Ejercicios

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George Canavos, Probabilidad y estadística aplicaciones y métodos. Problemas

resueltos con R
Article · February 2022
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1 author:
Christian Limbert Paredes Aguilera

Universidad Mayor de San Andres
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Problemas resueltos: Probabilidad y estadística aplicaciones y
métodos George Canavos
Por: Christian Paredes Aguilera (Fode)
12/2/2022
#librerias
library(ggplot2)
source("funciones_chapter4.R")
Ejercicios Capítulo 3
3.1
Sea X una variable aleatoria que representa el número de llamadas que recibe un conmutador en un intervalo
de cinco minutos y cuta función de probabilidad está dada por p(x) = e−3 (3)x /x!, x = 0, 1, 2, . . . .
a)
Determinar las probabilidades de que X sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
X <- c(0,1,2,3,4,5,6,7)
fp <- c()
for (x in 0:7) {
fp <- c(fp, exp(-3)*3ˆx / factorial(x))
}
df <- data.frame(X,fp)
df
## X fp
## 1 0 0.04978707
## 2 1 0.14936121
## 3 2 0.22404181
## 4 3 0.22404181
## 5 4 0.16803136
## 6 5 0.10081881
## 7 6 0.05040941
## 8 7 0.02160403
b)
Graficar la función de probabilidad para estos valores de X
ggplot(data = df, mapping = aes(X,fp)) +
geom_col(width = 0.1)
1
0.20
0.15
fp
0.10
0.05
0.00
0 2 4 6
X
c)
Determinar la función de distribución acumulativa para estos valores de X
fda <- c()
sum <- 0
for (x in 0:7) {
sum <- sum + (exp(-3)*3ˆx / factorial(x))
fda <- c(fda,sum)
}
df <- data.frame(X,fp,fda)
print(fda)
## [1] 0.04978707 0.19914827 0.42319008 0.64723189 0.81526324 0.91608206 0.96649146

## [8] 0.98809550
d)
Graficar la función de distribución acumulativa.
ggplot(data = df, mapping = aes(X,fda)) +
geom_line(width = 2)
## Warning: Ignoring unknown parameters: width

1.00
0.75
fda
0.50
0.25
0 2 4 6
X
3.2.
Sea X una variable aleatoria discreta. Determinar el valor de k para que la función p(x) = k/x, x = 1, 2, 3, 4,
sea la función de probabilidad de X. Determinar P (1 ≤ X ≤ 3)
Respuesta.- Por definición 3.4, sea
k k k 12
k+ + + =1 =⇒ k=
2 3 4 25
2
entonces la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X estará dada por:
12

 si x=1
25






6


x=2

si

25



p(x) =
 4
x=3

 si
25






 3


x=4

si

25
Así, la probabilidad de P (1 ≤ X ≤ 3) será,
3 22
P (1 ≤ X ≤ 3) = 1 − P (X = 4) = 1 − = = 1.88
25 25
3.3.
Sea X una variable aleatoria continua.
a)
Determinar el valor de k, de manera tal que la función
 kx2 −1 ≤ x ≤ 1,

f (x) =
0 para cualquier otro valor

sea la función de densidad de probabilidad de X.

Respuesta.- Según la definición 3.6 se tiene,
3
Z x Z 1
kx dx =
2
kx2 dx = 1 =⇒ k=
−x −1 2
integrate(function(x) 3/2*xˆ2, lower = -1, upper = 1)
## 1 with absolute error < 1.1e-14
b)
Determinar la función de distribución acumulativa de X y graficar F (x).
Respuesta.-
−1
x x
3 2 3 x3 + 1 x3 + 1
Z Z Z
P (X ≤ x) = f (t) dt = 0 dt + t dt = · =
−∞ −∞ −1 2 2 3 2
funcdist <- function(x) (xˆ3+1)/2
x +1
 3
 si x>0
2



P (X ≤ x) =



 0 si Para cualquier otro valor
3
ggplot() +
xlim(-1, 1) +
geom_function(
aes(color = "Normal"),
fun =~ (.xˆ3-1)/2
)
0.00
−0.25
colour
−0.50
y
Normal
−0.75
−1.00
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
c)
Calcular P (X ≥ 1/2) y P (−1/2 ≤ X ≤ 1/2).
Respuesta.-
3
x3 + 1 (1/2) + 1 9/8 7
P (X ≥ 1/2) = 1 − P (X ≤ 1/2) = 1 − =1− =1− =
2 2 2 16
1-funcdist(1/2)
## [1] 0.4375
(1/2)3 (−1/2)3 1
P (−1/2 ≤ X ≤ 1/2) = P (X ≤ 1/2) − P (X ≤ −1/2) = − =
2 2 8
# primera manera
funcdist(1/2) - funcdist(-1/2)
## [1] 0.125
# segunda manera
integrate(function(x) 3/2*xˆ2, lower = -1/2, upper = 1/2)
## 0.125 with absolute error < 1.4e-15
3.4.
Sea X una variable aleatoria continua.
a)
Determinar el valor de k para que la función
Respuesta.-
x>0

 ke−x/5
f (x) =

4
sea la función de densidad de probabilidad de X
Respuesta.- Por la definición 3.6 se tiene y sabiendo que x ≤ 0 es cero.
Z ∞ Z ∞
k · e−x/5 dx = k · e−x/5 dx
−∞ 0
Luego igualando a uno,

∞
1
Z
k · e−x/5 dx = 1 =⇒ k=
0 5
integrate(function(x) 1/5 * exp(-x/5), lower = 0, upper = Inf)
## 1 with absolute error < 2e-07
b)
Graficar f (x)
Respuesta.-
ggplot() +
xlim(-1, 1) +
geom_function(
fun =~ 1/5 * exp(-.x/5)
)
0.24
0.22
colour
y
0.20 Normal
0.18
0.16
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
c)
Calcular P (X ≤ 5) y P (0 ≤ X ≤ 8).
Respuesta.-
5
1 −x/5 1
Z
P (X ≤ 5) = e dx = 1 −
0 5 e
integrate(function(x) 1/5 * exp(-x/5), lower = 0, upper = 5)
## 0.6321206 with absolute error < 7e-15
8
1 −x/5 1
Z
P (0 ≤ X ≤ 8) = e dx = 1 − 8/5
0 5 e
5
d)
Determinar F (x) y graficarla.
Respuesta.- La función de distribución acumulativa esta dado por
1 x −t/5
Z x Z 0 Z
F (x) = f (t) dt = 0 dt + e dt = −e−x/5 − 1
∞ −∞ 5 0
ggplot() +
xlim(0, 10) +
geom_function(
fun =~ -exp(-.x/5) - 1
)
−1.25
−1.50 colour
y
Normal
−1.75
−2.00
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
3.5
La duración en horas de un componente electrónico, es una variable aleatoria cuya función de distribución
acumulativa es F (x) = 1 − e−x/100 , x > 0
a)
Determinar la función de probabilidad de X.
Respuesta.-
′ 1 −x/100
F (x) = 1 − e−x/100 = e
100
b)
Determinar la probabilidad de que el componente trabaje más de 200 horas.
Respuesta.-
1 − (1 − exp(−200/100)) = 0.13533
1-(1-exp(-200/100))
6
## [1] 0.1353353
3.6
La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria está dada por
 0 x<0

F (x) = 2x − x2 0 < x < 1

1 x>1

a)
Graficar F (x).
Respuesta.-
# gráfico de F(x)
ggplot() +
xlim(0, 1) +
geom_function(
fun =~ 2*.x - .xˆ2,
)
1.00
0.75
colour
0.50
y
Normal
0.25
0.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
b)
Obtener P (X < 1/2) y P (X > 3/4).
Respuesta.-
P (X < 1/2) = 2 · 1/2 − (1/2)2 = 3/4 = 0.75
func <- function(x) 2*x - xˆ2
func(0.5)
## [1] 0.75
1 − P (X > 3/4) = 1 − (2 · 3/4 − (3/4)2 ) = 1 − (−3/4)1 − (15/16) = 1/16 = 0.0625
1-func(3/4)
## [1] 0.0625
7
c)
Determinar f (x).
Respuesta.-
′
F (x) = 2x − 22 = 2 − x
3.7
Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de
una hora. Dada la siguiente información
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
p(x) 0.05 0.10 0.10 0.10 0.20 0.25 0.10 0.05 0.05
encontrar E(x) y V ar(X)

Respuesta.-
x <- c(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
px <- c(0.05,0.1,0.1,0.1,0.2,0.25,0.1,0.05,0.05)
n
E(X) = x · p(x) = 0 · 0.05 + 1 · 0.1 + . . . + 8 · 0.05 = 4
P
x=1
sum <- 0
for (i in 1:length(x)){
sum <- sum + x[i]*px[i]
}
sum
## [1] 4
n
E(X 2 ) = x2 p(x) = 02 · 0.05 + 12 · 0.1 + . . . + 82 · 0.05 = 20.1
P
x=1
sum2 <- 0
for (i in 1:length(x)){
sum2 <- sum2 + x[i]ˆ2 * px[i]
}
sum2
## [1] 20.1
V ar(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = 20.1 − 42 = 4.1
sum2 - sumˆ2
## [1] 4.1
3.8
Una compañía de seguros debe determinar la cuota anual a cobrarse por un seguro de 50 mil dolares para
hombres cuya edad se encuentra entre los 30 y 35 años. Con base en las tablas actuariales el número de
fallecimientos al año, para este grupo, es de 5 por cada mil. Si X es la variable aleatoria que representa la
ganancia de la compañía de seguros, determinar el monto de la cuota anual para que la compañía no pierda,
a pesar de tener un número grande de tales seguros.
Respuesta.- Calculamos el valor para un ganancia nula
C · 995 50000 · 5
E[X] = 0 = − =⇒ 995C = 250000 =⇒ C = 251.26
1000 100
8
3.9
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X está dada por:
2(1 − x) 0 < x < 1

f (x) =
0 para cualquier otro caso
Determinar:
a)
E(X)
Respuesta.-
1 1
1
Z Z
E(X) = x · 2(1 − x) dx = 2x − 2x2 dx =
0 0 3
func <- function(x) x*2*(1-x)
integrate(func, lower = 0, upper = 1)
b)
V ar(X)
Respuesta.-
1 1
1
Z Z
E(X ) =
2
x · 2(1 − x) dx =
2
2x2 − 2x3 dx =
0 0 6
func <- function(x) xˆ2*2*(1-x)
2
1 1 1
V ar(X) = E(X ) − E(X) = −
2 2
=
6 3 18
# varianza
1/6 - (1/3)ˆ2
## [1] 0.05555556
3.10
Sea X una variable aleatoria que representa la magnitud de la desviación, a partir de una valor prescrito, del
peso neto de ciertos recipientes, los que se llenan mediante una máquina. Función de densidad de una v.a. de
X está dada por:
1/10 0 < x < 10

f (x) =
Determinar:
9
a)
E(X).
Respuesta.-
10
1 1 10
Z Z
E(X) = x · dx = x dx = 5
0 10 10 0
func <- function(x) 1/10 * x

b)
V ar(X).
Respuesta.-
10
1 2 1 10
100
Z Z
E(X) = x · dx = x2 dx =
0 10 10 0 3
func <- function(x) 1/10 * xˆ2
100 25
V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = − 52 = = 8.33333
3 3
# varianza
100/3 - 5ˆ2
## [1] 8.333333
c)
α3 (X).
Respuesta.-
α3 también llamado coeficiente de asimetría estará dado por
µ3
α3 =
(µ2 )3/2
de donde µ3 será:
10
1 1 10
Z Z
µ3 = E(X − 5)3 = · (x − 5)3 dx = · (x3 − 15x2 + 75x − 125) dx = 0
0 10 10 0
para µ2 tenemos
10
1 1 10
25
Z Z
V ar(X) = E(X − 5)2 = · (x − 5)2 dx = (x2 − 10x + 25) dx =
0 10 10 0 3
Entonces
µ3 0
α3 = = =0
(µ2 )3/2 25 3/2

3
10
func <- function(x) 1/10 * (x-5)ˆ3
func2 <- function(x) 1/10 * (x-5)ˆ2
## 1.204593e-15 with absolute error < 3.5e-13

integrate(func2, lower = 0, upper = 10)

Donde nos menciona que se tiene un coeficiente de asimetría simétrica.
d)
α4 (X).
Respuesta.-
Para α4 como medida relativa de la curtosis tenemos
µ4
α4 =
µ22
de donde tenemos µ4 de la siguiente manera

10
1
Z
µ4 = E(X − 5)4 = · (x − 5)4 dx = 125
0 10
func4 <- function(x) 1/10 * (x-5)ˆ4

integrate(func4, lower = 0, upper = 10)

para luego:
µ4 125
α4 = 2 = 252 = 5.4
µ2 33
Donde nos dice que la distribución presenta un pico relativamente alto
3.11
Supóngase que la duración en minutos de una llamada de negocios, es una variable aleatoria cuyo función de
densidad de probabilidad está determinada
1 −x/4
x>0

f (x) = 4e
Determinar:
a)
E(X).
Respuesta.-
∞ ∞
1 1
Z Z
E(X) = x · e−x/4 dx = x · e−x/4 dx = 4
0 4 4 0
11
func <- function(x) 1/4*x*exp(-x/4)
integrate(func, lower = 0, upper = Inf)
b)
V ar(X).
Respuesta.-
∞ ∞
1 −x/4 1
Z Z
V ar(X) = E(X − 4) =
2
e · (x − 4)2 dx = e−x/4 · (x − 4)2 dx = 16
0 4 4 0
func <- function(x) 1/4*(x-4)ˆ2*exp(-x/4)

## 16 with absolute error < 0.00051
c)
α3 (x).
Respuesta.-
∞
1
Z
µ3 = E(X − 4) = 3
(x − 4)3 · e−x/4 dx = 128
4 0

µ3 128
α3 = = =2
3/2
µ2 163/2
128/(16ˆ(3/2))
## [1] 2
De donde podemos mencionar que se tiene una asimetría positiva.
d)
α4 (X).
Respuesta.-
∞
1
Z
µ4 = E(X − 4) = 4
(x − 4)4 · e−x/4 dx = 2304
4 0

12
así,
µ4 2304
α4 = = =9
2
µ2 162
2304/16ˆ2
## [1] 9
e)
Defiérase al ejercicio 3.10. Basandose en sus respuestas a, a d del problema 3.11, compare las dos distribuciones
de probabilidades. ¿Cuál muestra la mayor dispersión relativa?.
Respuesta.-
Del ejercico 3.10
E(X) 5
VX = =
V ar(X) 8.33333
5/8.33333
## [1] 0.6000002
Del ejercio 3.11
E(X) 4
VY = =
V ar(X) 16
4/16
## [1] 0.25
De donde VY muestra mayor dispersión relativa con respecto a la media que la distribución correspondiente a
X
3.12
La calificación promedio en una prueba de estadística fue de 62.5 con una desviación estándar de 10. El
profesor sospecha que el examen fue difícil. De acuerdo con lo anterior, desea ajustar las calificaciones de
manera que el promedio sea de 70 y la desviación estándar de 8. ¿Qué ajuste del tipo aX + b, debe utilizar?.
Respuesta.- Sea
E(X) = 62.5, V ar(X) = 10 ⇒ V ar(X) = 100
p
y
E(aX + b) = 70 y V ar(aX + b) = 80
entonces
1
r
a V ar(X) = 80 =⇒ a = 2
2
5
y
aE(X) + b = 70 =⇒ b = 14.098
13
Entonces la respuesta estará dada por
r !
1 1
r
aX + b = 2 X+ 70 − 125
5 5
EX <- function(x) 2*(1/5)ˆ(1/2)*x + 70-125*(1/5)ˆ(1/2)

