un automóvil parte del reposo y se MRUV
desplaza con una aceleración de 1 m/s2
durante 1 s, luego se apaga el motor y el vD  vC  a3t
auto desacelera debido a la fricción 0  0,5m / s  a3 (5s)
durante 10 s a un promedio de 5 cm/s2. a3  0,1m / s (6)
6
1
xD  xC  vC t  a3t 2
2 1 2
xO  xB  vBt BO  at BO
1 2
xD  8  0,5m / s (5s )  (a3 )(5s ) 2
2 1 2
0  xB  0(t BO )  at BO
25 2
xD  10,5m  (0,1m / s 2 )
2 1 2
xB   at BO (3)
xD  9, 25m (Rta) 2
Problema 10 Según condición del problema el

tiempo que demora la partícula en ir de
Una partícula que se mueve a lo largo A hasta B y posteriormente a O es 3 s,
del eje x con aceleración constante, entonces
tiene una velocidad de 1,5 m/s en el
sentido negativo de las x para t = 0, t AB  tBO  3s
cuando su coordenada x es 1,2 m. Tres tBO  3s  t AB (4)
segundos más tarde el punto material
pasa por el origen en el sentido Remplazando la ecuación (4) en (3) nos
positivo. ¿Hasta qué coordenada da
negativa se ha desplazado dicha
partícula?. 1
xB   a(3  t AB ) 2 (5)
2
Solución Comparando las ecuaciones (1) y (5), se
tiene
La partícula se mueve con MRUV,
entonces para resolver el problema se 1, 2  1,5t AB  at AB
2
 3at AB  4,5a  0 (6)
hace por tramos
Remplazando la ecuación (2) en (6)
resulta
1, 2  1,5(1,5 / a)  a(1,5 / a) 2  3a(1,5 / a)  4,5a  0

4,5a  3,3  0
Tramo AB. El movimiento es variado a  0, 733m / s 2
1 2
xB  xA  vAt AB  at AB
2 El tiempo que demora la partícula en ir
1 2 de A a B es
xB  1, 2m  1,5t AB  at AB (1)
2
vB  vA  at AB 1 1
t AB  
0  1,5m / s  at AB a 0, 733
at AB  1,5m / s (2) t AB  2, 045s
Tramo BO. Es un movimiento Remplazando este tiempo y la

rectilíneo variado aceleración encontrados en la ecuación
(3) se tiene
7
120 m dx t
1 30 m
273  1, 6 x
  dt
0
xB  (0, 733m / s 2 )(2, 045s) 2
2 120 m
t  1, 25 273  1, 6 x
xB  1,533m 30
t  7,5s (2)
Problema 11
Cálculo del desplazamiento x durante
Un cuerpo se mueve en línea recta con los dos segundos que preceden a la
una velocidad cuyo cuadrado disminuye llegada a B. Para ello se determina la
linealmente con el desplazamiento entre posición cuando t = (7,5 s – 2 s) = 5,5
los puntos A y B los cuales están s.
separados 90 m tal como se indica.
Determine el desplazamiento Δx del x dx 5,5
cuerpo durante los dos últimos  30

273  1, 6 x
  dt
0
segundos antes de llegar al punto B. x

1, 25 273  1, 6 x  5,5s
30
1, 25 273  1, 6 x  1, 25 273  1, 6(30)  5,5s

1, 6 x  160, 64
x  100.4m
El desplazamiento es
x  x7,5  x5,5  120m  100, 4m

x  19, 6m Rta
Solución
Se determina la relación entre la Problema 12
velocidad y la posición determinando la
ecuación de la recta. El movimiento de una partícula es
rectilíneo y su aceleración que es
225  81 constante se dirige hacia la derecha.
v 2  225  ( x  30)
30  120 Durante un intervalo de 5 s la partícula
v 2  273  1, 6 x se desplaza 2,5 m hacia la derecha
v  273  1, 6 x (1) mientras que recorre una distancia total
de 6,5 m. determine la velocidad de la
Procedemos ahora a determinar el partícula al principio y al final del
tiempo que demora en recorrer los 90 intervalo y la aceleración durante este.
m.
dx Solución
v  273  1, 6 x
dt
Se conocen
a  cte ; t  5s; x  2,5m
dT  6,5m; v0  ??; v f  ??; a  ??
8
Debido a que la aceleración es vf

a  tg   v f  at2 (6)
constante el diagrama v-t es útil para t2
resolver el problema. v0
a  tg   v0  at1 (7)
t1
Remplazando la ecuación (6) y (7) en

(4) y (5) resulta
a(t2 ) 2  9
a(t1 )2  4
t2 3

t1 2
De la figura se observa que t2  1,5t1 (8)
t  t1  t2  5s (1) Remplazando la ecuación (8) en (1) se

tiene
Sabiendo que el desplazamiento es x =
4,5 m, entonces tenemos t1  1,5t1  5s
t1  2 s (9)
A1  A2  2,5m
t 2  3 s (10)
1 1
 (t1 )(v0 )  (t2 )(v f )  2,5m (2)
2 2
Remplazando las ecuaciones anteriores
en (4) y (5) resulta
Conocemos la distancia total dT =6,5 m,
es decir
3v f  9  v f  3m / s 
A1  A2  6,5m 2v0  4  v0  2m / s 
1 1
(t1 )(v0 )  (t2 )(v f )  6,5m (3) Entonces la aceleración será
2 2
3m / s  a(3s )
Sumando las ecuaciones (1) y (2),
tenemos a  1m / s 2
(t2 )(v f )  9m (4)

Problema 13.
Restando las ecuaciones (2)
Una partícula parte del reposo y se
(t1 )(v0 )  4 (5)
mueve describiendo una línea recta, su
aceleración de 5 m/s2 dirigida hacia la
derecha permanece invariable durante
La pendiente de la curva v-t nos da la
12 s. A continuación la aceleración
aceleración
adquiere un valor constante diferente tal
que el desplazamiento total es 180 m
hacia la derecha y la distancia total
9
recorrida es de 780 m. Determine: (a) la El desplazamiento viene expresado

aceleración durante el segundo como
intervalo de tiempo, (b) el intervalo
total de tiempo. x  A1  A2  180m 
1 1
(t1  t2 )(v1 )  (t3 )(v3 )
2 2
Solución 1 1
(12s  t2 )(60m / s)  (t3 )(v3 )  180m (3)
2 2
Sumando las ecuaciones (3) y (3) se

tiene
(12s  t2 )(60m / s )  960m

t2  4s (4)
Cálculo de la aceleración durante el

segundo intervalo de tiempo.
Se conocen
v1 60m / s
a2  tg   
t2 4s
a1  5m / s 2 ; t  12s; x  180m
a2  15m / s  (5)
dT  780m; v0  0; a2  ??; tT  ??
Se procede a determinar el intervalo

Debido a que la aceleración es
de tiempo t3.
constante esta es igual a la pendiente
de la curva v-t. Entonces v3
a2  tg    15m / s 2
t3
v1
a1  tg  5m / s 2  v3  15m / s 2 (t3 ) (6)
t1
v1  (5m / s 2 )(t1 )  (5m / s 2 )(12s )
v
Remplazando
a1  tg  5m / s 2  1
t1
1 1
v1  (5m / s 2 )(t1 )  (5m / s 2 )(12s ) (12s  4s )(60m / s )  (t3 )(15t3 )  180m
2 2
v1  60m / s (1) 1
480m  (15m / s 2 )(t3 ) 2  180m
2
La distancia total es igual a la suma t3  6,32 s
de las áreas en valor absoluto, es El intervalo de tiempo total será
decir
t  t1  t2  t3  12s  4s  6,33s
dT  A1  A2  780m 
1 1
(t1  t2 )v1  (t3 )v3
t  22,33seg
2 2
1 1 Problema 14
(12 s  t2 )(60m / s )  (t3 )(v3 )  780m (2)
2 2
La caja C está siendo levantada

moviendo el rodillo A hacia abajo
10
 16  x A2  (2 x A ) A  0
con una velocidad constante de dxC 1 1/ 2 dx
vA =4m/s a lo largo de la guía. dt 2 dt
Determine la velocidad y la vC  
xA
vA (4)
aceleración de la caja en el instante 16  x A2
en que s = 1 m . Cuando el rodillo
está en B la caja se apoya sobre el Remplazando valores obtenemos
piso.
3m(4m / s )
vC  
16  32
vC  2, 4m / s 
La aceleración se obtiene derivando la

ecuación (4) respecto del tiempo. Es
decir
dvC d  xA 
aC    vA 
dt dt  16  xA2 
 
 v2 xAaA x A2 v A2 
aC    A
  
 16  xA2 16  xA2 [16  x A2 ]3 
Remplazando los valores consignados

Solución en el enunciado del problema resulta
La relación de posiciones se determina  42 3(0) 32 (42 ) 
teniendo en cuenta que la longitud del aC      
 16  9 16  9 [16  9]3 
cable que une al bloque y el rodillo
permanece constante si es que es aC  2, 048m / s 2
flexible e inextensible aC  2, 048m / s 2 
xC  42  xA2  8m (1)
Cuando s = 1 m, la posición de la caja Problema 15

C será
La corredera A parte del reposo y
xC  4m  s  4m  1m asciende a aceleración constante.
xC  3m (2) Sabiendo que a los 8 s la velocidad
relativa de la corredera B respecto a la
Se determina ahora la posición xA, A es de 0,6 m/s. Halle las aceleraciones
cuando s = 1 m de A y B, (b) la velocidad y el cambio
de posición de B al cabo de 6 s.
3m  42  x A2  8m
xA  3m (3)
La velocidad de la caja C se obtiene

derivando la ecuación (1) respecto del
tiempo, es decir
11
aA  2(0,025m / s 2 )  0
aA  0,05m / s 2  0,05m / s 2 
Problema 16
En la figura mostrada, el bloque A se
está moviendo hacia la derecha con una
celeridad de 4 m/s; la celeridad
disminuye a razón de 0,15 m/s2. En el
instante representado sA = 8 m y sB = 6
m. Determine la velocidad relativa 𝑣⃗𝐵/𝐴
y la aceleración relativa 𝑎⃗𝐵/𝐴 .
Solución
Utilizando cinemática de movimientos
dependientes se encuentra la relación
entre posiciones
2S A  S B  ( S B  S A  h)  LC
S A  2S B  Cte (1)
La velocidad y la aceleración son

vA  2vB  0 (2)
a A  2aB  0 (3) Solución
Según datos del ejercicio Utilizando cinemática de movimientos

dependientes se encuentra la relación
vB / A  vB  vA  0,6m / s (4) entre posiciones
Remplazando la ecuación (2) en (4), 2S A  3S B  LC (1)
obtenemos
La relación entre velocidades es
vB  (2vB )  0, 6m / s
2vA  3vB  0 (2)
3vB  0, 6m / s
2aA  3aB  0 (3)
vB  0, 2m / s (5)
La aceleración de B después de 8 s será Cuando la velocidad de A es 4 m/s

hacia la derecha se tiene
vB  v0, B  aBt
2(4m / s)  3vB  0
0, 2m / s  0  aB (8s)
vB  2,67m / s 
aB  0, 025m / s 2 (6)
Remplazando la ecuación (6) en la La velocidad relativa de B con respecto

ecuación (3) a A será
12
vB / A  vB  vA Utilizando cinemática de movimientos

vB / A  2,67 ˆj  4iˆ dependientes se tiene
La aceleración de B Cuerda I
2a A  3aB  0 SP  SC  L1 (3)
2(0,15m / s 2 )  3aB  0 Cuerda II

aB  0,1m / s 2
( S A  S P )  ( S B  S P )  L2
aB  0,1m / s 2 
S A  S B  2S P  L2 (4)
La aceleración relativa de B con
Derivando respecto del tiempo las
respecto a A será
ecuaciones (3) y (4) se obtiene la
aB / A  a B  a A relación entre las velocidades.
aB / A  (0,1 ˆj  0,15iˆ)m / s 2 vP  vC  0 (5)
vA  vB  2vP  0 (6)
Problema 17 Remplazando la ecuación (5) en (6),

resulta
Los tres bloques mostrados en la figura
se desplazan con velocidades vA  vB  2vC  0 (7)
constantes. Determine la velocidad de
Resolviendo simultáneamente las
cada uno de los bloques sabiendo que la
ecuaciones (1), (2) y (7) se obtiene
velocidad relativa de C con respecto a
A es 200 mm/s hacia arriba y que la (vC  200mm / s)  (vC  120mm / s)  2vC  0
velocidad relativa de B con respecto a vC  80mm / s
C es 120 mm/s hacia abajo.
vC  80mm / s 
v A  120mm / s 
v A  40mm / s 
Problema 18
La posición de una partícula que se
mueve sobre el plano xy se expresa
mediante la ecuación
r  20t 3iˆ  50t 2 ˆj

