UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÒNOMA DE CHOTA

Escuela Profesional de Ingeniería Civil

Cinemática rectilínea: Movimiento errático

1. Una bicicleta se mueve a lo largo de un camino recto en forma tal que su posición
es descrita por la gráfica mostrada en la figura. Construya las gráficas v-t y a-t para
0 ≤ 𝑡 ≤ 30 𝑠.

SOLUCIÓN
GRÁFICA a –t:
Gráfica V-T:
0 ≤ 𝑡 < 10𝑠 , 𝑣 = 0,6𝑡
2 𝑑𝑣
0 ≤ 𝑡 < 10𝑠 , 𝑠 = 0,3𝑡
𝑑𝑠 𝑎=
𝑣= 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑎 = 0,6
𝒗 = 𝟎, 𝟔𝒕
10𝑠 < 𝑡 ≤ 30𝑠 , 𝑣=6
10𝑠 < 𝑡 ≤ 30𝑠 , 𝑠 = 6𝑡 − 30
𝑑𝑣
𝑑𝑠 𝑎=
𝑑𝑡
𝑣= 𝑎=0
𝑑𝑡
𝒗=𝟔 a (m/s2)
v (m/s)

6 0,6
6 0,6
0,6t

t (s) t (s)

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2. El automóvil de pruebas mostrado en la figura parte del reposo y viaja a lo largo de
una pista recta acelerando con razón constante durante 10 s y luego desacelerando a
razón constante. Trace las gráficas v-t y s-t y determine el tiempo t’ requerido para
detener el automóvil. ¿Cuánto ha viajado el automóvil?

SOLUCIÓN

Gráfica v-t:

𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡

0 ≤ 𝑡 < 10𝑠
𝑣 𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 10 𝑑𝑡
0 0
𝒗 = 𝟏𝟎 𝒕 Gráfica s – t
* 𝑡 = 10𝑠

𝑣 = 10(10) 0 ≤ 𝑡 ≤ 10𝑠 , v = 10 t
𝑣 = 100 𝑚/𝑠
𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
𝑠 𝑡
10𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑡 ′ ∫ 𝑑𝑠 = ∫ 10𝑡. 𝑑𝑡
0 0
𝑣 𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ −2 𝑑𝑡 10𝑡 2 𝑡
𝑠/0𝑠 = /
100 10 2 0
𝑣 𝑡
𝑣/100 = −2 𝑡/10 𝒔 = 𝟓𝒕𝟐
* 𝑡 = 10𝑠
𝑣 − 100 = −2 𝑡 + 20
𝒗 = −𝟐 𝒕 + 𝟏𝟐𝟎 𝑠 = 5(10)2 = 500 𝑚

* 𝑡 = 𝑡′ , v = 0
10𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 60𝑠 , v = -2 t + 120
0 = −2 𝑡 ′ + 120
120 𝑠 𝑡
𝑡′ = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ (−2 𝑡 + 120)𝑑𝑡
2
𝒕′ = 𝟔𝟎 𝒔 𝐑𝐞𝐬𝐩. 500 10

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𝑠/𝑣500 = −𝑡 2 + 120 𝑡/10
𝑡

𝑠 − 500 = − 𝑡 2 + 120𝑡 + (10)2

− 120(10)
𝑠 = − 𝑡 2 + 120𝑡 + 100 − 1200 + 500
𝒔 = − 𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒕 − 𝟔𝟎𝟎

* 𝑡 = 60𝑠
𝑠 = −(60)2 + 120(60) − 600
𝑠 = 3000 𝑚 𝐑𝐞𝐬𝐩.

3. La gráfica v-s que describe el movimiento de una motocicleta se muestra en la figura.

Construya la gráfica a-s del movimiento y determine el tiempo necesario para que la
motocicleta alcance la posición s = 400 pies.