EX(62.5)
## [1] 70
VarX <- function(varx) (2*(1/5)ˆ(1/2))ˆ2 * varx
VarX(100)
## [1] 80
3.13
Sea X una variable aleatoria con media µ y varianza σ 2 .
a)
Evaluar E(X − c)2 en términos de µ y σ 2 en donde c es una constante.
Respuesta.- Sea E(X) = µ y V ar(X) = σ 2 entonces,
E(X − c)2 = E(X 2 − 2cX + c2 ) = E(X 2 ) − 2cE(X) + c2 = E(X 2 ) − E 2 (X) + E(X) · E(X) − 2cE(X) + c2 =
V ar(X) + (E(X) − c)2 = σ 2 + (µ − c)2
b)
¿Para qué valor de c es E(X − c)2 mínimo?.
Respuesta.- Cuando c = µ
3.14
Con respecto al ejercicio 3.11, demostrar que la variable aleatoria Y = (X − 4)/4 tiene media cero y desviación
estándar uno. Demostrar que los factores de forma, primero y segundo, de la distribución de Y son los mismos
de la distribución de X.
Respuesta.-
∞ ∞
X −4 x−4 1 −x/4 1
Z Z
E(Y ) = E = · ·e dx = (x − 4) · e−x/4 dx = 0
4 0 4 4 16 0
fx = function(x) ((x-4)/4) * 1/4 * exp( -x/4 )

integrate(fx,lower = 0, upper = Inf)
## -5.632717e-13 with absolute error < 3e-06
2 ∞ 2 ∞
X −4 x−4 1 −x/4 1
Z Z
V ar(Y ) = V ar = · ·e dx = (x − 4)2 · e−x/4 dx = 1
4 0 4 4 64 0
fx = function(x) 1/64 * (x-4)ˆ2 * exp(-x/4)

integrate(fx,lower = 0, upper = Inf)
14
3.15
Considérese la función de densidad de probabilidad de X dada en el ejercicio 3.9. Determinar la desviación
media de X y compararla con su desviación estándar.
Respuesta.-
1 x − 1 · 2(1 − x) dx = 1 1
Z 1 Z 1/3 Z 1
E X − = 2(1 + ∗ 2(1 − x) dx = 0.1975309

− x ∗ − x) dx x −
3 0
3 0 3 1/3 3
f <- function(x) abs(x-1/3)*2*(1-x)

integrate(f,lower = 0,upper = 1)

1
r
La desviación estandar del ejercicio 3.9 viene dada por = 0.2357
18
Luego comparando con la desviación media vemos que se tiene poca diferencia.
3.16
Considérese la función de densidad de probabilidad de X dada en el ejercicio 3.10. Determinar la desviación
media de X y compararla con su desviación estándar.
Respuesta.-
5 5 10 10 !
10
1 1 5 10
1 x2 x2
Z Z Z
E|X−µ| = dx = (5 − x) dx + (x − 5) dx = 5x − + − 5x =

|x−5|·
0 10 10 0 5 10 0 2 0 2 5 5
1 25 75 5

25 − + − 25 =
10 2 2 2
f <- function(x) abs(x-5)*1/10
integrate(f,lower = 0,upper = 10)

# desviación típica del ejercicio 10
(25/3)ˆ(1/2)
## [1] 2.886751
De lo que concluimos que entre la desviación media de X y la desviación estándar de ejercicio 10 se tiene una
diferencia de 0.33.
3.17
Supóngase que el ingreso semanal de un asesor profesional es una variable aleatoria cuya función de densidad
de probabilidad está determinada por:
( 1
e−x/800 x > 0
f (x) = 800
15
ggplot() +
xlim(0, 1) +
geom_function(
aes(color = "exp"),
fun =~ 1/100*exp(-.x/800)
)
0.010000
0.009996
y colour
exp
0.009992
0.009988
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
a)
Determinar los ingresos medios y medianos
Respuesta.- La media es:
∞ ∞
1 1
Z Z
E(X) = x· · e−x/800 dx = x · e−x/800 = 800
0 800 800 0
integrate(function(x) 1/800*x*exp(-x/800), lower = 0, upper = Inf)

La mediana es:
1 x0.5
Z
F (x0.5 ) = P (X ≤ x0.5 ) = e(−x/800) dx = 0.5 =⇒ −e−x0.5 /800 + 1 = 0.5 =⇒ x0.5 = 554.5177
800 0
-800*log(0.5)
## [1] 554.5177
b)
Determinar el recorrido intercuartil.
Respuesta.- Recorrido intercuartil
1 x0.25
Z
F (x0.25 ) = P (X ≤ x0.25 ) = e(−x/800) dx = 0.25 =⇒ −e−x0.25 /800 + 1 = 0.25 =⇒ x0.25
800 0
=⇒ x0.25 = −800 · ln(0.25) = 1109.03548
F (x0.75 ) = −800 · ln(0.75) = 230.14565
por lo que
x0.75 − x0.25 = |230.14565 − 1109.03548| = 878.8898
16
c)
Determinar el recorrido interdecil.
Respuesta.- Recorrido interdecil
1 x0.1
Z
F (x0.1 ) = P (X ≤ x0.1 ) = e(−x/800) dx = 0.1 =⇒ −e−x0.1 /800 + 1 = 0.1
800 0
=⇒ x0.1 =⇒ x0.1 = −800 · ln(0.1) = 1842.068
F (x0.9 ) = −800 · ln(0.9) = 84.2884
x0.9 − x0.1 = |84.2884 − 1842.068| = 1757.78
d)
Determinar la probabilidad de que el ingreso semanal exceda al ingreso promedio.
Respuesta.-
1 800
Z
P (X ≥ 800) = 1 − P (X ≤ 800) = 1 − e−x/800 dx = 1 − 0.3678794 = 0.3679
800 0
integrate(function(x) 1/800*exp(-x/800), lower = 0, upper = 800)

1 - 0.6321206
## [1] 0.3678794
3.18
Comprobar que la función generadora de momentos central de una variable aleatoria X, genera todos los
momentos centrales de X.
Respuesta.-
dr mX−µ (t) dr

= ]

t(X−µ)
E[e
dtr
t=µ dtr
t=0
dr t(X−µ)

= E e
dtr

= E (X − µ)r et(X−µ)

t=0
= E[X − µ]r
= ur
17
3.19
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X está determinada:
( 1
xe−x/4 x > 0,
f (x) = 16
a)
Determinar la función generadora de momentos de X.
Respuesta.-
∞ ∞
1 1
Z Z
x x(4t−1)
mX (t) = E etX = tx
· x · e− 4 dx = dx = (1 − 4t)−2

e · x·e 4
0 16 16 0
b)
Utilizar la función generadora de momentos para encontrar la media y la varianza de X.
Respuesta.-
dmx (t) 8

d
= (1 4t) −2
= = 8 = E(X)

· −
dt
t=0 dt
t=0 (1 − 4x) t=0
3
d2 mX (t) d2 8 96

d
= (1 4x) −2
= = = 96 = E(X 2 )

−
dt 2
t=0 dt2 dt (1 − 4x) 2
t=0 (−4x + 1) 4
t=0
V ar(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = 96 − 82 = 32
3.20
Considérese la función de densidad de probabilidad dada en el ejercicio 3.11. Encontrar la función generadora
de momentos y utilizaría para comprobar los valores de la media y la varianza, determinados en el ejercicio
3.11.
Respuesta.-
∞
1
Z
x
mX (t) = etx · e− 4 dx
4 0
3.21
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) = 0, 1, 2, . . . , n, y sean a, b y c
constantes. Demostrar que E(c) = c, E(aX + b) = aE(X) + b, y E[g(X) + h(X)] = E[g(X) + E[g(X)]],
donde g(x) y h(x) son funciones de X.
Respuesta.- E(c) = c · p(x) = c p(x) = c
P P
x x
E(cX + b) = (cx + b)p(x) = c x · p(x) + b p(x) = cE(x) + b

P P P
x x x
E[g(X) + h(X)] = [g(x) + h(x)]p(x) + g(x)p(x) + h(x)p(x) = E[g(X)] + E[h(X)]

P P P
x x x
18
3.22
Para la variable aleatoria discreta del ejercicio anterior, utilizar las definiciones 3.8 y 3.9 para demostrar que
V ar(X) = E(X 2 ) − E 2 (X).
Respuesta.-
X X X X
V ar(X) = (X − µ)2 = (x − µ)2 p(x) = x2 p(x) − 2µ xp(x) + µ2 p(x) =
x x x x
E(X 2 ) − 2E 2 (X) + E 2 (X) = E(X 2 ) − E 2 (X)
19
Ejercicios capítulo 4.
4.1.
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial y parámetros n y p. Mediante la función de probabilidad
binomial, verificar que p(n − x; n, 1 − p) = p(x; n, p).
Respuesta.-
n! n−(n−x)
p(n − x; n, 1 − p) = (1 − p)n−x [1 − (1 − p)]
[n − (n − x)]!(n − x)!
n!
= (1 − p)n−x px para x = 0, 1, 2, . . . n
x!(n − x)!
= p(x; n, p)
4.2.
En una distribución binomial, sea X el número de éxistos obtenidos en diez ensayos donde la probabilidad de
éxito en cada uno es de 0.8. Con el resultado del problema anterior, demostrar que la probabilidad de lograr
de manera exacta seis éxitos es igual a la probabilidad de tener cuatro fracasos.
Respuesta.-
10! 10−(10−6)
0.08808038 = (1 − 0.8)10−6 [1 − (1 − 0.8)]
[10 − (10 − 4)]!(10 − 4)!
10!
= (1 − 0.8)10−6 0.86 = 0.08808038
6!(10 − 6)!
dbinom(4,10,0.2)
## [1] 0.08808038
dbinom(6,10,0.8)
## [1] 0.08808038
4.3
Mediante el empleo de la función de probabilidad binomial, verificar la siguiente fórmula de recursión:
(n − x)p
p(x + 1; n, p) = p(x; n, p)
(x + 1)(1 − p)
Respuesta.-
n! n!
p(x + 1, n, p) = px+1 (1 − p)n−(x+1) = px p(1 − p)n−x (1 − p)−1
[n − (x + 1)]!(x + 1)! (n−x!)
+ 1)
(n−x) x!(x
(n − x)p
= p(x; n, p)
(x + 1)(1 − p)
20
4.4.
sea X una variable aleatoria con distribución binomial y parámetros n = 8 y p = 0.4. Emplear la fórmula de
recursión del problema anterior para obtener las probabilidades puntuales de los valores de X.
Respuesta.-
(8 − x)0.4
p(x + 1; 8, 0.4) = p(x; 8, 0.4)
(x + 1)(1 − 0.4)
4.5
Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con n = 10 y p = 0.5
a)
Determinar las probabilidades de que X se encuentre dentro de una desviación estándar de la media y a dos
desviaciones estándar de la media.
Respuesta.- Para una desviación estándar
Sabemos que µ = E(X) = np = 10 · 0.5 = 5 y σ = np(1 − p) = 10 · 0.5 · (1 − 0.5) = 1.581139, luego
p p
si queremos hallar la desviación estándar de la media tenemos que calcular la desviación hacia la derecha
y hacia la izquierda, es decir, 5 ± 1.581139 = 6.581139 y 3.418861. Si restamos y sumamos a 6.581139 y
3.418861, 0.581139 respectivamente tenemos por un lado 6 y por otro 2.837722 ≈ 3. Así tenemos que,
6 3
X 10 X 10
P (X ≤ 6)−P (X ≤ 3) = F (6; 10, 0.5)−F (3; 10, 0.5) = 0.5 (1−0.5)
i 10−i
− 0.5i (1−0.5)10−i
i=0
i i=0
i
= 0.65625
pbinom(6,10,0.5) - pbinom(3,10,0.5)
## [1] 0.65625
Para dos desviaciones estándar, tenemos que σ = 2 np(1 − p) = 2 10 · 0.5 · (1 − 0.5) = 3.162278, de donde
p p
5 ± 3.162278 = 8.162278 y 1.837722. Podemos construir directamente la probabilidad requerida como sigue,
8 2
X 10 X 10
P (X ≤ 8)−P (X ≤ 2) = F (8; 10, 0.5)−F (2; 10, 0.5) = 0.5 (1−0.5)
i 10−i
− 0.5i (1−0.5)10−i
i=0
i i=0
i
= 0.9345703
pbinom(8,10,0.5)-pbinom(2,10,0.5)
## [1] 0.9345703
b)
¿Cómo cambiarían las respuestas de a) si n = 15 y p = 0.4?
Respuesta.- Para una desviación estándar,
Similar a la parte a) tenemos que µ = E(X) = np = 15 · 0.4 = 6 de donde se tiene σ = np(1 − p) =
p
15 · 0.4 · (1 − 0.4) = 1.897367 de donde 6 ± 1.897367 = 7.897367 y 4.102633, por lo tanto,

p
21
7 2
X 15 X 15
P (X ≤ 7)−P (X ≤ 2) = F (7; 15, 0.4)−F (2; 15, 0.4) = 0.4i (1−0.4)15−i − 0.4i (1−0.4)15−i
i=0
i i=0
i
= 0.5696191
pbinom(7,15,0.4)-pbinom(4,15,0.4)
## [1] 0.5696191
Para dos desviaciones estándar,
tenemos que σ = 2 np(1 − p) = 2 15 · 0.4 · (1 − 0.4) = 3.794733, de donde 6 ± 3.794733 =
p p
9.794733 y 2.205267. se sigue,
9 2
X 15 X 15
P (X ≤ 9)−P (X ≤ 2) = F (9; 15, 0.4)−F (2; 15, 0.4) = 0.4 (1−0.4)
i 15−i
− 0.4i (1−0.4)15−i
i=0
i i=0
i
= 0.9345703
pbinom(9,15,0.4)-pbinom(2,15,0.4)
## [1] 0.9390527
4.6
Supóngase que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamble es de 0.05. Si el
número de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes
a)
¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades dos se encuentren defectuosas?
Respuesta.-
20

P (X = 2) = · 0.052 · (1 − 0.05)20−2 = 0.1886768
2
# opción 1
choose(20,2)*0.05ˆ2*(1-0.05)ˆ(20-2)
## [1] 0.1886768
# opción 2
dbinom(2,20,0.05)
## [1] 0.1886768
b)
¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 unidades, dos como límite se encuentren defectuosas?
Respuesta.-
2
X 20
P (X ≤ 2) = F (2; 20, 0.05) = · 0.05i · (1 − 0.05)20−i = 0.9245163
i=0
i
22
pbinom(2,20,0.05)
## [1] 0.9245163
c)
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?
Respuesta.-
1
X 20
1 − P (X ≤ 1) = 1 − F (1; 20, 0.05) = 1 − · 0.05i · (1 − 0.05)20−i = 0.2641605
i=0
i
pbinom(1,20,0.05,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2641605
4.7
En una fábrica de circuitos electrónicos, se afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto
componente que ésta produce, es del 5%. Un buen comprador de estos componentes revisa 15 unidades
seleccionadas al azar y encuentra cuatro defectuosas. Si la compañia se encuentra en lo correcto y prevalecen
las suposiciones para que la distribución binomial sea el modelo de probabilidad adecuado para esta situación,
¿Cuál es la probabilidad de este hecho?. Con base en el resultado anterior ¿puede concluir que la compañia
está equivocada?
Respuesta.-
15