Donde r y t se expresan en milímetros y
Solución segundos, respectivamente. Determine:
(a) El desplazamiento durante el
Según datos del ejercicio se tiene
intervalo entre t = 1 s y t = 3 s; (b) la
vC / A  vC  vA  200mm / s (1) velocidad media durante el intervalo
vB / C  vB  vC  120mm / s (2) entre t = 1 s y t = 3 s; (c) la velocidad
13
cuando t = 2 s y (d) la aceleración 1

están regidos por 𝑥 = 20 + 𝑡 2 e 𝑦 =
4
cuando t = 2 s. 1 3
15 − 𝑡 , donde x e y están en
6
Solución milímetros y t en segundos. Calcular los
módulos de las velocidad y de la
Parte (a) Desplazamiento aceleración a del pasador para t = 2 s.
esquematizar la forma de la trayectoria
r  r3  r1 e indicar su curvatura en ese instante.
r   20(3)3 iˆ  50(3)2 ˆj    20(1)3 iˆ  50(1) 2 ˆj 
r  520iˆ  400 ˆj
Parte (b). La velocidad media en el

intervalo de t = 1 s a t = 3 s, será
r 520iˆ  400 ˆj
vm  
t 3s  1s
vm  (260iˆ  200 ˆj )mm / s
Solución
Parte (c). La velocidad instantánea para
t = 2 s es La posición, velocidad y aceleración del
punto P son
dr
v  60t 2iˆ  100tjˆ 1 1
dt r  xiˆ  yjˆ  (20  t 2 )iˆ  (15  t 3 ) ˆj
4 6
v2  60(2) 2 iˆ  100(2) ˆj 2
dr t ˆ t ˆ
v2  (240iˆ  200 ˆj )mm / s v  i j
dt 2 2
dv 1 ˆ ˆ
Parte (d). La aceleración instantánea a  i  tj
dt 2
para t = 2 s es
La velocidad y la aceleración cuando t
dv = 2 s son
a  120tiˆ  100 ˆj
dt
v2  (iˆ  2 ˆj )m / s
a2  120(2)iˆ  100 ˆj
v2  5m / s
a2  (240iˆ  100 ˆj )mm / s 2
1
a  ( iˆ  2 ˆj )m / s 2
2
Problema 19 a  2, 062m / s 2
Los movimientos x e y de las guías A y La ecuación de la trayectoria es

B, cuyas ranuras forman un ángulo 2
recto, controlan el movimiento del 1 t
x  20  t 2  ( x  20)   
pasador de enlace P, que resbala por 4 2
ambas ranuras. Durante un corto t  2( x  20)1/ 2
intervalo de tiempo esos movimientos
14
1
y  15  t 3 x  2t 2  t  2
6 y  2t  2
1 3
y  15   2( x  20)1/ 2 
6 Despejando el tiempo de la última
6( y  15)  8( x  20)3/ 2 ecuación y remplazando en la
9( y  15) 2  2( x  20)3 coordenada x resulta
y
t 1
Problema 20 2
2
y  y 
x  2   1    1  2
La velocidad de una partícula que se 2  2 
mueve sobre el plano xy se define 2 x  y 2  5 y  10
mediante la ecuación
Problema 21
v  (4t  1)iˆ  2 ˆj
El vector de posición de un punto
Donde v y t se expresan en m/s y en material que se mueve en el plano xy
segundos, respectivamente. La partícula está dado por
está localizada en 𝑟⃗ = 2 3  t4
(3𝑖̂ + 4𝑗̂)𝑚, cuando t = 1 s. determine r   t 3  t 2  iˆ  ˆj
3 2  12
la ecuación de la trayectoria descrita
por la partícula. Donde 𝑟⃗está en metros y t en segundos.
Determine el ángulo que forman la
Solución
velocidad 𝑣⃗ y la aceleración 𝑎⃗ cuando
En primer lugar se determina la (a) t = 2 s y (b) t = 3 s.
posición de la partícula en cualquier
Solución
instante, mediante integración de la
velocidad. La velocidad y la aceleración en
dr
cualquier tiempo están dadas por las
v  (4t  1)iˆ  2 ˆj ecuaciones
dt
r t
r1 dr  1s (4t  1)iˆ  2 ˆj  dt
3
t
v  (2t 2  3t )iˆ  ˆj
t 3
r  r1  (2t 2  t )iˆ  2tjˆ  a  (4t  3)iˆ  t ˆj
2
1s
Remplazando la posición cuando t = 1 Las expresiones vectoriales así como su

s, resulta módulos de la velocidad y la
aceleración cuando t = 2 s son
r  (3iˆ  4 ˆj )  (2t 2  t )iˆ  2tjˆ   (2(1) 2  1)iˆ  2(1) ˆj 
r  xiˆ  yjˆ  (2t 2  t  2)iˆ  (2t  2) j (2)3 ˆ
v2  [2(2)2  3(2)]iˆ  j
3
8ˆ
Las ecuaciones paramétricas de la curva v2  (2iˆ  j )m / s
son 3
v2  3,33m / s
15
a2  [4(2)  3]iˆ  (2) 2 ˆj

a2  (5iˆ  4 ˆj )m / s 2
a2  5,83m / s 2
Parte (a). Angulo entre la velocidad y la

aceleración cuando t = 2 s.
v2 .a2  v2 a2 cos 
 ˆ 8ˆ   ˆ ˆ
(2i  3 j )  . (5i  4 j )   (3,33)(6, 4) cos  Solución
20, 67  21,32 cos  Movimiento horizontal de la saca de
  14, 21 correos
Parte (b) Angulo entre la velocidad y la x  v0 xt  55,56t (1)
aceleración cuando t = 3 s.
Movimiento vertical de la saca de
3
v3  [2(3) 2  3(3)]iˆ 
(3) ˆ
j
correos
3
1 2 1
v3  (9iˆ  9 ˆj )m / s y  v0 y t  gt  y   gt 2
2 2
v3  12, 73m / s
Cuando la saca llega al hombre se tiene
a3  [4(3)  3]iˆ  (3) 2 ˆj
a3  (9iˆ  9 ˆj )m / s 2 1
100m   (9,8m / s 2 )t 2
2
a3  12, 73m / s 2
t  4,52 s (2)
v3 .a3  v3 a3 cos 
(9iˆ  9 ˆj )  . (9iˆ  9 ˆj )   (12, 73)(12, 73) cos  Remplazando la ecuación (2) en (1)
   
resulta
162  162, 05cos 
  1, 42 x  (55,56m / s)(4,52 s)
x  251,13m
Problema 22
Calculo del ángulo β
El piloto de un avión que se mueve
horizontalmente a una velocidad de 200 tg  
100m
km/h y que transporta una saca de 251,13m
correos a un lugar remoto desea soltarlo   21, 7
en el momento justo para que alcance el
punto en donde se encuentra ubicado un Problema 23
hombre. ¿Qué ángulo β deberá formar Un baloncestista quiere lanzar una falta
la visual al blanco con la horizontal en con un ángulo θ = 50° respecto a la
el instante del lanzamiento?. horizontal, tal como se muestra en la
figura. ¿Qué velocidad inicial v0 hará
que la pelota pase por el centro del aro?.
16
un punto A localizado a 1,5 m arriba del

piso. Si el techo del gimnasio tiene una
altura de 6 m. determine la altura del
punto B más alto al que puede pegar la
pelota en la pared a 18 m de distancia.
Solución
Ecuaciones de movimiento horizontal
x  v0 xt  v0 cos  t  x  v0 cos50t
Cuando la pelota pasa por el centro del Solución

aro x = 4 m, entonces se tiene
En la figura se muestra el sistema de
4m  v0 cos 50t  t 
4m
(1)
referencia escogido para resolver el
v0 cos 50 problema
Ecuaciones de movimiento vertical
1
y  y0  v0 y t  gt 2
2
y  2,1  v0 sen50t  4,9t 2
Cuando la pelota pasa por el centro del

aro y = 3 m, entonces se tiene
3m  2,1m  v0 sen50t  4,9t 2
Ecuaciones de movimiento horizontal
0,9m  v0 sen50t  4,9t 2 (2)
x  v0 xt (1)
Remplazando la ecuación (1) en (2),
resulta Ecuaciones de movimiento vertical
   
