FPB2 2 Ecuaciones

Formación Profesional
Básica
Matemáticas II
Capítulo 2:
Ecuaciones y sistemas
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Este capítulo ha sido realizado por David Miranda Suárez para el alumnado que
cursa Matemáticas II de Formación Profesional Básica en el Centro Salesianos
Loyola ‐ Naranjoven, en Fuenlabrada (Madrid) en los perfiles de Electricidad y
Electrónica, y en el perfil de Peluquería y Estética, basándose en el currículo de la
Comunidad de Madrid (BOCM Real Decreto 127/2014, de 28 de febrero del BOE).
El autor ha utilizado los textos de Matemáticas de Marea Verde. Para la
elaboración de este capítulo se han utilizado partes de los siguientes capítulos de
los textos elaborados por el equipo de Matemáticas de Marea Verde
(www.apuntesmareaverde.org.es).
Para los apartados 1 y 2, el capítulo 9 del libro de 2º de ESO de “Álgebra” de autora
Raquel Caro.
Para los apartados 3, 4 y 5, el capítulo 5 del libro de 3º A de ESO sobre “Ecuaciones
de segundo grado y sistemas lineales” de autora Raquel Hernández.

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Capítulo 2: Ecuaciones y sistemas
ÍNDICE
1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
1.1. EL LENGUAJE DE LAS ECUACIONES
1.2. ECUACIONES EQUIVALENTES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.
2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES
2.1. PROCEDIMIENTO
2.2. PROBLEMAS NUMÉRICOS
2.3. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
2.4. OTROS PROBLEMAS
3. ECUACIONES DE 2º GRADO
3.1. CONCEPTO DE ECUACIÓN DE 2º GRADO
3.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS
3.3. NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO COMPLETA
3.4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO INCOMPLETAS
4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.1. CONCEPTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.2. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
4.3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
4.4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
4.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN
5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
5.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE 2º GRADO
5.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Resumen
En la época de El Quijote, en la puerta de las barberías, se leía el
siguiente cartel: “ALGEBRISTA Y SANGRADOR” ¿Y eso, por qué?
La palabra “Álgebra” es una palabra árabe que utilizó el
matemático Al‐Khwarizmi. Si logras leer ese nombre verás que te
suena a otra palabra: “algoritmo”.
Hacia el año 825 escribió un libro titulado: Al‐jabr w’almuqabalah
La palabra árabe jabr significa restaurar. El libro trataba de álgebra,
de sumas y otras operaciones, pero como los barberos también
restauraban huesos, por eso se llamaban algebristas.

FPB2: Capítulo 2: Ecuaciones y sistemas Autores: David Miranda, Raquel Caro y Raquel Hernández
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40 Capítulo 2: Ecuaciones y sistemas
1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
1.1. El lenguaje de las ecuaciones
Ya sabes que:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Ejemplo:
Si tenemos dos expresiones algebraicas: 7x + 3 y 5x + 2, y las unimos con el signo igual
obtenemos una ecuación: 7x + 3 = 5x + 2.
Las expresiones que hay a cada lado del igual se llaman miembros de la ecuación. Todas las ecuaciones
tienen dos miembros: la expresión que está a la izquierda del signo igual se llama primer miembro y la
que está a la derecha, segundo miembro.
Las letras que contienen las ecuaciones algebraicas (las "partes literales" de sus dos expresiones) se
llaman incógnitas, que significa literalmente "desconocidas". Si todas las letras son iguales, se dice que
la ecuación tiene una sola incógnita.
Ejemplo:
6x – 1 = 5x + 8 es una ecuación con una sola incógnita, mientras que
4x + 2y = 1 o 3x – 8 = 9y son ecuaciones con dos incógnitas: x e y.
El grado de una ecuación es el mayor exponente que aparece en alguna de sus incógnitas.
Ejemplo:
2x – 7 = 3x + 2 es una ecuación de primer grado, mientras que 4x + 5xy2 = 8 es una ecuación de
tercer grado ya que el monomio 5xy2 tiene grado 3 (1 + 2 = 3).
Actividades propuestas
1. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
Ecuación Primer miembro Segundo miembro Incógnitas
4x – 5 = 6x – 7
3x + 2 x–9
8a + 7 = 65
4x – 3y 2 + y