P (X = 4) = · 0.054 · (1 − 0.05)15−4 = 0.004852576
4
dbinom(4,15,0.05)
## [1] 0.004852576
choose(15,4)*0.05ˆ4*(1-0.05)ˆ(15-4)
## [1] 0.004852576
func_binom(4,15,0.05)
## [1] 0.004852576
Ahora veamos que tan probable es que existe más de 4 circuitos defectuosos.
3
X
P (X ≥ 4) = 1 − P (X < 4) = 1 − P (x ≤ 3) = 1 − F (3; 20, 0.05) = 1 − 0.05i · (1 − 0.05)15−i = 0.005467259
i=0
pbinom(3,15,0.05, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.005467259
1-acum_binom(3,15,0.05)
## [1] 0.005467259
Por lo que se dice de la afirmación es incorrecta.
23
4.8
La probabilidad de que un satélite, después de colocarlo en la órbita, funcione de manera adecuada es de 0.9.
Supóngase que cinco de éstos se colocan en órbita y operan de manera independiente.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que, por lo menos, el 80% funcione adecuadamente?
Respuesta.- Ya que el 80% de 5 es 4 por lo que
3
X
P (X ≥ 4) = 1 − P (X < 3) = 1 − F (3; 5, 0.9) = 1 − 0.9i · (1 − 0.9)5−i = 0.91854
i=0
pbinom(3,5,.9,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.91854
1-acum_binom(3,5,0.9)
## [1] 0.91854
b)
Responder a a) si n = 10
Respuesta.-
9
X
P (X ≥ 10) = 1 − P (X < 9) = 1 − F (9; 10, 0.9) = 1 − 0.9i · (1 − 0.9)10−i = 0.7360989
i=0
## [1] 0.7360989
## [1] 0.7360989
c)
Responder a a) si n = 20
Respuesta.-
15
X
P (X ≥ 16) = 1 − P (X < 15) = 1 − F (15; 20, 0.9) = 1 − 0.9i · (1 − 0.9)5−i = 0.8670467
i=0
## [1] 0.8670467
1-acum_binom(16,20,0.9)
## [1] 0.8670467
24
d)
¿Son inesperados estos resultados? ¿Por qué?
Respuesta.- Son inesperados ya que no se puede ver una tendencia clara cuando n es más grande.
4.9.
Con base en encuestas al consumidor se sabe que la preferencia de éste con respecto a dos marcas, A y B, de
un producto dado, se encuentra muy pareja. Si la opción de compra entre estas marcas es independiente,
¿cuál es la probabilidad de que entre 25 personas seleccionadas al azar, no más de diez tengan preferencia por
la marca A?
Respuesta.- Ya que A y B se encuentran parejas entonces la probabilidad es de 0.5, luego:
10
X
P (X ≤ 10) = F (10; 25, 0.5) = 0.5i · (1 − 0.5)25−i = 0.2121781
i=0
pbinom(10,25,0.5)
## [1] 0.2121781
acum_binom(10,25,0.5)
## [1] 0.2121781
4.10
Supóngase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o verdadero. El examen se aprueba contestando
correctamente por lo menos nueve preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de verdad de cada
pregunta, ¿cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
Respuesta.- Ya que al lanzar una moneda se tiene sólo dos opciones entonces la probabilidad es de 0.5, luego:
8
X
P (X ≥ 9) = 1 − P (X ≥ 8) = 1 − F (8; 15, 0.5) = 1 − 0.5i · (1 − 05)15−i = 0.1508789
i=0
## [1] 0.1508789
## [1] 0.1508789
4.11
Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor mientras más contactos
realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguro después de
la visita, es constante e igual a 0.25, y si el conjunto de visitas constituye independiente de ensayos, ¿cuántos
compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una póliza
sea de 0.80?
Respuesta.-
P (X ≥ 1) = 0.25 ⇒ 1 − P (X < 0) = 1 − [0.250 · (1 − 0.25)n−0 ] = 1 − 0.75n = 0.8 ⇒ n ln(0.75) = ln(0.2)
25
ln(0.2)
n= = 5.59450194 ≈ 6
ln(0.75)
log(0.20)/log(0.75)
## [1] 5.594502
Por lo que debe existir 6 o más compradores.
4.12.
El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación sabe, por experiencia, que el 15% de
las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservaciones pero sólo dispone
de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una
mesa?.
Respuesta.- Existe la probabilidad de que el 85% asista al restaurante. Por lo que,
20
X
P (X ≤ 20) = F (20; 25, 0.85) = 0.85i · (1 − 0.85)25−i = 0.317893
i=0
pbinom(20,25,0.85)
## [1] 0.317893
4.13
Mediante la probabilidad de Poisson, demostrar la siguiente fórmula de recursión:
λ
p(x + 1; λ) = p(x; λ)
x+1
Demostración.- Por definición de de función de probabilidad de Poisson se tiene que,
e−λ · λx+1
p(x + 1; λ) = , para x = 0, 1, 2, . . . , λ > 0
(x + 1)!
que también podemos reescribirlo de la siguinete manera,
e−λ · λx+1 e−λ · λ · λx

=
(x + 1)! x! · (x + 1)
y por lo tanto
λ e−λ · λx λ
p(x + 1; λ) = · = p(x; λ)
x+1 x! x+1
4.14
Sea X una variable aleatoria de Poisson con parámetro λ = 2. Emplear la fórmula del problema anterior
para determinar las probabilidades puntuales de X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y hágase una gráfica de la función
de probabilidad.
Respuesta.-
• Para X = 0
λ e−λ · λx 2 e−2 · 20+1
p(0 + 1; 2) = · = · = 0.2707
x+1 x! 0 + 1 (0 + 1)!
26
• Para X = 1
2 e−2 · 21+1
p(1 + 1; 2) = · = 0.2707
1 + 1 (1 + 1)!
• Para X = 2
2 e−2 · 22+1
p(2 + 1; 2) = · = 0.1804
2 + 1 (2 + 1)!
• Para X = 3
2 e−2 · 23+1
p(3 + 1; 2) = · = 0.0902
3 + 1 (3 + 1)!
• Para X = 4
2 e−2 · 24+1
p(4 + 1; 2) = · = 0.036
4 + 1 (4 + 1)!
• Para X = 5
2 e−2 · 25+1
p(5 + 1; 2) = · = 0.012
5 + 1 (5 + 1)!
• Para X = 6
2 e−2 · 26+1
p(6 + 1; 2) = · = 0.0034
6 + 1 (6 + 1)!
• Para X = 7
2 e−2 · 27+1
p(7 + 1; 2) = · = 0.0008
7 + 1 (7 + 1)!
• Para X = 8
2 e−2 · 28+1
p(8 + 1; 2) = · = 0.0001
8 + 1 (8 + 1)!
lambda = 2
x = 0
while (x<9){
print(paste0(x," = ", (exp(-lambda)*lambdaˆ(x+1))/fact((x+1))))
x = x+1
}
## [1] "0 = 0.270670566473225"

## [1] "1 = 0.270670566473225"
## [1] "2 = 0.180447044315484"
## [1] "3 = 0.0902235221577418"
## [1] "4 = 0.0360894088630967"
## [1] "5 = 0.0120298029543656"
## [1] "6 = 0.00343708655839016"
## [1] "7 = 0.000859271639597541"
## [1] "8 = 0.000190949253243898"
27
x = 0
X = c()
Probabilidad = c()
while (x<9) {
X = c(X,x)
Probabilidad = c(Probabilidad, dpois(x+1,lambda))
x=x+1
}
ggplot(mapping = aes(X,Probabilidad)) +
geom_col(width = 0.1)
Probabilidad
0.2
0.1
0.0
0 2 4 6 8
X
4.15
Para un volumen fijo, el número de células sanguíneas rojas es una variable aleatoria que se presenta con
una frecuencia constante. Si el número promedio para un volumen dado es de nueve células para personas
normales, determinar la probabilidad de que el número de células rojas para una persona se encuentre dentro
de una desviación estándar del valor promedio y a dos desviaciones estándar del promedio.
Respuesta.- Sea la desviación estándar de una variable aleatoria Poisson igual a,
√ √
λ= 9=3
Entonces una desviación estándar del valor promedio estará dada por:
9 ± 3 = 6 y 12
Acá debemos tener cuidado ya que estamos trabajando con distribuciones discretas , por lo que tenemos
P (X ≤ 6) = P (X < 7) es decir cuando restamos P (X ≤ 12) − P (X ≤ 6) = P (X ≤ 12) − P (X < 7), por lo
tanto lo correcto será restar
P (X ≤ 12) − P (X ≤ 5) = P (X ≤ 12) − P (X < 6)
Luego,
12 5
X e−9 · 9i X e−9 · 9i
P (X ≤ 12) − P (X ≤ 5) = F (12, 9) − F (5, 9) = − = 0.7600829
i=0
i! i=0
i!
ppois(12,9)-ppois(5,9)
## [1] 0.7600829
28
acum_poisson(12,9)-acum_poisson(5,9)
## [1] 0.7600829
Por otro lado para dos desviaciones estándar se tiene,
15 2
X e−9 · 9i X e−9 · 9i
P (X ≤ 15) − P (X ≤ 2) = F (15, 9) − F (2, 9) = − = 0.9717321.
i=0
i! i=0
i!
ppois(15,9)-ppois(2,9)
## [1] 0.9717321
acum_poisson(15,9)-acum_poisson(2,9)
## [1] 0.9717321
4.16
El número total de clientes que llega a un banco es una variable aleatoria Poisson. Si el número promedio es
de 120 por hora, ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos tres clientes? ¿Puede
esperarse que la frecuencia de llegada de los clientes al banco sea contante en un día cualquier?
Respuesta.- Sabiendo que en un minuto el promedio de llegada es 120/60 y que por lo menos se espera que
lleguen 3 cliente, entonces
i
120

− 120
2 e 60 ·
X 60
P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = = 0.3233236
i=0
i!
ppois(120/60,2,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3233236
1-acum_poisson(120/60,2)
## [1] 0.3233236
Luego, puede esperarse que la frecuencia de los clientes al banco sea constante en un día cualquiera, ya que λ
es grande.
4.17
Supóngase que en un cruce transitado ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes por semana.
Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en una semana y de que ocurra tres, en la siguiente
semana.
Respuesta.-
e−2 · 21 e−2 · 23
P (X = 1) · P (X = 3) = p(1; 2) · p(3; 2) = · = 0.0488417
1! 3!
dpois(1,2)*dpois(3,2)
## [1] 0.0488417
29
func_poisson(1,2)*func_poisson(3,2)
## [1] 0.0488417
4.18
Sea X una variable aleatoria binomial. Para n = 20 calcular las probabilidades puntales binomiales y
compararlas con las correspondientes probabilidades de Poisson para p = 0.5, 0.2, 0.1 y 0.01.
Respuesta.- Sea λ = n · p entonces,
prob = data.frame(X=0:20,
binom1=dbinom(0:20,20,0.5),
poisson1 = dpois(0:20,0.5*20),
binom4=dbinom(0:20,20,0.01),
poisson4 = dpois(0:20,0.01*20))
p1 = ggplot(prob, aes(x=X,y=binom1))+
geom_point()
geom_point()
geom_point()
geom_point()
p5 = ggplot(prob, aes(x=X,y=poisson1))+
geom_point()
geom_point()
geom_point()
geom_point()
multiplot(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,cols=2)
## Loading required package: grid
30
poisson1
binom1 0.15 0.12
0.10 0.08
0.05 0.04
0.00 0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
X X
0.20
poisson2
0.20
binom2
0.15 0.15
0.10 0.10
0.05 0.05
0.00 0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
X X
poisson3
binom3
0.2 0.2
0.1 0.1
0.0 0.0
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
X X
0.8 0.8
poisson4
binom4
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0.0 0.0
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
X X
4.19
Una compañia compra cantidades muy grandes de componentes electrónicos. La decisión para aceptar o
rechazar un lote de componentes se toma con base en una muestra aleatoria de 100 unidades. Si el lote se
rechaza al encontrar tres o más unidades defectuosas en la muestra, ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un
lote que contenga un 8% de unidades defectuosas?
Respuesta.- Ya que P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) y λ = 1/100 Entonces,
i
1

1
n e 100 ·
X 100
P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − = 0.0803014
i=0
i!
ppois(2,1,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0803014
1- acum_poisson(2,1)
## [1] 0.0803014
Análogamente pasa para λ = 8/100
i
8

8
n e 100 ·
X 100
P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − = 0.0803014
i=0
i!
31
## [1] 0.986246
1- acum_poisson(2,8)
## [1] 0.986246
4.20
El número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de operación es una variable aleatoria de
Poisson. Si el número promedio de éstas es ocho:
a)
¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?
Respuesta.- Primero realizamos la regla de tres par determinar λ
25 · 8
λ25 = =2
100
Luego,
e−2 · 21
P (X = 1) = p(1; 2) = = 0.2706706
1!
dpois(1,2)
## [1] 0.2706706
func_poisson(1,2)
## [1] 0.2706706
b)
¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?
Respuesta.- Sea λ = 4 y P (X ≤ 2), entonces
4
X e−4 · 4i
P (X ≤ 2) = p(1; 4) = = 0.2381033
i=0
i!
ppois(2,4)
## [1] 0.2381033
acum_poisson(2,4)
## [1] 0.2381033
c)
¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?
Respuesta.- λ = 10 y P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 9)
32
9
X e−10 · 10i
P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 9) = 1 − p(9; 10) = = 0.5420703
i=0
i!
## [1] 0.5420703
1 - acum_poisson(9,10)
## [1] 0.5420703
4.21
Mediante estudios recientes se ha determinado que la probabilidad de morir por causa de cierta vacuna contra
gripe es de 0.00002. Si se administra la vacuna a 100 mil personas y se supone que éstas constituyen un
conjunto independiente de ensayos, ¿cuál es la probabilidad de que mueran no más de dos personas a causa
de la vacuna?
Respuesta.- Sea λ = 100000 · 0.00004 = 2 y
2
X e−2 · 2i
P (X ≤ 2) = F (2; 2) = = 0.6766764
i=0
i!
ppois(2,2)
## [1] 0.6766764
acum_poisson(2,2)
## [1] 0.6766764
4.22
Un fabricante asegura a una compañía que el porcentaje de unidades defectuosas es de sólo dos. La compañía
revisa 50 unidades seleccionadas aleatoriamente y encuentra cinco defectuosas. ¿Qué tan probable es este
resultado si el porcentaje de unidades defectuosas es el que el fabricante asegura?
Respuesta.- Ya que P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) entonces,
5 1
X e−2 · 2i X e−2 · 2i
P (X ≤ 5) − [1 − P (X ≤ 1)] = −1− = 0.3894422
i=0
i! i=0
i!
ppois(5,2) - ppois(1,2,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3894422
acum_poisson(5,2)-(1-ppois(1,2))
## [1] 0.3894422
4.23
El número de accidentes graves en una planta industrial es de diez por año, de manera tal que el gerente
instituye un plan que considera efectivo para reducir el número de accidentes en la planta. Un año después de
ponerlo en marcha, sólo han ocurrido cuatro accidentes. ¿Qué probabilidad hay de cuatro o menos accidentes
33
por año, si la frecuencia promedio aún es diez? Después de lo anterior ¿puede concluirse que, luego de un
año, el número de accidentes promedio ha disminuido?
Respuesta.- Ya que cada experimentos es independiente entonces
4
X e−10 · 10i
P (X ≤ 4) = F (4; 10) = = 0.02925269
i=0
i!
ppois(4,10)
## [1] 0.02925269
acum_poisson(4,10)
## [1] 0.02925269
Concluimos que si disminuyo los accidentes.
4.24
El departamento de protección del Ambiente ha adquirido 40 instrumentos de precisión para medir la
contaminación del aire en distintas localidades. Se seleccionan aleatoriamente ocho instrumentos y se someten
a una prueba para encontrar defectos. Si cuatro de los 40 instrumentos se encuentran defectuosos ¿cuál es la
probabilidad de que la muestra contenga no más de un instrumento defectuoso?
Respuesta.- Sea N = 40 los instrumentos de precisión adquiridos de donde se estableció que k = 4 son
defectuosos, para ello se selecciono n = 8 instrumentos y se quiere saber P (X < 1) = P (X ≤ 0) (ya que la
función es discreta), entonces:
4 40−4

0 8−0
P (X ≤ 0) = p(x; N, n, k) = p(0; 40, 8, 4) = 40
= 0.3934785
8
choose(4,0)*choose(40-4,8-0)/choose(40,8)
## [1] 0.3934785
func_hiper(0,40,8,4)
## [1] 0.3934785
dhyper(0,4,40-4,8)
## [1] 0.3934785
4.25
Se sospecha que por causa de un error humano se han incluido en un embarque de 50 unidades, dos (o
más) defectuosas. El fabricante admite el error y envía al cliente sólo 48 unidades. Antes de recibir el
embarque, el cliente selecciona aleatoriamente cinco unidades y encuentra una defectuosa ¿Debe reclamar
una indemnización al fabricante?
Respuesta.- Vemos que se mando N = 50 unidades de manera que k = 2 unidades son defectuosos, luego se
selecciona una muestra de n = 5 unidades de donde x = 1 es defectuoso, entonces:
2 50−2

1 5−1
P (X = 1) = p(x; N, n, k) = p(1, 50, 5, 2) = 50
= 0.1836735
5
34
## [1] 0.1836735
func_hiper(1,50,5,2)
## [1] 0.1836735
dhyper(1,2,50-2,5)
## [1] 0.1836735
Por lo que el cliente no debe reclamar una indemnización al fabricante.
4.26
Los jurados para una corte federal de distrito se seleccionan de manera aleatoria entre la lista de votantes del
distrito. En un determinado mes se selecciona una lista de 25 candidatos. Ésta contiene los nombres de 20
hombres y cinco mujeres.
N = 25, k = 20
a)
Si la lista de votantes se encuentra igualmente dividida por sexo. ¿cuál es la probabilidad de tener una lista
que contenga a 20 hombres y cinco mujeres?
Respuesta.-
N = 25, k = 15, n = 25, x = 20
dhyper(20,15,25-15,25)*dhyper(5,15,25-15,25)
## [1] 0
dhyper(5,5,25-5,25)
## [1] 1
dhyper(20,20,25-20,25)
## [1] 1
b)
Supóngase que de esta lista se elige un jurado de doce personas, de las cuales sólo una es mujer. ¿Cuál es la
probabilidad de este hecho, si los miembros del jurado se seleccionan de manera aleatoria?
Respuesta.-
c)
Si el lector fuera el abogado de la defensa, ¿que podría argumentar mediante el empleo de las respuesta de la
parte a y b?
Respuesta.-
35
4.27
Una compañia recibe un lote de 1000 unidades. Para aceptarlo se seleccionan diez unidades de manera
aleatoria, y se inspeccionan. Si ninguna se encuentra defectuosa, el lote se acepta; de otro modo, se rechaza.
Si el lote contiene un 5% de unidades defectuosas:
a)
Determinar la probabilidad de aceptarlo mediante el empleo de la distribución hipergeométrica.
Respuesta.- Sea N = 1000 n = 10 P (X ≤ 0) k = 1000 ∗ 0.05 = 50, entonces
50 1000−50

