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    Hoja de Trabajo 14

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    Augusto A Irigoyen Marquez
    Este documento presenta un resumen de la unidad III sobre funciones de varias variables del curso de Cálculo 2. Incluye problemas de optimización sin restricción y con restricción, como determinar las dimensiones óptimas de una caja rectangular con un volumen fijo minimizando los costos de materiales, o encontrar los valores extremos de funciones sujetas a restricciones geométricas usando el método de multiplicadores de Lagrange. El documento concluye con problemas de nivel avanzado que implican maximizar funciones sujetas a múltiples restricciones para aplic

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    Hoja de trabajo 14

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    Este documento presenta un resumen de la unidad III sobre funciones de varias variables del curso de Cálculo 2. Incluye problemas de optimización sin restricción y con restricción, como determinar las dimensiones óptimas de una caja rectangular con un volumen fijo minimizando los costos de materiales, o encontrar los valores extremos de funciones sujetas a restricciones geométricas usando el método de multiplicadores de Lagrange. El documento concluye con problemas de nivel avanzado que implican maximizar funciones sujetas a múltiples restricciones para aplic

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    CÁLCULO 2

    UNIDAD III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES


    SESIÓN 14: OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIÓN

    NIVEL 1
    1. Determinar los extremos relativos de las funciones:
    a)
    b) f ( x, y )  x  y d) f ( x, y)  2 x  y  9 x  4 y  12 x  2
    2 2 3 2 2

    c) f ( x, y )  4 y  x  12 y  36 y  2
    3 2 2 2 2
    x y
    e) f ( x, y )  e
    2. CONSTRUCCIÓN Suponga que usted desea construir una caja rectangular con un volumen de
    32 m3 , en cuya construcción se utilizarán tres materiales diferentes. El material para los lados cuesta
    $ 1 por metro cuadrado, el material para el fondo cuesta $ 3 por metro cuadrado y el de la tapa cuesta
    $ 5 por metro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja menos costosa?
    3. Encuentre los valores extremos de f ( x , y )=3 x+ 4 y−3 sujeto a la restricción
    ( x−1)2+ y 2=25 .
    4. Sea f ( x , y )=x 2+ 2 y 2. Encuentre los valores máximo y mínimo de la función f ( x , y ) sujeto
    a la restricción x 2+ y 2=1

    5. Emplee el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar el máximo de


    2 2
    f ( x , y )=9−x − y sujeto a la restricción x + y=3.
    6. Encuentre los valores máximo y mínimo de f ( x , y , z )=x +3 y−z sujeto a z=2 x 2+ y 2

    NIVEL 2

    1. ¿Para cuales valores de k está garantizado mediante el criterio de la segunda derivada que
    f ( x, y )  x 2  k xy  y 2 tendrá:

    a) En (0, 0) un punto silla?


    b) En (0, 0) un mínimo local?
    c) ¿Qué ocurre en el caso en el cual el criterio de la segunda derivada no permite, directamente,
    clasificar un punto crítico de f ?
    2. Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en dólares)
    obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de grabador de DVD se
    aproxima mediante el modelo
     
    P  x , y   8 x  10 y   0.001 x 2  xy  y 2  10000
    Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la
    ganancia máxima?

    DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA


    3. VENTAS AL MENUDEO Una compañía produce x unidades de la mercancía A y y unidades de
    la mercancía B. Todas las unidades se pueden vender en p=100−x dólares por unidad de A y
    q=100− y dólares por unidad B. El costo (en dólares) de producir estas unidades está dado por la
    función de costo conjunto C (x , y )=x 2+ xy + y 2. ¿Qué valor deben tener x y y para maximizar la
    utilidad?
    4. Rectángulo de mayor área en una elipse use el método de multiplicadores de Lagrange para
    determinar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en la elipse
    x 2 /16 + y 2 /9=1 con los lados paralelos a los ejes coordenados.
    5. Hormiga en una placa de metal la temperatura en un punto( x , y ) de una placa de metal es
    T ( x , y )=4 x 2−4 xy + y 2. Una hormiga camina sobre la placa alrededor de una circunferencia de
    radio 5 con centro en el origen ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima encontradas por la
    hormiga?
    6. Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un
    2 2
    punto de la elipse x +4 y =4 a la recta x+ y=4 .
    7. Tanque de almacenamiento más económico su empresa debe diseñar un tanque de
    almacenamiento para gas líquido. Las especificaciones del cliente piden un tanque cilíndrico con
    extremos semiesféricos, que debe contener 8000 m 3 de gas. El cliente también quiere usar la menor
    cantidad posible de material para construir el tanque. ¿Qué radio y altura recomendarían para la
    parte cilíndrica del taque?

    NIVEL 3

    Q  x, y    x 3  3 y 3  3 x 2  24 y
    1. Una empresa fabrica chocolates según la función de producción
    donde x es la cantidad de cacao e y la de leche empleadas para su fabricación.

    a) Calcúlese las productividades marginales en el punto


     1,2 
    b) Hállese la producción máxima.
    2. Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres de sus
    caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x +2y +3z = 6.

    3. Un pedazo de latón de 24 pulg de ancho se dobla de manera tal que su sección transversal es un
    trapezoide isósceles (vea la figura). Calcule x y θ de manera que el área de la sección transversal
    sea un máximo. ¿Cuál es el área máxima?

    DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 FACULTAD DE INGENIERÍA


    4. Localización de un radiotelescopio: Usted debe construir un radio telescopio en un planeta recién
    descubierto. Para minimizar la interferencia, quiere colocarlo donde el campo magnético del
    planeta es más débil. El planeta es esférico con un radio de 6 unidades. Con base en un sistema de
    coordenadas cuyo origen es el centro del planeta, la fuerza del campo magnético está dada por
    M ( x , y , z )=6 x− y2 + xz +60 . ¿Dónde debe colocar el radiotelescopio?
    5. Un semicírculo está sobre un rectángulo (ver la figura). Si el área es fija y el perímetro es un
    mínimo, o si el perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multiplicadores de Lagrange para
    verificar que la longitud del rectángulo es el doble de su altura.

    6. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con


    extremos hemisféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe almacenar 1 000 litros de
    fluido. Determinar el radio r y longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la
    construcción del tanque.

    7. A un tanque cilíndrico recto se le superpone una tapa cónica en la forma que se ilustra en la figura
    adjunta. El radio del tanque es de 3 m y su área superficial total corresponde a 81 π m2. Encuentre
    las alturas x y y de manera que el volumen del tanque sea un máximo.

    BIBLIOGRAFÍA

    # CÓDIGO AUTOR TÍTULO PÁGINAS

    Cálculo en Varias
    1 515 THOM 2007 THOMAS 1027-1034 
    DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 Variables
    FACULTAD DE INGENIERÍA

    2 515 LARS 2008 LARSON, RON Cálculo 2 954-963

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