2 v y  vAy  gt (2)
4 4
0,9  v0 sen50    4,9  
 v0 cos 50   v0 cos 50 
1
y  y A  v Ay t  gt 2  1,5  v Ay t  4,9t 2 (3)
2
78, 4
0,9  4tg 50  2 v y  vAy  2 g ( y  y A ) (4)
2 2
v0 cos 2 50
78, 4 El punto más alto B se logrará cuando
 3,867
v (cos 50) 2
2
0 la pelota pase rosando el techo del
gimnasio (punto C), en este caso la
v0  7m / s
velocidad en la dirección y del punto C
Problema 24 será nula y la altura y = 6 m, de la
ecuación (4) se tiene.
Un jugador lanza una pelota con una
velocidad inicial v0 = 15 m/s desde
17
2
vCy  v Ay
2
 2 g ( yC  y A )
0  vAy
2
 19, 6(6  1,5)
vAy  9,396m / s (5)
La componente x de la velocidad del

punto A será
vA2  vAx
2
 vAy
2 Ecuaciones de movimiento horizontal
152  vAx
2
 9.3962 x  v0 xt  (v0 cos  )t
vAx  11,59m / s (6) x  (200cos 60)t  x  100t (1)
Remplazando la ecuación (6) en (1) Ecuaciones de movimiento vertical

resulta
1 1
y  v0 y t  gt 2  v0 sen t  gt 2
x  (11, 69m / s)t 2 2
18m  (11, 69m / s )t 1
y  (200sen60)t  (9,8)t 2
t  1,54s 2
y  173, 2t  4,9t 2
(2)
Remplazando el valor del tiempo en la
ecuación (3) resulta. Del gráfico puede observarse que
cuando el proyectil impacta en B ha
yB  1,5m  9,396m / s(1,54 s)  4,9m / s 2 (1,54 s) 2 recorrido una distancia horizontal xB y
yB  h  4,342m una altura yB. Entonces se tiene.
yB
tg 
Problema 25 xA
yB  xtg 20 (3)
Se lanza un proyectil con una velocidad
inicial v0 = 200 m/s y un ángulo θ = 60° Remplazando las ecuaciones (1) y (2)
respecto a la horizontal. Si el plano en la ecuación (3), resulta
inclinado forma un ángulo α = 20° con
el horizonte. Determine el alcance R 173, 2t  4,9t 2  (100t )(tg 20)
medio pendiente arriba. t  27,92s (4)
Cálculo de R. Del grafico se tiene que

x  R cos 
100t  R cos 20
100(27,92)  R cos 20
R  2971,18m Rta.
Solución
Problema 26
En la figura se muestra el sistema de
referencia escogido para resolver el En la figura mostrada, una pelota se
problema lanza desde un plano inclinado y choca
18
contra este a una distancia S = 76,4 m. 2

vCy  v02y  2 g (h)
Si la pelota sube a una altura máxima h 0  v02 y  19, 6(19,3)
= 19,3 m arriba del punto de salida.
v0 y  19, 45m / s (5)
Determine: (a) la velocidad inicial v0 y
(b) la inclinación θ. Cuando la pelota impacta en el punto B
cuyas coordenadas respecto al sistema
de referencia son
B( S cos  ,  Ssen )
Remplazando estos valores en las

ecuaciones (1) y (3) resulta.
x  v0 xt
S cos   v0 xt
Solución
En la figura se muestra el sistema de  3 
76, 4    v0 xt (6)
referencia escogido para resolver el  10 
problema
1
y  v0 y t  gt 2
2
 Ssen  19, 45t  4,9t 2
 1 
76.4    19, 45t  4,9t
2
 10 
4,9t 2  19, 45t  24,16  0

t  4,96s (7)
Ecuaciones de movimiento horizontal Remplazando la ecuación (7) en (6) nos

da
x  v0 xt  (v0 cos  )t (1)
 3 
Ecuaciones de movimiento vertical 76, 4    v0 x (4,96s)
 10 
v y  v0 y  gt  v0 sen  gt (2) v0 x  14, 61m / s
1 La velocidad inicial es
y  v0 y t  gt 2  (v0 sen )t  4,9t 2 (3)
2
v y  v02y  2 g ( y ) (4)
2
v0  v02x  v02y  14, 612  19, 452
v0  24,33m / s
Cuando la pelota alcanza la posición C,
la componente y de la velocidad en El ángulo θ tiene el siguiente valor
dicha posición es nula. Entonces la
ecuación (4) se escribe en la forma v0 y 19, 45
tg    1,331
v0 x 14, 61
  53
19
dvx
ax   kvx
dt
Problema 27 dvx
 kdt
vx
En el instante t = 0 se lanza un
dvx
vx t
proyectil en el seno de un fluido 
v0 x v
 k  dt
0
experimental. La velocidad inicial es v0 x
y θ es el ángulo con la horizontal, la vx  v0 x e  kt  (v0 cos  )e  kt (5)

resistencia sobre el proyectil se traduce
dx
en una aceleración 𝑎⃗𝐷 = −𝑘𝑣⃗, donde k vx   (v0 cos  )e  kt
dt
es una constante y 𝑣⃗ es la velocidad del x t
proyectil. Determinar como funciones 0
dx  v0 cos   e  kt dt
0
del tiempo las componentes x e y tanto v cos 
de la velocidad como del x 0
k
1  e  kt  (6)
desplazamiento. ¿Cuál es la velocidad
terminal?. Se incluirán los efectos de la Se analiza el movimiento vertical,
aceleración de la gravedad. esto es
dv y
ay   (kv y  g )
dt
dv y
  kdt
g
(v y  )
k
vy dv y t
 v0 y g 0
 k  dt
(v y  )
Solución k
 g g
La aceleración debido a la v y   v0 y   e  kt 
 k k
resistencia del agua se puede escribir
 g g
en la forma v y   v0 sen   e  kt  (7)
 k k
aD  kv  k (vxiˆ  v y ˆj ) (1)
y  g t g t
La aceleración neta que actúa sobre 0
dy   v0 sen    e  kt dt   dt
 k 0 k 0
el proyectil será 1 g
y   v0 sen   1  e  kt   t
g
(8)
k k k
a  aD  gjˆ  k (vxiˆ  v y ˆj )  gjˆ
a  kvxiˆ  (kv y  g ) ˆj (2) La velocidad terminal se determina
haciendo 𝑡 → ∞, rs decir
Las componentes de la aceleración
vx  (v0 cos  )e  k (  )  vx  0
serán
ax  kvx  g g
(3) v y   v0 sen   e  k (  ) 
a y  (kvy  g ) (4)  k k
g
vy  
Se analiza el movimiento horizontal, k
esto es
20
Problema 28 Movimiento vertical: Es un movimiento

uniformemente variado con una
Una bomba se localiza cerca del borde aceleración g = 32,2 pies/s. Sus
de una plataforma horizontal como se ecuaciones son
muestra en la figura. La boquilla en A
descarga agua con una velocidad inicial v y  v0 y  gt  25cos 50  32, 2t
de 25 pies/s a un ángulo de 50° con la
vertical. Determine el intervalo de v y  16, 07  32, 2t (3)
valores de la altura h para los cuales el 1
y  v0 y t  gt 2
agua entrará en la abertura BC 2
y  16, 07t  16,1t 2 (4)
Cuando el agua llega al punto B(24, -

h), las ecuaciones (2) y (4) se reducen a
x  19,15t
24 pies  (19,15 pies / s)t
t1  1, 253s
h  16, 07t1  16,1t12

h  16,1(1, 253) 2  16, 07(1, 253)
Solución h  5,14 pies
En la figura se muestra el sistema de Cuando el agua llega al punto C(28, -
referencia escogido para resolver el h), las ecuaciones (2) y (4) se reducen a
problema.
x  19,15t
28 pies  (19,15 pies / s)t
t1  1, 462s
h  16, 07t2  16,1t22

h  16,1(1, 462)2  16, 07(1, 462)
h  10,92 pies
El intervalo de valores de h para los

cuales el agua cae en la abertura BC
será
Movimiento horizontal: Es un 5,14 pies  h  10,92 pies
movimiento uniforme debido a que en
esta dirección no existe aceleración,
entonces sus ecuaciones son.
Problema 29
vx  v0 x  25sen50  19,15 p / s (1)
x  v0 xt  19,15t (2) Un acróbata debe saltar con su auto a
través del pozo lleno con agua que se ve
en la figura. Determine: (a) la mínima
21
velocidad v0 del auto y (b) el ángulo θ v y  v0 y  gt  v0 sen  9,8t

que debe tener la rampa 1
vy  v0  9,8t (3)
5
1
y  v0 y t  gt 2
2
1
y v0t  4,9t 2 (4)
5
Cuando el agua llega al punto B(12, -

3), las ecuaciones (2) y (4) se reducen a
2 2
x v0t  12m  v0t
Solución 5 5
6 5
En la figura se muestra el sistema de t (5)
v0
referencia escogido para resolver el
problema. 1
y v0t  4,9t 2
5
1
3m  v0t  (4,9m / s 2 )t 2 (6)
5
Remplazando la ecuación (5) en (6),

resulta
2
1 6 5 6 5
3 v0 ( )  4,9  
5 v0  v0 
4,9(36)(5)
Movimiento horizontal: Es un 9
v02
movimiento uniforme debido a que en
esta dirección no existe aceleración, v0  9,89m / s
entonces sus ecuaciones son.
Conocida la velocidad mínima inicial,
2 el ángulo de la rampa final coincidirá
vx  v0 x  v0 cos   v0 (1)
5 con la dirección de la velocidad final de
2 caída del auto en la rampa en B. Dicha
x  v0 xt  v0t (2) dirección será
5
Movimiento vertical: Es un movimiento   tg 1 (vy / vx )

uniformemente variado con una
Calculo de las componentes de la
aceleración g = 32,2 pies/s. Sus
velocidad final en B
ecuaciones son
2 2 5
vx  v0  (9,89m / s)  vx  8,85m / s
5 5
22
1 6 5
vy  v0  9,8  
5  v0 
1 6 5
vy  (9,89)  9,8  
5  9,89 
v y  8,89m / s
Entonces el ángulo de la rampa será

 8,89 
  tg 1      45
 8,85  Movimiento de la pelota B: Es un
movimiento parabólico compuesto por
Problema 30 dos movimientos:
Un muchacho lanza una pelota desde Movimiento horizontal: Es un
una ventana situada a 10 m por encima movimiento uniforme debido a que en
de la calle, según se indica en la figura. esta dirección no existe aceleración,
La celeridad inicial de la pelota es de 10 entonces sus ecuaciones son.
m/s y tiene una aceleración constante,
vertical hacia abajo, de 9,81 m/s2. Otro vx  v0 x  v0 cos 0  10m / s (1)
muchacho A corre por la calle a 5 m/s y xB  v0 xt  10t (2)
capta la pelota en su carrera. Determine:
(a) La distancia x a la cual capta la Movimiento vertical: Es un movimiento
pelota; (b) La velocidad relativa 𝒗 ⃗⃗𝑩/𝑨 , uniformemente variado con una
aceleración g = 9,8 m/s2. Sus
de la pelota respecto al muchacho en el
ecuaciones son
instante en que éste la capta.
v y  v0 y  gt  v0 sen0  9,81t
v y  9,81t (3)
1
y  y0  v0 y t  gt 2
2
y  10  0(t )  4,905t 2 (4)
Cuando la pelota es captada por el

muchacho A la coordenada y es nula, es
decir la ecuación (4) puede escribirse
Solución yB  10  4,905t 2
En la figura se representa el sistema de 0  10  4,905t 2
referencia único para evaluar el t  1, 428s (5)
movimiento de la pelota y del
muchacho Parte (a): Remplazando la ecuación (5)
en (2), resulta
x  (10m / s )t  (10m / s )(1, 428s )
x  14, 28m Rta.
23
La componente y de la velocidad de la La aceleración tangencial es

pelota en este instante será.
dv
at   0, 6m / s 2
v y  (9,81m / s )(1, 428s )
2
dt
v y  14m / s (7) Utilizando la regla de la cadena la
velocidad puede expresarse en función
La velocidad de la pelota en este
de la posición, es decir.
instante con respecto al origen O será
dv dv ds
v  vxiˆ  v y ˆj   0, 6m / s 2
dt ds dt
vB  (10iˆ  14 ˆj )m / s (8) dv
v  0, 6m / s 2
ds
Movimiento del muchacho A: Es un
v S
movimiento rectilíneo uniforme. Sus

v0
vdv  0, 6m / s 2  ds
0
ecuaciones de movimiento serán:
v 2  v02  2(0, 6m / s 2 ) S
vA  vAxiˆ  (5iˆ)m / s (9)
xA  x0 A  vAxt v 2  256  1, 2(120)
xA  x0 A  5t (10) v 2  112m 2 / s 2
La aceleración normal será

