FACTORIZACION  
 

La  factorización  es  el  proceso  inverso  a  la  multiplicación.  Cuando  factorizamos,  deshacemos  lo  que  
hicimos  al  multiplicar.  Factorizar  entonces,  es  escribir  una  expresión  como  un  producto  de  dos  o  
más  factores.  Se  efectúa  invirtiendo  el  proceso  de  aplicar  los  productos  Notables  o  Especiales.  Tal  
descomposición  es  considerada  completa  cuando  cada  factor  algebraico  es  un  factor  primo.  

Se   conocen   como   Factores   de   una   expresión   algebraica,   a   las   expresiones   algebraicas   que  
multiplicadas  entre  sí  dan  como  producto  la  primera  expresión.  

Por  ejemplo:   x  (x  +  y)  =  x2  +  xy;    x,  (x  +  y)  son  los  factores  de    x2  +  xy.  

No  todos  los  polinomios  se  pueden  descomponer  en  dos  o  más  factores  distintos  de  uno,  pues  hay  
expresiones  algebraicas  que  sólo  son  divisibles  entre  ellas  mismas  y  entre  uno,  por  lo  tanto,  no  son  
el  producto  de  otras  expresiones  algebraicas.  

Factorización  de  Factor  Común  

La  factorización  más  simple  se  basa  en  la  propiedad  distributiva:  ab  +  ac  =  a(b  +  c).  Este  tipo  de  
factorización,  remueve  el  factor  común  de  los  términos.  Por  ejemplo,  el  polinomio    

Por  ejemplo:  

1. a2  +  2a  =  a  (a  +  2),  el  factor  común  de  la  expresión  algebraica  es  a  en  los  dos  términos.  Y  
se  obtiene,  identificando  la  menor  potencia  de  ese  factor,  en  este  caso  es  1,  por  lo  cual  a  
es  el  factor  común.  
2. 3b2  –  5bc  +  6b  tiene  como  factor  común  a  b  en  los  tres  términos.  Al  factorizar,  tenemos  
entonces  que  b(3b  –  5c  +  6).  
3. 3x2  +  6x3  =  3x2  (1  +  2x),  el  factor  común  es  3x2  en  los  dos  términos.  
4. 22pq2  –  33qr  =  (11)(2)pq  2  –  (11)(3)qr  =  11q  (2pq  −3r).  

Trinomio  Cuadrado  Perfecto  

Un   trinomio   cuadrado   perfecto   es   una   expresión   algebraica   de   la   forma   a2+2ab+b2.   Para  
determinar  si  un  trinomio  es  cuadrado  perfecto  se  debe:    

1. Identificar  los  dos  términos  que  son  cuadrados  perfectos  obteniéndoles  su  raíz  cuadrada.    
2. El  tercer  término  corresponde  al  doble  producto  de  la  raíz  cuadrada  de  los  dos  términos  
del  punto  anterior.    
Para  factorizar  un  trinomio  cuadrado  perfecto:    

1. Se  obtiene  la  raíz  cuadrada  de  los  términos  que  son  cuadrados  perfectos  del  trinomio.    
2. Se   anotan   los   dos   términos   anteriores   como   una   suma   algebraica   elevada   al   cuadrado,  
tomando  el  signo  del  doble  producto.  
3. Lo  anterior  queda  expresado  como  a2+2ab+b2  =(a+b)2  o  bien  a2-­‐2ab+b2  =(a-­‐b)2.  

Ejemplos:  

1. a2  -­‐  2  ab  +  b2            ⇒     a2  -­‐  2ab  +  b2  =  (a  -­‐  b)2    

2. 1  +  14x2y  +  49x4y2          ⇒   1  +  14x2  y  +  49x4  y2  =  (1  +  7x2y)2  

Factorización  por  Diferencia  de  Cuadrados  

Se  llama  diferencia  de  cuadrados  a  un  binomio  de  la  forma  a2  –  b2  en  donde  a  y  b  son  números  
reales.  

Se  dice  que  dos  binomios  son  conjugados,  cuando  tienen  los  mismos  términos  y  si  difieren  sólo  en  
un  signo.  Por  ejemplo  a  +  b  y  a  –  b,  3  +  2n  y  3  –  2n,  –  m  +  k  y  –  m  –  k.  

La  factorización  de  una  diferencia  de  cuadrados  es  igual  al  producto  de  dos  binomios  conjugados:  
a2  –  b2  =  (a  +  b)  (a  –  b).  Nótese  que  el  término  que  cambia  de  signo  en  los  binomios  conjugados  es  
el  correspondiente  al  término  que  se  resta  en  la  diferencia  de  cuadrados.  

Ejemplos:  

1. x2  -­‐  y2                          ⇒    (x2  -­‐  y2  )  =  (x  +  y)(x  -­‐  y)    

2. a10  -­‐    49b12          ⇒    (a10  -­‐  49b12  )  =  (a5  +  7b6)(a5  -­‐  7b6)    
3.  4x2  -­‐  81y4              ⇒    (4x4  -­‐  81y4  )  =  (2x  +  9y2)(2x  -­‐  9y2)    

Factorización  de  una  Suma  de  Cubos    

La  factorización  de  una  suma  de  cubos,  se  apoya  en  el  hecho  de  que  es  divisible  entre  a  +  b.  Si  se  
𝒂𝟑 !𝒃𝟑
realiza  la  división,  lo  que  se  obtiene  es:       = 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 .    
𝒂!𝒃

Donde  esta  suma  queda  factorizada  como:    𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 (𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ).  