0 10−0
P (X ≤ 0) = p(0, 1000, 10, 50) = 1000
= 0.5973113
10
## [1] 0.5973113
phyper(0,50,1000-50,10)
## [1] 0.5973113
b)
Aproximar la respuesta de la parte a mediante el empleo de la distribución binomial.
Respuesta.- Ya que N → ∞ entonces,
10

n x
P (X ≤ 0) = p(x; n, p) = p (1 − p)n−x = 0.050 · (1 − 0.05)10−0 = 0.5987369
x 0
choose(10,0)*0.05ˆ0*(1-0.05)ˆ10
## [1] 0.5987369
dbinom(0,10,0.05)
## [1] 0.5987369
## [1] 0.5987369
c)
Aproximar la respuesta de la parte b mediante el empleo de la distribución de Poisson.
Respuesta.- Sea λ = n · p = 10 ∗ 0.05 = 0.5, entonces
e−0.5 · 0.50
P (X ≤ 0) = p(0, 0.5) = = 0.6065307
0!
exp(-0.5)*0.05ˆ0/factorial(0)
## [1] 0.6065307
dpois(0,0.5)
## [1] 0.6065307
36
4.28
En el ejercicio anterior, ¿cómo cambiarían las respuestas de la parte a, b y c si el tamaño del lote fuera de 40
unidades?
a)
Determinar la probabilidad de aceptarlo mediante el empleo de la distribución hipergeométrica.
Respuesta.- Sea N = 40 n = 10 P (X ≤ 0) k = 40 ∗ 0.05 = 2, entonces
2 40−2

0 10−0
P (X ≤ 0) = p(0, 40, 10, 2) = 40
= 0.5576923
10
## [1] 0.5576923
phyper(0,2,40-2,10)
## [1] 0.5576923
b)
Aproximar la respuesta de la parte a mediante el empleo de la distribución binomial.
Respuesta.- Ya que N = 40 entonces,
10

n x
P (X ≤ 0) = p(x; n, p) = p (1 − p)n−x = 0.050 · (1 − 0.05)10−0 =
x 0
choose(10,0)*0.05ˆ0*(1-0.05)ˆ10
## [1] 0.5987369
dbinom(0,10,0.05)
## [1] 0.5987369
## [1] 0.5987369
c)
Aproximar la respuesta de la parte b mediante el empleo de la distribución de Poisson.
Respuesta.- Sea λ = n · p = 10 ∗ 0.05 = 0.5, entonces
e−0.5 · 0.50
P (X ≤ 0) = p(0, 0.5) = = 0.6065307
0!
exp(-0.5)*0.05ˆ0/factorial(0)
## [1] 0.6065307
dpois(0,0.5)
## [1] 0.6065307
37
4.29.
Considere las funciones de probabilidad binomial y binomial negativa dadas por las expresiones 4.1 y 4.34,
respectivamente. Demostrar que:
k
pN B (x; k, p) = pB (k; x + k, p).
x+k
Demostración.- Sea
k+x−1 k

n!
px (1 − p)n−x y p (1 − p)x
(n − x)!x! k−1
k+x−1 k

pN B (x; k, p) = p (1 − p)x
k−1
(k + x − 1)!
= pk (1 − p)x
(k + x − 1 − k + 1)!(k − 1)!
(x + k − 1)! k
= p (1 − p)x+k−k
x!(k − 1)!
k (x + k + 1 − 1)! k
= p (1 − p)x+k−k
x + k x!(k − 1 + 1)!
k (x + k)!
= · pk (1 − p)x+k−k
x + k [(x + k) − k]!k!
k
= pB (k; x + k, p)
x+k
4.30.
Sea X una variable aleatoria binomial negativa con parámetros k = 3 y p = 0.4. Emplee el resultado del
problema anterior para calcular las probabilidades puntuales para las siguientes valores de X : 0, 1, 2, 3 y 5.
Respuesta.- Sea k = 3 y p = 0.4, entonces
• Para P(X=0)
P (X = 0) = p(0, 3, 0.4)
k
= pN B (x; k, p) = pB (k; x + k, p) = p(3; 0 + 3, 0.4)
x+k
3 (0 + 3)!
= · 0.43 (1 − 0.4)0+3−3
0 + 3 (0 + 3 − 3)!3!
= 0.064
dnbinom(0,3,0.4)
## [1] 0.064
3/(0+3)*(factorial(0+3))/((factorial(0+3-3))*factorial(3))*0.4ˆ3*(1-0.4)ˆ(0+3-3)
## [1] 0.064
38
3/(0+3)*dbinom(3,0+3,0.4)
## [1] 0.064
• Para P(X=1)
P (X = 1) = p(1, 3, 0.4)
k
= pN B (x; k, p) = pB (k; x + k, p) = p(3; 1 + 3, 0.4)
x+k
3 (1 + 3)!
= · 0.43 (1 − 0.4)1+3−3
1 + 3 (1 + 3 − 3)!3!
= 0.1152
dnbinom(1,3,0.4)
## [1] 0.1152
## [1] 0.1152
3/(1+3)*dbinom(3,1+3,0.4)
## [1] 0.1152
• Para P(X=2)
P (X = 2) = p(2, 3, 0.4)
k
= pN B (x; k, p) = pB (k; x + k, p) = p(3; 2 + 3, 0.4)
x+k
3 (2 + 3)!
= · 0.43 (1 − 0.4)2+3−3
2 + 3 (2 + 3 − 3)!3!
= 0.13824
dnbinom(2,3,0.4)
## [1] 0.13824
## [1] 0.13824
3/(2+3)*dbinom(3,2+3,0.4)
## [1] 0.13824
• Para P(X=3)
39
P (X = 3) = p(3, 3, 0.4)
k
= pN B (x; k, p) = pB (k; x + k, p) = p(3; 3 + 3, 0.4)
x+k
3 (3 + 3)!
= · 0.43 (1 − 0.4)3+3−3
3 + 3 (3 + 3 − 3)!3!
= 0.13824
dnbinom(3,3,0.4)
## [1] 0.13824
## [1] 0.13824
3/(3+3)*dbinom(3,3+3,0.4)
## [1] 0.13824
• Para P(X=5)
P (X = 5) = p(5, 3, 0.4)
k
= pN B (x; k, p) = pB (k; x + k, p) = p(3; 5 + 3, 0.4)
x+k
3 (5 + 3)!
= · 0.43 (1 − 0.4)5+3−3
5 + 3 (5 + 3 − 3)!3!
= 0.1045094
dnbinom(5,3,0.4)
## [1] 0.1045094
## [1] 0.1045094
3/(5+3)*dbinom(3,5+3,0.4)
## [1] 0.1045094
4.31
Greenwood y Yule dieron a conocer el número de accidentes ocurrido entre 414 operadores de maquinaria,
en un periodo de tres meses consecutivos. En la tabla la primera columna indica el número de accidentes
sufridos por un mismo operador, y la segunda indica la frecuencia relativa para aquellos que habían sufrido la
cantidad de accidentes indicada en el lapso de tres meses.
Con el procedimiento del ejemplo 4.10, comparar las frecuencias relativas observadas con las correspondientes
probabilidades si el número de accidentes es una variable aleatoria binomial negativa.
Respuesta.- Sea x = 0, E(X) = 0.08333333, V ar(X) = 0.007143697 entonces,
E(X) 0.08333333
p= = = 0.4889976
V ar(X) 0.007143697
40
y
E(X) 2
0.083333332
k= = = 0.4593301
V ar(X) − E(X) 0.007143697 − 0.08333333
Z ∞
sea Γ(n) = un−1 e−u du, n > 0, y dado que k no es entero entonces,
0
Γ(k + x) k Γ(0.4593301 − 0)
p(x; k, p) = p (1 − p)x = 0.48899760.4593301 (1 − 0.4889976)0 = 0.7199282179
x!Γ(k) 0!Γ(0.4593301)
El mismo procedimiento para las demás x.

x = c(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
fr = c(0.715,0.179,0.063,0.019,0.010,0.010,0.002,0.000,0.002)
EX = function(x,fr){
e = 0
for(i in 1:length(x)){
e = e + x[i]*fr[i]
}
return(e)
}
EX2 = function(x,fr){
e = 0
for(i in 1:length(x)){
e = e + x[i]ˆ2*fr[i]
}
return(e)
}
m = EX(x,fr)
v = EX2(x,fr)-EX(x,fr)ˆ2
p = m/v
k = mˆ2/(v-m)
teo = c()
for(i in 0:8){
teo = c(teo,(gamma(k+i)/(factorial(i)*gamma(k))) * pˆk * (1-p)ˆi)
}
t = data.frame(x,fr,teo)
colnames(t) = c("x","Freq relativa","Prob teórica")
t
## x Freq relativa Prob teórica

## 1 0 0.715 0.7199282179
## 2 1 0.179 0.1689807064
## 3 2 0.063 0.0630062536
## 4 3 0.019 0.0263938177
## 5 4 0.010 0.0116642605
## 6 5 0.010 0.0053159368
## 7 6 0.002 0.0024716723
## 8 7 0.000 0.0011654760
## 9 8 0.002 0.0005553108
4.32
Un contador recientemente graduado pretende realizar el examen CPA. Si el número de veces que se hace
el examen constituye un conjunto de eventos independientes con una probabilidad de aprobar a 0.6, ¿cuál
41
es la probabilidad de que no se necesiten más de cuatro intentos para aprobar el examen? ¿Son válidas las
suposiciones de independencia y probabilidad constante?
Respuesta.- Ya que K = 1 surge un caso especial de la distribución binomial negativa, que se conoce con el
nombre de distribución geométrica y cuya función de probabilidad está dada por
p(x; p) = p(1 − p)x
Sabiendo que esta variable geométrica representa el número de fallas que ocurren antes de que se presente el
primer éxito, y que nosotros tenemos que calcular la probabilidad hasta el primer éxito entonces la función
acumulada estará dada por
P (X ≤ 4) = F (x; p) = 1 − (1 − p)x = 1 − (1 − 0.6)4 = 0.9744
pgeom(4-1,0.6)
## [1] 0.9744
1-(1-0.6)ˆ4
## [1] 0.9744
Efectivamente son válidas las suposiciones de independencia y probabilidad constante, debido a que éstas
distribuciones se derivan de la distribución binomial.
4.33
En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una
linea de ensamble. Se piensa que la proposición de unidades defectuosas es de 0.05.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa?
Respuesta.- Sean P (X = 20), k = 2 y p = 0.05 por la función binomial negativa tenemos,
k+x−1 k 2 + 20 − 1

P (X = 20) = p(x; k, p) = p (1 − p)x = p(20; 2, 0.05) = 0.052 (1 − 0.05)20 = 0.01882
k−1 2−1
dnbinom(20,2,0.05)
## [1] 0.01882051
b)
Supóngase que la décimo quinta unidad inspeccionada es la segunda que se encuentra defectuosa. ¿Cuál es la
probabilidad de este hecho bajo condiciones determinadas?
Respuesta.- Similar al inciso a)
k+x−1 k 2 + 15 − 1

P (X = 15) = p(x; k, p) = p (1−p) = p(20; 2, 0.05) =
x
0.052 (1−0.05)15 = 0.01853165
k−1 2−1
42
dnbinom(15,2,0.05)
## [1] 0.01853165
4.33
De las distribuciones binomial, Poisson, hipergeometrica y binomial negativa, ¿cuáles no consideraría si
alguien le dijera, de una distribución en particular que:
a)
¿La media es igual a la varianza?
Respuesta.- No consideraría a las distribuciones binomial, hipergeométrica y binomial negativa.
b)
¿La media es más grande que la varianza?
Respuesta.- no consideraría a la distribución de Poisson.
c)
¿La media es menor a la varianza?
Respuesta.- Todas son consideradas.
d)
El tercer momento, alrededor de la media, ¿es negativo?
Respuesta.- no consideraría a las distribuciones binomial, Poisson y binomial negativa.
e)
¿El fenómeno aleatorio de interés constituye un grupo de ensayos independientes?
Respuesta.- no consideraría a las distribuciones binomial, Poisson y binomial negativa.
f)
¿El muestreo se lleva a cabo con reemplazo?
Respuesta.- no consideraría a las distribuciones hipergeométrica y Poisson.
g)
¿El muestreo se lleva a cabo sin reemplazo?
Respuesta.- No se consideraría a las distribuciones binomial, binomial negativa y Poisson
43
Ejercicios Capítulo 5
5.1.
En la misma gráfica, dibujar las distribuciones normales N (0, 5) y N (0, 4)
Respuesta.-
curve(dnorm(x, mean=0, sd=5), ylim =c(0,.11) ,from = -18, to = 18, ylab = "normal")
curve(dnorm(x, mean=0, sd=4), add = TRUE, col = 2)
legend(7, .1, legend=c("N(0,5)", "N(0,4)"),
col=c("black", "red"), lty=1:1, cex=0.4)
N(0,5)
N(0,4)
normal
0.06
0.00
−15 −5 0 5 10
5.2.
Sea X ∼ N (50, 10). Determinar las siguientes probabilidades
a)
P (X < 40)
Respuesta.-
40−50
1
Z 10 −z 2
P (X < 40) = P [Z < (40 − 50)/10] = √ e 2 dz = 0.1586553.
2π −∞
pnorm(40,50,10)
## [1] 0.1586553
integrate(function(x) (1/sqrt(2*pi))*exp(-xˆ2/2),-Inf,(40-50)/10)

1/(sqrt(2*pi))*(-exp(-((-1)ˆ2/2)) + exp(-(-Inf)ˆ2/2))
## [1] -0.2419707
b)
P (X < 65)
Respuesta.-
65−50
1
Z 10 −z 2
P (X < 40) = P [Z < (65 − 50)/10] = √ e 2 dz = 0.9331928
2π −∞
44
pnorm(65,50,10)
## [1] 0.9331928
integrate(function(x) (1/sqrt(2*pi))*exp(-xˆ2/2),-Inf,(65-50)/10)
c)
P (X > 55)
Respuesta.-
55−50
1
Z 10 −z 2
P (X < 40) = P [Z > (55 − 50)/10] = 1 − P [Z ≤ (55 − 50)/10] = 1 − √ e 2 dz = 0.3085375
2π −∞
pnorm(55,50,10,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3085375
d)
P (X > 35)
Respuesta.-
35−50
1
Z 10 −z 2
P (X < 40) = P [Z > (35 − 50)/10] = 1 − P [Z ≤ (35 − 50)/10] = 1 − √ e 2 dz = 0.93319285
2π −∞
## [1] 0.9331928
e)
P (40 < X < 45)
Respuesta.-
45−50 40−50
40 − 50 45 − 50 1 1
Z Z
10 −z 2 10 −z 2
P (40 < X < 45) = P <Z< =√ e 2 dz− √ e 2 dz = 0.1498823.
10 10 2π −∞ 2π −∞
pnorm(45,50,10) - pnorm(40,50,10)
## [1] 0.1498823
f)
P (38 < X < 62)
Respuesta.-
62−50 38−50
38 − 50 62 − 50 1 1
Z Z
10 −z 2 10 −z 2
P (38 < X < 62) = P <Z< =√ e 2 dz− √ e 2 dz = 0.7698607.
10 10 2π −∞ 2π −∞
45
pnorm(62,50,10) - pnorm(38,50,10)
## [1] 0.7698607
5.3.
Sea X ∼ N (200, 20). Determinar las siguientes probabilidades:
a)
P(185<X<210)
Respuesta.-
210−200 185−210
185 − 200 210 − 200 1 1
Z Z
20 −z 2 20 −z 2
P <Z< =√ e 2 dz − √ e 2 dz = 0.4648351.
20 20 2π −∞ 2π −∞
pnorm(210,200,20)-pnorm(185,200,20)
## [1] 0.4648351
b)
P(215<X<250)
Respuesta.-
250−200 215−210
215 − 200 250 − 200 1 1
Z Z
20 −z 2 20 −z 2
P <Z< =√ e 2 dz − √ e 2 dz = 0.2204177.
20 20 2π −∞ 2π −∞
pnorm(250,200,20)-pnorm(215,200,20)
## [1] 0.2204177
c)
P(X>240)
Respuesta.-
240−200
240 − 200 240 − 200 1
Z 20 −z 2
P Z> = P1 − Z ≤ =1− √ e 2 dz = 0.02275013.
20 20 2π −∞
## [1] 0.02275013
d)
P(X>178)
Respuesta.-
Z 178−200
178 − 200 178 − 200 1