Parte (b). Velocidad relativa de B
respecto a A v2 112m2 / s 2
an    1,867m / s 2
vB / A  vB  v A  (10iˆ  14 ˆj )m / s  (5iˆ)m / s
 60m
vB / A  (5iˆ  14 ˆj )m / s Rta. Conocidas las aceleraciones normal y

tangencial se puede determinar la
Problema 31 aceleración total, esto es
Un automóvil viaja por el tramo curvo
a  at2  an2  (0, 6)2  (1,867)2
de la carretera plana con una velocidad
que disminuye a razón de 0,6 m/s cada a  1,96m / s 2
segundo. Al pasar por el punto A, su
Problema 32
velocidad es 16 m/s. Calcular el módulo
de la aceleración total cuando pasa por Una partícula viaja en una trayectoria
el punto B situado a 120 m más allá de curvilínea con velocidad constante en la
A. El radio de curvatura en el punto B dirección y de 𝑣𝑦 = 30 𝑚/𝑠 . La
es 60 m. velocidad en la dirección x varia con el
tiempo de la siguiente manera 𝑣𝑥 =
(3𝑡 + 10)𝑚/𝑠 . Determine: (a) la
aceleración normal cuando t = 10 s, (b)
el radio de curvatura cuando t = 10 s.
Solución
Solución
24
En primer lugar se encuentra la v2

an  1,8m / s 2 
expresión vectorial de la velocidad en 
cualquier instante t. Es decir, [(3t  10)  900]
2
1,8m / s 2 

v  vxiˆ  v y ˆj  [(3t  10)iˆ  30 j ]m / s (1)
[3(10)  10]2  900
1,8m / s 2 
La magnitud de la velocidad en 
cualquier instante es   1389m Rta
v  (3t  10) 2  900 (2) Problema 33
La aceleración total en cualquier Una esferita rueda descendiendo por

instante de tiempo será una superficie de forma parabólica cuya
ecuación es 𝑦 = ( 𝑥 2 − 6𝑥 + 9)𝑚 , tal
dv
a  (3iˆ)m / s 2 (3) como se muestra en la figura. Cuando la
dt esferita pasa por el punto A (𝑥0 = 5 𝑚)
La aceleración tangencial en cualquier lleva una velocidad de 3 m/s la misma
tiempo es que aumente a razón de 5 m/s2.
Determine: (a) las componentes normal
eˆt   (3t  10) 2  900  eˆt
dv d 1/ 2
y tangencial de la aceleración de la
at 
dt dt esferita cuando pasa por el punto A, (b)
3(3t  10)
at  eˆt (4) el ángulo que forma en el punto A los
(3t  10) 2  900
vectores velocidad y aceleración.
La aceleración tangencial cuando t =
10 s, será
3[3(10)  10]
at  eˆt
[3(10)  10]2  900
at  (2, 4eˆt )m / s 2
Parte (a). La aceleración normal de la

partícula será
Solución
a  at  an
a 2  at2  an2 En la figura se muestra los vectores
velocidad y aceleración
an  a 2  at2  32  2, 42 m / s 2
an  1,8m / s 2
Parte (b). Radio de curvatura cuando t

= 10 s.
25
Del enunciado del problema v2 32

an  en  en
observamos que la aceleración  35, 05
tangencial viene dada por an  (0, 256en )m / s 2 Rta
dv
at  eˆt  5eˆt Rta (1) Parte (b). Calculo de φ
dt
an 0, 256
La aceleración normal será tg    0, 0512
at 5
v2 32   2,93 Rta
an  eˆn  eˆn
 
Problema 34
9
an  eˆn (2)
 En un instante dado, el automóvil tiene
una velocidad de 25 m/s y una
Determinemos ahora el radio de aceleración de 3 m/s2 actuando en la
curvatura ρ. dirección mostrada. Determine: (a) el
d2y radio de curvatura de la trayectoria en el
1 dx 2 punto A y (b) la razón del incremento
 (3) de la rapidez del automóvil.
  dy 
2 3/ 2
1  
 dx 
Como se conoce la ecuación de la

trayectoria, entonces tenemos
y  x 2  6 x  9 (4)
dy
 2 x  6 (5)
dx
d2y
2 (6)
dx 2
Remplazando las ecuaciones (5) y (6) Solución

en (3) se tiene La aceleración tangencial viene dada
1 2 por

 1   2x  6
2 3/ 2
at  a cos 40et  3cos 40et
at  (2,30et )m / s 2
Cuando x = 5 m, ecuación anterior se
escribe La aceleración normal será
1 2 an  asen40eˆn  3sen40eˆn

 1   2(5)  6 
2 3/ 2 an  (1,928eˆn )m / s 2
  35, 05m (7) Parte (a): El radio de curvatura se

determina a partir de la aceleración
Remplazando la ecuación (7) en (2) normal. Esto es,
resulta
26
v2
an 

(25m / s) 2
1,928m / s 2

  324m
PROBLEMAS PROPUESTOS.
Parte (b). La razón del incremento de la
rapidez es igual a la aceleración 1. El movimiento de una partícula está
tangencial definido por x  4t 4  6t 3  2t 1 , donde x
y t se expresan en metros y en
at  2,30m / s 2 segundos respectivamente. Hallar la
posición, velocidad y aceleración de
la partícula cuando t = 2 s.
2. El movimiento de una partícula está

definido por x  6t 4  2t 3  12t 2  3t  3 ,
donde x y t se expresan en metros y
segundos, respectivamente. Hallar el
tiempo, la posición y la velocidad
cuando a = 0.
3. El movimiento de una partícula está

definido por x  3t 3  6t 2  12t  5 , donde x
y t se expresan en metros y en
segundos, respectivamente. Hallar:
(a) Cuando es cero la velocidad, (b) la
posición, aceleración y la distancia
total recorrida cuando t = 4
segundos.
4. La aceleración de una partícula está

definida por a = 6 m/s2. Sabiendo que
x = -32 m cuando t = 0 y que v = - 6
m/s cuando t = 0, hallar la velocidad,
la posición y la distancia total
recorrida cuando t = 5 s.
5. La aceleración de una partícula es

directamente proporcional al tiempo
t. Cuando t = 0, su velocidad es v =
16 cm/s. Sabiendo que v = 15 cm/s y
que x = 20 cm cuando t = 1 s, hallar
27
la velocidad, la posición y la distancia aceleración a  0,8 v 2  49 donde a y v

total cuando t = 7 s. se expresan en m/s2 y m/s,
respectivamente. Hallar: (a) la
posición de la partícula cuando v =
6. La aceleración de una partícula es
24 m/s, (b) su celeridad cuando x =
directamente proporcional al
40 m.
cuadrado del tiempo. Cuando t = 0, la
11.La aceleración de una partícula está
partícula está en x = 24 m.
definida por a  k v , siendo k una
Sabiendo que en t = 6 s, x = 96 m y v
constante. Sabiendo que x = 0 y v =
= 18 m/s, expresar x y v en función
81 m/s en t = 0 y que v = 36 m/s
del tiempo.
cuando x = 18 m. Hallar: (a) la
velocidad de la partícula cuando x =
7. Una partícula oscila entre dos puntos 20 m, (b) el tiempo que tarda en
x = 40 mm y x = 160 mm con una detenerse.
aceleración a = k(100 – x), donde k es
una constante. La velocidad de la
12.La aceleración de una partícula está
partícula es 18 mm/s cuando x=
100 mm y es cero en x = 40 mm y en definida por a  kv2,5 , siendo k una
x = 160 mm. Hallar: (a) el valor de k, constante. La partícula parte de x =
(b) la velocidad cuando x = 120 mm. 0 con una velocidad de 16 cm/s,
observándose que cuando x = 6 cm,
la velocidad vale 4 cm/s. Halle: (a)
8. Una partícula parte del reposo en el la velocidad de la partícula cuando
origen de coordenadas y recibe una x = 5 cm, (b) el instante en que su
aceleración a =k/(x+4)2, donde k es velocidad es de 9 cm/s.
una constante. Sabiendo que su
velocidad es 4 m/s cuando x = 8 m.
Hallar: (a) el valor de k, (b) su 13.Cuando t = 0, una partícula de x = 0
posición cuando v = 4,5 m/s, (c) su con una velocidad v0 y una
velocidad máxima. aceleración definida por la relación
a  5 /(2v0  v) , donde a y v se
expresan en m/s2 y m/s,
9. Una partícula que parte del reposo en respectivamente. Sabiendo que para
x = 1 m es acelerada de modo que su t = 2 s es v = 0,5 v0. Halle: (a) la
celeridad se duplica entre x = 2 m y x velocidad inicial de la partícula, (b)
= 8 m. Sabiendo que su aceleración el tiempo que tarda en detenerse, (c)
está definida por a  k  x  A  , hallar los su posición cuando la velocidad es
 x
de 1 m/s.
valores de las constantes A y k si la
velocidad de la partícula es de 29 m/s
cuando x = 16 m. 14.La aceleración de una partícula está
definida por a  0, 4(1  kv) , siendo k
una constante. Sabiendo que cuando
10.Partiendo de x = 0 sin velocidad
t = 0, la partícula está en reposo
inicial, una partícula recibe una
desde x = 4 m y que cuando t = 15 s,
28
v = 4 m/s. Hallar: (a) la constante k, desplazamiento de la partícula

(b) la posición de la partícula cuando durante el intervalo entre t = 0 y t
v = 6 m/s, (c) su velocidad máxima. = 3 s, (b) la distancia total recorrida
por la partícula durante el intervalo
entre t = 0 y t = 3 s, (c) la
15.la aceleración de una partícula es aceleración de la partícula cuando su
a  ksen( t / T ) . Si tanto la velocidad
velocidad sea nula.
como la coordenada de posición de
la partícula son cero cuando t = 0,
hallar: (a) las ecuaciones de 19.La esfera de acero A, de diámetro D,
movimiento, (b) La máxima se desliza libremente a lo largo de la
velocidad, (c) la posición para t = varilla horizontal que termina en una
2T, (d) la velocidad media en el pieza polar del electroimán. La
intervalo de t = 0 hasta t = 2T. fuerza de atracción depende de la
inversa del cuadrado de la distancia
y la aceleración resultante de la
16.Una partícula se mueve sobre el eje esfera es 𝑎 = 𝑘⁄(𝐿 − 𝑥)2 , donde k
x y su posición se define mediante la es una medida de la intensidad del
ecuación r  (2t 3 15t 2  24t )i , donde campo magnético, Determine la
r y t están en metros y segundos, velocidad v con que la esfera golpea
respectivamente. Cuando t = 1 s la la pieza polar si se suelta partiendo
partícula se encuentra a 5 m a la del reposo en x = 0.
izquierda del origen. Calcule: (a) La
velocidad cuando t = 2 s, (b) la
aceleración cuando t = 2 s, (c) la
distancia total recorrida durante el
intervalo comprendido entre t = 0 y
t = 4 s.
17.Para la partícula del problema

