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Guía 1 Los Numeros Enteros Z Tema 1 2do Lapso 1er Año A-B-C
Guía 1 Los Numeros Enteros Z Tema 1 2do Lapso 1er Año A-B-C
Guía 1 Los Numeros Enteros Z Tema 1 2do Lapso 1er Año A-B-C
Correo: ernedelnogal11@gmail.com
El conjunto de los números enteros surge como una necesidad de llenar algunos vacíos que
existían al trabajar con los naturales: resolver sustracciones donde el minuendo es menor que el
sustraendo, expresar la pérdida de dinero en un negocio, señalar temperaturas bajo cero, indicar
las profundidades bajo el nivel del mar, entre otros. El hombre visto en la imposibilidad de
realizar algunas restas, crea el conjunto de los números negativos, los que en su principio se
conocían como <<números deudos>> o <<números imposibles >>. Por otro lado, el número 0
apareció en Mesopotamia hacia el siglo III AC, ubicándolo como un dígito sin contenido, una
referencia para diferenciar las cantidades positivas (a la derecha del cero) de las negativas (a la
izquierda del cero). Es así que el conjunto de los números enteros por extensión puede
escribirse como:
Contenido
Multiplicación en Z.
Propiedades de la multiplicación en Z
División en Z
Operaciones combinadas de multiplicación y división en (Z).
Ecuaciones en Z
Multiplicación en (Z).
Ejemplo: 3 ∙ 4 = 12 5 ∙ 4 = 20
� ∙ ( − �) = − (� ∙ �)
En productos de números enteros, se comporta de igual manera que para el conjunto de los
números naturales, con la única diferencia que además de multiplicar los términos hay que
multiplicar también los signos.
Recuerda:
Ejemplos:
1) −3 ∙ −5 =+ 15
2) 3 ∙ −8 =− 24
3) −4 ∙ 3 ∙ −5 =+ 60
4) −4 ∙ 3 ∙ −5 ∙ −2 =− 120
Ejemplo:
(−3) ∙ 2 = 2 ∙ (−3)
−6 = −6
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Cualquier número entero multiplicado por uno (1) es igual a dicho número.
Ejemplo:
(−3) ∙ 1 = 1 ∙ (−3)
−3 = −3
Cualquier número entero multiplicado por cero (0) es igual a cero (0).
a) 0∙ −45 =0
b) −97 ∙0=0
Propiedad distributiva.
� ∙ (� + �) = � ∙ � + � ∙ �
Donde �, � � � son números enteros.
�) (−3) ∙ (4 – 5 + 7 + 1)
Solución:
División en (Z).
Igual que en el producto, en la división se debe tomar en cuenta el signo de los términos.
Así.
Signos de factores Signos de productos
+÷+ +
−÷+ −
+÷− −
−÷− +
Ejemplo:
( − 15) ÷ 3 = − 5
( − 96) ÷ ( − 12) = 8
Para hallar el cociente exacto de dos números enteros, se dividen los valores absolutos de los
números enteros; si el dividendo y divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el
dividendo y el divisor tienen diferentes signos, el cociente es negativo.
Ejemplo.
+48 −48
a) = +4 b) = +4
+12 −12
El cociente de una suma o resta entre un número entero distinto de 0 es igual a la suma
o resta de los cocientes de cada sumando entre el número entero, es decir, si a, b, c
pertenece a Z; y c es diferente de cero (0); entonces:
(� + �) ÷ � = � ÷ � + � ÷ �
(� − �) ÷ � = � ÷ � − � ÷�
Ejemplo:
Resolver una ecuación de primer grado consiste en hallar el valor, para el cual satisface la
expresión. Para resolver ecuaciones lo haremos agrupando términos semejantes. En un
miembro agrupamos los términos que contienen la variable y en el otro miembro los términos
independientes.
