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    Aplicaciones Derivadas

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    Este documento presenta una serie de problemas de cálculo que involucran funciones, máximos y mínimos. Los problemas incluyen determinar dónde crecen y decrecen funciones, hallar valores máximos y mínimos, calcular dimensiones óptimas para áreas, volúmenes y perímetros, entre otros.

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    Dada la funcin y = x 3 3x 2 9x + 5, averigua:

    a) Dnde crece.
    b) Dnde decrece.

    Halla el nmero positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mnima.

    De todos los tringulos rectngulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya rea es mxima.

    Entre todos los rectngulos de permetro 12 m, cul es el que tiene la diagonal menor?

    6x

    Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata.
    Suponemos el recipiente con dos tapas:

    2r
    h

    = 2 r (h + r)

    r
    r

    V = 6,28 l = 6,28

    rea total = 2 r h + 2 r 2 =

    dm3

    Halla los mximos, los mnimos y los puntos de inflexin de las siguientes
    funciones:
    x 3(3x 8)
    a) y = x 3 3x 2 + 9x + 22 b) y =
    c) y = x 4 2x 3
    12
    d) y = x 4 + 2x 2

    e) y =

    1
    +1

    f ) y = e x (x 1)

    x2

    Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes


    funciones, y di si tienen mximos o mnimos:
    a) y =

    c) y =

    1
    x2 4

    b) y =

    2x 3
    x+1

    x2
    +1

    d) y =

    x2 1
    x

    x2

    Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los mximos y los


    mnimos de las siguientes funciones:
    x2 + 1
    x3
    8 3x
    a) y =
    b) y = 2
    c) y = 2
    x (x 2)
    x 1
    x 1
    d) y =

    2x 2 3x
    2x

    e) y =

    (x 1)(x 2)
    x (x 3)(x 4)

    f) y =

    8
    x 2 (x 3)

    Estudia la concavidad, la convexidad y los puntos de inflexin de las


    siguientes funciones:
    a) y = x 3 3x + 4

    b) y = x 4 6x 2

    c) y = (x 2)4

    d) y = x e x

    e) y =

    2x
    x+1

    f ) y = ln (x + 1)

    Estudia si las siguientes funciones tienen mximos, mnimos o puntos de


    inflexin en el punto de abscisa x = 1:
    a) y = 1 + (x 1)3

    b) y = 2 + (x 1)4

    c) y = 3 (x 1)6

    Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado


    todos sus clientes. La expresin que representa el nmero de clientes en
    funcin del nmero de horas que lleva abierta, t, es N (t ) = 80t 10t 2.
    a) A qu hora el nmero de clientes es mximo? Cuntos clientes hay en
    ese momento?
    b) A qu hora cerrar la discoteca?

    Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del nmero de tiendas que tiene en
    funcionamiento (n) de acuerdo con la expresin:
    B (n ) = 8n 3 + 60n 2 96n
    Determina razonadamente:
    a) El nmero de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios
    semanales.
    b) El valor de dichos beneficios mximos.

    Se quiere fabricar una caja de volumen mximo que sea el doble de larga que
    de ancha y que, adems, la suma del ancho ms el largo ms el alto sea igual
    a un metro.
    Calcula las medidas que debe tener la caja y cul ser su volumen.
    b

    Volumen de la caja: V = 2a a b = 2a2b


    a + 2a + b = 1 8 b = 1 3a

    2a

    V = 2a2(1 3a) = 2a2 6a3

    Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m 2 de


    superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 2,50 y el de tramo
    vertical, 3 .
    a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea
    mnimo.
    b) Cul ser ese coste mnimo?

    6 m2

    Se quiere construir un recipiente cnico cuya generatriz mida 10 cm y que


    tenga capacidad mxima. Cul debe ser el radio de la base?

    10 cm

    Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectngulo


    y de dos semicrculos adosados a dos lados opuestos del rectngulo. Si se
    desea que el permetro de la pista sea de 200 m, halla las dimensiones que
    hacen mxima el rea de la regin rectangular.

    Permetro de la pista = 2x + y = 200

    Dos postes de 12 m y 18 m de altura distan entre s 30 m. Se desea tender un


    cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de
    estos. Dnde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del
    cable sea mnima?
    La longitud total del cable es:
    18 m

    L (x) = x 2 + 122 + (30 x)2 + 182 ; es decir:

    12 m
    30 x

    x
    30 m

    Determina el radio de la base y la altura de un cilindro de 54 cm2 de rea


    total para que su volumen sea mximo.
    rea total = 2rh + 2r 2
    2rh + 2r 2 = 54 8 h =
    h

    54 2r 2
    2r

    Volumen = r 2 h
    r

    V = r 2

    54 2r 2
    = r (27 r 2) = 27r r 3
    2r

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