anterior calcule: (a) La velocidad 20.Se lanza una pelota verticalmente
media durante el intervalo entre t = hacia arriba desde un punto de una
0 y t = 1 s, (b) la aceleración media torre localizada a 25 m arriba del
durante el intervalo entre t = 0 y t = piso. Si la pelota golpea el piso 3 s
1 s, (c) el desplazamiento durante el después de soltarla, determínese la
intervalo t = 0 y t = 1 s. velocidad con la cual la pelota (a) se
lanzó hacia arriba, (b) pega en el
piso.
18.La velocidad de una partícula se
define mediante la expresión
v  (5t 2  8t )i , donde v y t se 21.Un automovilista viaja a 75 km/h
expresan en m/s y segundos, cuando observa que un semáforo a
respectivamente. Cuando t = 1 s la 320 m delante de él cambia a rojo.
partícula está localizada en r  3i y se El semáforo está programado para
dirige a la izquierda. Calcule: (a) el permanecer con la luz roja por 22 s.
29
Si el automovilista desea pasar por experimenta un desplazamiento de

el semáforo sin pararse, justamente 26 m hacia la derecha. Calcule la
cuando se cambie a verde otra vez. aceleración y la velocidad final de la
Hallar: (a) la desaceleración partícula.
uniforme que requiere aplicarle al
vehículo, y (b) la velocidad del
automóvil al pasar el semáforo. 25.Una partícula parte del reposo y se
mueve describiendo una línea recta,
su aceleración de 5 m/s2 dirigida
22.Una partícula se mueve sobre una hacia la derecha permanece
línea recta con la aceleración que se invariable durante 12 s. A
muestra. Sabiendo que parte del continuación la aceleración adquiere
origen con v0 = - 2 m/s, (a) construir un valor constante diferente tal que
las curvas v –t y x – t para 0 < t < el desplazamiento total es 180 m
18 s. Halle la posición y la velocidad hacia la derecha y la distancia total
y la distancia total que ha recorrido recorrida es de 780 m. Determine:
cuando t = 18 s. (a) la aceleración durante el segundo
intervalo de tiempo, (b) el intervalo
total de tiempo.
26.Una partícula se mueve desde el

reposo y a partir del origen de
coordenadas con una aceleración
constante dirigida hacia la derecha
durante 4 s. A continuación l
aceleración adquiere el valor de 6
23.El movimiento de una partícula es m/s2 dirigida hacia la izquierda
rectilíneo y su aceleración que es durante un segundo intervalo de
constante se dirige hacia la derecha. tiempo. La partícula recorre una
Durante un intervalo de 5 s la distancia total de 138 m y al final del
partícula se desplaza 2,5 m hacia la intervalo total de tiempo se
derecha mientras que recorre una encuentra a 12 m hacia la izquierda
distancia total de 6,5 m. Calcular la del origen. Determine: (a) la
velocidad de la partícula al principio aceleración durante el primer
y al final del intervalo y la intervalo de tiempo de 4 s, (b) la
aceleración durante éste. distancia recorrida durante el
intervalo inicial de 4 s, (c) la
24.Una partícula se mueve con duración del intervalo total de
aceleración constante sobre una tiempo.
trayectoria horizontal recta. La
velocidad de la partícula al 27.La velocidad inicial y la aceleración
comienzo de un intervalo de 6 s es de una partícula cuyo movimiento es
de 10 m/s dirigida hacia la derecha. rectilíneo so 9 m/s y 1,5 m/s2 hacia la
Durante el intervalo la partícula izquierda durante 8 s;
30
respectivamente. Enseguida la (b) La distancia recorrida durante el

aceleración se anula durante Δt intervalo de 4 s y (c) La duración del
segundos, después de este intervalo intervalo total de tiempo.
la velocidad cambia uniformemente
hasta 4 m/s dirigida hacia la derecha.
La distancia total recorrida por la 30.Una partícula parte del reposo y se
partícula es 54,5 m y el mueve describiendo una línea recta
desplazamiento lineal es 15,5 m. durante Δt1 seg con una aceleración
determine la duración del intervalo de 0,8 m/s2 dirigida hacia la derecha.
durante el cual la rapidez de la La aceleración cambia a 2 m/s2
partícula es constante. dirigida hacia la izquierda durante
los 3 s siguientes, a continuación la
velocidad se mantiene constante
28.A una partícula en reposo se durante un tercer intervalo de
imprime un movimiento vertical y tiempo. El desplazamiento total de la
rectilíneo con las características partícula es 5 m hacia la derecha y la
siguientes: aceleración constante de distancia total recorrida es 23 m.
400 mm/s2 dirigida hacia arriba Calcule la duración total del
durante 0,30 s, a continuación se recorrido de la partícula.
mueve con velocidad constante
durante 0,20 s. (a) ¿Qué aceleración
constante dirigida hacia abajo debe 31.La velocidad de una partícula que
imprimirse a la partícula para que su describe una línea recta cambia
altura máxima con respecto a su uniformemente desde 0 m/s hasta 6,4
posición inicial sea de 64 mm. (b) m/s, hacia la derecha, mientras
Calcule la distancia recorrida por la recorre 12,8 m. La magnitud de la
partícula durante el primer segundo aceleración cambia a un nuevo valor
si la aceleración del último período constante, y la partícula recorre 26 m
se mantiene constante hasta el final durante los 5 s siguientes. Después
del primer segundo. de éste último intervalo la
aceleración cambia a 2 m/s2 dirigida
hacia la izquierda, el recorrido total
29.Una partícula se mueve desde el de la partícula es de 60 m. Calcule
reposo y a partir del origen con el tiempo necesario para el recorrido
aceleración constante dirigida hacia total de la partícula.
la derecha durante 4 s. A
continuación adquiere el valor de 6
m/s2 dirigida hacia la izquierda 32.Una partícula parte del reposo y
durante un segundo intervalo de mantiene constante su aceleración de
tiempo. La partícula recorre una 4 m/s2 dirigida hacia la derecha
distancia total de 138 m y al final del durante cierto intervalo de tiempo.
intervalo total de tiempo se Enseguida la aceleración cambia a 8
encuentra a 12 m a la izquierda del m/s2 dirigida hacia la izquierda y se
origen. Calcular: (a) La aceleración mantiene constante durante un
durante el primer intervalo de 4 s; segundo intervalo de tiempo. El
tiempo total es 30 s y la partícula se
31
encuentra en el punto de partida al 35.Un motociclista de patrulla parte del

finalizar el segundo intervalo de reposo en A dos segundos después
tiempo. Determine: (a) la distancia de que un automóvil, que se mueve a
total recorrida, (b) la rapidez 120 km/h, pase por A. Si el
máxima de la partícula, La velocidad patrullero acelera a razón de 6 m/s2
media durante el intervalo de 30 s. hasta alcanzar la velocidad de 150
km/h, máxima que le es permitida y
que mantiene. Determine la
33.Un hombre salta desde un globo que distancia S entre el punto A y el
permanece estacionario a una altura punto en el que rebasa al automóvil.
de 1500 m sobre la tierra. Espera
durante 10 s antes de tirar la cuerda
de apertura del paracaídas. Este lo
desacelera a razón de 6 m/s2 hasta
que la velocidad es 6,6 m/s. A
partir de este instante continúa
descendiendo con velocidad 36.Un automóvil está viajando a una
constante de 6,6 m/s. ¿Cuánto velocidad constante de 𝑣0 =
tiempo necesita el hombre para 100 𝑘𝑚/ℎ , sobre la tramo
descender hasta la tierra?. Desprecie horizontal de la carretera cuando se
el efecto de la fricción del aire encuentra con la pendiente mostrada
durante el descenso libre inicial de ( 𝑡𝑔𝜃 = 6⁄100 ). El conductor no
10 s, y suponga que la aceleración cambia la configuración de la
de la gravedad es de 9,8 m/s2. aceleración y consecuentemente el
auto desacelera a razón de 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 .
34.Un montacargas se desplaza hacia Determine: (a) la velocidad del auto
arriba con velocidad constante de dos segundos después de pasar por
4,8 m/s cuando pasa a un ascensor A y (b) cuando S = 100 M
de pasajeros que se encuentra
detenido. Dos segundos después de
haber pasado el montacargas, el
ascensor de pasajeros empieza a
moverse con una aceleración
constante de 3,6 m/s2 dirigida hacia 37.La gráfica v-t para una partícula que
arriba. La aceleración del ascensor se mueve en el interior de un campo
se anula cuando su velocidad es 14,4 eléctrico producido por dos placas
m/s. Determine: (a) el tiempo que cargadas con signos opuestos tiene
requiere el ascensor de pasajeros la forma mostrada en la figura,
para alcanzar al montacargas, (b) la donde t’ = 0,2 s y vmax = 10 m/s.
distancia que recorre el ascensor de Trace la gráficas s-t y a-t para el
pasajeros hasta alcanzar al movimiento de la partícula. Cuando
montacargas. t = t’/2 la posición de la partícula es
s = 0,5 m
32
40.Una partícula inicia su movimiento

desde el reposo en x = -2 m y se
mueve a lo largo del eje x con una
velocidad que varía según la gráfica
mostrada. (a) trace las gráficas
aceleración y posición en función
del tiempo desde t = 0 s hasta t = 2 s
y (b) Encuentre el tiempo t cuando
la partícula cruza el origen.
38.La gráfica v-t fue determinada
experimentalmente para describir el
movimiento en línea recta de un
cohete deslizante. Determine la
aceleración del cohete deslizante
cuando s = 100 m y cuando s = 200
m
41.Un carro de carreras parte del reposo
y se mueve en línea recta con una
aceleración cuya gráfica se muestra
en la figura. Determine el tiempo t
que necesita el auto para alcanzar
una rapidez de 50 m/s y construir
una gráfica v-t que describa el
movimiento del auto hasta el tiempo
t.
39.Un auto de carreras partiendo del

reposo se mueve a lo largo de una
pista recta de tal manera que acelera
en la forma indicada en la figura
para t = 10 s, y después desacelera a
razón constante. Trace la gráfica v-t
y determine el tiempo t’ necesario
para detener e carro.
42.En la figura se muestra la gráfica v-t
para el movimiento de un tren de
una estación A a otra B. Trace la
gráfica a-t y determine la velocidad
media y la distancia entre las
estaciones A y B.
33
45.Un cuerpo se mueve en línea recta

con una velocidad cuyo cuadrado
disminuye linealmente con el
desplazamiento entre los puntos A y
B los cuales están separados 300 m
tal como se indica. Determine el
desplazamiento Δx del cuerpo
43.En la figura se muestra la gráfica v-s durante los dos últimos segundos
para el movimiento en línea recta de antes de llegar a B.
un vehículo de ensayos. Determine
la aceleración del vehículo cuando la
posición es s = 100 m y cuando s =
175 m.
46.Cuando se incluye el efecto de la

resistencia aerodinámica, la
aceleración en la dirección y de una
pelota de beisbol que se mueve
verticalmente hacia arriba es 𝑎𝑢 =
44.Un punto se mueve a lo largo del −𝑔 − 𝑘𝑣 2 , mientras que cuando se
semieje x positivo con una mueve hacia abajo es 𝑎𝑢 = −𝑔 +
aceleración ax, en m/s2 que aumenta 𝑘𝑣 2 , donde k es una constante
linealmente con x expresada en positiva y v es la velocidad en m/s.
milímetros, tal como se muestra en Si la pelota se lanza hacia arriba a
el gráfico correspondiente un 30 m/s desde el nivel del suelo,
intervalo del movimiento. Si en x = determine la altura h que alcanza y
40 mm la velocidad del punto es 0,4 su velocidad cuando choca contra el
m/s, halle la velocidad en x = 120 suelo. Tómese k = 0,0066 m-1.
mm
47. Las esferas pequeñas de acero

mostradas en la figura caen desde el
34
reposo a través de la abertura en A a

razón constante de 2 cada segundo.
Determine la separación vertical de
dos bolas consecutivas cuando la
inferior a descendido 3 m.
Desprecie la fricción del aire.
50.El bloque A se mueve a la derecha
con una velocidad de 3,6 pies/s.
Determine la velocidad del bloque
B.
48. Recorriendo la distancia de 3 km

entre A y D, un automóvil viaja a 51.El bloque B se está moviendo con
100 km/h entre A y B durante t una velocidad vB. Determine la
segundos, y a 60 km/h entre C y D velocidad del bloque A como una
también durante t segundos. Si entre función de la posición y de A.
B y C se aplican los frenos durante
4 segundos para comunicarle al auto
una desaceleración uniforme.
Determine: (a) el tiempo t y (b) la
distancia s entre A y B.
52. La muchacha C que se encuentra

