Libro de Mate Revisar PDF
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FONDO
W1 VERS1TAW0
PROLOGO
el contenido.
CAPITULO I
CAPITULO II
FUNCIONES Y RELACIONES 39
2.1 Introducción 39
2.2 Coordenadas rectangulares 39
2.3 Relaciones 45
2.4 Funciones 46
2.5 Gráfica de una función 51
2.6 Algebra de funciones . .58
CAPITULO III
FUNCIONES LINEALES 63
3.1 Definición 63
3.2 Inclinación y pendiente de la recta 65
3.3 Ecuaciones de la forma a x + b = 0 71
3.4 Ecuaciones lineales en una variable que
contienen fracciones 74
3.5 Problemas que conducen a ecuaciones
lineales en una variable
CAPITULO IV
LINEALES
4.1 Sistema de ecuaciones lineales con dos ^ OPERACIONES CON FRACCIONES
variables ' ALGEBRAICAS
4.2 Métodos para resolver un sistema de ecuaciones ^
lineales con dos variables
4.3 Sistema de ecuaciones lineales con tres ^
variables
.105
Respuestas a problemas impares
116
Bibliografía
3.5 Problemas que conducen a ecuaciones
lineales en una variable
CAPITULO IV
LINEALES
4.1 Sistema de ecuaciones lineales con dos ^ OPERACIONES CON FRACCIONES
variables ' ALGEBRAICAS
4.2 Métodos para resolver un sistema de ecuaciones ^
lineales con dos variables
4.3 Sistema de ecuaciones lineales con tres ^
variables
.105
Respuestas a problemas impares
116
Bibliografía
k
CAPITULO I
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.1 INTRODUCCION
1.2 FRACCIONES
Definiciones
* L a p o s i c i ó n de la l í n e a d e f r a c c i ó n , p u e d e ser h o r i z o n t a l o i n c l i n a d a . U s a r e m o s la po-
sición horizontal.
2. Sib^O y c^O entonces
Si consideramos las fracciones
3 * 4x 2 , x 2 - 5x + 6 a _ a-c a _ a c
2wz 3 b b-c b b -í- c
~X ' "x7 '
4 , xy , 2wz , x—3 4. Si a 0, m £ N, n £ N
am
1.3 REDUCCION A TERMINOS MINIMOS entonces —- = am — n
an
Hay fracciones que pueden ser expresadas en forma simple,
reduciendo a la unidad todos los factores comunes en el numera- El cociente de potencias de una misma base, es igual a la mis-
dor y denominador, proceso conocido como reducción de una ma base, elevada a una potencia que es la resta de los exponentes
fracción a su más simple expresión. de las potencias dadas.
Otras fracciones no admiten simplificación, por no ser facto- 5. Si a 0 entonces es el inverso multiplicativo de a
rizables sus términos, o por no contener factores comunes, enton-
ces se dice que son irreducibles. 1
6. Si a 0 entonces a =
Una fracción queda reducida a su forma más simple, cuando
el numerador y denominador no contienen más factores comunes
Todo número multiplicado por su inverso multiplicativo, es
que 1 y — 1
igual a la unidad.
La reducción a términos mínimos se apoya en los siguientes
7. 4"= a
PRINCIPIOS BASICOS
Si a 0 y b g t O entonces JL . JL = J_
10. Si a * 0, b # 0 entonces el inverso multiplicativo de
a b ab
a b
—— es —
b a Demostración:
ab ( - L \ = 1 inverso multiplicativo
TEOREMAS BASICOS \ab/
Teorema 1.
( 1 . 1 1 1 a h l—»I = 1 | — .1) Multiplicación para la igualdad
a b/L \ab/J U b)
- y y
Kl_ a\/_l_ _JL _ i ( ^ . 1 \ Conmutatividad y asociativi-
Demostración: a /\b / J ab Va b/ dad para la multiplicación.
—x _ x Proposición dada
- y ~ y (1) (1) _L = 1 ( J L . _L\ Inverso multiplicativo,
ab \a b/
Teorema 2.
- x _ x_ = _ X_
y -Y y
La demostración de este teorema se deja al estudiante.
Ejemplo 2.
Ejemplo 1.
Solución: Solución:
4 x •x Factorizando
4-4 x •y
a) 4__ 4 4 _ 1 Una fracción no se altera, si
16 16 4 4 sus términos se dividen entre
una misma cantidad. Reduciendo a la unidad los
4y factores iguales.
b) 4 _ 1 Haciendo la división oral,
16 4 "cuarta de cuatro es 1 y
cuarta de dieciséis es 4".
Ejemplo 3.
c\ 4 _ 1•4 Factorizando. 4
16 4-4 Simplificar &2 + 2 6 a
2a'
_ x Reduciendo a la unidad los fac-
Solución:
4 tores iguales.