20 −z 2
P Z> = P1 − Z ≤ =1− √ e 2 dz = 0.8643339.
20 20 2π −∞
46
## [1] 0.8643339
5.4.
Sea X ∼ N (−25, 10). Encontrar los valores de x que corresponden a las siguientes probabilidades:
a)
P (X < x) = 0.1251. Respuesta.- Viendo la tabla z tenemos
x + 25
z= ⇒ x = −1.15 · 10 − 25 = −35.5
10
qnorm(0.1251)*10-25
## [1] -36.49864
b)
P (X < x) = 0.9382 Respuesta.-
x + 25
z= ⇒ x = 1.54 · 10 − 25 = −9.6
10
qnorm(0.9382)*10-25
## [1] -9.601626
c)
P (X > x)00.3859 Respuesta.-
x + 25
z= ⇒ x = −0.29 · 10 − 25 = −27.9
10
qnorm(0.3859)*10-25
## [1] -27.90021
d)
P (X > x)00.8340 Respuesta.-
x + 25
z= ⇒ x = 0.97 · 10 − 25 = .15.3
10
qnorm(0.8340)*10-25
## [1] -15.29907
5.5.
Sea X ∼ N (10, 5). Encontrar los valores de x que corresponden a las siguientes probabilidades:
47
a)
x − 10
z= ⇒ x = −1.645 · 5 + 10 = 1.775
5
qnorm(0.05)*5+10
## [1] 1.775732
b)
x − 10
z= ⇒ x = 1.645 · 5 + 10 = 18.225
5
qnorm(0.95)*5+10
## [1] 18.22427
c)
x − 10
z= ⇒ x = 2.33 · 5 + 10 = 21.65
5
qnorm(0.99)*5+10
## [1] 21.63174
d)
x − 10
z= ⇒ x = −2.33 · 5 + 10 = −1.65
5
qnorm(0.01)*5+10
## [1] -1.631739
e)
x − 10
z= ⇒ x = −1.96 · 5 + 10 = 0.2
5
qnorm(0.025)*5+10
## [1] 0.2001801
48
f)
P (X < x) = 0.975
Respuesta.-
x − 10
z= ⇒ x = 1.96 · 5 + 10 = 19.8
5
qnorm(0.975)*5+10
## [1] 19.79982
5.6.
Sea X ∼ N (µ, σ). Determinar la media y la varianza de X si los cuantiles son x0.4 = 50 y x0.8 = 100.
x0.4 − µ z0.8 − µ
Respuesta.- Sea z1 = z2 = , entonces
σ σ
50 − µ 100 − µ
=
z1 z2
Así,
100z1 − 50z2 100 · (−0.225) − 50 · 0.845
µ= = = 60.51402
z1 − z2 −0.225 − 0.845
Luego reemplazamos µ en z1 para hallar σ,
x0.4 − µ 50 − 60.51402
σ= = = 46.72898
z1 −0.225
mu = (100*qnorm(0.4)-50*qnorm(0.8))/(qnorm(0.4)-qnorm(0.8))
mu
## [1] 61.5687
(50-mu)/qnorm(0.4)
## [1] 45.66342
5.7.
Una universidad espera recibir, para el siguiente año escolar, 16000 solicitudes de ingreso el primer año de
licenciatura. Se supone que las calificaciones obtenidas por los aspirantes en la prueba SAT se pueden calcular,
de manera adecuada, por una distribución normal con media 950 y desviación estándar 100. Si la universidad
decide admitir al 25% de todos los aspirantes que obtengan las calificaciones más altas en la prueba SAT,
¿cuál es la mínima calificación que es necesario obtener en esta prueba, para ser admitido por la universidad?
Respuesta.- Sea P (X > x0.25 ) entonces P (X < x0.75 ) = −1.96 así
x0.75 = 0.675 ∗ 100 + 950 = 1017.5 ≃ 1018
qnorm(0.75)*100+950
## [1] 1017.449
49
5.8.
Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados por una distribución
normal con un diámetro promedio de 5 cm y una desviación estándar igual a 0.001 cm. Para que un pistón
sirva, su diámetro debe encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. Si el diámetro del pistón es menor que 4.998
se desecha; si es mayor que 5.002 el pistón puede reprocesarse. ¿Qué porcentaje de pistones servirá? ¿Qué
porcentaje será desechado? ¿Qué porcentaje será reprocesado?.
Respuesta.- Sea X ∼ N (µ, σ) de donde, el porcentaje que servirá vendrá dado por
4.998 − 5 5.002 − 5

P ≤Z≤
0.001 0.001
entonces,
P (−2 ≤ Z ≤ 2) = FZ (2, 0, 1) − FZ (−2, 0, 1) = 0.9772 − 0.0228 = 0.9544.
pnorm((5.002-5)/0.001)-pnorm((4.998-5)/0.001)
## [1] 0.9544997
El porcentaje que será desechado viene dado por:
P (Z ≤ −2) = FZ (−2; 0, 1) = 0.0228.
pnorm((4.998-5)/0.001)
## [1] 0.02275013
El porcentaje que será reprocesado está dado por:
P (Z ≥ 2) = 1 − FZ (2; 0, 1) = 1 − 0.9772 = 0.0228.
pnorm((5.002-5)/0.001, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013
5.9.
La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media de 200 unidades y
desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto B también tiene una distribución
normal con media de 500 unidades y desviación estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos
productos tiene en su almacén 280 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes, ¿cuál es la probabilidad
de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse independencia entre
ambos eventos.
280 − 200 650 − 500
Respuesta.- Sea zA = = 2 y zB = = 1.875, entonces para hallar la probabilidad de que
40 80
se vendan ambos productos estará dado por
P (ZA ≥ 2)·P (ZB ≥ 1.875) = [1 − FZA (2; 0, 1)]·[1 − FZB (1.875; 0, 1)] = (1−0.9772)(1−0.9696) = 0.00069312
pnorm((280-200)/40,lower.tail = FALSE)*pnorm((650-500)/80,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0006915212
50
5.10.
El peso de cereal que contiene una caja se aproxima a una distribución normal con una media de 600 gramos.
El proceso de llenado de las cajas está diseñado para que de entre 100 cajas, el peso de una se encuentre
fuera del intervalo 590-610 gramos. ¿Cuál es el valor máximo de la desviación estándar para alcanzar este
requerimiento?
Respuesta.- Si una caja de entre 100 (1/100) queda fuera del intervalo 590 − 610 entonces lo que queda dentro
estará dado por (99/100) = 0.99. Sabemos que la distribución Normal estandarizada es simétrica respecto al
0, por lo que,
10 10

−10 −10
P ≤Z≤ =P ≤Z ≤0 +P 0≤Z ≤
σ σ σ σ
Luego, ya que
10

−10
P ≤Z≤0 =P 0≤Z≤
σ σ
entonces,
10 10 10

−10
P ≤Z ≤0 +P 0≤Z ≤ = 2P 0 ≤ Z ≤ ≥ 0.99 ⇒ P 0≤Z≤ ≥ 0.495
σ σ σ σ
Pero P (Z ≥ 0) = −FZ (Z ≤ 0) = −0.5 de donde
10 10

P Z≤ − 0.5 ≥ 0.495 ⇒ P Z≤ ≥ 0.995
σ σ
Así,
10
z ≥ 2.58 ⇒ ≥ 2.58 ⇒ σ ≤ 3.876.
σ
Por lo que el valor máximo de σ para alcanzar el requerimiento estará dado por 3.876.
5.11
En una tienda de descuento la demanda diaria de acumuladores para automóvil se calcula mediante una
distribución normal con una media de 50 acumuladores que tienen una desviación estándar de 10. En dos días
consecutivos se venden 80 y 75 acumuladores respectivamente. Si estos días son típicos, ¿qué tan probable es,
bajo las suposiciones dadas, vender 80 o más y 75 o más acumuladores?
Respuesta.- Sea X ∼ N (50, 10) entonces
80 − 50 75 − 50

P (X1 ≥ 80) · P (X2 ≥ 75) = Z1 ≥ ·P Z2 ≥
10 10
= [1 − FZ1 (3; 0, 1)] · [1 − FZ2 (2.5; 0, 1)]
= (1 − 0.9987) · (1 − 0.9938)
= 0.00000806.
pnorm((80-50)/10,lower.tail = FALSE) * pnorm((75-50)/10,lower.tail = FALSE)
## [1] 8.382415e-06
51
5.12.
Un fabricante de aviones desea obtener remaches para montar los propulsores de sus aviones. El esfuerzo a
la tensión mínimo necesario de cada remache es de 25000 lb. Se pide a tres fabricantes de remaches (A,B
y C) que proporcionen toda la información pertinente con respecto a los remaches que producen. Los tres
fabricantes aseguran que la resistencia a la tensión de sus remaches se encuentran distribuida, de manera
aproximada, normalmente con un valor medio de 28000, 30000 y 29000 lb, respectivamente.
a)
¿Tiene el fabricante la suficiente información para hacer una selección?
Respuesta.- No, ya qua no se definio la desviación estándar.
b)
Supóngase que las desviaciones estándar para A, B y C son 1000, 1800 y 1200, respectivamente. ¿Cuál es la
probabilidad de que un remache producido ya sea por A, B o C no reúna los requisitos mínimos?
Respuesta.- Para XA ∼ N (28000, 1000) se tiene
25000 − 28000

P (XA ≤ 25000) = P ZA ≤ = FZA (−3; 0, 1) = 0.0013.
1000
pnorm((25000-28000)/1000)
## [1] 0.001349898
Para XB ∼ N (30000, 1800) se tiene
25000 − 30000

P (XB ≤ 25000) = P ZB ≤ = FZB (−2.78; 0, 1) = 0.0027
1800
pnorm((25000-30000)/1800)
## [1] 0.002736602
Para XC ∼ N (29000, 1200) se tiene
25000 − 29000

P (XC ≤ 25000) = P ZC ≤ = FZC (−3.33; 0, 1) = 0.0004
1200
pnorm((25000-29000)/1200)
## [1] 0.0004290603
c)
Si usted fuera el fabricante de aviones, ¿podría elegir entre A, B y C, con base a sus respuesta al inciso b)?
¿Por qué?.
Respuesta.- Escogería a C ya que tiene la probabilidad más baja de que se rompa un remache.
5.13.
Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un periodo igual al de
la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de duración de su producto es una variable
aleatoria con una distribución normal, con una vida promedio de tres años y una desviación estándar de seis
52
meses. Si el costo de reemplazo por unidad es de $10, ¿cuál puede ser el costo total de reemplazo para los
primeros dos años, si se instalan 1000000 unidades?
Respuesta.- Sea µ = 3 y σ = 0.5, entonces
2−3
P (X ≤ 2) = P (Z ≤ ) = P (Z ≤ −2) = FZ (−2; 0, 1) = 0.0228.
0.5
Ahora ya que el costo de reemplazo es de %10, de donde sólo el 2.28% de 1000000 será cambiado entonces el
costo total de reemplazo estará dado por:
1000000 ∗ 0.0228 ∗ 10 = 228000.
pnorm((2-3)/0.5)*1000000*10
## [1] 227501.3
5.14.
El tiempo necesario para armar cierta unidad es una variable aleatoria normalmente distribuida con una
media de 30 minutos y desviación estándar igual a dos minutos. Determinar el tiempo de armado de manera
tal que la probabilidad de exceder este sea de 0.02.
Respuesta.- Sea µ = 30 y σ = 2, entonces
T − 30 T − 30

P Z≥ = 0.02 ⇒ 1 − FZ (T ) = 0.02 ⇒ FZ (T ) = 0.98 ⇒ = 2.06 ⇒ T = 34.12.
2 2
2*qnorm(0.02,lower.tail = FALSE)+30
## [1] 34.1075
5.15.
Un periódico llevó a cabo una encuesta entre 400 personas seleccionadas aleatoriamente, en un estado, sobre
el control de armas. De las 400 personas, 220 se pronunciaron en favor de un estricto control.
a)
¿Qué tan probable resulta el hecho de tener 220 o más personas a favor del control de armas, si la población
en este estado se encuentra dividida en opinión de igual manera?.
√
Respuesta.- Sea, p = 0.5, µ = np = 400 · 0.5 = 200 y σ = np(1 − p) = 400 · 0.5 · 0.5 = 10, entonces
p
220 − 200

P Z≥ = P (Z ≥ 2) = 1 − FZ (2; 0, 1) = 0.0228.
10
pnorm((220-200)/10,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.02275013
53
b)
Supóngase que se encuesta a 2000 personas teniendo la misma proporción de estas a favor del control de
armas, que la del inciso anterior. ¿Cómo cambiaría su respuesta al inciso a)?.
√ √
p
dado que la proporción es de 220/400 = 0.55
1100 − 1000

P (X ≥ 1100) = P Z≥ √ = P (Z ≥ 4.47) = 1 − FZ (4.47; 0, 1) = 0
500
pnorm((1100-1000)/sqrt(500),lower.tail = FALSE)
## [1] 3.872108e-06
c)
Si el número de personas encuestadas es de 10000, ¿cuál es la probabilidad de tener una ocurrencia diferente
al del inciso b)?.
√
p
dado que la proporción es de 220/400 = 0.55
5500 − 5000

P (X ≥ 5500) = P Z ≥ = P (Z ≥ 10) = 1 − FZ (10; 0, 1) = 0
50
## [1] 7.619853e-24
5.16.
Una prueba de opción múltiple contiene 25 preguntas y cada una de estas cinco opciones. ¿Cuál es la
probabilidad de que, al contestar de manera aleatoria cada pregunta, más de la mitad de las respuetas sea
incorrecta?
4
Respuesta.- Sea p = 4/5 la probabilidad de contestar una pregunta mal y dado que µ = np = 25 · = 20 y
5
4 1
r
σ = 25 · · = 2, entonces
5 5
13 − 20

P (X ≥ 13) = P Z ≥ = 1 − FZ (−3.5) = 1 − 0.0002 = 0.9998
2
## [1] 0.9997674
5.17.
Una organización llevó a cabo una encuesta entre 1600 personas, seleccionadas de manera aleatoria de toda
la población del país, para conocer su opinión con respecto a la seguridad en las plantas de energía nuclear.
De este grupo, el 60% opinó que las plantas de energía nuclear tienen muy poca seguridad. Con base en estos
resultados ¿existe alguna razón para dudar que la población en general tiene una opinión neutral con respecto
a este asunto?.
√
Respuesta.- Sea µ = 1600 · 0.6 = 960 y σ = 1600 ∗ 0.4 ∗ (1 − 0.4) = 384, entonces
p
54
800 − 960 √

P (X ≤ 800) = P Z≤ √ = P (−160/ 384; 0, 1) = 0.
384
pnorm((800-1600*0.6)/sqrt(1600*0.4*(1-0.4)))
## [1] 1.607631e-16
Si existe ya que la probabilidad es prácticamente 0.
5.18.
Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente.
a)
Para n = 15, p = 0.25 y n = 15 y p = 0.5, calcular las siguientes probabilidades:
Respuesta.-
P(X=8)
15

P (X = 8) = p(8; 15, 0.25) = · 0.258 · (1 − 0.25)15−8 = 0.01310682
8
choose(15,8)*0.25ˆ(8)*(1-0.25)ˆ(15-8)
## [1] 0.01310682
dbinom(8,15,0.25)
## [1] 0.01310682
15