49. El movimiento horizontal del cerca del extremo de un muelle tira
conjunto émbolo y vástago está horizontalmente de una cuerda con
perimido por la resistencia del disco una velocidad constante de vC = 6
solidario que se desplaza dentro del pies/s. determine la velocidad con
baño de aceite. Si la velocidad del que el bote se acerca al muelle en el
émbolo es vo en la posición A para instante en que la longitud de la
la que x = 0 y si la desaceleración cuerda es d = 50 pies. Considere
es proporcional a v de forma que que h = 8 pies.
a  kv , deducir las expresiones de
la velocidad v y la coordenada de
posición x en función del tiempo t.
Exprese también v en función de x.
35
53. El bloque A mostrado en la figura

se mueve hacia la derecha con una
56. Si el extremo del cable en A está
celeridad de 5 m/s, la cual
siendo halado hacia abajo con una
disminuye a razón de 0,2 m/s2.
velocidad de 2 m/s. Determine la
Determine: (a) la velocidad y la
velocidad con la cual asciende le
aceleración de A y B, (b) Determine
bloque B.
la velocidad relativa 𝑣⃗𝐵/𝐴 y la
aceleración relativa 𝑎⃗𝐵/𝐴 .
57. En la figura el bloque A se está

54.El Cilindro B desciende a 0,6 m/s y moviendo hacia la izquierda con
tiene una aceleración ascendente de una velocidad de 90 cm/s, la
0,15 m/s2. Calcular la velocidad y la celeridad está aumentando a razón
aceleración del bloque A. de 24 cm/s2. En el instante
representado sA = 180 cm y sB =
240 cm. Determine la velocidad
relativa 𝑣⃗𝐵/𝐴 y la aceleración
relativa 𝑎⃗𝐵/𝐴 .
55.Si el bloque está animado de una

velocidad de 1,2 m/s hacia la
izquierda, determine la velocidad del
cilindro A.
58.El sistema representado parte del
reposo y cada componente se
mueve a aceleración constante. Si la
36
aceleración relativa del bloque C velocidad relativa 𝑣⃗𝐶/𝐸 y la

respecto al collar B es 60 mm/s2 aceleración relativa 𝑎⃗𝐶/𝐸 .
hacia arriba y la aceleración relativa
del bloque D respecto al bloque A
es 110 mm/s2 hacia abajo. Halle: (a)
la aceleración del bloque C al cabo
de 3 s, (b) el cambio de posición del
bloque D al cabo de 5 s
61.En la figura el ascensor E sube con

una celeridad de 2 m/s, la cual
disminuye a razón de 0,2 m/s2.
Determinar la velocidad y la
aceleración del contrapeso C, la
velocidad de C relativa a E y la
59.Determine el tiempo necesario para aceleración de C relativa a E.
que la carga B alcance una
velocidad de 8 m/s, iniciando desde
el reposo, si el cable es enrolladlo
por el motor con una aceleración de
0,2 m/s2
62.Un hombre A sube a un niño hasta la

rama de un árbol, utilizando una
soga y caminando hacia atrás como
se muestra en la figura. Si el hombre
inicia su movimiento desde el
60.El ascensor mostrado en la figura, el reposo cuando xA = 0 y se mueve
ascensor E baja con una celeridad hacia atrás con una aceleración aA =
de 1 m/s, aumentando a razón de 0,2 m/s2. Determine la velcoidad del
0,1 m/s2. Determine: (a) la niño en el instante en que yB = 4 m.
velocidad y la aceleración del desprecie el tamaño de la rama del
contrapeso C, (b) Determine la árbol y considere que cuando xA = 0,
yB = 8 m tal que A y B están
37
coincidiendo, es decir la soga tiene 𝑣⃗ = 3𝑡𝑖̂ + 12𝑡 2 𝑗̂. Sabiendo que en t =

una longitud de 16 m. 0 s, su velocidad es (2𝑖̂ − 3𝑗̂)𝑚/𝑠.
Determine: (a) El vector posición en
cualquier tiempo, (b) el
desplazamiento entre t = 1 s y t = 3
s, (c) la velocidad media en el
intervalo de t = 1 s y t = 3 s, y (d) la
aceleración total de la partícula
cuando t = 3 s.
66.En el tiempo t segundos, la partícula

63.La posición de una partícula que se P tiene un vector de posición 𝑟⃗ en
mueve sobre un plano xy se expresa metros con respecto a un origen fijo
mediante r  20t 3 i  50t 2 j donde r y t O, donde 𝑟⃗ = (3𝑡 − 4)𝑖̂ +
3
(𝑡 − 4𝑡)𝑗̂ . Determine: (a) El
se expresan en mm y s,
respectivamente. Determine: (a) el desplazamiento entre t = 0 s y t = 3
desplazamiento durante el intervalo s, (b) la velocidad del punto P
entre t = 1 s y t = 3 s, (b) La cuando t = 3 s, (c) la aceleración
velocidad media durante el intervalo media para el intervalo de t = 1 s a t
anterior, (c) la velocidad cuando t = = 3 s (c) la aceleración de la
2 s y (d) la aceleración cuando t = 2 partícula cuando t = 3 s.
s. 67.Una partícula P está moviéndose
con una velocidad 𝑣⃗ = 𝑡 2 𝑖̂ +
(2𝑡 − 3)𝑗̂, donde t está en segundo
64.El movimiento de una partícula está y v en m/s. Cuando t = 0 s, la
definido por las ecuaciones 𝑥 = partícula se encuentra ubicada en
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑒 𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡, donde a, b (3𝑖̂ + 4𝑗̂) 𝑚 con respecto a un
y ω son constantes. (a) Demostrar origen fijo O. Encuentre: (a) la
que la trayectoria es un elipse, (b) aceleración media en el intervalo de
demostrar que en general la t = 0 s a t = 1 s, (b) la aceleración
velocidad de la partícula no es de la partícula cuando t = 1 s y (c)
perpendicular al vector de posición el vector de posición de la partícula
de la misma, (c) demostrar que la cuando t = 1 s.
aceleración siempre se encuentra
dirigida hacia el origen, (d)
determine las componentes 68.Una partícula P inicia su
tangencial y normal d la aceleración movimiento desde el reposo en el
y (e) encontrar el radio de curvatura origen de coordenadas y se mueve
en los puntos de la trayectoria. con una aceleración dada por 𝑎⃗ =
[6𝑡 2 𝑖̂] + (8 − 4𝑡 3 ) 𝑚/𝑠 2 .
Determine: (a) la velocidad de la
65.Una partícula que está moviendo en partícula cuando t = 2 s y (b) el
el plano x-y, en un tiempo t vector posición cuando t = 4 s-
segundos su velocidad en m/s es
38
69.Una partícula P está moviéndose en

el plano de tal forma que, el tiempo
t segundos, su aceleración es
(4𝑖̂ − 2𝑡𝑗̂)𝑚/𝑠 . Sabiendo que
cuando t = 3 s, la velocidad de la
partícula es 6𝑖̂ 𝑚/𝑠 y el vector
posición es (20𝑖̂ + 3𝑗̂)𝑚 con
respecto a un origen fijo O.
Determine: (a) El ángulo entre la
dirección del movimiento e 𝑖⃗ ,
cuando t = 2 s, (b) la distancia
desde O al punto P cuando t = 0 s. 72.El piloto de un avión, que va a 80
m/s y toma altura con un ángulo de
37º, lanza un paquete en la posición
70. La coordenada y de una partícula en A. Determine: (a) la distancia
movimiento curvilíneo está dada horizontal R, (b) el tiempo t desde el
por 𝑦 = 4𝑡 3 − 3𝑡 , donde y está en momento del lanzamiento hasta el
pulgadas y t en segundos. Además, momento en que el paquete choca
la partícula tiene una aceleración en con el suelo y (c) la magnitud y la
la dirección x dada por 𝑎𝑥 = dirección de la velocidad del
12𝑡 𝑝𝑢𝑙/𝑠 2 . Si la velocidad de la paquete un instante antes que
partícula en la dirección x es 4 pul/s impacte en el suelo
cuando t = 0, calcular la magnitud
de la velocidad y la aceleración de
la partícula cuando t = 1s.
71.El rodillo A de la figura está

restringido a deslizar sobre la
trayectoria curva mientras se
desplaza en la ranura vertical del
miembro BC. El miembro BC se 73.Un jugador de basquetbol lanza una
desplaza horizontalmente. (a) pelota de baloncesto según el
Obtenga las ecuaciones para la ángulo de θ = 53° con la horizontal.
velocidad y la aceleración de A, Determine la rapidez v0 que el
exprésela en términos de 𝑏. 𝑥, 𝑥̇ , 𝑥̈ . jugador debe imprimir a la pelota
(b) Calcule la velocidad y la para hacer el enceste en el centro
aceleración cuando 𝑏= del aro. ¿Con qué rapidez pasa la
10 𝑐𝑚; 𝑥⃗ = 4𝑖̂ 𝑐𝑚; 𝑣⃗𝑥 = pelota a través del aro?.
10𝑖̂ 𝑐𝑚/𝑠 𝑦 𝑎⃗𝑥 = −8𝑖̂ 𝑐𝑚/𝑠 2 .
39
74. Un bombero desea saber la altura

máxima de la pared a la cual puede 76.Desde A se emiten electrones con
proyectar el agua mediante el uso de una velocidad v y un ángulo  al
la manguera en cuyo extremo lleva espacio comprendido entre dos
una boquilla. Determine: (a) la placas eléctricamente cargadas.
altura h si la boquilla se inclina un Entre éstas, el campo eléctrico E se
ángulo  = 40° respecto de la encuentra dirigido hacia abajo y
horizontal, (b) El tiempo que repele a los electrones que se
demora el agua en llegar al punto A acercan a la placa superior. Si el
y (c) la velocidad del agua cuando campo confiere a los electrones una
alcanza el punto A aceleración eE/m en la dirección de
E. Determine: (a) la intensidad de
campo que permite a que los
electrones solo alcancen la mitad de
la distancia entre las placas y (b) la
distancia s donde los electrones
impactan sobre la placa inferior.
75.La moto de nieve mostrada en la