4a 2 + 6a Fracción dada.
1 Axioma de identidad para la
~4~ multiplicación.
2a (2a + 3) Factorizando
Hay que estar atentos al hecho de que, factores iguales en el 2a (a)
numerador y en el denominador se reducen a u n o y n o a cero, error
que puede cometerse en simplificación de fracciones donde se ago- 2a + 3 Reduciendo a la unidad los
tan todos los factores del numerador. factores iguales.
x 2 — 5x + 6 Fracción dada,
x —3 b) 8 + 2 = 10_ = 5 Correcto
2 2
¿x — 2) (x — 3) Factorizando el numerador. 8
(T=3) 8 Incorrecto
Solución: que nos dice que al cambiar el signo a un número impar de facto-
2 res, contenidos indistintamente en el numerador o en el denomina-
y - 4y + 4 Fracción dada. dor, el signo de la fracción cambia y cuando el cambio se realiza en
y2 - 4 un numero par de factores, el signo de la fracción se conserva.
11. y2 - 2 5
12. 16-b2
5 - y
Solución: b—4
3w + 6z — bw — 2bz
25^ m 3 — n 3 + m 2 + m n + n2
m3 — n3 w 2 + 4wz + 4z 2
1 JL 2. 25
32 100
27. ax + ay + bx + by
3. 4 _48_ x 2 + 2xy + y 2
180 ' 192
7 25 x 2 y 2 z 4 5 (x 2 - y 2 )
75 x 4 y 5 z 8
' "15 (x — y)
1.4 MULTIPLICACION DE FRACCIONES 5 • 9 • 11
4-11-9 Factorizando
El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando nu-
merador por numerador y denominador por denominador.
Reduciendo a la unidad los fac-
Teorema 4. tores iguales.
Conmutatividad. Ejemplo 2
= (ac)
fr-i) Multiplicar y simplificar x2y 8w2z2
4wz 2xy 2
= (ac) ( J L \ Teorema 3 Solución:
\bd)
_ ac Principio básico 9.
x ^ 8w2z2 Fracciones dadas.
bd 4wz
( x 2 y ) (8W2Z2 )
Afr multiplicar fracciones, es conveniente no efectuar la mul- (4wz) ( 2 x y ¿ ) Aplicando el teorema de la
tiplicación de los numeradores y denominadores, sino únicamente multiplicación de fracciones.
indicar su producto, con el fin de factorizar y simplificar más fácil- xwz
mente. Aplicando el cociente de po-
tencias de una misma base y
Ejemplo 1. reduciendo a la unidad facto-
res iguales.
Multiplicar M. . JUL
44 9 Ejemplo 3
Solución:
Multiplicar y simplificar x2 - y2 x
~y
x + y 2xy + y."
H Fracciones dadas
44 9
Solución:
(x + y) (x — y) (x — y) Factorizando
~ (x + y) (x — y) (x — y) 12.
1 ~ 4b + 4b 2 (y + 5) 3
y2 + lOy + 25 ' 5 - 10b
Reduciendo a la unidad los
1
~~ factores iguales.
13. c 2 d 2 - 1 6 . 16a 2 - 4 0 a b + 25b 2
16a 2 - 25b 5 " 3cd — 12
Como se indicó anteriormente cuando el numerador y el de-
nominador tienen el mismo número de factores iguales,éstos se re-
ducen a la unidad y no a cero como erróneamente pudiera pensar- 14. x 2 + lOx + 24 # a 2 — 36
se. a 2 - 8a + 12 ¿
' x + 12x + 36
q Incorrecto.
jrx^yTJ^-yTi^-yT 15. 15b 2 + 2b - 8 6a-6b
10b • 8 * 9b —6
Multiplicar las fracciones dadas a continuación y expresar su Para dividir dos fracciones se aplica el principio que dice "in-
producto en la forma más simple. viértase el divisor y multipliqúese".
Teorema
Si b 0 y d 0 entonces
— . j ad
b ' d b ' c be
1-z2 Demostración:
2w 2 z 2
1 - z 16w 3 z*
+ F r a c c i o n e s por dividir
10ay 2 - 10by ¿
a
1 — a3 =
c ^ división se puede expresar
o 15c + 15d . 5ex 2 - 5dx 2
9 1=1? 1 + a + a-' d en forma de fracción.
' 25?" c2-d2
Ejemplo 2
Una fracción n o se altera si el
numerador y el denominador Dividir y simplificar x•x
2
TT2
- -X -i- X -
se multiplican por la misma w —z2 2
w¿ — 2 w z + z2
cantidad.