P (X = 8) = p(8; 15, 0.5) = · 0.58 · (1 − 0.5)15−8 = 0.1963806
8
choose(15,8)*0.5ˆ(8)*(1-0.5)ˆ(15-8)
## [1] 0.1963806
dbinom(8,15,0.5)
## [1] 0.1963806
P(X<=3)
3
X 15
P (X ≤ 3) = F (3; 15, 0.25) = · 0.25i · (1 − 0.25)15−i = 0.4612869
i=0
i
pbinom(3,15,0.25)
## [1] 0.4612869
3
X 15
P (X ≤ 3) = F (3; 15, 0.5) = · 0.5i · (1 − 0.5)15−i = 0.01757813
i=0
i
pbinom(3,15,0.5)
## [1] 0.01757813
55
P(X<=7)
7
X 15
P (X ≤ 7) = F (7; 15, 0.25) = · 0.25i · (1 − 0.25)15−i = 0.9827002
i=0
i
pbinom(7,15,0.25)
## [1] 0.9827002
7
X 15
P (X ≤ 7) = F (8; 15, 0.5) = · 0.5i · (1 − 0.5)15−i = 0.5
i=0
i
pbinom(7,15,0.5)
## [1] 0.5
P(X>=9)
8
X 15
P (X ≥ 9) = 1−P (X < 9) = 1−P (X ≤ 8) = 1−F (8; 15, 0.25) = 1− ·0.25i ·(1−0.25)15−i = 0.004193014
i=0
i
## [1] 0.004193014
8
X 15
P (X ≥ 9) = F (9; 15, 0.5) = 1 − P (X < 9) = 1 − P (X ≤ 8) = 1 − · 0.5i · (1 − 0.5)15−i = 0.3036194
i=0
i
## [1] 0.3036194
P(X>=12)
11
X 15
P (X ≥ 12) = 1 − P (X < 12) = 1 − P (X ≤ 11) = 1 − F (11; 15, 0.25) = 1 − · 0.25i · (1 − 0.25)15−i = 0
i=0
i
## [1] 9.229407e-07
11
X 15
P (X ≥ 12) = F (12; 15, 0.5) = 1−P (X < 12) = 1−P (X ≤ 11) = 1− ·0.5i ·(1−0.5)15−i = 0.01757813
i=0
i
## [1] 0.01757813
b)
Aproxímense los valores de las probabilidades anteriores mediante el empleo de la distribución normal.
56
P(X=8) !
8 − 15 · 0.25
P (X = 8) = P Z=p = p(2.53; 0, 1) = 0
15 · 0.25 · (1 − 0.25)
dnorm((8-15*0.25)/(sqrt(15*0.25*(1-0.25))))
## [1] 0.01608208
!
8 − 15 · 0.5
P (X = 8) = P Z=p = p(2.25; 0, 1) = 0
15 · 0.5 · (1 − 0.5)
P(X<=3) !
3 − 15 · 0.25
P (X ≤ 3) = P Z≤p = p(−0.447; 0, 1) = 0.328
15 · 0.25 · (1 − 0.25)
pnorm((3-15*0.25)/(sqrt(15*0.25*(1-0.25))))
## [1] 0.3273604
!
3 − 15 · 0.5
P (X ≤ 3) = P Z≤p = p(−2.32; 0, 1) = 0.0102
15 · 0.5 · (1 − 0.5)
pnorm((3-15*0.5)/(sqrt(15*0.5*(1-0.5))))
## [1] 0.01006838
P(X<=7) !
7 − 15 · 0.25
P (X ≤ 7) = P Z≤p = p(1.937; 0, 1) = 0.9735
15 · 0.25 · (1 − 0.25)
pnorm((7-15*0.25)/(sqrt(15*0.25*(1-0.25))))
## [1] 0.9736838
!
7 − 15 · 0.5
P (X ≤ 7) = P Z≤p = p(−0.258; 0, 1) = 0.397
15 · 0.5 · (1 − 0.5)
pnorm((7-15*0.5)/(sqrt(15*0.5*(1-0.5))))
## [1] 0.3981267
P(X>=9) !
9 − 15 · 0.25
P (X ≥ 9) = 1 − P Z≤p = 1 − p(3.13; 0, 1) = 0
15 · 0.25 · (1 − 0.25)
pnorm((9-15*0.25)/(sqrt(15*0.25*(1-0.25))),lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0008725593
!
9 − 15 · 0.5
P (X ≤ 9) = 1 − P Z≤p = 1 − p(0.77; 0, 1) = 1 − 0.7794 = 0.2206
15 · 0.5 · (1 − 0.5)
57
## [1] 0.219289
P(X>=12) !
9 − 15 · 0.25
P (X ≥ 9) = 1 − P Z≤p = 1 − p(4.91; 0, 1) = 0
15 · 0.25 · (1 − 0.25)
## [1] 4.341614e-07
!
9 − 15 · 0.5
P (X ≤ 9) = 1 − P Z≤p = 1 − p(2.32; 0, 1) = 1 − 0.9898 = 0.0102
15 · 0.5 · (1 − 0.5)
## [1] 0.01006838
5.19.
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a, b)
a)
¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre a una desviación estándar de la media?
b−a
Respuesta.- Sea σ = √ la desviación estándar de una distribución uniforme. Cabe mencionar que σ es la
2 3
longitud de del subintervalo que queremos calcular. Dado que existe σ a la derecha y a la izquierda se tiene,
b−a 1 1
P (σ − ≤ X ≤ σ + ) = 2 · √ · = √ = 0.5773503
2 3 b−a 3
punif(1/(sqrt(3)))
## [1] 0.5773503
b)
¿Puede tomar X un valor que se encuentre a dos desviaciones estándar de la media?
1
Repuesta.- No puedo, dado que tendríamos que multiplicar √ por 4 el cual es mayor a 1.
3
5.20
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a, b). ¿Cuál es la máxima distancia,
en términos de la desviación estándar, a la que puede encontrarse un valor X a partir de la media?
Respuesta.- Sea x la máxima distnacia en terminos de la desviación estándar, entonces como se vio en el
anterior ejercicio se tiene,
1 √
x· √ =1 ⇒ x=2 3
2 3
√
donde la distnacia máxima estará dada por 2 3.
58
5.21
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intrevalo (a, b). Si E(X) = 10 y V ar(X) = 12,
encontrar los valores de a y de b.
a+b (b − a)2
Respuesta.- Sean E(X) = = 10 y V ar(X) = , entonces
2 12
a+b

 = 10
a+b = 20
2 2

⇒ ⇒ a = 4, b = 16.
(b − a) b−a = 12
= 12


12
5.22
Supóngase que la concentración de cierto contaminante se encuentra distribuida de manera uniforme en el
intervalo de 4 a 20 ppm (partes por millón). Si se considera como tóxica una concentración de 15 ppm o más
¿Cuál es la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentración de ésta sea tóxica?
Respuesta.- Sea a = 4 y b = 20 entonces,
15 − 4
P (X ≥ 15) = 1 − P (X < 15) = 1 − F (15; 3, 20) = 1 − = 0.3125
20 − 4
punif(15,4,20,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3125
5.23
Sea X una variable aleatoria con distribución beta y parámetros α = 3 y β = 1.
a)
Graficar la función de densidad de probabilidad.
Respuesta.-
curve(dbeta(x,3,1),xlim=c(0,1),col="blue",lwd=2,
xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad beta(x;3,1)")
Función de Densidad beta(x;3,1)

3.0
f(x)
1.5
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
59
b)
Obtener la media, la varianza, la desviación media, el coeficiente de asimetría y a curtosis relativa.
Respuesta.- La media de la distribución beta viene dada por
α 3
= E(X) = = = 0.75
α+β 3+1
La varianza viene dada por

αβ 3·1
V ar(x) = = = 0.0375
(α + β)2 (α + β + 1) (3 + 1)2 (3 + 1 + 1)
alpha=3
beta = 1
alpha*beta/((alpha+beta)ˆ2*(alpha+beta+1))
## [1] 0.0375
Coeficiente de asimetría.
√ √
2(β − α) α + β + 1 2(1 − 3) 3 + 1 + 1
α3 (X) = √ = √ = −0.860663.
αβ(α + β + 2) 3 · 1(3 + 1 + 2)
alpha=3
beta = 1
(2*(beta-alpha)*sqrt(alpha+beta+1))/(sqrt(alpha*beta)*(alpha+beta+2))
## [1] -0.860663
Curtosis relativa
3(α + β + 1) 2(α + β)2 + αβ(α + β − 6) 3(3 + 1 + 1) 2(3 + 1)2 + 3 · 1(3 + 1 − 6)

α3 (X) = = = 3.095238.
αβ(α + β + 2)(α + β + 3) 3 · 1(3 + 1 + 2)(3 + 1 + 3)
alpha=3
beta = 1
(3*(alpha+beta+1)*(2*(alpha+beta)ˆ2+alpha*beta*(alpha+beta-6)))/
(alpha*beta*(alpha+beta+2)*(alpha+beta+3))
## [1] 3.095238
c)
¿Cual es la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre dentro de una desviación estándar a partir
de la media? ¿A dos desviaciónes estándar?
3·1 √ 3
r
α
Respuesta.- Sean α = 3, β = 1, V ar(x) = = 0.0375 y = E(X) = = =
p
(3 + 1) (3 + 1 + 1)
2 α+β 3+1
0.75, entonces
60
√ √ √ √
P 0.75 − 0.0375 ≤ X ≤ 0.75 + 0.0375 = F 0.75 + 0.0375; 3, 1 − F 0.75 − 0.0375; 3, 1

√
Γ(3 + 1) 0.75+ 0.0375
Z
= t3−1 (1 − t)1−1 dt
Γ(3)Γ(1) 0
√
Γ(3 + 1) 0.75− 0.0375
Z
− t3−1 (1 − t)1−1 dt
Γ(3)Γ(1) 0
= 0.6680896
pbeta(sqrt(0.0375)+0.75,3,1) - pbeta(0.75-sqrt(0.0375),3,1)
## [1] 0.6680896
√ √ √ √
P 0.75 − 2 0.0375 ≤ X ≤ 0.75 + 2 0.0375 = F 0.75 + 2 0.0375; 3, 1 − F 0.75 − 2 0.0375; 3, 1

√
Γ(3 + 1) 0.75+2 0.0375
Z
= t3−1 (1 − t)1−1 dt
Γ(3)Γ(1) 0
√
Γ(3 + 1) 0.75−2 0.0375
Z
− t3−1 (1 − t)1−1 dt
Γ(3)Γ(1) 0
= 0.9522857.
pbeta(2*sqrt(0.0375)+0.75,3,1) - pbeta(0.75-2*sqrt(0.0375),3,1)
## [1] 0.9522857
5.24.
Si los parámetros de la distribución beta son enteros, puede demostrarse que la función de distribución
acumulativa beta se encuentra relacionada con la distribución binomial en la siguiente forma:
n
X n!
P (X < p) = Ip (α, β) = py (1 − p)n−y ,
y=α
(n − y)!y!
en donde n = α + β − 1 y 0 < p < 1. Si X es una variable aleatoria con una distribución beta con parámetros
α = 2 y β = 3, emplear la relación anterior para obtener P (X < 0.1), P (X < 0.25) y P (X < 0.5).
Respuesta.- Sea n = 2 + 3 − 1 = 4 entonces
Para P(X<0.1)
4
X 4!
P (X < 0.1) = I0.1 (α, β) = 0.12 (1 − 0.1)n−2 = 0.0523.
y=2
(4 − 2)2!
a=2
b=3
n=a+b-1
p = 0.1
61
sum=0
for(y in a:n){
sum = sum + ( factorial(n) / (factorial(n-y)*factorial(y) )*pˆ(y)*(1-p)ˆ(n-y))
}
sum
## [1] 0.0523
pbeta(p,a,b)
## [1] 0.0523
Para P(X<0.25)
4
X n!
P (X < 0.1) = I0.25 (α, β) = 0.252 (1 − 0.25)n−2 = 0.267188.
y=2
(n − 2)2!
a=2
b=3
n=a+b-1
p = 0.25
sum=0
for(y in a:n){
}
sum
## [1] 0.2617188
pbeta(p,a,b)
## [1] 0.2617188
Para P(X<0.5)
4
X n!
P (X < 0.1) = I0.5 (α, β) = 0.52 (1 − 0.5)n−2 = 0.6875.
y=2
(n − 2)2!
a=2
b=3
n=a+b-1
p = 0.5
sum=0
for(y in a:n){
}
sum
## [1] 0.6875
pbeta(p,a,b)
## [1] 0.6875
62
5.25.
Tomando como referencia el ejercicio anterior, determinar la probabilidad de que X tome un valor que se
encuentre dentro de un intervalo igual a una desviación estándar de la media y posteriormente, de un intervalo
igual a dos desviaciones estándar.
Respuesta.- Sean n = 3 + 2 − 1 = 4 y
α 3
= E(X) = = = 0.6
α+β 3+2
αβ 3·2
V ar(X) = = = 0.04, V ar(X) = 0.2
p
(α + β)2 (α + β + 1) (3 + 2)2 (3
+ 2 + 1)
alpha = 3
beta = 2
sqrt(alpha*beta/((alpha+beta)ˆ2*(alpha+beta+1)))
## [1] 0.2
P (0.6 − 0.2 < X < 0.6 + 0.2) = I0.8 (3, 2) − I0.4 (3, 2)
4 4
X n! X n!
= 0.82 (1 − 0.8)n−2 − 0.42 (1 − 0.4)n−2
y=2
(n − 2)2! y=2
(n − 2)2!
= 0.64.
beta=function(p,a,b){
sum=0
n=a+b-1
for(y in a:n){
}
return(sum)
}
beta(0.8,3,2)-beta(0.4,3,2)
## [1] 0.64
pbeta(0.8,3,2)-pbeta(0.4,3,2)
## [1] 0.64
Y para dos desviaciones estándar se tiene,
P (0.6 − 2 · 0.2 < X < 0.6 + 2 · 0.2) = I1 (3, 2) − I0.2 (3, 2)
4 4
X n! X n!
= 12 (1 − 1)n−2 − 0.22 (1 − 0.2)n−2
y=2
(n − 2)2! y=2
(n − 2)2!
= 0.9728.
63
beta=function(p,a,b){
sum=0
n=a+b-1
for(y in a:n){
}
return(sum)
}
beta(1,3,2)-beta(0.2,3,2)
## [1] 0.9728
pbeta(1,3,2)-pbeta(0.2,3,2)
## [1] 0.9728
5.26.
La proporción de unidades defectuosas en un proceso de fabricación es una variable aleatoria que se encuentra
aproximada por una distribución beta con α = 1 y β = 20.
a)
¿Cuál es el valor de la media y de la desviación estándar?
Respuesta.-
α 1
= E(X) = = = 0.04761905
α+β 1 + 20
αβ 1 · 20
V ar(X) = = = 0.002061431, V ar(X) = 0.04540298
p
(α + β)2 (α + β + 1) (1 + 20)2 (1 + 20 + 1)
alpha = 1
beta = 20
## [1] 0.04540298
b)
¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos sea mayor que un 10%? ¿Mayor que
un 15?.
Respuesta.-
64
Mayor que un 10%
Z x
tα−1 (1 − t)β−1 dt
P (X ≥ 0.1) = 1 − F (x; α, β) = 1 − Z0 1
tα−1 (1 − t)β−1 dt
0
Z 0.1
t1−1 (1 − t)20−1 dt
= 1 − F (0.1; 1, 20) = 1 − Z0 1 = 0.1215767.
t1−1 (1 − t)20−1 dt
0
bx = integrate(function(x) xˆ{1-1}*(1-x)ˆ{20-1},0,0.1)
b = integrate(function(x) xˆ{1-1}*(1-x)ˆ{20-1},0,1)
1-bx$value/b$value
## [1] 0.1215767
pbeta(0.1,1,20,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.1215767
Mayor a 15%
Z x
tα−1 (1 − t)β−1 dt
P (X ≥ 0.1) = 1 − F (x; α, β) = 1 − Z0
1
tα−1 (1 − t)β−1 dt
0
Z 0.15
t1−1 (1 − t)20−1 dt
= 1 − F (0.15; 1, 20) = 1 − Z 0
1 = 0.03875953.
t1−1 (1 − t)20−1 dt
0
1-bx$value/b$value
## [1] 0.03875953
pbeta(0.15,1,20,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.03875953
5.27.
Aproxime su respuesta al inciso b) del ejercicio anterior mediante el empleo de la aproximación normal dada
por la expresión
F (x; α, β) = FN (xu , 0, 1) − FN (zt ; 0, 1)
tal que
[β] − 0.5 − (α + β − 1)(1 − x)

zu = 1/2
,
[x(α + β − 1)(1 − x)]
65
(α + β − 1)(1 − x) + 0.5
zt = − 1/2
,
[x(α + β − 1)(1 − x)]
y [β] denota el entero más grande que no excesa a β.