SOLUCIÓN

Gráfica a - s:

0 ≤ 𝑠 < 200 𝑝𝑖𝑒𝑠; v = 0,2 s + 10

𝑑𝑣
𝑎=𝑣
𝑑𝑡
𝑑
𝑎 = (0,2 𝑠 + 10) (0,2 𝑠 + 10)
𝑑𝑡
𝑎 = (0,2 𝑠 + 10)(0,2)
𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟒 𝒔 + 𝟐

200 𝑝𝑖𝑒𝑠 < 𝑠 ≤ 400 𝑝𝑖𝑒𝑠; 𝑣 = 50

𝑑𝑣 Tiempo:
𝑎=𝑣
𝑑𝑡
𝑑 0 ≤ 𝑠 < 200 𝑝𝑖𝑒𝑠 , v = 0,2 s +10
𝑎 = 50 (50)
𝑑𝑡
𝒂=𝟎

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𝑑𝑠
𝑑𝑡 =
𝑣
𝑑𝑠 𝑡 𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫
0,2 𝑠 + 10 8,05 200 50
𝑡 𝑠
𝑑𝑠
∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠 𝑠
0 0 0,2 𝑠 + 10 𝑠
𝑡/8,05 = /
50 200
𝑡/0𝑠 = 5 ln (0,2 𝑠 + 10)/0𝑠
𝑠 200
𝑡 − 8,05 = −
𝑡 = 5 ln(0,2 𝑠 + 10) − 5 𝑙𝑛10 50 50
𝑠
𝑡= − 4 + 8,05
50
𝑠
* 𝑠 = 200 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑡= + 4,05
50
𝑡 = 5 ln[0,2 (200) + 10] − 5 𝑙𝑛10
𝑡 = 8,05 𝑠 * 𝑠 = 400 𝑝𝑖𝑒𝑠

400
200 𝑝𝑖𝑒𝑠 < 𝑠 ≤ 400 𝑝𝑖𝑒𝑠; v = 50 𝑡= + 4,05
50
𝑡 = 12,05 𝑠 𝐑𝐞𝐬𝐩
𝑑𝑠 𝑑𝑠
𝑑𝑡 = =
𝑣 50

4. Una motocicleta parte del reposo en s = 0 y viaja a lo largo de un camino recto con
la rapidez mostrada por la gráfica v-t. Determine la aceleración y la posición de la
motocicleta cuando t = 8 s y t = 12 s.

8 12

𝑠 = 30 𝑚 𝐑𝐞𝐬𝐩.
SOLUCIÓN * 𝒕 = 𝟏𝟐𝒔
De la gráfica: 5
𝑎=− = −1 𝑚/𝑠 2 𝐑𝐞𝐬𝐩.
* 𝒕 = 𝟖𝒔 𝒂=𝟎 𝐑𝐞𝐬𝐩. 5
1 Semejanza de triángulos para determinar el
𝑠 = (4)(5) + (4)(5) valor de h:
2
5 ℎ
= → ℎ=3
5 3

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1 1 𝑠 = 10 + 30 + 8
𝑠 = (4)(5) + (6)(5) + (5 + 3)2
2 2 𝑠 = 48 𝑚 𝐑𝐞𝐬𝐩.

5. Un carro de carreras parte del reposo, viaja a lo largo de un camino recto y por 10 s
tiene la aceleración mostrada. Construya la gráfica v-t que describe el movimiento y
encuentre la distancia recorrida en 10 s.

𝑣 𝑡
SOLUCIÓN
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 6 𝑑𝑡
12 6
Gráfica v – t
𝑑𝑣 𝑣
𝑣/12 = 6𝑡/𝑡6
𝑎=
𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 𝑣 − 12 = 6𝑡 − 6(6)
0 ≤ 𝑡 < 6𝑠 𝒗 = {𝟔𝒕 − 𝟐𝟒} 𝒎/𝒔
𝑣 𝑡
1 2 𝑡 = 10𝑠 , 𝑣 = 6(10) − 24
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑡 . 𝑑𝑡
0 0 6
𝑣 = 36 𝑚/𝑠
1 3 𝑡
𝑣/𝑣0 = 𝑡 /0
18
𝟏
𝒗 = { 𝒕𝟑 } 𝒎/𝒔
𝟏𝟖