Solución:
Inverso multiplicativo x2 - y2 x
. ~y
2 Fracciones por dividir
V - z W — 2wz + Z2
2
4*3-5 Factorizando 5. 7a 2 b ^ a b 9c 2 d 4 3c 3 d s
A
5-4-2 5xy^ x 2 y2 W3Z8
Si p = 8 entonces el conjunto
11 ^ x!_zi2xiLt¿
( 8 , 1 6 , 2 4 , 3 2 , . . .} contiene sus múltiplos. Observe-
mos que los múltiplos de un número son infinitos.
1. Expresar cada número por sus factores primos, si éstos se Para obtener el mínimo común múltiplo de expresiones alge-
repiten, escribirlos en forma de potencia. braicas, es necesario aplicar la siguiente técnica.
2 Formar el m.c.m. con el producto de los factores primos 1. Se factorizan completamente cada una de las expresiones
no comunes y de los comunes, el que esté elevado a la po- dadas.
tencia mayor.
2. Si al factorizar una expresión se obtienen factores primos
Ejemplo 1 iguales, estos se expresan en forma de potencia.
Los factores primos respectivos son: 4. El m. c. m . se deja expresado por los factores, sin efec-
tuar la multiplicación.
8 2 12
4 2 6 Ejemplo 1.
2 2 3
1 1 Obtener el m í n i m o común múltiplo de.
8 = 23 9 = 32 12 = 2 2 • 3 a3 + b3 , a2 — b2 , a 2 — 2ab + b 2
el m.c.m. = 2 3 x 3 2 = 8 x 9 = 72
Solución:
Ejemplo 2
Factorizando cada expresión.
Obtener el m.c.m. de 6, 9, y 15.
( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 ), ( a - b ) ( a + b ) , (a-b)2
Solución:
Formando el m.c.m.
Los factores primos respectivos son:
m.c.m. = (a + b) (a — b) 2 (a 2 - ab + b 2 )
15
5
1 Ejemplo 2.
Formando el m.c.m.
1 9
m.c.m. = 4 (x — 4) (x — 5) 2 DENOM1N™AICA D E F R A C C I O N E S
CON EL MISMO
5. 4,30 6. 20,16 1 3 5
~2 + ~2 + ~2~ Fracciones dadas.
7. 4,5,12 8. 3,7,14
16. 7x - 21 , 2x + 6 , x 2 + 6x +
9
+ +
—— * ^ ^^ Suma de los numeradores.
17. 10a + 10b , 4a 2 - 4 b 2 , 4a 2 - 8ab + 4b 2
Supresión del paréntesis.
Ejemplo 3.
5a (a + 1) 3a 2 7a
a—1 a —1 a—1
Solución:
5a (a + 1) _ 3a 2 _ 7a Fracciones dadas,
a —1 a —1 a—1
Solución:
i
1. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60. 1. El m í n i m o común denominador es.
4 4(15) 60 (x* 1 ) ( X - 1 )
x + 1 = x - l
8 8(12) _ 96
5 5(12) 60
(x + l>(x-l)
1 1(10) 10 = 1
v2 i
6 6(10) ~ 60
3. Al multiplicar el numerador, y el denominador de cafia
fracción por el cociente respectivo obtenido en el paso
4. Sumando y simplificando. anterior, tenemos:
105 2 _ 2 (x + 1) 2x + 2
. + 96_ + 10
60 60 60 x - 1 (x 1) (x + 1) x 2 - l
105 + 96 + 10
60
3 _ 3 (x — 1) 3x — 3
x +1 <x + l ) ( x - l ) x 2 —• 1
= -21! 5 5(1) .5
60 2
• i ( x } - ira) " ¿
x —-1
4. La suma se reduce a sumar fracciones con el mismo deno-
minador.
a + 4 -5 Factorizando los denominado-
2x + 2 . 3x - 3 2a ( a - 1 ) 2 (a — 1) res.
= ~~ 4 (a — 1) Factorizando el numerador.
2 a j a — 1)
El proceso para sumar fracciones se agiliza si combinamos las
fracciones en una sola, siguiendo los pasos dados a continuación. = - 2 Reduciendo a la unidad los
factores iguales.
1. Factorizar completamente cada u n o de los denominado-
res de las fracciones dadas, para obtener el mínimo co- Ejemplo 2.
mún denominador.
2. Dividir el m.c.d., entre cada u n o de los denominadores de
las fracciones por sumar. Sumar y simplificar x +5 3 5
2x 2 — 2 1—x 2x + 2
3. Multiplicar el cociente obtenido en el paso anterior, por
Solución:
el numerador de la fracción respectiva.
4. Colocar este producto como sumando de la fracción su- x + 5 . 3 + 5 Factorizando los denominado-
2(x 2 —1) 1—x 2(x+l) res.
ma.
15. _ 2 + 3 _ 4
x + 7x + 12 x 2 —3x—18 x 2 —2x—24
EJERCICIO 1.6
Sumar las siguientes fracciones que tienen diferente denomi- 1.11 FRACCIONES COMPLEJAS.
nador y expresar el resultado en la forma mas simple.