Respuesta.- Sean p = 0.1,
[20] − 0.5 − (1 + 20 − 1)(1 − 0.1)

zu = 1/2
= 1.118034
[0.1(1 + 20 − 1)(1 − 0.1)]
y
(1 + 20 − 1)(1 − 0.1) + 0.5
zt = − 1/2
− 13.78909
[0.1(1 + 20 − 1)(1 − 0.1)]
P (X ≥ 1) = 1 − F (x; 1, 20)
= 1 − FN (1.118034; 0, 1) − FN (−13.78909, 0, 1)
= 0.1317762
a = 1
b = 20
x = 0.1
zu = (floor(b)-0.5-(a+b-1)*(1-x)) / ((x*(a+b-1)*(1-x))ˆ(1/2))
zt = -((a+b-1)*(1-x)+0.5)/((x*(a+b-1)*(1-x))ˆ(1/2))
1-(pnorm(zu)-pnorm(zt))
## [1] 0.1317762
Sean p = 0.15,
[20] − 0.5 − (1 + 20 − 1)(1 − 0.15)

zu = 1/2
= 1.565561
[0.15(1 + 20 − 1)(1 − 0.1)]
y
(1 + 20 − 1)(1 − 0.1) + 0.5
zt = − 1/2
= −10.95893
[0.1(1 + 20 − 1)(1 − 0.1)]
P (X ≥ 1) = 1 − F (x; 1, 20)
= 1 − FN (1.565561; 0, 1) − FN (−10.95893, 0, 1)
= 0.05872575.
a = 1
b = 20
x = 0.15
zu = (floor(b)-0.5-(a+b-1)*(1-x)) / ((x*(a+b-1)*(1-x))ˆ(1/2))
zt = -((a+b-1)*(1-x)+0.5)/((x*(a+b-1)*(1-x))ˆ(1/2))
1-(pnorm(zu)-pnorm(zt))
## [1] 0.05872575
5.28.
La comptencia en el mercado de una compañia de computadoras varía de manera aleatoria de acuerdo con
una distribución beta con α = 10 y β = 6.
66
a)
Graficar la función de densidad de probabilidad
Respuesta.-
curve(dbeta(x,10,6),xlim=c(0,1.3),col="blue",lwd=2,
xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad beta(x;10,6)")
Función de Densidad beta(x;10,6)
3.0
f(x)
1.5
0.0
0.0 0.4 0.8 1.2
b)
Encontrar la media y la desviación estándar.
Respuesta.-
α 10
= E(X) = = = 0.625
α+β 10 + 6
αβ 10 · 6
V ar(X) = = = 0.01378676, V ar(X) = 0.1174171.
p
(α + β)2 (α + β + 1) (10 + 6)2 (10 + 6 + 1)
alpha = 10
beta = 6
## [1] 0.1174171
c)
Obtener la probabilidad de que la competencia en el mercado sea menor que la media.
Respuesta.-
67
Z x
tα−1 (1 − t)β−1 dt
P (X ≤ 0.625) = F (x; α, β) = Z 0
1
tα−1 (1 − t)β−1 dt
0
Z 0.625
t10−1 (1 − t)6−1 dt
= F (0.625; 10, 6) = 0
Z 1 = 0.4826844.
t10−1
(1 − t) 6−1
dt
0
bx$value/b$value
## [1] 0.4826844
pbeta(0.625,10,6)
## [1] 0.4826844
d)
Encontrar la probabilidad de que la competencia en el mercado se encuentre dentro de una desviación estándar
de la media, y posteriormente de un intervalo igual a dos desviaciones estándar de la media.
Respuesta.- Para una desviación estándar se tiene, V ar(X) = 0.1174171 entonces
p
P (0.625 − 0.1174171 ≤ X ≤ 0.625 + 0.1174171) = F (X ≤ 0.7424171; 10, 6) − F (X ≤ 0.5075829; 10, 6)

Z 0.7424171
t10−1 (1 − t)6−1 dt
= 0
Z 1
t10−1 (1 − t)6−1 dt
0
Z 0.5075829
t10−1 (1 − t)6−1 dt
+ 0
Z 1
t10−1 (1 − t)6−1 dt
0
= 0.6692339.
pbeta(0.7424171,10,6) - pbeta(0.5075829,10,6)
## [1] 0.6692339
5.29.
Sea X una variable aleatoria con distribución gama con α = 2 y β = 50
68
a)
¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media?
Respuesta.- La media viene dada por E(X) = αθ = 2 · 50 = 100. Por lo tanto
P (X ≤ E(X)) = P (X ≤ 50 ∗ 2) = F (x; α, θ) = F (100, 2, 50)
γ(x/θ; α) γ(100/50; 2)
= =
Γ(α) Γ(2)
Z x/θ Z 2
α−1 −u
u e du u2−1 e−u du
= Z0 ∞ = Z 0∞
uα−1 e−u du u2−1 e−u du
0 0
= 0.5939942.
alpha=2
theta=50
x = 100
gammaI = integrate(function(u) (u)ˆ{alpha-1}*exp(-u),lower = 0, upper = x/theta)
gamma = integrate(function(u) (u)ˆ{alpha-1}*exp(-u),lower = 0, upper = Inf)
gammaI$value/gamma$value
## [1] 0.5939942
pgamma(100,2,scale = 50)
## [1] 0.5939942
b)
¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor de dos desviaciones estándar con respecto a la media?
√ √ √
Respuesta.- Sean E(X) = αθ = 2 · 50 = 100 y 2 V ar(X) = 2 αθ2 = 2 · 50 2 = 100 2, entonces
p
√
P (X ≥ E(X) + 2 = P (X ≥ 100 + 100 2)
p
V ar(X))
= F (x; α, θ)
√
γ(x/θ; α) γ 100+100 2
50 ;2
= =
Γ(α) Γ(2)
√
100+100 2
Z x/θ Z 50
α−1 −u
= Z0 ∞ = 0 Z ∞
0 0
= 0.04662213.
alpha=2
theta=50
69
x = 100+2*sqrt(2)*50
1-gammaI$value/gamma$value
## [1] 0.04662213
pgamma(100+2*sqrt(2)*50,2,scale = 50,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.04662213
c)
¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al de su moda?
Respuesta.- La moda viene dado por (α − 1)θ = (2 − 1)50 = 50, de donde
P (X ≤ M oda) = P (X ≤ 50) = F (x; α, θ) = F (50, 2, 50)
γ(x/θ; α) γ(50/50; 2)
= =
Γ(α) Γ(2)
Z x/θ Z 1
α−1 −u
= Z0 ∞ = Z 0∞
0 0
= 0.2642411.
alpha=2
theta=50
x = (alpha-1)*theta
## [1] 0.2642411
pgamma((2-1)*50,2,scale=50)
## [1] 0.2642411
5.30.
Sea X una variable aleatoria con distribución gama y α = 2 y θ = 100.
a)
Respuesta.-
curve(dgamma(x,2,scale = 100),xlim=c(0,750),col="blue",lwd=2,
xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad gama(x;2,100)")
70
Función de Densidad gama(x;2,100)
0.002
f(x)
0.000
0 200 400 600
b)
Encontrar la probabilidad de que, primero, X tome un valor dentro de un intervalo igual a una desviación
estándar de la media y, posteriormente, de un intervalo igual a dos desviaciones estándar de la media.
√ √
Respuesta.- Sean E(X) = αθ = 2 · 100 = 200 y V ar(X) = θ α = 100 2, entonces
p
√ √ √ √
P 200 − 100 2 ≤ X ≤ 200 + 100 2 = F 200 + 100 2; 2, 100 − F 200 − 100 2; 2, 100

√ √
200 + 100 2 200 − 100 2

γ ;2 γ ;2
100 100
= −
Γ(2) Γ(2)
√ √
Z 200+100 2 Z 200−100 2
100 100
u2−1 e−u du u2−1 e−u du
= 0 Z ∞ − 0 Z ∞
0 0
= 0.7375188.
pgamma(2*100+100*sqrt(2),2,scale = 100) - pgamma(2*100-100*sqrt(2),2,scale = 100)
## [1] 0.7375188
71
√
Por otro lado sea 2 V ar(X) = 200 2, entonces
p
√ √ √ √
P 200 − 200 2 ≤ X ≤ 200 + 200 2 = F 200 + 200 2; 2, 100 − F 200 − 200 2, 2, 100

√ √
200 + 200 2 200 − 200 2

γ ;2 γ ;2
100 100
= −
Γ(2) Γ(2)
√ √
Z 200+200 2 Z 200−200 2
100 100
= 0 Z ∞ − 0 Z ∞
0 0
= 0.9533779.
## [1] 0.9533779
c)
¿Cómo cambiarian sus respuestas a la parte b) si θ = 200?
√ √
Respuesta.- Sean E(X) = αθ = 2 · 200 = 400 y V ar(X) = θ α = 200 2, entonces
p
√ √ √ √
P 400 − 200 2 ≤ X ≤ 400 + 200 2 = F 400 + 200 2; 2, 200 − F 400 − 200 2; 2, 200

√ √
400 + 200 2 400 − 200 2

γ ;2 γ ;2
200 200
= −
Γ(2) Γ(2)
√ √
Z 400+200 2 Z 400−200 2
200 200
2−1 −u
= 0 Z ∞ − 0 Z ∞
2−1 −u
0 0
= 0.6644504.
## [1] 0.6644504
√
Por otro lado sea 2 V ar(X) = 400 2, entonces
p
72
√ √ √ √
P 400 − 400 2 ≤ X ≤ 400 + 400 2 = F 400 + 400 2; 2, 200 − F 400 − 400 2; 2, 200

√ √
400 + 400 2 400 − 400 2

γ ;2 γ ;2
200 200
= −
Γ(2) Γ(2)
√ √
Z 400+400 2 Z 400−400 2
200 200
= 0 Z ∞ − 0 Z ∞
0 0
= 0.9993181.
## [1] 0.9993181
5.31.
La edad a la que un hombre contrae matrimonio por primera vez es una variable aletoria con distribución
gama. Si la edad promedio es de 30 años y lo más común es que el hombre se case a los 22 años, encontrar
los valores de los parámetros α y θ, apra esta distribución.
Respuesta.- Sea E(X) = αθ = 30 y moda = (α − 1)θ, entonces
= 30 30

αβ
⇒ α= , β=8
(α − 1)β = 22 8
3.32.
La información que a continuación se presenta es una tabulación parcial de la función gama incompleta tal
como se encuentra definida por I(u, p) = F (x; α, θ) para α = 16
u I(u, 15)
2.0 0.0082
2.5 0.0487
3.0 0.1556
3.5 0.3306
4.0 0.5333
4.5 0.7133
5.0 0.8435
5.5 0.9231
6.0 0.9656
6.5 0.9858
7.0 0.9946
Para θ = 10, comparar estas probabilidades con las que se proporcionaron al emplear una aproximación
normal.
√ x √
Respuestas.- Sean µ = E(X) = 16 · 10 = 160, σ = V ar(X) = 16 · 102 = 40 y u = √ ⇒ x = u · θ α,
p
θ α
entonces
73
u = c(2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7)
for(i in u){
x=i*10*sqrt(16)
print(pnorm(x,160,40))
}
## [1] 0.02275013
## [1] 0.0668072
## [1] 0.1586553
## [1] 0.3085375
## [1] 0.5
## [1] 0.6914625
## [1] 0.8413447
## [1] 0.9331928
## [1] 0.9772499
## [1] 0.9937903
## [1] 0.9986501
u I(u, 15) F (x; µ, σ)
2.0 0.0082 0.02275013

2.5 0.0487 0.0668072
3.0 0.1556 0.1586553
3.5 0.3306 0.3085375
4.0 0.5333 0.5
4.5 0.7133 0.6914625
5.0 0.8435 0.8413447
5.5 0.9231 0.9331928
6.0 0.9656 0.9772499
6.5 0.9858 0.9937903
7.0 0.9946 0.9986501
5.33.
Mediante el empleo de la función generadora de momentos de la distribución gama, encontrar expresiones
para la media y la varianza.
Respuesta.-; La función generadora de momentos para la variable aleatoria gama X está dada por:
1 x
Z
1−θt
E[etX ] = xα−1 e− θ dx.
Γ(α)θα 0

(1−θt)x uθ θ
Sea u = , x= y dx = du, entonces:
θ 1 − θt 1 − θt
Z ∞ α−1 α−1
1 u θ θ
= e−u
tX
E e du
Γ(α)θθ 0 (1 − θt)α−1 1 − θt
∞
1
Z
= uα−1 e−y du
Γ(α)(1 − θt)α 0
1
= (1 − θt)−α , 0≤t< .
θ
74
Sacando la primera y segunda derivada tenemos
dE[etX ]

= −α(1 − θt)−α−1
· (−θ) = αθ = E[X].

dt
t=0 t=0
d2 E[etX ]

= −α(−α − 1)(1 − θt) −α−2
(−θ)(−θ) = α2 θ2 + αθ2 = E[X 2 ]

dt2
t=0 t=0
Por lo tanto ya que σ = V ar(X) = E[X 2 ] − E[X]2 , entonces
V ar(X) = α2 θ2 + αθ2 − (αβ)2 = αβ 2 .
5.34.
La duración de cierto componente es una variable aleatoria con distribución gama y parámetro α = 2.
a)
Obtener la función de confiabilidad.
Respuesta.- La función es está dada por
∞ ∞
λα λ2
Z Z
R(t) = α−1 −λt
t e dt = t2−1 e−λt dt
Γ(α) t Γ(2) t
b)
Para θ = 20, obtener la frecuencia de falla y graficarla como una función de t.
1 1
Respuesta.- Sea λ = = , entonces
θ 20
1 Z
∞ ∞ Z ∞
λα 1
Z
dt = 20
2 1 1
R(t) = t α−1 −λt
e t2−1 e− 20 t dt = 2 t2−1 e− 20 t dt
Γ(α) t Γ(2) t 20 Γ(2) t
F <- function(a) {
return((1/(20ˆ2*integrate(function(x) (x)ˆ{alpha-1}*exp(-x),
lower = 0,
upper = Inf)$value))*integrate(function (x) xˆ(2-1)*exp(-1/20*x),a,Inf
}
x<-c()
for (i in seq(0,50,.01)) {
x<-c(x,F(i))
}
plot(seq(0,50,.01),x,xlab = "x", ylab="Density")
75
0.9
Density
0.6
0.3
0 10 20 30 40 50
c)
Si θ = 20. ¿Cuál es la confianza del componente en t = 80?
Respuesta.-
1 Z
∞
R(t) = 20
2 1
202−1 e− 20 t dt
Γ(2) 20
## 5.35 Para armar un artículo se necesita cuatro etapas. Si el tiempo total necesario para armar un
artículo en horas, es una variable aleatoria con distribución gama y parámetro de escala θ = 2. ¿Cuál es la
probabilidad de armar un artículo en menos de 15 horas?
Respuesta.- Sea α = 4, entonces
P (X ≤ 15) = = F (15, 4, 2)
γ(x/θ; α) γ(15/2; 4)
= =
Γ(α) Γ(4)
15
Z x/θ Z 2
α−1 −u
= Z0 ∞ = Z0 ∞
0 0
= 0.2642411.
alpha=4
theta=2
x = 15
## [1] 0.9408545
pgamma(15,4,scale=2)
## [1] 0.9408545
76
5.36.
Sea X una variable aleatoria con distribución de Weibull y parámetros α = 2 y θ = 20.
a)
Respuesta.-
curve(dweibull(x,2,scale = 20),xlim=c(0,65),col="blue",lwd=2,
xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad Weibull(x;2,20)")
Función de Densidad Weibull(x;2,20)

0.04
f(x)
0.02
0.00
0 10 20 30 40 50 60
b)
Obtener la probabilidad de que X tome un valor mayor que la media.
Respuesta.- Sea la media
Z ∞
1

E(X) = θΓ 1 + = 20 u1/2 e−u du = 17.72453
α 0
int = integrate(function(u) uˆ(1/2)*exp(-u),lower = 0, upper = Inf)

20*int$value
## [1] 17.72453
Entonces,
h α
i α
P (X ≥ E(X)) = 1 − P (X ≤ E(X)) = 1 − F (E(X); α, θ) = 1 − 1 − e−(E(X)/θ) = e−(E(X)/θ)
2
P (X ≥ 17.72453) = e−(17.72453/20) = 0.4559385.

