Productos Notables
Productos Notables
Productos Notables
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se
multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que
es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados
en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la
forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la
primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 +
2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Nota:
Pregunta 12_2005
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de
la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 –
2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos
el cuadrado de la segunda
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b)
(a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2
Pregunta 15_2010
Pregunta 19_2010
Pregunta 09_2006
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
x2 + 9 x + 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a
+ b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a
– b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a
+ b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 +
ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx +
b).
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 +
3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 –
3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica
que lo representa:
a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados
http://valle.fciencias.unam.mx/~rocio/factorizacion/factorizacion.html
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html
Ver, también:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap2/algebra10.h
tml
Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con laformula).
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada deltérmino
número uno.
( ) ( )( )
N xM xcbx x
nnnn
++=++
Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con laformula).
El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parteliteral debe
tener raíz cuadrada exacta.
La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada deltérmino
número uno.
Diferencia de cuadrados:
Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadradossiempre y
cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambostérminos tengan raíz
cuadrada exacta, se factoriza así:
En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igualen la que
se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo:resolviéndolo nos queda:Aplicamos
diferencia de cuadrados:
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:yes decir que debe cumplir con las
siguientes características:
Que el segundo término sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raízcúbica del primer
término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
Que el tercer término sea más que el triple de la raíz cúbica del último.
Esta se obtiene tomando la raíz cúbica de sucoeficiente y dividiendo el exponente de cada letra
entre 3.
Para esto debemos recordar que:yTenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para
desarrollarlo:
•
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferenciade sus raíces
cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dosraíces, más el cuadrado de la
segunda raíz