Una fracción cuyo numerador, denominador o ambos contie-
nen fracciones, se llama fracción compleja.
1. 2b—1 b + 1 7x 3x_ 5x_
+ 2
10 4 - T* ~ 6 24 La forma más simple de una fracción compleja es aquella
donde el numerador y denominador contienen una sola fracción,
como se ejemplifica.
4. a—1_
3. 4 _ 8- + * 3a + 6 12 + 6a a
ÍT a 2 '. a
C
6. mLl3 + 2 d
5. - J L - + - V m—1 m +1
x +1 x-1
En esta fracción, los términos a y d se llaman extremos y
los términos b y c se llaman medios de la fracción.
o 1— c c—13
+
7. - J - + 4=^ 3 c—12
y +3 y +2 Una fracción compleja se simplifica si la transformamos en
una división.
w 3w 20w'
9. 25w 2 —1 a
5w + 1 5w—1
b
= Expresándola como división
c b " d
4a d
10.
a-b a + b b2-
_a_ d_
Invirtiendo el divisor.
8x 4
11. y 2 —x 2 x—y x +y
b ' c
ad
x-1 — Multiplicando las fracciones.
x +2 x-1 4x + 4
La simplificación de una fracción compleja de esta forma se EJERCICIO 1.7
hace directamente si aplicamos el principio que dice "Producto de
extremos entre producto de medios". Simplificar las siguientes fracciones complejas.
a
b _ ad
c be
d 2.
_JL - J 5 JLlíl 7
3 ¿ = 6 = _ 6
1 -
4 9-4 5 ^ - 1
9 9 9 6.
1 ~
= 7-9 = 7-3 = 21
6-5 2-5 10
Ejemplo 2
+ —
7.
Simplificar x * 1 — — x
P
- i 4— i
X
1—2x 1 + 2x
Solución:
1 + 2x
1
I . . 1 + *
x 1 __ X = X (1 + X)
1 2 2
_ 1 1 — X X ( l - x )
x" + 4b
a-b
10. a'¿ + ab + b 2
5b
i 2 + ab + b 2
X2 (1 + X)
x ( l + x ) ( l —x) i —X
René Descartes científico, filósofo y matemático francés;
é el iniciador del sistema de coordenadas cartesianas.
CAPITULO n
FUNCIONES Y RELACIONES
2.1 INTRODUCCION
Primero
-5 -4 -3 -2 -1 1 S 3 4 S x
y
Figura 2.1 Segundo
( 4 , 2 . )
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Figura 2.2
EJERCICIO 2.1
Función = { ( - 3 , 9), ( - 2 , 4), ( - 1 , 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9 ) | Ejemplo 2.4
Calcular el dominio y el recorrido de la función f (x) = — En los ejemplos del p u n t o anterior observamos que al dar u n
valor a la variable x, obtenemos un valor de la variable y, forman-
do así tantas parejas ordenadas como valores diferentes demos a la
variable independiente. Estas parejas ordenadas se localizan en el
Solución:
sistema de coordenadas rectangulares y la unión de estos p u n t o s
forma la gráfica de la función.
Al observar el segundo miembro de la igualdad nos damos
cuenta que la variable independiente aparece en el denominador de
la fracción ~ por lo tanto la variable x no puede tomar el valor 0 Definición.
ya que la división entre cero no está permitida en los reales, enton-
ces el dominio de la función son los números reales excepto el cero. La gráfica de una función es la representación geométrica del
conjunto de puntos del lugar geométrico.
Dominio = | x | x €R, x ^ 0 |
Ejemplo 2.6
El recorrido de la función lo forman todos los números
reles, excepto también el cero, ya que el valor cero lo obtiene
Encontrar la gráfica de f (x) = x
la función solamente si' la variable " x " es infinita ( o o ) y el
infinito no está incluido en los números reales. Damos valores a la variable " x " y encontramos los corres-
pondientes valores de la función.
Recorrido = j y | y G R , y ^ o j
í(x) =x
f(~2) = -2
Cálculo de algunos valores de la función f (x) =
f(-l) = -1
f(0) = 0
f(D = 1
X f(x) f(2) = 2
(X) = X
1 _ _ - 4
i_ Si localizamos los puntos representados por las parejas orde-
( - 4 ) 4
nadas ( - 2 , - 2 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 )y , 2 )
( 2
Cálculo de la relación
En los reales, las raíces índice par de números negativos son 5. { ( - 2 , 3 ) , ( - 1 , 0 ) , (0, - 1 ) , (1, 0) , (2, 3) }
imaginarias.(En el lenguaje usual se dice que n o existen en los reales).
6. Localizar en el sistema cartesiano,cada conjunto de puntos
de las funciones y relaciones definidas en los problemas del
1 al 5, unir los puntos para obtener la gráfica, dar también
el dominio y el recorrido de cada una de ellas.