figura sale de la rampa con una
rapidez de 20 m/s bajo un ángulo de
40° respecto a la horizontal y logra
aterrizar en el punto B. Determine:
(a) el tiempo que permanece la
moto y su piloto en el aire, (b) la 77. Un futbolista intenta marcar un gol
distancia horizontal R que viaja. a 30 m de la portería. Si es capaz de
Desprecie el tamaño del pilo y la comunicar a la pelota una velocidad
moto. u = 25 m/s. Determine el ángulo
mínimo θ para el cual la pelota
puede pasar rozando el travesaño
de la portería.
40
78. La boquilla de agua despide el

líquido con una velocidad v0 = 14
m/s y un ángulo  = 40°. 81.Un jugador de tenis lanza una pelota
Determinar, respecto del pie B del con una velocidad horizontal como
murete, el punto en que el agua se muestra en la figura. (a)
llega al suelo. Desprecie el espesor Determine la velocidad va de tal
del muro en la solución manera que la pelota pase rozando
la red en B. (b) ¿A qué distancia s la
pelota impactará sobre el piso?.
79. Un niño lanza dos bolas al aire con

una velocidad v0 a diferentes
ángulos {θ1; θ2} y (θ1 > θ2). Si desea
que las dos bolas choquen en el aire 82.En la figura se muestra las
¿Cuál sería la diferencia de tiempos mediciones de un lanzamiento
de ambos lanzamientos para logra el gravado en una cinta de video
objetivo durante un partido de básquetbol. El
balón pasa por el centro del aro a
pesar del intento del jugador B para
despejarlo. Depreciando el tamaño
del balón determinar la magnitud de
la velocidad inicial de lanzamiento
vA y la altura h de la pelota cuando
pasa por encima del jugador B.
80. Se lanza un proyectil con una

velocidad inicial de v0 = 100
m/s y un ángulo θ = 53° respecto a
la horizontal. Determine el alcance
R medido pendiente arriba si el
ángulo que forma la pendiente es α 83.El esquiador sale de la rampa
= 16°. formando un ángulo de θ = 10° y
aterriza en el punto B de la
pendiente. Determine: (a) la
velocidad inicial del esquiador y (b)
41
el tiempo que permanece en el aire. rapidez pasa la pelota a través del

Desprecie el tamaño del esquiador y aro?.
de los skies.
86.Determine la mínima velocidad u

que el niño debe imprimir a una
roca en el punto A para que logre
salvar el obstáculo en B.
84.Una partícula es expulsada del tubo
A con una velocidad v y formando
un ángulo θ con la vertical y. Un
intenso viento horizontal comunica
a la partícula una aceleración
horizontal constante en la dirección
x. Si la partícula golpea en el suelo
en un punto situado exactamente
debajo de la posición de
lanzamiento, hallar la altura h del 87. Una paquete se suelta desde el
punto A. La aceleración avión, que se encuentra volando con
descendente en la dirección y puede una velocidad horizontal constante
tomarse como la constante g. de v0 = 75 m/s. Determine: (a) la
distancia horizontal S que alcanza el
paquete, (b) la aceleración
tangencial y normal así como el
radio de curvatura de la trayectoria
del movimiento en el momento en
el que el paquete se suelta en A,
donde tiene una velocidad
horizontal de 75 m/s y h = 650 m, y
(c) la aceleración normal y
tangencial así como el radio de
curvatura justamente antes de que
choque contra el suelo en B.
85.pelota de baloncesto se lanza desde
A según el ángulo de 30° con la
horizontal. Determine la rapidez vA
a la cual se suelta la pelota para
hacer el enceste en B. ¿Con qué
42
88.Un cohete el soltado en el punto A

de un avión que vuela
horizontalmente con una velocidad 90.Una rampa de esquí acuático tiene
de 1000 km/h a una altitud de un ángulo de 25° y está dispuesta tal
800 m. Si el rocketthrust sigue como se indica en la figura. Un
siendo horizontal y el cohete le da esquiador que pesa 900 N lleva una
una aceleración horizontal de 0,5g. velocidad de 32 km/h cuando está
Determine el ángulo θ desde la en la punta de la rampa y suelta a la
horizontal hacia la línea visual del cuerda que la remolca.
objetivo Despreciando la fricción del aire.
Determine: (a) la altura máxima que
alcanza el esquiador, (b) la distancia
R entre el pie del extremo de la
rampa y el punto en que entra en
contacto con el agua.
89.Un avión que está descendiendo

según un ángulo de 20° respecto a
la horizontal suelta una bomba
como se ve en la figura. Si la altitud
en el instante de soltarla es de 5 km
y la celeridad del avión es 720 km/h. 91.Un avión que se encuentra a 6 km
Determine el alcance (distancia de altura se está moviendo en
horizontal recorrida) de la bomba y dirección horizontal con una
el tiempo que transcurre hasta que velocidad constante de 240 m/s
llega al suelo. cuando pasa sobre una batería
antiaérea como se muestra en la
figura. Sabiendo que el ángulo que
forma el cañón con la horizontal es
de 60° y la velocidad de salida del
proyectil es 600 m/s. calcule el
ángulo β de la línea de observación
en el instante en que debe dispararse
para que el proyectil impacte en el
avión durante su vuelo ascendente.
43
Cuando se encuentra en el punto A,

este tiene una velocidad de 200 m/s,
la cual se incrementa a razón de 0,8
m/s2. Determine la magnitud de la
aceleración del aeroplano cuando
este pase por el punto A.
92.Un carro de carreras que parte del

reposo en A incrementa su rapidez a
lo largo de la pista circular, ρ = 25
m, a razón de at = (0,4 S) m/s2,
donde S es la posición instantánea
medida en metros. Determine la
distancia S que debe viajar el carro
para alcanzar una aceleración total
de 4 m/s2.
95.Partiendo desde el reposo, un bote a
motor viaja alrededor de una
trayectoria circular de radio r = 50
m con una velocidad 𝑣 =
(0,2𝑡 2 )𝑚/𝑠. Determine la magnitud
de la velocidad y de la aceleración
del bote en t = 3 s.
93.Un auto viaja a 100 km/h cuesta

arriba por un camino recto cuyo 96.Si 𝑦 = 100 𝑚𝑚, 𝑦̇ = 200 𝑚𝑚/𝑠 y
perfil se puede aproximar a la
𝑦̈ = 0. Determine la velocidad y la
ecuación 𝑦 = 0,0003𝑥 2 . Cuando la aceleración de P en términos de las
coordenada horizontal del auto es x componentes tangencial y normal.
= 400 m. Determine las
componentes de su aceleración.
94.Un aeroplano viaja a lo largo de la

trayectoria parabólica vertical.
44
97.Una bala es disparada

horizontalmente desde el tubo con
una velocidad de 8 m/s. Encuentre
la ecuación de la trayectoria, y =
f(x), y entonces encuentre la
velocidad de la bala y las
componentes normal y tangencial
de la aceleración cuando t = 0,25 s.
100. Escriba la expresión vectorial de
la aceleración 𝑎⃗ del centro de masa
G del péndulo simple en
coordenadas n-t y en coordenadas x-
y en el instante en que 𝜃 = 60° si
𝜃̇ = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y 𝜃̈ = 2,45 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 .
98.La magnitud de la velocidad del
avión mostrado es constante e igual
a 340 m/s. La razón de cambio del
ángulo φ de su trayectoria es
constante e igual a 5°/s. Determine:
(a) la velocidad y la aceleración de
la aceleración en términos de sus
componentes tangencial y normal y
(b) el radio de curvatura instantáneo
de la trayectoria del avión. 101. Un paquete es lanzado desde el
avión el cual está volando con una
velocidad horizontal constante de
vA = 150 pies/s. Determine las
componentes tangencial y normal
de la aceleración y el radio de
curvatura de la trayectoria del
99.Un jugador de béisbol lanza una movimiento: (a) en el momento en
pelota con una velocidad inicial de el que es liberado el paquete en A,
30 m/s y un ángulo de 30° con la donde este tiene una velocidad
horizontal como se muestra en la horizontal vA = 150 pies/s y (b)
figura. Determine el radio de justo antes de impactar con la tierra
curvatura de la trayectoria y la en el punto B.
variación de la celeridad por unidad
de tiempo cuando: (a) t = 1 s y (b) t
= 2,5 s.
45
104. Determine la velocidad máxima

102. El automóvil mostrado en la de los carros de la montaña rusa al
figura viaja a lo largo de la curva pasar por el tramo circular AB de la
circular que tiene un radio de 300 pista si la aceleración normal no
m. Si la rapidez del auto incrementa pude pasar de 3g.
uniformemente desde 15 m/s a 27
m/s en 3 s. Determine la magnitud
de su aceleración en el instante en
que su rapidez es 20 m/s
105. La trayectoria de un cohete

interplanetario tiene la ecuación
𝑦 = −2. 10−5 𝑥 2 + 0,8𝑥 . La
componente horizontal de su
velocidad es constante y de 350 m/s.
103. La partícula P se mueve en la Determine la razón de cambio de la
trayectoria circular mostrada en la magnitud de su velocidad cuando x
figura. Muestre el vector = 9000 m.
aceleración 𝑎⃗ y determine su
magnitud en los siguientes casos:
(a) la velocidad v es 1,2 m/s y se
mantiene constante, (b) la velocidad
es 1,2 m/s y está incrementándose a
razón de 2,4 m7s cada segundo y (c)
la velocidad es 1,2 m/s y está
disminuyendo a razón 4,8 m/s cada
segundo. En cada caso la partícula
está en la posición mostrada en la
figura. 106. En un determinado instante, la
locomotora de un tren E tiene una
velocidad de 20 m/s y una
aceleración de 14 m/s2 actuando
según la direcciones mostradas.
Determine: (a) la razón de
incremento de la rapidez del tren y
46
(b) el radio de curvatura de la punto P se halla a 4000 pies de O y

trayectoria en ese instantes su radio de curvatura es de 800 pies.
Determine; (a) la velocidad de la
locomotora en el punto P y (b) la
aceleración en este instante
109. El automóvil se encuentra

inicialmente en reposo cuando S =
107. Un automovilista inicia su 0. Si el auto inicia su movimiento
movimiento desde el reposo en el desde el reposo e incrementa su
punto A en el instante t = 0 y se rapidez a razón de 𝑣̇ =
2 2
(0,05𝑡 ) 𝑚/𝑠 , donde t está en
mueve sobre una rampa de entrada
circular, incrementando su celeridad segundos. Determine la magnitud y
a razón constante hasta entrar en la dirección de la velocidad y la
vía rápida en el punto B. Sabiendo aceleración cuando S = 165 m.
que su velocidad continúa
incrementándose a la misma razón
hasta alcanzar el valor de 104 km/h
en el punto C. Determine: (a) su
velocidad en el punto B y (b) la
magnitud de la aceleración total
cuando t = 15 s.
110. En el instante representado, A
tiene una velocidad hacia la derecha
de 0,20 m/s la cual está
disminuyendo a razón de 0,75 m/s
cada segundo. Al mismo tiempo B
está moviéndose hacia abajo con
una velocidad de 0,15 m/s la cual
disminuye a razón de 0,5 m/s cada
108. La locomotora de un tren segundo. Para este instante
comienza a moverse desde el origen determine el radio de curvatura ρ de
de coordenadas O en una trayectoria la trayectoria seguida por el pasador
recta primero y posteriormente en P.
tramo curvilíneo. Si la posición
medida a lo largo de la trayectoria
es 𝑆 = 4𝑡 2 , donde t está en
segundos y S es la posición en pies
medida sobre la vía a partir de O. El
47
111. Cuando el cohete alcanza una

altitud de 40 m éste comienza a
viajar a lo largo de una trayectoria 113. La pieza AB gura entre dos
parabólica (𝑦 − 40)2 = 160𝑥 , valores del ángulo β y su extremo A
donde las coordenadas son medidas hace que gire también la pieza
en metros. Si la componente de la ranurada AC. Para el instante
velocidad en la dirección vertical es representado en que β = 60° y
constante e igual a 𝑣𝑦 = 180 𝑚/𝑠, 𝛽 = 0,6̇ 𝑚/𝑠 , constante, hallar los
determine las magnitudes de la valores correspondientes de
velocidad y la aceleración del 𝑟̇ , 𝑟̈ , 𝜃̇ 𝑦 𝜃̈.
cohete cuando alcanza una altitud
de 80 m.
114. Para estudiar la performance de

