Mate 3

CHAUCA DEXTRE JHENFER FABIO
141.0704.050
1. Encuentre las dimensiones del paraleleppedo rectangular del volumen mximo

con caras paralelas a los lados que puede inscribirse en el elipsoide
16 x 2+ 4 y 2 +9 z 2=144
2. Calcule las dimensiones de paraleleppedo rectangular de volumen mximo
que tiene tres de sus caras en los planos coordenados, un vrtice en el origen
y otro vrtice en el primer octante sobre el plano
4 x +3 y +z=12
3. Una compaa planea fabricar cajas cerradas con la forma de un

paraleleppedo con un volumen de 8 m3. El material de la tapa y del fondo
cuesta el doble que el de los lados. Calcule las dimensiones para que el costo
es mnimo.
4. El servicio postal de Bolivia no acepta cajas rectangulares tales que la suma de
su longitud y el permetro de una seccin transversal perpendicular a dicha
longitud, sea mayor a 18 pulgadas. Calcule las dimensiones de la caja de
mayor volumen que puede enviarse por correo.
5. Una tienda de ropa vende dos clases de abrigos que son parecidos pero estn
hechos por diferentes fabricantes. El costo para la tienda del abrigo de la
primera clase es S/.40 y el costo de la segunda es S/.50. se ha determinado
por experiencia que si el precio de venta del de la primera clase es x soles y
el precio de la segunda es y soles, entonces la venta mensual total del de la
primera clase es (3200 - 50x + 25y) abrigos y la venta mensual total del de la
primera clase es (25x 25y) abrigos. Cul deber ser el precio de venta cada
clase de abrigo para obtener la mxima utilidad?
6. Se va a hacer una caja rectangular con una capacidad de 16 m 3 de tres clases
de material. El costo del material para las partes superior e inferior es 9 soles
por m2, el costo del material para los otros dos lados es 6 soles por m 2.
Encontrar las dimensiones de la caja de tal forma que el costo de los
materiales sea un mnimo.
7. Una caja rectangular descansa sobre el plano XY con un vrtice en el origen.
Hallas el volumen mximo de la caja si su vrtice opuesto al origen pertenece a
plano
6 x+ 4 y +3 z=24
8. El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del producto A e y

unidades del producto B se aproxima mediante el modelo.
P(x,y)=8x +10y (0.001) (x2 + xy + y2)- 10000. Hallar el nivel de produccin
que reporta un beneficio mximo.
9. Encuentre las dimensiones del paraleleppedo rectangular del volumen mximo
que tiene tres de sus caras en los planos coordenados y un vrtice en el plano
x y z
+ + =1 , donde a>0, b>0, c>0. Encuentre tambin dicho
a b c
con ecuacin
volumen mximo.
10. Trazar un plano de modo que pase por el punto (a, b, c) y que el volumen del
tetraedro recortado por dicho plano del triedro coordenado sea el menor
posible.
11. Inscribir en la esfera dada de dimetro 2R un paraleleppedo rectangular, que
tenga el mayor volumen posible.
12. Hallas los extremos relativos de f(x, y) para =1, =-1 y para =0
2
f ( x , y ) =ex + y
13. Hallar los mximos y mnimos relativos de la funcin
f : I R IR
siguiente:
f ( x , y ) =12 x 2 +12 y 2 + y 3 x3 +5
14. Hallar los puntos crticos de
2
f ( x , y ) =( x 2+ y2 ) + e x + y
15. Hallas los puntos crticos y estudiar si en cada uno de ellos hay o no extremo
relativos de la funcin
( x , y ) z
siguiente
z=x 8+ y 6 +2 x 4 + y 2
16. Hallar los valores mximos y mnimos relativos que alcanza f(x,y) cuando (x,y)
recorre la curva (x, y)=0 siendo:
f ( x , y ) =x2 4 xy + y 2 +20 x +20 y+ 10

2
( x , y )=x + y + xy12
17. Hallas los valores mximos y mnimo de
f ( x , y ) =xy+ yx+ zx+ x + y + z

Cuando (x, y, z) recorre la esfera x2 + y2 + z2 =1
Respuestas Grupo 2
1. 7, (3,3,4) , (6,5,10)
2. Cubo de lado
2 2
z=2 1
3. El volumen en V=8xyz, de la elipsoide despejar
x
y
2 5
reemplazar en V para luego derivar.