7. f(x) = x + 3 8. f(x) = 2 x - 2
2
9. f(x) = 4 - x 10. f(x) = x - 1
2
11. f(x) = - ! 2_ 12. f(x) = 4 - x
x
Función biunívoca Función ncr-biunívoca
13. f(x) = v /x 14. f(x) Fig. 2.11 Fig. 2.12
Ejemplo 2.9
EJERCICIO 2.3
Ejemplo 2.10
Sif(x) = x y g (x) = f
Obtener f (x) + g ( x ) , f ( x ) - g (x) , f (x) üxL
g(x)
y dé su dominio g(x)
Solución:
Dominio
f(x)+g(x) = x H - | = | x
Los reales
f ( x ) • g ( x ) = x f- —
=
1
Y2 Los reales
! M _ = = 2
g(x) Los reales excepto el 0
[ CapítuloIII]
FUNCIONES LINEALES
FUNCIONES LINEALES
3.1 DEFINICION
Por geometría plana sabemos que dos puntos definen una rec-
ta y sólo una, entonces para graficar una función lineal, basta con
dar dos valores a la variable independiente y obtener los correspon-
dientes valores de la función, pero es recomendable obtener u n ter-
cer p u n t o y observar que esté alineado con los dos primeros.
Solución: 5 /
4'
f(x) = X
3
f ( - l )
5
^/
f(0) = 0
X
f ( l ) = 1
1
-5 -4 -3 -2 -1 / 1 2 3 4 5
/
/ -2
s " 3
Figura 3.1
Ejemplo 3.2 Graficar la función f (x) = x + 3 EJERCICIO 3.1
7. f ( x ) = 6 — 2x 8. f ( x ) = 0
9. _ 2 —x _ x 1
y 10. y
2 3
Figura 3.2
11. y = ^2 - ii 12. 8x + 4 — y = 0
f Definición
f
f Se llama ángulo de inclinación de una recta L, al ángulo que
f forma la recta con la horizontal, teniendo como lado inicial la ho-
rizontal. Fig. 3.4
L -y
L \
A» >
horizontal
Figura 3.4
La tangente trigonométrica de u n ángulo agudo, en un trián- m _ diferencia de ordenadas
gulo rectángulo, se define como la relación que hay entre el cateto diferencia de abscisas
opuesto y el adyacente. Ver Fig. 3.5
Yl
m = tan O = ~
x 2 — Xj
Ejemplo 3.4
Figura 3.7
tan O = 1
O = tan-1 1
Figura 3.6 O = 45°
Este último valor lo puedes obtener consultando las tablas ción de toda recta a través del origen, donde el valor de la pendien-
trigonométricas para la función tangente o raen usar una calcula- te m define su posición.
dora con funciones trigonométricas.
Si la pendiente es igual a cero, la ecuación y = mx se con-
La expresión O = t a n -1
1 significa que O es el ángulo cu- vierte en y = 0 que es la ecuación del eje de las X, indicando el
ya tangente vale o es la unidad, también se puede escribir O = arc- hecho de que t o d o p u n t o sobre el eje horizontal, tiene como orde-
nada el valor cero. Fig. 3.9
tan 1 que se lee 6 es igual al arco cuya tangente es 1.
Figura 3.9
y —b
Entonces m = ^ _ n
x u
y — b = m (x — 0)
16. ( z + 4 ) (z—4) - z (z + 1)
Segundo
3x - 6 2x + 6
2 " 3
3 (3x - 6) = 2 (2x + 6)
9x — 18 = 4x +12
9x — 4x = 12 +18
5x = 30
x — 6
O también igualando a cero la ecuación 3.5 PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEA-
LES EN UNA VARIABLE
3. -X L = 0 4 __x_ , _5_ __ n
Si en el enunciado aparecen vocablos nuevos, es recomenda-
U
2 2 3 ble consultar su significado.
Para formar la ecuación tenemos el dato de que al transcurrir
los cinco años, el padre tendrá 10 añcs más que su hijo, por 1c
Una vez entendido el enunciado del problema, separar los da- tanto la edad del hijo más 10 será igual a la de su padre.
tos conocidos de los desconocidos, haciendo un diagrama cuando
sea posible. x + 5 + 1 0 = 2 x + 5
Escribir la ecuación que exprese la relación entre las cantida- Entonces como x = 10, 2x = 20.
des constantes y variables, en ocasiones la ecuación es ya conoci-
da.
El hijo tiene 10 años y el padre 20 años.
Séptimo Ejemplo 3. 10
Resolver la ecuación y comprobar el resultado. Encontrar el radio del círculo cuya área es Í-TT unidades cua-
dradas.