112. El cohete ha sido disparado un auto de carreras, en el punto A se
verticalmente y es seguido por el instala una cámara cinematográfica
radar que se representa. Cuando  de alta velocidad. La cámara está
llega a ser 60° las otras mediciones montada en un mecanismo que
correspondientes dan los valores r = permite registrar el movimiento del
9 km, r  21m / s 2 y   0, 02rad / s . vehículo cuando éste recorre la
recta BC. Exprese la velocidad del
Determine la velocidad y la
auto en función de b, θ y 𝜃̇.
aceleración del cohete para esta
posición.
48
cuyo movimiento lo manda el brazo

ranurado giratorio OA. Si, durante
un intervalo del movimiento, el
brazo gira a una velocidad angular
constante ω = 2 rad/s, hallar los
módulos de la velocidad y la
aceleración del cursor en la ranura
en el instante en que θ = 60º. Hallar
asimismo la componente radial de
la velocidad y la aceleración.
115. El collarín A se mueve a lo largo

de una guía circular de radio “e” al
girar el brazo OB en torno al punto
O. Deduzca las expresiones para las
magnitudes de la velocidad y la
aceleración del collarín A en
función de θ, ,  y e.
118. El brazo ranurado OA obliga al

pequeño vástago a moverse en la
guía espiral definida por 𝑟 = 𝐾𝜃. El
brazo OA parte del reposo en 𝜃 =
𝜋⁄4 y tiene una aceleración angular
constante 𝜃̈ = 𝛼 , en sentido anti
horario. Determine la velocidad del
vástago cuando 𝜃 = 3𝜋⁄4.
116. En el instante t = 0 el pequeño
bloque P parte desde el reposo en el
punto A y sube por el plano
inclinado con una aceleración
constante a. Determine r y  en
función del tiempo t.
119. Para un rango limitado de

movimiento, el brazo AC hace girar
al brazo ranurado OA. Si β está
117. Por la guía horizontal fija se aumentando a razón constante de 4
mueven el cursor y el pasador P rad/s cuando β = π/4, determine las
49
componentes radial y transversal de una celeridad de 72 km/h en las

la aceleración del pin P para esta posiciones representadas.
posición y especificar los
correspondientes valores de 𝑟̇ 𝑦 𝑟̈ .
122. Los pasajeros que viajan en el

avión A que vuela horizontalmente
a velocidad constante de 800 km/h
observan un segundo avión B que
pasa por debajo del primero
120. En el instante representado la volando horizontalmente. Aunque el
aceleración del automóvil A tiene la morro de B está señalando en la
dirección de su movimiento y el dirección en la dirección
automóvil B tiene una celeridad de 45°noreste, el avión B se presenta a
72 km/h que está aumentado. Si la los pasajeros de A como
aceleración de B observada desde A separándose de éste bajo el ángulo
es cero en ese instante, hallar la de 60° representado. Halle la
aceleración de A y la variación por velocidad verdadera de B
unidad de tiempo de la celeridad de
B.
123. El tren A viaja con una a

121. El auto A está acercándose en la celeridad constante vA = 120 km/h
dirección de su movimiento a razón por la vía recta y plana. El
de 1,2 m/s2. El auto B está tomando conductor del auto B, previendo el
una curva de 150 m de radio con paso a nivel C disminuye la
una celeridad constante de 54 km/h. velocidad de 90 km/h de su vehículo
Determine la velocidad y la a razón de 3 m/s2. Determine la
aceleración aparentes del auto B velocidad y la aceleración del tren
respecto a un observador que viaja respecto al auto
en el auto A si éste ha alcanzado
50
relativa 𝑣⃗𝐵/𝐴 de la pelota respecto al

captor en el instante en que la
capta.
124. Dos lanchas parten de un amarre

al mismo tiempo (t = 0) como se
muestra en la figura. La lancha A
navega con una celeridad constante 126. Un bateador golpea la pelota A
de 24 km/h, mientras que la lancha con una velocidad inicial de v0 =30
B lo hace a 72 km/h. para t = 30 s, m/s directamente hacia el jugador B
determine: (a) la distancia d entre y formando un ángulo de 30° con la
las lanchas y (b) La velocidad de horizontal; la pelota se halla
separación de las lanchas inicialmente a 0,9 m del suelo. El
jugador B necesita 0,25 s para
estimar donde debe recoger la
pelota y comienza a desplazarse
hacia esa posición a celeridad
constante. Gracias a su gran
experiencia, el jugador B ajusta la
carrera de modo que llega a la
posición de recogida a la vez que la
pelota. La posición de recogida es el
punto del campo en que la altura de
la pelota es 2,1 m. Determine la
velocidad de la pelota con relación
125. Un muchacho lanza una pelota al jugador en el momento en que se
con una velocidad vC desde una hace con ella.
ventana que se encuentra a 0,6 m
por encima de la calle, como se
muestra en la figura. Otro
muchacho que inicialmente se
encuentra en el suelo a una distancia
d = 3m corre hacia la derecha a una
velocidad constante de 1,2 m/s en su 127. Dos aviones vuelan en línea recta
intento de captar la pelota. horizontalmente a la misma altitud,
Determine: (a) La velocidad inicial como se muestra en la figura. En t =
vC inicial de la pelota que permitiría 0, las distancias AC y BC son de 20
que el muchacho la captara en su km y 30 km, respectivamente. Los
carrera, (b) la distancia x a la cual se aviones llevan celeridades
produce la captura y (c) la velocidad constantes; vA = 300 km/h y vB =
51
400 km/h. Determinar: (a) La rodillo A se mueve por una guía

posición relativa 𝑟⃗𝐵/𝐴 de los aviones vertical. (a) determine la posición
en t = 3 min, (b) la velocidad 𝑟⃗𝐴 , la velocidad 𝑟⃗𝐴 y la aceleración
relativa 𝑣⃗𝐵/𝐴 de los aviones en 3 𝑟⃗𝐴 del rodillo A en función de s;
min, (c) la distancia d que separa los 0 ≤ 𝑠 ≤ 1,5 𝑚; (b) Para s=
aviones en t = 3 min y (d) El tiempo 0,9 m, determine la posición
T en que será mínimo esta relativa, la velocidad relativa y la
separación aceleración relativa de A con
respecto a B; (c) demuestre que la
posición relativa y la velocidad
relativa del apartado (b) son
perpendiculares.
128. En el instante mostrado en la

figura el carro A está viajando con
un una rapidez de 10 m/s alrededor
de una curva mientras incrementa
su rapidez a razón constante de 5
m/s2. Mientras que el carro B está 130.
viajando a con una rapidez de 18,5
m/s a lo largo de una pista recta e
incrementa su velocidad a razón de
2 m/s2. Si  = 45° y  = 100 m.
Determine la velocidad y
aceleración relativas del auto A con
respecto al auto B en este instante.
129. Los rodillos A y B están unidos a

los extremos de una barra rígida de
1,5 m de longitud como se muestra
en la figura. El rodillo B se mueve
por una guía horizontal con una
celeridad constante de 0,3 m/s y
hacia la derecha, mientras que el
52

PROBLEMAS RESUELTOS DE CINEMATICA (OPTACIANO) - (Reparado)

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Física General I Cinemática de una Partícula Optaciano Vásquez García 1900

Problema 01 El movimiento de una partícula se

El movimiento de una partícula es 2 0 0

rectilíneo y su aceleración se expresa v 2  2k[ln x  ln x0 ]

Parte (a): Se sabe que Una partícula se mueve en la dirección

Parte (a): velocidad en función del

Parte (b): Velocidad media Entonces la aceleración para cualquier

Parte (b): Tiempo que tarda en

Parte (c): Su posición cuando la

Determine: (a) la velocidad inicial de la  2 v3 

Solución Remplazando los valores

3𝑖̂ , y se dirige hacia la izquierda. dT  6,83  10, 24  9  6,83  10, 24

Para calcular la distancia total primero dv  t   t 

dx kT    t  Entonces s aplica los frenos y el auto se

Parte (b). La velocidad será máxima

Problema 10 Según condición del problema el

1, 2  1,5(1,5 / a)  a(1,5 / a) 2  3a(1,5 / a)  4,5a  0

Tramo BO. Es un movimiento Remplazando este tiempo y la

cuerpo durante los dos últimos  30

segundos antes de llegar al punto B. x

1, 25 273  1, 6 x  1, 25 273  1, 6(30)  5,5s

x  x7,5  x5,5  120m  100, 4m

Debido a que la aceleración es vf

Remplazando la ecuación (6) y (7) en

t  t1  t2  5s (1) Remplazando la ecuación (8) en (1) se

(t2 )(v f )  9m (4)

recorrida es de 780 m. Determine: (a) la El desplazamiento viene expresado

Sumando las ecuaciones (3) y (3) se

(12s  t2 )(60m / s )  960m

Cálculo de la aceleración durante el

Se procede a determinar el intervalo

La caja C está siendo levantada

La aceleración se obtiene derivando la

Remplazando los valores consignados

Cuando s = 1 m, la posición de la caja Problema 15

La velocidad de la caja C se obtiene

La velocidad y la aceleración son

Según datos del ejercicio Utilizando cinemática de movimientos

La aceleración de B después de 8 s será Cuando la velocidad de A es 4 m/s

Remplazando la ecuación (6) en la La velocidad relativa de B con respecto

vB / A  vB  vA Utilizando cinemática de movimientos

2(0,15m / s 2 )  3aB  0 Cuerda II

Problema 17 Remplazando la ecuación (5) en (6),

r  20t 3iˆ  50t 2 ˆj

cuando t = 2 s y (d) la aceleración 1

Parte (b). La velocidad media en el

Los movimientos x e y de las guías A y La ecuación de la trayectoria es

Remplazando la posición cuando t = 1 Las expresiones vectoriales así como su

a2  [4(2)  3]iˆ  (2) 2 ˆj

Parte (a). Angulo entre la velocidad y la

un punto A localizado a 1,5 m arriba del

Cuando la pelota pasa por el centro del Solución

Cuando la pelota pasa por el centro del

La componente x de la velocidad del

Remplazando la ecuación (6) en (1) Ecuaciones de movimiento vertical

Cálculo de R. Del grafico se tiene que

contra este a una distancia S = 76,4 m. 2

Remplazando estos valores en las