2018 II Conjuntos Tarea07

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS
FACULTAD DE CIENCIAS EN FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Complementos de Teorı́a de Conjuntos

Tarea 7
1. Revise la siguiente “demostración” de que toda 7. (a) Sea R una relación reflexiva y transitiva. De-
relación R en un conjunto A que es a la vez fina ≈ en A por a ≈ b si y sólo si (aRb)
simétrica y transitiva, es también reflexiva: “Como y (bRa). Muestre que ≈ es una relación de
R es simétrica, aRb implica bRa. Ahora, dado que equivalencia en A y, si se define por [a]
R es transitiva, aRb y bRa juntas implican aRa, [b] si y sólo si aRb, muestre que (A/ ≈, ) es
como se deseaba.” Encuentre el error de este argu- un conjunto ordenado;
mento. (b) Sea R un orden en A. Pruebe que R−1 es
también un orden en A (se llama dual de R),
2. (a) Pruebe que una relación E en A es de equiv-
y para B ⊂ A se cumple que a es el mı́nimo el-
alencia si y sólo si IdA ⊂ E, E = E −1 y
emento de B en R−1 si y sólo si a es el máximo
E = E ◦ E;
elemento de B en R.
(b) Si R es una relación reflexiva y transitiva en (c) Sean (A, ≤) y (B, ) dos conjuntos ordenados.
A = domR, muestre que E = R ∩ R−1 es una Muestre que es un orden parcial en A × B,
relación de equivalencia en A. donde se define como (a, b) (x, y) si y
3. (a) Considere la relación E en R2 definida por sólo si a ≤ x y b y. El conjunto ordenado
E = {((x, y), (u, w)) : y − x2 = w − u2 }. (A × B, ) se llama producto (cartesiano) de
Muestre que E es una relación de equivalencia los conjuntos ordenados (A, ≤) y (B, ).
y describa las clases de equivalencia módulo 8. Sean A 6= ∅ y P t(A) el conjunto de todas las parti-
E; ciones de A. Defina una relación ≤ en P t(A) por:
(b) Sean E = {(x, y) : y = x + 1} y E 0 = {(x, y) : S1 ≤ S2 si y sólo si para todo B ∈ S1 existe C ∈ S2
y − x ∈ Z} dos relaciones en R. Muestre que tal que B ⊂ C. Cuando S1 ≤ S2 se dice que la par-
E 0 es una relación de equivalencia en R y que tición S1 es un refinamiento de S2 .
E ⊂ E 0 y describa las clases de equivalencia (a) Muestre que ≤ es un orden;
módulo E 0 . ¿Es E una relación de equivalen-
(b) Sean S1 , S2 ∈ P t(A). Muestre que {S1 , S2 }
cia?
tiene ı́nfimo;
4. Sea f : X → Y una función. Muestre que (c) Sea T ⊂ P t(A), T 6= ∅. Muestre que inf T y
sup T existen;
(a) Ef = {(x, y) : f (x) = f (y)} es una relación
de equivalencia en X, 9. Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado. Una
(b) las clases de equivalencia módulo Ef son pre- cortadura de X es un par de subconjuntos A, B que
cisamente los conjuntos f −1 ({y}) para y ∈ satisfacen: (i) X = A ∪ B, (ii) A ∩ B = ∅ y (iii)
f (X). a ∈ A ∧ b ∈ B ⇒ a ≤ b. Si A, B y A0 , B 0 son dos
cortaduras de X, pruebe que A ⊂ A0 o que A0 ⊂ A.
5. Sean S y R relaciones de equivalencia en A, con
10. Si (A, ≤) es un conjunto ordenado y a, b ∈ A con
S ⊂ R. Defina R/S = {([a]S , [b]S ) : ∃a0 ∈
a ≤ b, se define el intervalo cerrado de extremos a y
[a]S , ∃b0 ∈ [b]S tales que (a0 , b0 ) ∈ R}. Muestre
b como el conjunto [a, b] = {x ∈ A : a ≤ x y x ≤ b}.
que R/S es una relación de equivalencia en el con-
Pruebe que el conjunto de intervalos cerrados orde-
junto cociente A/S y que hay una biyección de
nados por la inclusión es isomorfo a un subconjunto
(A/S)/(R/S) en A/R.
del producto de (A, ≤) y su dual (A, ≤−1 ).
6. Sea M una familia de relaciones de equivalencia en 11. Sea (W, ≤) un conjunto bien ordenado. Muestre
A, muestre que que todo subconjunto no vacı́o conuna cota supe-
T
(a) M es una relación de equivalencia en A; rior tiene supremo. A dicha propiedad se le llama
la propiedad de la mı́nima cota superior.
(b) existe una relación de equivalencia E en A tal
que R ∈ M implica que R ⊂ E y que si E 0 es 12. Sean A, B conjuntos bien ordenados. Demuestre
una relación de equivalencia en A y ∀R ∈ M, que los órdenes lexicográficos vertical y lexi-
R ⊂ E 0 , entonces E ⊂ E 0 . cográfico horizontal en A × B son también buenos
órdenes.
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