Ejemplo 3.9
Solución:
La edad de un padre es el doble de la edad de su hijo, dentro
de cinco años, la edad del padre excederá a la de su hijo en 10 años. Aquí se habla de dos conceptos relacionados con el círculo
¿Qué edad tiene actualmente el padre y el hijo?
Solución:
x + 5 = Edad del hijo dentro de 5 años está dada por la igualdad A = tt r 2 donde ir (Pi) es igual a un valor
2x + 5 = Edad del padre dentro de 5 años constante que es 3.1416. . . .., la incógnita del planteamiento es el
radio que aparece en la fórmula del área, siendo esta última fun-
ción del radio.
x = 4
A = 7r r 2 y sabemos que A = 9 n u2
9?r = 7T r 2 Ancho del rectángulo x =4
9 = r2
r = V~9= 3 Largo del rectángulo x + 2 = 6
La longitud de un rectángulo excede a su anchura en 2 unida- 1. La suma de dos números consecutivos pares es 74. Encon-
des. Si cada dimensión fuese incrementada en 4 unidades, el área trar los números.
se incrementaría en 56 unidades cuadradas. Encuentre las dimen-
siones del rectángulo.
2. La suma de dos números consecutivos impares es 156. En-
contrar los números.
Solución:
3. La edad de Hugo es el doble de la edad de Pedro. Dentro
Si llamamos x al ancho del rectángulo, entonces el largo se de 5 anos la edad de Hugo excederá a la edad de Pedro en
expresa por x + 2. Como el área del rectángulo mayor, excede al 9 años. ¿Qué edad tienen actualmente Hugo y Pedro?.
área del menor en 56 unidades cuadradas, por lo tanto'establece-
mos la ecuación A! + 56 = A 2 Ver Fig. 3.14 4. La edad de María es el triple de la edad de Rosa. Dentro
x + 6 de 8 anos, Rosa será menor que María, cuatro años. Obte-
x +2 ner las edades actuales de Rosa y María.
Suma o Resta
ÍSustitución
El método gráfico es único.
Ejemplo 4.1
x + y = 8
x — y = 4
Solución: Ejemplo 4.2
Despejando la variable " y " de cada una de las ecuaciones Resolver gráficamente el sistema formado por las ecuaciones
& y
tenemos ^ ^ ^alores a la variable independiente "x','
2x + y = 5
4x + 2y = 15
x + y = 8 ' - V - y = 4
y = 8 - x x _ 4 Solución:
f (x) = 8 —x f (x) = x — 4
f (4) = 4 f (2) = — o Despejando la variable " y " de cada una de las ecuaciones
=
1Í Í « ! 2 3
(8) - n0 - -V .*f« (4)
> ==- -0 1 y = 5 — 2x, y = 15
~ ^
» , 2
Dando valores a la variable x
Los puntos por localizar son (4, 4 ¿ 2) y (8, 0) para la rec-
15
f ( x ) = 5 — 2x, f(x) = ~
(3, - í ) y (4?Ó), F ^ P 4 r .4 SGgUnda
^ y = X
~4
f(0) = 5 f (3) = 15 ~ 12 = J_
2 2
f(l) = 3 f ( l ) - 15 - 16 j_
2 2
f(2) = 1 f(5) - 1 5 ~ 2 0 A.
2 2
Ejemplo 4.3
3x + 2y = 17
6x + 4y = 34
e interpretar el resultado.
Solución:
EJERCICIO 4.1.
fd) - J L z A . 7
Hallar las coordenadas del punto de intersección de los siguien-
tes sistemas de ecuaciones, utilizando el método gráfico.
1. x —y = 2 2. 2x + y = — 5
x+y =8 x — 2y = — 10
f(x-)
3. x +y = 4 4. x + 3y = 13
x - y =0 5x — y = 1
34 - 48 - 7 5. 3x + 4y = 2 6. x — 5y = 6
f(8) =
5x + 2y = 8 2x — lOy = 8
7
- 3 x - y = 17 8. x — 2y = 1
Observamos que los puntos están alineados y forman una sola 2x+2y = 6 2x — y = — 1
recta, y en consecuencia las dos ecuaciones representan la misma rec-
ta, habiendo u n número infinito de intersecciones y el sistema es
inconsistente. Ver Fig. 4.6.
Ejemplo 4.4
Métodos Analíticos
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, eliminando una
de las variables por el método de suma o resta.
Eliminación por Suma o Resta
4x + 2y = 14
Esta forma de eliminar una de las variables consiste en: 2x — 3y = —5
Solución:
Primero Primero
Si queremos eliminar la variable y, multiplicamos la primera
Hacer que los coeficientes de una de las variables, en ambas ecuación por el coeficiente de esa variable en la segunda ecuación
ecuaciones sean inversos aditivos (recuérdese que —a es el inverso que es 3 y la segunda ecuación la multiplicamos por 2 que es el
aditivo de a), lo cual se logra aplicando la propiedad de multipli- coeficiente de la y en la primera ecuación. Haciendo esto tenemos
cación para la igualdad.