1
𝑡 = 6𝑠 , 𝑣= (6)2
18

𝑣 = 12 𝑚/𝑠
Posición:
𝟔𝒔 < 𝒕 ≤ 𝟏𝟎𝒔 𝑑𝑠
𝑣=
𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

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0 ≤ 𝑡 < 6𝑠 𝟔𝒔 < 𝒕 ≤ 𝟏𝟎𝒔
𝑠 𝑡 𝑠 𝑡
1 3
∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑠 = ∫ (6𝑡 − 24) 𝑑𝑡
𝑜 0 18 18 6

𝑠
1 4 𝑡 𝑠/18 = (3𝑡 2 − 24𝑡)/𝑡6
𝑠/0𝑠 = 𝑡 /6
72
𝑠 − 18 = 3𝑡 2 − 24𝑡 − 3(6)2 /𝑡6
𝟏 𝟒
𝒔={ 𝒕 }𝒎
𝟕𝟐 𝒔 = {𝟑𝒕𝟐 − 𝟐𝟒𝒕 − 𝟓𝟒}𝒎

1 𝑡 = 10𝑠 , 𝑠 = 3(10)2 − 24(10) + 54

𝑡 = 6𝑠 , 𝑠= (6)4
72
𝑠 = 300 − 240 + 54
𝑠 = 18 𝑚
𝑠 = 114 𝑚 𝐑𝐞𝐬𝐩

6. La gráfica v-s pare el automóvil está dada para los primeros 500 pies de su
movimiento. Construya la gráfica a-s para 0 ≤ 𝑠 ≤ 500 𝑝𝑖𝑒𝑠 ¿Qué tiempo tarda en
viajar la distancia de 500 pies? El automóvil parte de s = 0 cuando t = 0.

SOLUCIÓN

Gráfica a – s:

𝑣𝑑𝑣
𝑎=
𝑑𝑠
𝑎 = (0,1𝑠 + 10)(0,1)
𝑎 = (0,01𝑠 + 1) 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 2
𝑠=0 , 𝑎 = 1 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2

𝑠 = 500 𝑝𝑖𝑒𝑠 , 𝑎 = 0,01 (500) + 1

𝑎 = 6 𝑝𝑖𝑒/𝑠 2
Calculamos el tiempo que tendrá el
automóvil en viajar la distancia de 500
pies.

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1 1
𝑑𝑠 𝑡= ln(0,1𝑠 + 10) − ln (10)
0,1 0,1
𝑣=
𝑑𝑡
𝑑𝑠 0,1 𝑠 + 10
𝑑𝑡 = 𝑡 = 10 ln ( )
𝑣 10
𝑡 𝑠
𝑑𝑠 𝑡 = 10 ln (0,01𝑠 + 1)
∫ 𝑑𝑡 = ∫
𝑜 𝑜 0,1𝑠 + 10
𝑠 = 500 𝑝𝑖𝑒𝑠
1
𝑡/𝑡𝑜 = ln (0,1𝑠 + 10)/𝑜𝑠 𝑡 = 10 ln [0,01(500) + 1]
0,1
𝑡 = 17,9 𝑠 𝐑𝐞𝐬𝐩.

7. La gráfica v-t para una partícula que se mueve a través de un campo eléctrico de una
placa a otra tiene la forma mostrada en la figura. La aceleración y la desaceleración
que ocurre son constantes y ambas tienen una magnitud de 4 m/s2. Si las placas están
separadas 200 mm, determine la velocidad máxima vmàx y el tiempo t` necesarios
para que la partícula viaje de una placa a la otra. También trace la gráfica s-t. Cuando
t = t`/2 la partícula está en s = 100 mm.