Ejemplo:
5� – 6 = 24
Como el 6 está negativo pasa al otro miembro de la igualdad con el signo positivo
5 = 24 + 6
30
�= =6
5
Resolución de ecuaciones de primer grado con producto indicado
Ejemplo 1:
4(� − 3) + 36 = 64 − 2(� + 2)
4� − 12 + 36 = 64 − 2� − 4
4� + 2� = 64 − 4 + 12 − 36
6 = 36; =6
Ejemplo 2:
Resolver la ecuación:
10 ∙ � − 9 − 9 ∙ 5 − 6� = 2 ∙ 4� − 1 + 5 ∙ (1 + 2�)
� + 2� + 3� = 72
72
�= = 12
6
2) Entre José y Gustavo tienen 81 Bs. Si José pierde 36 Bs, el doble de lo que le queda equivale
al triple de lo que tiene Gustavo ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?
Solución:
�: Número de Bs que tiene José
81 − �: Número de Bs que tiene Gustavo
Si José pierde 36 Bs, se queda con Bs(� − 36) y el doble de esta cantidad 2 ∙ (� − 36)
equivale al triple de lo que tiene Gustavo ahora, es decir, al triple de 81 − �; luego, tenemos
la ecuación:
� ∙ � − �� = � ∙ �� − �
Resolviendo:
2� − 72 = 243 − 3�
2� + 3� = 243 + 72
5� = 315
315
�= = 63 Bs, lo que tiene José
5
81 − � = 81 − 63 = 18 Bs, lo que tiene Gustavo
3) La suma de dos números impares consecutivos es igual a 92. Determina los dos números
Solución:
Identificar la incógnita:
X: es el número desconocido
Plantear la ecuación:
2� + 1 + 2� + 3 = 92
Resolver:
2� + 1 + 2� + 3 = 92
4� + 4 = 92
4� = 88
88
�= = 22
4
4) Hace 3 años, la edad de Raúl era el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tiene
Raúl?
� − 3 = 2 ∙ (� − 5)
Resolvemos la ecuación:
� − 3 = 2 ∙ (� − 5)
� − 3 = 2� − 10
� − 2� =− 10 + 3
Edad de Ernesto: y
Edad de Irene (doble de la edad de Ernesto): 2y
Luego:
� + 2� = 27; 3� = 27.
Al despejar y:
27
�= =9
3
Operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división con signo
de agrupación.
Ejemplo:
Ejercicios propuestos
a) 3 + � = 14 − 1
b) 2 ∙ (� − 3) = 6
c) 4 − � = 10 − 6
d) 4 ∙ (� − 3) + 36 = 64 − 2 ∙ (� + 2)
e) 5 ∙ [� + (−12)] = −10
Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones:
Debemos tener presente que, el hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo,
creó lo que se conoce como números naturales. Sin embargo, estos números no le fueron
suficientes para representar algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras.
Por ejemplo, si hablamos de temperatura y queremos compararla en una región calurosa
donde su temperatura alcanza 44°c con una zona de la antártica que, en épocas de invierno,
alcanza 60°c (-60) bajo cero o, las pérdidas o los años transcurridos antes y después de
Cristo.
Por ello, los Números Enteros, Son aquellos que nos permiten comparar diversas cantidades,
son la base de los otros números y nos sirven para contar. Como se puede ver son los
números enteros mediante su representación positiva y negativa nos ayudan a ubicar
cantidades en el tiempo y el espacio, así como profundidades del mar y temperaturas
inferiores a cero.
Bibliografía.
González L. (2000). Matemática 7ºgrado cuaderno ejercicio. Actualidad escolar
Bracho E.S. y Cepeda D. (2007). Matemática 7º. Santillana.
Almodóvar J. (2005) La enciclopedia del estudiante. Santillana.
Baldor A. (1978). Algebra. Cultura centroamericana, S.A.
Navarro E. (1912). Matemática 7mo Grado. Ediciones, E. N. V, C.A.