(3)„ 4x + . 2y = 14
(2) 2x - 3y = - 5
Segundo
12x + 6y = 42
4x — 6y — - 1 0
Sumar miembro a miembro las dos ecuaciones, al hacerlo,
una de las variables se elimina y queda solamente una ecuación con
una variable.
Segundo
Cuarto
Tercero
Sustituir el valor de la variable obtenida, en cualesquiera de
Resolviendo la ecuación
las ecuaciones iniciales y despejar la variable.
16x = 32
Quinto x _ 32^
16
Comprobar que estos valores obtenidos, satisfagan a ambas
ecuaciones, sustituyéndolos en cada una de ellas, hasta llegar a una x
identidad.
Cuarto 5. 4x + 5y = 22 6
- 3x + 2y = — 1
2x + 3y = 12 4 x — y = — 16
Sustituyendo este valor en la primera ecuación
4x + 2y = 14 , x = 2 7. 6x + 3y = 2 8. 3x + 7y — 8 = 0
4 (2) + 2y = 14 x - 2y = 2
5y - 2y - 23 = 0
2y = 14 - 8
y = 9. 8x = 1 + y 10. 8x — 12y = 2
2x = 10 — 3y 6x + 4y = 8
2
Primero
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método
de suma o resta.
• . , E s c ° f r u n a d e l a s ecuaciones y de ella despejar una de las va-
riables en función de la otra.
Segundo
1. x —y = 3 2. 2x + y = 0
x + y = 3 x + y = - 1 Sustituir el valor de la variable despejada en la otra ecuación.
Tercero
3. 5x + 3y = 15 2x — 4y = 0
2x - y = 6 Simplificar y resolver para la variable que contenga la ecua-
3x + 2y = 8 ción obtenida en el paso anterior.
Cuarto
(3)(2)(^L_2y) + ( 3 ) 6 y = 3(12)
Quinto 22y = 3 6 - 14
x = 7 + 2(1)
3
Solución:
x = 7 + 2
Primero 3
3x - 2y = 7
x = 3
3x = 7 + 2y
Segundo Quinto
Sustituímos el valor de x en la ecuación 2x + 6y = 12 Comprobación
3x - 2y = 7 2x + 6y
2( 4 * ) + 6 y = 12
12
3(3)- 2(1) = 7 2(3) +6(1) 12
9 - 2 = 7 6 +6 12
Tercero 7 = 7 12 12
7. 4x = 4 + 8y 8. lOz - 5w = 4 x - 3y = - 14
3x + 5y = 25 15z + 20w = - 5 5x + 2y = 32
9. 2x + l l y = - 24 10. y 3x
7x + 15y - 10 2y = 6x Solución:
Primero
Eliminación por Igualación
Despejamos de cada una de las ecuaciones la variable x
El desarrollo de este método es el siguiente.
x — 3y = — 14 => x = 3y — 14
Primero
5x +- 2y = 32 => x _ 32 - 2y
Despejar de cada una de las ecuaciones dadas, la misma varia- 5
ble. Segundo
Segundo
Igualamos estos valores de x
Igualar estas expresiones. Esta igualación está basada en la
verdad axiomática que dice: Si dos cantidades son iguales a una
tercera entonces son iguales entre sí.
3. 19x + 2z = 27 4. 16x - 4y = 11
21x — y = — 9 20x = 8y = 13
Resolvemos la ecuación
5. 7w — 2z = — 15 6. y = 5x
5 (3y 14) = 32 - 2y 3w + 5z = — 24 y
15y - 70 = 32 - 2y X= T
15y + 2y = 3 2 + 7 0
Reuselva los siguientes sistemas de ecuaciones por e) método
17y = 102 que mejor convenga.
7. y — 5x = 0 8. y = x
v = 102 2x + 3y = 5
""17 y = ~~ 3x — lOy = — 7
y = 6
Cuarto
4.3 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON T R E S VA-
Sustituímos y = 6 en la igualdad
RIABLES.
Primero
EJERCICIO 4.4
Combinamos las ecuaciones primera y segunda y eliminamos
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método la variable " y "
de igualación
x + y + z = 6
2x — y + 2z = 6
1. x + y = n 2. 2 x + y = - 5
x + 2 y = 17 x — 2 y = — 10 3x + 3z = 12
3x + 3z = 12
3 (2) + 3z = 12
Combinamos las ecuaciones segunda y tercera y eliminamos 3z = 12 - 6
la misma variable " y " 3z = 6
6
2x — y +• 2z = 6 z
x + 3y — 3z = 2
z = 2
6x — 3y + 6z = 18
x + 3y - 3z = 2 Con los dos valores x = 2 , z= 2 trabajamos una de las
ecuaciones con tres variables.