4. 40, 40, 40
5. Sean a longitud de los lados iguales del tringulos issceles, h su altura. Dado
a=x sec , h=x tg ,
entonces
el
2
L=2 x sec+2 x +2 y , el rea es:
A=2 xy +x tg
permetro
es
con estos datos pude
Ud. Hallar el mximo de la funcin A.
6. Max. En
P=(4,24,8) ,
f ( p )=88
min
en
q=(4,24,8)
f ( p )=88
P1,2=(2 / 3 ; 2 3) , a una distancia
7. Los puntos ms cercanos son
d=
8
3 . Los ms alejados son
P3,4=( 2; 2) a una distancia d= 8 .
8. Distancia mnima=1.693 en el punto
en el punto ( 13 , 13 )
9
4
,
)
13 13 ; distancia mxima=6.7921
10. El cubo; 11. El cubo; 12. El cubo
13. El punto de tangencia es
a b
, )
2 2 . El rea mnima del tringulo es ab.
15. En un lugar de aplicar la funcin distancia

esta distancia, esto es, usa la funcin
ms cercanos al origen son
D m=0.2751 .
Los
puntos
x2 + y 2
2
f ( x , y ) =x + y
, aplique el cuadrado de
. La solucin es: los puntos
P1,2=( e1 , e11) a una distancia

ms
alejados
P3=(1.32716,2.2064)
del
origen
P4 =(2.2064,1.3871)
16. Debe tomar logaritmos. Se obtiene mximo en ( hLna , hLnb , hLnc
P4 =(hLna ,hLnb ,hLnc) , donde
en
son
Lna
Lnb
Lnc
2+
h=r
y mnimo
Mximo
er h
; mnimo
er h .
17. Vrtice en V (0, 0, c), base en z=constante,
elipsoide. Tomar logaritmos. Los resultados son
3
volumen maximo= abc .
2
4
vol= xy (cz )
3
x=
sujeta a la
3a
3b
c
, y= , z=
2
2
2
18. Las aristas de la base:
(5 13) K
( 132)K
;
las
aristas
laterales:
12
12
19. La base es cuadrara; altura de la longitud de la base.

20.
6 12 8
,
,
3 3 3
21.
4
1, , 4
3
22. La base es un cuadrado de lado
3 4 m
, altura 2 4 m .
23. 18 pulg. x 18 pulg. X 36pulg.

25.
x=2000 unidades ,
y=4000unidades
28.
1
x= a ,
3
1
z= c
3
1
y= b ,
3
conduce a un beneficio mximo.
29. a + b + c =3
30. El cubo; 31. Punto crticos (0,0): si <-1 mximo; si >1; =0 mximo amplio a
lo largo de x=0
32. En (0,0) mnimo, f (0,0)=5
33. (0,0), mnimo; (0,1) y (0,-1), puertos.
34. En (1,1) mnimo; en (1,0) mximo; en (0,1) no extremo; en (0,0) mximo.
35. Mximos f (4,-2)=102 Y f (-2,4)=102; mnimos f (2,2)=82 Y f (-2,-2)= -78
36. Puntos crticos
y circunferencua
mnimo
f ( c )=5
P(1/ (3,)1/ (3,)1/ 3) , Q(1/( 3,)1 /(3,)1 / 3)
C : x + y + z+1=0 ,
x 2+ y 2 + z 2=1.
Mximo
F ( Q )=7+ 3 ;

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1. Encuentre las dimensiones del paraleleppedo rectangular del volumen mximo

3. Una compaa planea fabricar cajas cerradas con la forma de un

8. El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del producto A e y

13. Hallar los mximos y mnimos relativos de la funcin

f ( x , y ) =x2 4 xy + y 2 +20 x +20 y+ 10

f ( x , y ) =xy+ yx+ zx+ x + y + z

3. El volumen en V=8xyz, de la elipsoide despejar

reemplazar en V para luego derivar.

a=x sec , h=x tg ,

L=2 x sec+2 x +2 y , el rea es:

con estos datos pude

Ud. Hallar el mximo de la funcin A.

7. Los puntos ms cercanos son

P3,4=( 2; 2) a una distancia d= 8 .

8. Distancia mnima=1.693 en el punto

10. El cubo; 11. El cubo; 12. El cubo

13. El punto de tangencia es

15. En un lugar de aplicar la funcin distancia

. La solucin es: los puntos

P1,2=( e1 , e11) a una distancia

16. Debe tomar logaritmos. Se obtiene mximo en ( hLna , hLnb , hLnc

P4 =(hLna ,hLnb ,hLnc) , donde

17. Vrtice en V (0, 0, c), base en z=constante,

elipsoide. Tomar logaritmos. Los resultados son

18. Las aristas de la base:

19. La base es cuadrara; altura de la longitud de la base.

22. La base es un cuadrado de lado

23. 18 pulg. x 18 pulg. X 36pulg.

conduce a un beneficio mximo.

P(1/ (3,)1/ (3,)1/ 3) , Q(1/( 3,)1 /(3,)1 / 3)

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