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Productos Notables 2022
Productos Notables 2022
Productos Notables 2022
Los productos notables son operaciones algebraicas donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no
necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los
resultados de las mismas, es decir un producto puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.
Demostración algebraica
Por tanto:
( a + b )2 = a2 + 2 ab + b2
“ El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del
primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término”
Interpretación geométrica
𝑎
Construimos un cuadrado de “a” unidades de lado a aa a
a a
Al unir estas cuatro figuras, formaremos un cuadrado de ( a + b) unidades de lado cuya área es :
ab b2
𝑎 ab
( a + b )2 = a2 + ab + ab + b2
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2
Fórmula: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Fórmula: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
a aplicando fórmula
2
Ejemplo 3 :
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2
=
2
=
Demostración algebraica
( a - b )2 = a2 - ab - ab + b2 Efectuando el producto
Por tanto:
“ El cuadrado de la diferencia de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble
producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término”
Fórmula : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Ejemplo 2: Desarrollar √ √
Fórmula : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
√ √ √ √ √ √ aplicando fórmula
(√ √ ) √
√ √ √ simplificación de radicales
Ejemplo 3 :Desarrollar
Fórmula ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Demostración algebraica:
( a + b )3 = (a + b ) ( a + b) (a +b ) Definición de potenciación
Por tanto:
( a + b )3 = a3 + 3 a2 b +3 ab2 +b3
“ El cubo de la suma de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del primero al
cuadrado por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo término, más el
cubo del segundo término”
Ejemplo 1: Desarrollar
Fórmula : ( a + b )3 = a3 + 3 a2 b +3 ab2 + b3
= + aplicando fórmula
Ejemplo 2 : Desarrollar
Fórmula:
aplicando fórmula
Ejemplo 3: Desarrollar
Demostración algebraica:
( a - b )3 = (a - b ) ( a - b) (a -b ) Definición de potenciación
Por tanto:
( a - b )3 = a3 - 3 a2 b + 3 ab2 - b3
“ El cubo de la diferencia de un binomio es igual al cubo del primer término, menos el triple producto del
primero al cuadrado por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo término,
menos el cubo del segundo término”
Demostración algebraica:
(a + b) (a - b) = a2 - ab + ab - b2 multiplicando
Por tanto :
( a + b ) ( a - b ) = a2 – b2
“ El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado de primero, menos el
cuadrado del segundo término “
“El producto de dos binomios de la forma ( ) (x ) es igual al cuadrado del primer término, más la
suma algebraica de los segundos términos por el primer término, más o menos el producto de los segundos
términos del binomio “
( ) (x ) = x2 +( a + b )x
1. ( x + 12 )( x - 4 ) = x2 + ( 12 – 4 )x + ( 12 ) (- 4 )
( x + 12 )( x - 4 ) = x2 + 8x - 48
2. ( m2 - 9 )(m2 - 7 ) = ( m2 )2 + ( - 9 - 7 )m2 + ( - 9 )( - 7 )
( m2 - 9 )(m2 - 7 ) = m4 -16m2 + 63
Demostración algebraica
Si el polinomio : a + b+c
Elevamos al cuadrado : ( a + b + c )2
Prop. Asociativa : [ ]2
Cuadrado de un binomio: ( a + b )2 + 2 (a + b )c + c2
Por tanto :
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2ac + 2bc
“El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble
producto de las combinaciones binarias que con ellos pueden formarse “
PRACTICA
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando productos notables y reduciendo términos semejantes
1. ( x + 5 )( 5 - x ) + ( x + 3 )( x - 3 ) =
2. ( y + 1 )2 + ( y + 2 )2 - 2y ( y + 3) + 8 =
3. (m3 - 6 )(m3 -5) + (m3 + 7 )( m3 + 4 )=
4. ( a + 1 )( a – 1)( a + 2 )( a – 2 ) - ( a2 + 2 )( a2 - 2 ) + 8( a2 + 1 )
5. ( x – 2 )2 + ( x + 3)2 + 2x2
6. ( y2 - 3 )2 - ( y2 + 3 )( y2 + 3 )
7. Calcular √
8. Calcular : √
9. (x + 6 )2 + (x – 7 )2 – (x + 2 ) (x + 1) – ( x – 11 )(x + 11 )
10. [ ( x + 3 )2 - ( x + 4 ) ( x + 2 ) - 1 ]2
11. ( y2 - 3 )2 - ( y2 + 3 )( y2 + 3 )
12. Calcular :[ (a – 5 )( a + 5 ) – (a + 8 )( a – 8) - 3
13. [ ( x + 3 )2 - ( x + 4 ) ( x + 2 ) - 1 ]2
14 .-Calcular :√