SOLUCIÒN: 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑐 𝑡`

𝑡`
𝑎𝑐 = 4 𝑚⁄𝑠 2 0,894 = 0 + (4) ( )
2
Calculamos la velocidad máxima: 0,894
𝑡` =
𝑠 2
= 100 𝑚𝑚 = 0,1 𝑚 𝒕` = 𝟎, 𝟒𝟒𝟕 𝒔
2
Construimos la gráfica s-t:
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑐 (𝑠 − 𝑠𝑜 )
1
2
𝑣𝑚à𝑥 = 0 + 2(4)(0,1 − 0) 𝑠 = 𝑠𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑎 𝑡2
2 𝑐
𝑣𝑚à𝑥 = √0,8 = 0,894 𝑚⁄𝑠 1
𝑠 = 0 + (0)𝑡 + (4)𝑡 2
𝒗𝒎à𝒙 = 𝟎, 𝟖𝟗𝟒 𝒎⁄𝒔 2
Determinamos el tiempo t`: 𝒔 = 𝟐𝒕𝟐

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𝑠
Determinamos el valor de s en 𝑠/0,1 = −2𝑡 2 + 1,792𝑡/𝑡0,224
𝑡 0,447
= = 0,224 𝑠 𝑠 − 0,1 = −2𝑡 2 + 1,792𝑡 + 2(0,224)2
2 2
− 1,792(0,224)
𝑠 = 2(0,224)2 = 0,1 𝑚
𝒔 = −𝟐𝒕𝟐 + 𝟏, 𝟕𝟗𝟐𝒕 − 𝟎, 𝟐𝟎𝟏
𝑑𝑣
𝑎= → 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 Para t = 0,447 s
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 𝑠 = −2(0,447)2 + 1,792(0,447)
∫ 𝑑𝑣 = − ∫ 4𝑑𝑡 − 0,201
0,896 0,224
𝑠 = 0,2 𝑚
𝑡
𝑣/𝑣0,896= −4𝑡/ Finalmente, la gráfica es:
0,224
𝑣 − 0,896 = −4(𝑡) + 4(0,224)
𝑣 = −4𝑡 + 0,896 + 0,896
𝑣 = −4𝑡 + 1,792
𝑑𝑠
= −4𝑡 + 1,792
𝑑𝑡
𝑑𝑠 = (−4𝑡 + 1,792)𝑑𝑡
𝑠 𝑡

∫ 𝑑𝑠 = ∫ (−4𝑡 + 1,792)𝑑𝑡
0,1 0,224

8. La gráfica v – t para una partícula que se mueve a través de un campo eléctrico de

una placa a otra tiene la forma mostrada en la figura, donde t’ = 0,2 s y vmáx = 10 m/s.
Trace las gráficas s–t y a–t para la partícula. Cuando t = t’/2 la partícula está en s =
0,5 m.

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SOLUCIÓN 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎 𝑡
𝑣 = 20 − 100 𝑡
Gráfica a – t:
𝑑𝑣
0 < 𝑡 < 0,1𝑠 𝑎= = −100
𝑑𝑡
𝑣 = 100𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
𝑎= = 100
𝑑𝑡
𝑠 𝑡
∫ 𝑑𝑠 = ∫ (20 − 100𝑡)𝑑𝑡
0,5 0,1

𝑠
𝑠/0,5 = (20𝑡 − 50𝑡 2 )/𝑡0,1

𝑠 − 0,5 = 20𝑡 − 50𝑡 2 − 20(0,1)

+ 50(0,1)2

𝑠 = −50𝑡 2 + 20𝑡 − 1
Gráfica s – t
𝑡 = 0,2 𝑠 𝑠=1
0 < 𝑡 < 0,1𝑠

𝑑𝑠
𝑣=
𝑑𝑡

𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡
𝑡 𝑣
∫ 𝑑𝑠 = ∫ 100 𝑡 𝑑𝑡
𝑜 𝑜

𝑠 = 50 𝑡 2

𝒕 = 𝟎, 𝟏𝒔 → 𝒔 = 𝟎, 𝟓 𝒎

0,1𝑠 < 𝑡 < 0,2 𝑠

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