2. Indica el número de incógnitas de las siguientes ecuaciones:
a) x – 2y = 3x + 4; b) 5x + 6y2 = 7 c) 8a + 9a2 = 1 d) 2x + 3x2 = 4.
3. Indica el grado de las siguientes ecuaciones:
a) 5x – 6 = 7x + 8; b) 9x + y2 = 13 c) x + 2x2 = 3 d) 4x + 5xy2 = 6
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1.2. Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones
Solución de una ecuación:
Una solución de una ecuación es un número que, cuando la incógnita toma ese valor, se verifica la
igualdad, es decir, los dos términos de la ecuación valen lo mismo.
Algunas ecuaciones solo tienen una solución, pero otras pueden tener varias.
Resolver una ecuación es encontrar todas sus posibles soluciones numéricas.
Actividades resueltas
Si te fijas en la ecuación: 7x – 3 = 5x + 9, verás que al darle valores a x la igualdad no siempre se
cumple.
Por ejemplo, para x = 1, el primer miembro vale 7 ∙ 1 – 3 = +4, mientras que el valor del segundo
miembro es: 5 ∙ 1 + 9 = 5 + 9 = 14. Luego 1 no es solución de la ecuación.
Para x = 6, el primer miembro toma el valor: 7 ∙ 6 – 3 = 42 – 3 = 39; y el segundo miembro: 5 ∙ 6 + 9 = 30
+ 9 = 39. Por tanto 6 es una solución de la ecuación.
Si se desconoce la solución de una ecuación, resulta muy pesado resolverla probando un número tras
otro.
Por eso lo que se hace habitualmente es transformarla en otras ecuaciones equivalentes más sencillas.
Ecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones.
Ejemplo:
¿Sabías que todas las soluciones de todas las
expresiones algebraicas posibles, de cualquier grado, 3x –7 = 11 es equivalente a 3x =
forman lo que se denomina los "números algebraicos"? 18, puesto que la solución de ambas ecuaciones
Por ejemplo, son algebraicos todos estos números: 1, 2,
es x = 6.
1/3, 7/5, , , etc. Aunque la inmensa mayoría de Para obtener ecuaciones equivalentes se tienen
los números que utilizamos en nuestra vida cotidiana en cuenta las siguientes propiedades:
son algebraicos, debes saber que realmente hay
muchos, muchísimos más números "no algebraicos"
que ya irás conociendo, aunque alguno ya conoces
como al número π.

Si se suma o se resta a los dos miembros de una ecuación una misma cantidad, se obtiene una ecuación
equivalente.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por una misma cantidad (distinta de
cero), se obtiene una ecuación equivalente.