EX=20*int$value
exp(-(EX/20)ˆ2)
## [1] 0.4559385
77
pweibull(EX,2,scale = 20,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.4559385
c)
Obtener la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre en un intervalo igual a una desviación
estándar y después en un intervalo a dos desviaciones estándar de la media.
Respuesta.- Sea la la desviación estándar como se detalla a continuación
s Z ∞ Z ∞
V ar(X) = 202 du = 9.265045.
p
u2/2 e−u du − u1/2 e−u
0 0

int1 = integrate(function(u) uˆ(1/2)*exp(-u),lower = 0, upper = Inf)
sqrt(20ˆ2*(int$value-(int1$value)ˆ2))
## [1] 9.265045
Entonces,
2
P (X ≤ 9.265045) = F (9.265045; 2, 20) = 1 − e−(9.265045/20) = 0.193138.
1-exp(-(9.265045/20)ˆ2)
## [1] 0.193138
Luego sean E(X) = 17.72453 y 2 V ar(X) = 2 ∗ 0.193138 = 0.386276, entonces
p
P (17.72453 − 0.386276 ≤ X ≤ 17.72453 + 0.386276) = F (17.63158; 2, 20) − F (16.85902; 2, 20)
2
h 2
i
= 1 − e−(17.63158/20) − 1 − e(16.85902/20)
= 0.03166598.
1-exp(-(17.63158/20)ˆ2)-(1-exp(-(16.85902/20)ˆ2))
## [1] 0.03166598
pweibull(17.63158,2,scale=20) - pweibull(16.85902,2,scale=20)
## [1] 0.03166598
5.37.
El tiempo de duración de un sistema se encuentra aproximado por una distribución Wiebull con α = 2 y
θ = 50.
78
a)
Obtener la media y los deciles de esta distribución.
1

Respuesta.- Sea E(X) = θΓ 1 + , entonces
α
Z ∞ Z ∞
1 1
E(X) = 50 u1+ α −1 e−u du = 50 u α e−u du = 44.31132.
0 0
50*integrate(function(u) uˆ(1/2)*exp(-u), lower = 0, upper = Inf)$value
## [1] 44.31132
1−α
1

Los deciles estan dados por xq = θ ln , entonces
1−q
1/2
1

x0.1 = 50 ln = 16.22964.
1 − 0.1
50*((log(1/(1-0.1))))ˆ(1/2)
## [1] 16.22964
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 23.61904.
1 − 0.2
50*((log(1/(1-0.2))))ˆ(1/2)
## [1] 23.61904
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 29.86113.
1 − 0.3
50*((log(1/(1-0.3))))ˆ(1/2)
## [1] 29.86113
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 35.73603.
1 − 0.4
50*((log(1/(1-0.4))))ˆ(1/2)
## [1] 35.73603
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 41.62773.
1 − 0.5
50*((log(1/(1-0.5))))ˆ(1/2)
## [1] 41.62773
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 47.86154.
1 − 0.6
79
50*((log(1/(1-0.6))))ˆ(1/2)
## [1] 47.86154
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 54.86285.
1 − 0.7
50*((log(1/(1-0.7))))ˆ(1/2)
## [1] 54.86285
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 63.43181.
1 − 0.8
50*((log(1/(1-0.8))))ˆ(1/2)
## [1] 63.43181
1/2
1

x0.2 = 50 ln = 75.87136.
1 − 0.9
50*((log(1/(1-0.9))))ˆ(1/2)
## [1] 75.87136
b)
Obtener la confiabilidad de este sistema en t = 75.
Respuesta.-
α 2
P (X ≥ 75) = 1 − (1 − e−(x/θ) ) = 1 − (1 − e−(75/50) ) = 0.1053992.
exp(-(75/50)ˆ2)
## [1] 0.1053992
pweibull(75,2,scale=50,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.1053992
5.38.
Un sistema está formado por dos componentes independientes A y B. El sistema permanecerá operando
mientras uno o ambos componentes funcionen. Si el tiempo de vida de la componente A es una variable
aleatoria de Weibull con α = 1/2 y θ = 10, y si el tiempo de vida de B es también una variable de Weibull
con α = 2 y θ = 12. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje más de 20 horas?.
Respuesta.- Sabiendo que A y B son independientes entonces,
PA (X ≥ 20) + PB (X ≥ 20) = 1 − 1 − e−( 10 ) + 1 − 1 − e−( 12 ) = e−( 10 ) + e−( 12 ) = 0.3052933.

20 1/2 20 2 20 1/2 20 2
h i h i
exp(-(20/10)ˆ(1/2))+exp(-(20/12)ˆ2)
## [1] 0.3052933
80
pweibull(20,1/2,scale=10,lower.tail=FALSE) + pweibull(20,2,scale=12,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.3052933
5.39.
Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor que la media?
Respuesta.- La media viene dado por E(X) = θ, de donde la probabilidad de que X tome un valor mayor a
la media vendrá dado por,

P (X ≥ E(X)) = F (θ; θ) = 1 − 1 − e−θ/θ = e−1 = 0.3678794.
exp(-1)
## [1] 0.3678794
b)
¿Cuáles son las probabilidades de que X tome un valor que se encuentre en un intervalo igual a una desviación
estándar, primero y en un intervalo igual a dos desviación estándar de la media?
√
Respuesta.- Sea E(X) = θ y V ar(X) = θ2 = θ, entonces
p

P (θ − θ ≤ X ≤ θ + θ) = F (2; X) − F (0; X) = 1 − e−2θ/θ − 1 − e−0/θ = −e−2 + e−1 = 0.2325442.
exp(-1)-exp(-2)
## [1] 0.2325442
5.40.
Si la frecuencia con que falla un componente es constante y la confiabilidad de este tiene un valor en t = 55
de 0.4,
a)
Obtener la función de densidad de probabilidad
1
Respuesta.- Sean la función de confiabilidad R(55) = 0.4 y la frecuencia de falla h(t) = , entonces la función
θ
de densidad será,
1 0.4
f (55) = · 0.4 = .
θ θ
b)
Obtener la confiabilidad del componente para t = 100.
Respuesta.- Sea R(t) = e−t/θ = 0.4 y sea t = 55, entonces
−55
θ= = 60.02.
ln(0.4)
81
De donde la confiabilidad vendrá dada por

P (T > 100) = 1 − F (100) = 1 − 1 − e−100/60.02 = 0.1889805.
exp(-100/60.02)
## [1] 0.1889805
5.41.
Un dispositivo tiene una frecuencia de falla constante h(t) = 10−2 por hora.
a)
¿Cuál es la confiabilidad del dispositivo para t = 200 horas?
1 1
Respuesta.- Sea h(t) = ⇒ θ = −2 = 100, entonces la función de densidad de probabilidad viene dada
θ 10
por,
1 −200/100
f (t) = e = 0.001353353.
100
Así la confiabilidad del dispositivo será,
R(t) = f (t)/h(t) = 0.001353353/10−2 = 0.1353353.
b)
Si 500 de estos dispositivos fallan de manera independiente, ¿cuál es el número esperado de fallas entre estos,
después de 200 horas?
Respuesta.-; Estará dado por: 500(1 − 0.1353353) = 432.3324 = 433.
5.42.
El compresor de una unidad de aire acondicionado tiene una frecuencia de falla h(t) = 2 · 10−8 t por hora.
a)
¿Cuál es la función de confiabilidad del compresor?
Respuesta.- Sea la función de confiabilidad R(t) = f (t)/h(t), de donde
Rt Rt
− h(t) dt − 2·10−8 t dx
f (t) = h(t)e 0 = 2 · 10−8 · e 0
entonces,
Rt
−8 − 2·10−8 t dx
2 · 10 e 0
Rt
− 2·10−8 t dx
R(t) = =e 0 .
2 · 10−8
82
b)
¿Cuál es la confiabilidad del compresor para t = 15000 horas?
Respuesta.-
Rt R 15000
− 2·10−8 t dx − 2·10−8 15000 dx −4
R(t) = e 0 =e 0 = e−6·10 = 0.9994002.
c)
¿Cuál es la vida media del compresor?
1
Respuesta.- Sea la frecuencia de falla h(x) = , y sabiendo que E(X) = θ, entonces
θ
1 1
E(X) = θ = = = 5 · 107 .
h(t) 2 · 10−8
d)
¿Cuál es la mediana de su duración?
Respuesta.- La mediana viene dada por el valor cuantil con α = 1,
1/α 1
1 1

x0.5 = θ ln = 5 · 107 ln = 34657359.
1−q 1 − 0.5
5*10ˆ7 * (log(1/(1-0.5)))
## [1] 34657359
5.43.
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (0, 1). Demostrar que la variable
aleatoria Y = −2 ln(X) tiene distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad.
Respuesta.- Notemos que y = −2 ln(x) es una función decreciente en el intrevalo [0, 1]. Luego la relación
inversa es,
x = e−y/2
De donde el Jacobiano estará dado por
dx 1 −y/2 1

2
=− e = 2 −1 e−y/2
dy 2 Γ(2/2) · 2 22 y
Así,
dx 1 1 1
fY (y; a, b) = fX e−y/2 , b, a = · y 2/2−1 e−y/2 = y 2/2−1 e−y/2
dy 1 − 0 Γ(2/2) · 22/2 Γ(2/2) · 22/2
5.44.
Si X es una variable aleatoria con una distribución exponencial y parámetros θ, obtener la distribución de
X −θ
Y = .
θ
83
1 −x/θ
Respuesta.- Sea f (x; θ) = e una distribución exponencial. De donde
θ

dx
fY (y; θ) = fX g (y); θ .
−1
dy
Por hipotesis
x−θ
y= ⇒ x = θy + θ.
θ
y

dx
=θ
dy
Por lo tanto
1 − θy+θ θy+θ
fY (y; θ) = e θ · θ = e− θ .
θ
5.45.
Si X es una variable aleatoria con una distribución de Weibull y parámetros α y θ obtener la distribución de
Y = X α.
α α
Respuesta.- Sea α xα−1 e−(x/θ) la distribución de Weibull. De donde
θ

dx
fY (y; α, θ) = fX g (y); α, θ .
−1
dy
Por hipótesis,
y = xα ⇒ x = y 1/2
y
dx 1 −1/2

= y
dy 2
Por lo tanto,
α (1/2)α−1 −[(y1/2 )/θ]α 1 −1/2

fY (y; α, θ) = y e · y
θ 2
5.46.
Seleccione una distribución de probabilidad discreta y una continua de la sección 5.9 y generar dos muestras
aleatorias de 50 números aleatorios cada una. Para cada caso agrupe los datos y obtenga las frecuencias
relativas. Calcule la media y la desviación estándar de cada una de las muestras y compare los resultados con
los que se obtienen de manera teórica.
Respuesta.- La función de densidad de probabilidad de una distribución Weibull es:
α α−1 −(x/θ)α
f (x; α, θ) = x e , x > 0.
θα
84
Para generar números aleatorios de Weibull x > 0, se resuelve la ecuación
Z x α θα
α α−1 −(t/θ)α α
α
t e dt = u ⇒ α
− e−(x/θ) = u
θ 0 θ α
1/α
1

α
o 1 − e−(x/θ) = u, y x = θ ln .
1−u
Dado que para α = 1, la distribución de Weibull se reduce a la exponencial, donde pueden generarse números
aleatorios para una distribución.
E(X) = θ
V ar(X) = θ2
u=runif(50,min=0,max=1)
theta=4
alpha=1
x = c()
for (i in u){
x=c(x,theta*(log(1/(1-i)))ˆ(1/alpha))
}
freq = transform(table(cut(x, breaks = 7)))
freq["Frec_rel"] = freq$Freq/length(x)
freq
## Var1 Freq Frec_rel

## 1 (0.134,2.68] 23 0.46
## 2 (2.68,5.21] 14 0.28
## 3 (5.21,7.75] 9 0.18
## 4 (7.75,10.3] 2 0.04
## 5 (10.3,12.8] 1 0.02
## 6 (12.8,15.3] 0 0.00
## 7 (15.3,17.9] 1 0.02
mean(x)
## [1] 3.579357
sd(x)
## [1] 3.304654
Esto también es válido para la distribución Poisson.
85
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George Canavos, Probabilidad y estadística aplicaciones y métodos. Problemas

Article · February 2022

Christian Limbert Paredes Aguilera

Cálculo View project

Startup View project

The user has requested enhancement of the downloaded file.

Por: Christian Paredes Aguilera (Fode)

## [1] 0.04978707 0.19914827 0.42319008 0.64723189 0.81526324 0.91608206 0.96649146

## Warning: Ignoring unknown parameters: width

sea la función de densidad de probabilidad de X.

integrate(function(x) 3/2*xˆ2, lower = -1, upper = 1)

## 1 with absolute error < 1.1e-14

## 0.125 with absolute error < 1.4e-15

Luego igualando a uno,

## 1 with absolute error < 2e-07

## 0.6321206 with absolute error < 7e-15

## 0.7981035 with absolute error < 8.9e-15

## 0.8646647 with absolute error < 9.6e-15

F (x) = 2x − x2 0 < x < 1

encontrar E(x) y V ar(X)

2(1 − x) 0 < x < 1

## 0.3333333 with absolute error < 3.7e-15

## 0.1666667 with absolute error < 1.9e-15

func <- function(x) 1/10 * x

## 5 with absolute error < 5.6e-14

## 33.33333 with absolute error < 3.7e-13

## 1.204593e-15 with absolute error < 3.5e-13

## 8.333333 with absolute error < 9.3e-14

de donde tenemos µ4 de la siguiente manera

func4 <- function(x) 1/10 * (x-5)ˆ4

## 125 with absolute error < 1.4e-12

Donde nos dice que la distribución presenta un pico relativamente alto

## 4 with absolute error < 1.2e-05

func <- function(x) 1/4*(x-4)ˆ2*exp(-x/4)

## 16 with absolute error < 0.00051

func <- function(x) 1/4*(x-4)ˆ3*exp(-x/4)

## 128 with absolute error < 0.00029

func <- function(x) 1/4*(x-4)ˆ4*exp(-x/4)

## 2304 with absolute error < 0.0025

EX <- function(x) 2*(1/5)ˆ(1/2)*x + 70-125*(1/5)ˆ(1/2)

V ar(X) + (E(X) − c)2 = σ 2 + (µ − c)2

fx = function(x) ((x-4)/4) * 1/4 * exp( -x/4 )

## -5.632717e-13 with absolute error < 3e-06

fx = function(x) 1/64 * (x-4)ˆ2 * exp(-x/4)

## 1 with absolute error < 3.2e-05

f <- function(x) abs(x-1/3)*2*(1-x)

## 0.1975309 with absolute error < 5e-06

## 2.5 with absolute error < 2.8e-14

integrate(function(x) 1/800*x*exp(-x/800), lower = 0, upper = Inf)

## 800 with absolute error < 0.034

=⇒ x0.25 = −800 · ln(0.25) = 1109.03548

F (x0.75 ) = −800 · ln(0.75) = 230.14565

=⇒ x0.1 =⇒ x0.1 = −800 · ln(0.1) = 1842.068

F (x0.9 ) = −800 · ln(0.9) = 84.2884

x0.9 − x0.1 = |84.2884 − 1842.068| = 1757.78

integrate(function(x) 1/800*exp(-x/800), lower = 0, upper = 800)

## 0.6321206 with absolute error < 7e-15

func <- function(x) 1/4(x-4)ˆ2exp(-x/4)

func <- function(x) 1/4(x-4)ˆ3exp(-x/4)

func <- function(x) 1/4(x-4)ˆ4exp(-x/4)

EX <- function(x) 2(1/5)ˆ(1/2)x + 70-125*(1/5)ˆ(1/2)

f <- function(x) abs(x-1/3)2(1-x)

integrate(function(x) 1/800xexp(-x/800), lower = 0, upper = Inf)

pgamma(2100+100sqrt(2),2,scale = 100) - pgamma(2100-100sqrt(2),2,scale = 100)

pgamma(2100+200sqrt(2),2,scale = 100) - pgamma(2100-200sqrt(2),2,scale = 100)

pgamma(2200+200sqrt(2),2,scale = 100) - pgamma(2200-200sqrt(2),2,scale = 100)

pgamma(2200+400sqrt(2),2,scale = 100) - pgamma(2200-400sqrt(2),2,scale = 100)

50integrate(function(u) uˆ(1/2)exp(-u), lower = 0, upper = Inf)$value