Ejemplo:  

1. Factorizar          x9  +  125  

Por  lo  tanto,  x9  +  125  =  (x3  +  5)  (  x6  -­‐  5x3  +  25  ).  

2. Factorice      64x3  +  27y6  

Por  lo  tanto,  64x3  +  27y6  =  (4x  +  3y2)  (  16x2  -­‐  12xy2  +  9y4  ).  

Factorización  de  una  Diferencia  de  Cubos    

Diferencia  de  cubos  

Se   llama   diferencia   de   cubos   a   un   binomio   de   la   forma  a3   –   b3   en   donde   a   y   b   son   números   reales.  
Las  siguientes  expresiones  son  ejemplos  de  diferencias  de  cubos:  27  –  x3,  m6  –  n9,  a12  –  1.    

Factorización  de  una  diferencia  de  cubos    

La  factorización  de  una  diferencia  de  cubos  a3  –  b3,  es  el  producto  de  un  binomio  y  un  trinomio  de  
la  siguiente  forma:  a3  –  b3  =  (a  –  b  )  (  a2  +  ab  +  b2  ).  El  binomio,  es  la  diferencia  de  las  raíces  cúbicas  
de  cada  término  de  la  diferencia  de  cubos  y  el  trinomio,  es  muy  semejante  a  un  trinomio  cuadrado  
perfecto,  pero  el  término  cruzado  no  es  multiplicado  por  dos.  

Ejemplo:    

1. Factorizar    125x3  –  27y6  

Por  lo  tanto,  125x3  –  27y6  =  (5x  –  3y2)  (25x2  +  15xy2  +  9y4  ).  

2. Factorizar  1  –  z6    

Por  lo  tanto,  1  –  z6=  (1  –  z2)(1+z2+z4).    

Obsérvese  que  el  binomio  de  la  factorización  es  una  diferencia  de  cuadrados,  que  también  puede  
escribirse  como  1  –  z2  =  (  1  +  z  )  (1  –  z),  por  lo  que  finalmente  1  –  z6  =  (  1  +  z  )  (1  –  z)  (  1  +  z2  +  z4  ).  

Factorización  de  un  trinomio  de  la  forma  x2+bx+c  

Para  factorizar  un  trinomio  de  la  forma  x2+bx+c:  

1. Se  obtiene  la  raíz  cuadrada  del  término  que  se  encuentra  elevado  al  cuadrado 𝒙𝟐 = 𝒙.    
2. Se   eligen   dos   números   m   y   n   que   al   multiplicarse   den   como   resultado   el   número   c,   es  
decir,    (m)(n)  =  c.  
3. Los  dos  números  m  y  n  al  sumarse  deben  dar  como  resultado  el  número  b,  m  +  n  =  b.  
4. El  trinomio  factorizado,  es  el  producto  de  dos  binomios:    x2+bx+c  =  (x  +  m)  (x  +  n).  

Ejemplo:   Factorizar    x2  +  3x  +  2  

Solución:    

La  raíz  cuadrada  de  x2  es  x.  Se  elegirán  dos  números  m  y  n  que  multiplicados  den  como  resultado  2  
y  que  sumados  den  como  resultado  3,  es  decir  mn  =  2  y  m+n  =  3.  Los  números  entonces  son  m=1  y  
n=2,  porque  (1)(2)  =  2  y  1  +  2  =  3.    

Por  lo  tanto  la  factorización  del  trinomio  es:    x2  +  3x  +  2  =  (x+1)(x+2)  

Factorización  de  un  trinomio  de  la  forma  ax2+bx+c    

Para  factorizar  un  trinomio  de  la  forma  ax2+bx+c:  

1. Se  eligen  dos  números  d  y  e  que  multiplicados  den  como  resultado  a,  (d)(e)  =  a.  
2. Se  eligen  dos  números  f  y  g  que  multiplicados  den  como  resultado  c,  (f)(g)  =  c.  
3. El  coeficiente  b  es  igual  a  la  suma  de  los  productos  ef  y  dg  como  se  indica  ef  +  dg  =  b.  
4. La   factorización   del   trinomio   es  ax2+bx+c   =   (dx   +   f)(ex   +   g).   Como   se   puede   observar   d   y   e  
se  multiplican  por  la  variable  a  la  primera  potencia.  

Ejemplo:     Factorizar    6x2  +7x+2    

Solución:    

En  el  trinomio  6x2+7x+2,  el  coeficiente  6=(2)(3)  y  2=(2)(1),  entonces  (2)(2)+  (3)(1)=  4+3  =  7.  

Por  lo  tanto,  la  factorización  del  trinomio  es:    6x2+7x+2  =  (2x+1)(3x+2).