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Resuelve la ecuación 3x + 9 = x – 5 transformándola en otra más sencilla equivalente.
Transformar una ecuación hasta que sus soluciones se hagan evidentes se llama "resolver la ecuación".
Siguiendo estos pasos intentaremos resolver la ecuación: 3x + 9 = x – 5.
1) Sumamos a los dos miembros –x y restamos a los dos miembros 9: 3x – x + 9 – 9 = x – x – 5 – 9.
2) Hacemos operaciones y conseguimos otra ecuación que tiene en el primer miembro los términos con
x y en el segundo, los términos sin x: 3x – x = – 5 – 9.
3) Efectuamos las sumas en el primer miembro y en el segundo: 2x = –14.
2 x  14
4) Despejamos x dividiendo los dos miembros por 2:  de donde x = –7.
2 2
5) Comprueba que todas las ecuaciones que hemos obtenido en este proceso son equivalentes y que su
solución es x = –7.
Resuelve la ecuación 6 – x = 2x – 3.
1) Sumamos x y 3 para pasar a un miembro los
El procedimiento utilizado en las actividades es un
términos con x y al otro miembro los términos método universal para resolver cualquier ecuación de
sin x: 6 – x + x + 3 = 2x + x – 3 + 3, grado 1, es decir, donde x aparece sin elevar a otro
exponente como en x2. Las ecuaciones de primer grado
2) Hacemos operaciones: 6 + 3 = 2x + x
tienen siempre una única solución, pero en general, las
3) Efectuamos las sumas: 9 = 3x. soluciones no tienen porqué ser números enteros
como en los ejemplos.
4) Despejamos x dividiendo los dos miembros
por 3: 3 = x.
La solución de la ecuación es x = 3.
5) Comprobamos que en efecto es la solución: 6 – x = 2x – 3  6 – 3 = 3; 23 – 3 = 3.
4. Averigua cuál de los números es la solución de la ecuación y escríbelo en tu cuaderno:
Ecuación Posibles soluciones Ecuación Posibles soluciones
3x + 5 = x – 1 2, –1, –3 a2 – 6 = –2 –2, –6, 2
x + 6 = 4x – 3 3, –2, –3 b – 4 = 8 – b 3, 4, 6
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x – 1 = 3x – 4 b) 7x + 9 = 5x – 6 c) 6x + 8 = 14 d) 3x – 9 = 2x – 11
6. Elige entre las siguientes ecuaciones todas las que sean equivalentes a la ecuación 3x – 6 = x + 10.
a) x – 10 = 5 b) 16 – x = 3x – 5x c) 4x = 32 d) 2x = 10 + 6 e) 8 = x
7. Escribe dos ecuaciones equivalentes a cada una de las ecuaciones siguientes:
a) 2x – 5 = 13 b) 3x = 15 c) 5x + 12 = 7 d) x = – 5
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2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES
2.1. Procedimiento
Ya sabes que:
Muchos problemas pueden resolverse mediante una ecuación.
Busca un número que sumado con su siguiente dé como resultado 9.
Para resolverlo, sigue los siguientes pasos:
Paso 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema
Lee con mucho cuidado el enunciado, y pregúntate:
¿Qué te piden? ¿Qué datos tienes?
Nos piden un número. La incógnita es ese número. Llama a ese número x. Su siguiente, será x + 1. Nos
dicen que la suma de ambos es 9.
Paso 2: Busca una buena estrategia.
Es un problema que queremos resolver mediante una ecuación. Escribe en lenguaje algebraico el
enunciado del problema y plantea una ecuación:
x + (x + 1) = 9.
Pregúntate si efectivamente resuelve el problema releyendo el enunciado.
Paso 3: Lleva adelante tu estrategia
Ahora sí, ahora resuelve la ecuación. Para resolver una ecuación conviene seguir un orden de actuación
que nos ayude a no cometer errores, para ello seguimos el procedimiento que acabamos de aprender.
Quita, si los hay, paréntesis y denominadores: x + x + 1 = 9.
Para poner en el primer miembro los términos con x, y en el segundo los que no lo tienen, haz lo mismo
a los dos lados, resta 1 a los dos miembros: x + x + 1 – 1= 9 – 1, luego x + x = 9 – 1. Opera: 2x = 8.
Despeja:
Para despejar la x, se hace lo mismo a los dos lados, se dividen por 2 ambos miembros: 2x/2 = 8/2, por
tanto, x = 4.
Paso 4: Comprueba el resultado. Piensa si es razonable.
En efecto, comprueba que: 4 + 5 = 9.
8. La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 3. Calcula dichos números.
9. La madre de Álvaro tiene el triple de la edad de su hijo, y éste tiene 32 años menos que su madre.
¿Cuántos años tienen cada uno?

