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    4ta Práctica Máximos y Mínimos

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    WillySurcoCoaguila
    Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo vectorial y optimización. Incluye encontrar puntos críticos y máximos/mínimos de funciones de varias variables, calcular distancias entre figuras geométricas como planos y conos, y determinar las dimensiones óptimas de cajas y cilindros para maximizar el volumen o minimizar el costo sujeto a diferentes restricciones.

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    4ta Práctica Máximos y Mínimos

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    WillySurcoCoaguila
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    Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo vectorial y optimización. Incluye encontrar puntos críticos y máximos/mínimos de funciones de varias variables, calcular distancias entre figuras geométricas como planos y conos, y determinar las dimensiones óptimas de cajas y cilindros para maximizar el volumen o minimizar el costo sujeto a diferentes restricciones.

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    4ta Práctica Máximos y Mínimos

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    Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo vectorial y optimización. Incluye encontrar puntos críticos y máximos/mínimos de funciones de varias variables, calcular distancias entre figuras geométricas como planos y conos, y determinar las dimensiones óptimas de cajas y cilindros para maximizar el volumen o minimizar el costo sujeto a diferentes restricciones.

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    UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIRÍA MECÁNICA, MECÁNICA ELÉCTRICA Y MECATRÓNICA

    Cuarta práctica de cálculo vectorial

    I. Hallar los puntos críticos de las funciones siguientes y pruebe si cada uno
    de ellos es un máximo o mínimo local.

    1. f ( x, y)  x 2  3 y 2  4 x  12 y
    2. f ( x, y)  x 2  xy  y 2  y
    3. f ( x, y)  x 3  y 2  3x  4 y  7
    4. f ( x, y)  xy  2 x  2 y  x 2  y 2
    5. f ( x, y)  x 3  12 xy  8 y 3
    6. f ( x, y)  x 3  3x 2 y  y 3  y
    7. f ( x, y)  x 3  y 3  9 x 2  3 y 2  15x  9 y
    8. f ( x, y)  y 3  3x 2 y  6 x 2  6 y 2  2
    9. f ( x, y)  x 3  y 3  3x  3 y  1
    10. f ( x, y)  xy 1  x  y 
    11. f ( x, y)  x  y 1  xy 
    2 4
    12. f ( x, y )  xy  
    x y
    1 1
    13. f ( x, y )  xy  
    x y
    14. f ( x, y)  xy  ln x  y 2
    15. f ( x, y)  xe 2 x 2 y 2
    2

    16. f ( x, y)  xe  x  ye 2 y
    17. f ( x, y)  e x cos y
    18. f ( x, y)  y cos x
    19. f ( x, y)  y 2  2 y cos x , 1  x  7
    20. f ( x, y)  senx seny ,    x   ,    y  

    21. f ( x, y)  x 2  y 2 e y  2
     x2

    22. f ( x, y)  y 2
     x2 e y

    23. f ( x, y, z )  x 3  y 2  z 2  2 xyz
    24. f ( x, y, z )  ( x 2  y) 2  y( z 2  1)

    II. Problemas de aplicación.

    1. Calcule la distancia más corta desde el punto (2, 0, -3) al plano x+ y+ z= 1.

    2. Determine el punto sobre el plano x - 2y +3z= 6 que está más cerca al punto (0,
    1, 1).

    3. Encuentre los puntos sobre el cono z2 = x2+y2 más cercanos al punto (4, 2, 0).
    4. Determine los puntos sobre la superficie y2 =9+xz que están más cercanos al
    origen.

    1
    UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIRÍA MECÁNICA, MECÁNICA ELÉCTRICA Y MECATRÓNICA

    5. Encuentre tres números positivos cuya suma es 100 y cuyo producto es un


    máximo.

    6. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 12 y la suma de cuyos


    cuadrados es tan pequeña como sea posible.

    7. Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscrita en una esfera de


    radio r.

    8. Encuentre las dimensiones de la caja con volumen de 1000 cm3 que tiene mínima
    área superficial.

    9. Calcule el volumen de la caja rectangular más grande en el primer octante con


    tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x+2y+ 3z = 6.

    10. Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área
    superficial total es de 64 cm2.

    11. Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo tal que
    la suma del largo de sus 12 aristas es una constante c.

    12. La base de un acuario de volumen V está hecho de pizarra y los lados son de
    vidrio. Si la pizarra cuesta cinco veces más por unidad de área que el vidrio,
    determine las dimensiones del acuario que minimizan el costo de los materiales.

    13. Una caja de cartón sin tapa debe tener 32 000 cm3. Calcule las dimensiones que
    minimicen la cantidad de cartón utilizado.

    14. Si la longitud de la diagonal de una caja rectangular debe ser L, ¿cuál es el


    volumen más grande posible?

    15. Un cilindro circular recto tendrá un volumen de 1000 pie3. la tapa y la base del
    cilindro se hacen de un metal que cuesta 2 dólares por pie cuadrado. La cara
    lateral se cubre con un metal que cuesta 2.5 dólares por pie cuadrado. Calcule el
    costo de construcción mínimo.

    16. Obtenga las dimensiones de una caja rectangular abierta con volumen máximo,
    si su área de superficie es de 75 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones si la caja es
    cerrada?

    17. Determine los puntos más cercanos y más alejados del origen a la curva cerrada
    x 2  y 2  xy  4

    18. Hallar la mínima distancia entre la circunferencia x 2  y 2  1 y la recta y  x  4

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