7x 4- 3z = 20
x + y + z = 6
Tercero 2 + y + 2 = 6
y = 6 -2-2
Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones con Y = 2
dos variables, obtenidas en los pasos anteriores.
Cuarto
3x + 3z = 12 Comprobación
7x + 3z = 20
Sustituyendo los valores encontrados de las variables, en cada
una de las tres ecuaciones se tiene:
x + 3y - 3z = 2
3x + 3z = 12 2 + 3 (2) - 3 (2) = 2
— 7x — 3z = —20 2 + 6 - 6 = 2
2 = 2
— 4x = — 8
- 8 Ejercicio 4.5
X =
~=~4~
x = 2 1. 2x + 3y — z = 4
x + 2y + 2z = 5
Con este valor x = 2 trabajamos una de las ecuaciones con
dos variables. 6
3x — y + 3z = 5
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES
EJERCICIO 1.1
—7—
4 o
3. 1
—"7— 5.
:
12 2y
7. 9- x + 2 ii. - (y + 5)
3x 2 y 3
13. - ( 1 + c ) 1 5 ¡
x + y
23 1
19. - V 7T1T -
c + d
1 a
25. 27. + b
m—n " x + y
EJERCICIO 1.2
7. 3 . - 4 - 5 3c 2 d
4 4 5
- 2a 3 b 2
2
7. 2 (a-b) 9. 3 11 i x ~ 1 )
3 ( 2x 4- 3 )
i? 4 + cd
15 a
3 ( 4a + 56 ) ' ~b
EJERCICIO 1.3
1 7a x
' 3 3. 14 5.
5y 2
7 1 9
- - 11 15 ( x + y )
x - y
13. (1+ a) ( 1 - b ) 15 y—5 2w
x - 2
25w 2 — 1 ii.
17. (x + 8 ) ( y + 7 1 x 4 y
(x 10 ) ( y -f- 4 ) 19- 1
12 x - 12
13. 15.
a ( a + 2
> ' (x + 4)(x+3)(x-6)
EJERCICIO 1.4
EJERCICIO 1.7
1. 72 3. 42 5
7. 60 3. 2 5. 2
9. 90 ii
13. 8 — c3 7. - 1 9.
15. 40 ( x 2 — y 2 ) 3x 4 2
17. 20 ( a 4 b ) ( a — b ) 2
EJERCICIO 2.1
19. (a4b)(x4y)(w4z)
1.
EJERCICIO 1.5
( - 5 . 7 )•
« (5,7)
1- 3 - 3
7
7. x g 12 x
x - 1
EJERCICIO 1.6 -4 -3 -2 -1 1 2 5 J
-) i-
5
-1
- 2
1. - ^ - ( 3 b + l ) 3. - * - ( a _ i ) 2 -3
-4
5. _y 2 + 3y 4 3
1
(y + 3 ) ( y 4 2) (-5.-7) i 4(5,-7)
3 x
- - y » - , y , - y
donde x R , y R
11. Dominio = Í X I X 6R , X O 2x
3. 5 + 2x , 5 - 2x , 10x ,
Recorrido X eR , y ^ o Dominio = | x | x G R | para las tres primeras
13. Dominio x>0 ) Dominio = / | x G R , x ^ t f } para la cuarta
x
Recorrido y>o }
* 3x 3 —x 2 4- 1 3x 3 — x 2 — 1 3x — 1 o .
15. Dominio I5- 4 ' ' * 3x 3
- 3 < x < 3 }
7. -—y-, # = tan" 1 ( }
9. 0 , 0 = 0°
EJERCICIO 3.3
1. 2 3. 4 5. 7 7^ 10
EJERCICIO 3.4
1. 4 3. 3 5. 6 7. —|
5
9. 10
EJERCICIO 3.5
EJERCICIO 4.2
1. x = 4 2. x = 1 3. x = 3
y = - 1 y = - 2 y = 0
á. x = 2 5. x = 3 6. x - 3 7. x = 7 8. x = 0 9. x
y = i y = 2 y 4 10
y = - 5 y = o
3
y 10
7. x - 2 8. x = 5 9. x 10. x =
y - 2 y = - i y = 3
y =
10. x = y =
EJERCICIO 4.5
EJERCICIO 4.3
1. x = 1 , y = 1 z = 1
1. = 1 2. x = —2 3. x 3. x = 3, y = 2, z = 1
- 3
= 4 y = 2 y - 2
5. x = 2 , y = 2 , z = 2
4. = 0 5. x =-6 6. x
=-4
y = 0
:
y
9. x
7. x = 5 8. x = 10
y - 4
y = 2
y =
EJERCICIO 4.4
1. x = 5 2. x - 4 3. x = 0
y = 6 y 3 y = 9
4. x = 5. x - 3 6. Inconsistente
y = -3
y
BIBLIOGRAFIA