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2.2. Problemas numéricos
En un pequeño hotel hay 34 habitaciones simples y dobles. Si en total tiene 54 camas, ¿cuántas
habitaciones son simples y cuántas son dobles?
Sigue los pasos para la resolución de problemas.
Llama x al número de habitaciones simples. El número de habitaciones
dobles es 34 – x. El número de camas es 54.
Escribe en forma de ecuación la información del enunciado:
x + 2(34 – x) = 54.
Resuelve la ecuación. Quita paréntesis:
x + 68 – 2x = 54.
Para poner en el primer miembro los términos con x y en el segundo los términos sin x, resta 68 a los
dos miembros:
x + 68 – 2x – 68 = 54 – 68.
Opera:
– x = – 14
Para despejar la x divide los dos miembros por –1:
x = – 14/– 1 = 14.
Hay 14 habitaciones simples. Luego hay 34 – 14 = 20 habitaciones dobles. Por tanto el número de
camas es 54 pues:
14 + 2∙20 = 54.
En una granja hay 50 animales entre gallinas
y conejos, y entre todos los animales suman
120 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la
granja?
Paso 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender
bien el problema
Llama x al número de gallinas, y como hay 50
animales en total, conejos tendremos 50 – x.
Como una gallina tiene 2 patas y un conejo 4,
tendremos en total 2x + 4(50 – x) patas.
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Como sabemos que el número total de patas es 120, podemos escribir esta ecuación:
2x + 4(50 – x) = 120
Resuelve la ecuación. Quita paréntesis:
2x + 200 – 4x = 120
Si restamos 200 en ambos lados obtenemos:
2x + 200 – 4x – 200 = 120 – 200
Operando obtenemos:
–2x = –80
Dividiendo por –2 en ambos lados resolvemos la ecuación:
–2x/–2 = –80/–2 luego x = 40.
Hay 40 gallinas y 10 conejos pues 50 – x = 50 – 40 = 10.
Las patas de 40 gallinas y 10 conejos suman 40 ∙ 2 + 10 ∙ 4 = 80 + 40 = 120

10. Un mago le dijo: Piensa un número, súmale 12, multiplica por 2 el resultado, resta 20 y divide por 2.
Dime que te sale. Dijo 35. Y el mago le contestó de inmediato: El número que pensaste es 33.
Adivina como lo supo el mago. (Sugerencia: escribe previamente la cadena de operaciones).
11. Piensa un número, multiplícale por 10, réstale el número que has pensado y divide el resultado
entre 9. ¡Has obtenido el número que pensaste! Busca el truco: escribe algebraicamente, llamando x
al número, la expresión algebraica de las operaciones
realizadas, y adivina como lo supo el mago.
12. Si la suma de tres números consecutivos es 63, ¿de qué
números se trata? (Sugerencia: ilustra la situación con
una balanza equilibrada. Mantenla equilibrada hasta
conseguir la ecuación equivalente que nos dé el
resultado).
13. Hemos comprado 8 libros iguales y hemos pagado con un
billete de 50 €. Si nos han devuelto 10 €, ¿cuánto costaba
cada libro?

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2.3. Problemas de geometría
Muchos problemas de geometría se pueden resolver por métodos algebraicos, utilizando ecuaciones.
Se quiere dibujar un triángulo de 55 cm de perímetro, de forma que un lado sea el doble de
otro, y el tercero sea el triple del menor menos 5 cm.
Dibuja un triángulo, pensando en los datos del enunciado.
Llamamos x al lado menor, de esta forma puedes definir los otros dos lados. El lado mediano es 2x. El
lado mayor es 3x – 5
Como el perímetro es 55, se puede plantear la ecuación: x + 2x + (3x – 5) = 55
Se resuelve la ecuación: x + 2x + 3x – 5 + 5 = 55 + 5; x + 2x + 3x = 60; 6x = 60.
Luego x = 60 / 6 = 10 es la longitud del lado menor. Los otros dos lados miden 2x = 20 y 3x – 5 = 25.
Solución: Los lados del triángulo miden 10 cm, 20 cm y 25 cm.
Sumando los tres lados, 10 + 20 + 25 = 55, obtenemos el perímetro del triángulo, 55.
Tienes un rectángulo de altura x cm y de base 2x + 3. Si a la base de este rectángulo le quitan 2
cm y a la altura le añaden 5 cm, se convierte en un cuadrado. ¿Qué dimensiones tiene?
Dibuja un rectángulo con las condiciones del problema. La expresión 2x + 3 – 2 expresa los 2 cm que le
quita a la base y x + 5 expresa los 5 cm que le añaden a la altura.
Si se ha formado un cuadrado como los lados son iguales ambas expresiones deben ser equivalentes: 2x
+ 3 – 2 = x + 5
Resuelve la ecuación: 2x +3 –2 – x – 3 + 2= x– x – 3 + 2 + 5; 2x – x = 4; x = 4
Solución: x = 4 cm es la longitud de la altura del rectángulo. Por tanto, 2 ∙ 4 + 3 = 11 cm mide la base del
rectángulo.
En efecto, a la altura le sumamos 5, 4 + 5 = 9, y a la base le restamos 2, 11 – 2 = 9,
se obtiene un cuadrado.
14. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles es igual al doble del
tercer lado menos 2 cm. Calcula su medida si el perímetro del triángulo es 84
cm.
15. Calcula el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos suman 20
cm y el cateto mayor mide 4 cm más que el menor.
16. Calcula la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que el ángulo mayor
es igual al triple del menor menos 6º.

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2.4. Otros problemas
Si tenemos 21 billetes de 5 € y de 10 € que suman en total 170 €, ¿cuántos billetes tenemos de
cada clase?
Llama x al número de billetes de 5 € y el resto, 21 – x, será el número de billetes
de 10 €.
Plantea la ecuación que expresa la suma en euros de los dos tipos de billetes: 5 ∙
x + 10 (21 – x) = 170
Para resolver la ecuación, lo primero, quita paréntesis: 5x + 210 – 10x = 170
Deja en el primer miembro todos los términos con x, y en el segundo los que no
tienen x: 5x – 10x + 210 – 210 = – 210 + 170
Haz operaciones: – 5x = – 40
Despeja la incógnita: x = (– 40) : (– 5) = + 8
Por tanto, tenemos 8 billetes de 5 €, y 21 – 8 = 13 es el número de billetes de 10 €.
Comprobamos que 8 ∙ 5 = 40 € y 13 ∙ 10 = 130 €. Y que, en efecto, 40 + 130 = 70 €.
Solución: Tenemos 8 billetes de 5 € y 13 billetes de 10 €.
17. Dos motocicletas salen al mismo tiempo de dos puntos que distan 420
km, en la misma dirección pero en sentido contrario. La primera lleva
una velocidad de 60 km/h y la segunda, de 80 km/h. ¿Cuánto tiempo
tardarán en cruzarse?
Ayuda: Haz un diagrama para comprender el enunciado
Solución: Tardan 3 horas en cruzarse.
18. Dos coches salen de dos puntos situados a 560 km de distancia, uno al encuentro de otro. El primero
lleva una velocidad de 70 km/h y el segundo de 90 km/h. ¿Cuántas horas tardan en cruzarse?
19. Si en el monedero tenemos 16 monedas de 10 cent y de 20 céntimos de euro,
y en total reunimos 2 €, ¿cuántas monedas de cada clase tenemos?
20. Si un bolígrafo vale el triple del precio de un lápiz, he comprado un total de 7
lápices y bolígrafos, y he pagado en total 5,50 €, ¿cuántos bolígrafos y cuántos
lápices he comprado?
21. Nieves tiene una pareja de hámsteres con una camada de varias crías. Le
regala a una amiga la mitad de las crías. A un segundo amigo le regala la mitad de las crías que le
quedan más media cría. La única cría que le queda se la regala a un tercer amigo. ¿Cuántas crías
formaban la camada?
22. Dos amigas, Maite y Ana, fueron a visitar una granja en la que había gallinas y conejos. Al salir Ana le
preguntó a Maite: Sabes cuántas gallinas y cuántos conejos había. No, dijo Maite, pero había en
total 72 ojos y 122 patas. Averigua el número de gallinas y de conejos de la granja.
23. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto y
quedan aún 1600 litros. Calcula la capacidad del depósito.

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3. ECUACIONES DE 2º GRADO
Hay ecuaciones de segundo grado que ya sabes resolver. En este capítulo vamos a profundizar y a
aprender a resolver este tipo de ecuaciones. Por ejemplo, el siguiente problema ya sabes resolverlo:
Se aumenta el lado de una baldosa cuadrada en 3 cm y su área ha quedado multiplicada por 4,
¿Qué lado tenía la baldosa?
Planteamos la ecuación:
(x + 3)2 = 4x2
¡Esta ecuación si sabes resolverla! x + 3 = 2x, luego el lado es de 3 cm.
Hay otra solución, x = 1, que no tiene sentido como lado de un cuadrado.
Vamos a estudiar de forma ordenada estas ecuaciones.
3.1. Concepto de ecuación de 2º grado
Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica en la que la mayor potencia de la
incógnita es 2. Las ecuaciones de segundo grado se pueden escribir de la forma:
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales, con a  0.
Ejemplo 1:
Son ecuaciones de 2º grado por ejemplo
3x2  7x + 1= 0; 2x2 + 5x + 2 = 0; x2  9x  11 = 0.
Ejemplo 2:
Los coeficientes de las ecuaciones de 2º grado son números reales, por lo tanto pueden ser
fracciones o raíces. Por ejemplo:
3 2 1 1 2 2 3
x  4x   0 ; x  x   0 ; 2,7x2 + 3,5x  0,2 = 0; 2x2  3x  5  0 .
5 2 3 5 4
24. Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones:
3
a) 5 x  2 x  8  0
2
c) 8x2  9 = 0 e) 2 x 2   0
x
f) 2x  3 x  4  0
2
b) 3xy2  5 = 0 d) 8  7,3x = 0
25. En las siguientes ecuaciones de segundo grado, indica quiénes son a, b y c.
a) 3  4x2 + 9x = 0 b) 3x2 + 5x = 0
c) 2x2  3 = 0 d) x2  8x + 1= 0
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3.2. Resolución de ecuaciones de 2º grado completas
Se llama ecuación de segundo grado completa a aquella que tiene valores distintos de cero para a, b y
c.
Para resolver las ecuaciones de segundo grado completas, usaremos la fórmula:
 b  b 2  4ac
x
2a
Esta fórmula nos permite calcular las dos soluciones de nuestra ecuación.
Llamaremos discriminante a la parte de la fórmula que está en el interior de la raíz:
 = b2 – 4ac
Resuelve la ecuación de segundo grado x2  5x + 6 = 0
Primero debemos saber quiénes son a, b y c:
a = 1; b = 5; c = 6
Sustituyendo estos valores en nuestra fórmula, obtenemos:
 b  b 2  4ac 5  25  4  1  6 5  25  24 5  1
x   
2a 2 1 2 2
Por lo tanto, nuestras dos soluciones son:
5 1 5 1
x1   3 ; x2   2
2 2
En efecto, 32  5∙3 + 6 = 9  15 + 6 = 0, y 22  5∙2 + 6 = 4  10 + 6 = 0, luego 3 y 2 son soluciones de la
ecuación.
26. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado completas:
a) x2  7x + 10 = 0 b) 2x2 + 2x  24 = 0
c) 3x2  9x + 6 = 0 d) x2  4x  12 = 0

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3.3. Número de soluciones de una ecuación de 2º grado completa
Antes hemos definido lo que era el discriminante, ¿te acuerdas?
 = b2 – 4ac
Para saber cuántas soluciones tiene una ecuación de 2º grado, nos vamos a fijar en el signo del
discriminante.
Si  = b2 – 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
Si  = b2 – 4ac = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales, (una solución doble).
Si  = b2 – 4ac < 0, la ecuación no tiene solución.
Ejemplo:
a) La ecuación 2x2  4x  7 = 0 tiene como discriminante:
 = b2 – 4ac = (4)2  4∙2∙(7) = 16 + 36 = 52 > 0
Por lo tanto, la ecuación dada tiene 2 soluciones reales y distintas.
b) La ecuación x2  4x  5 = 0 tiene como discriminante:
 = b2 – 4ac = (4)2  4∙(5) = 16 + 20 = 36 > 0
Por lo tanto, la ecuación dada tiene 2 soluciones reales y distintas, 5 y 1.
Comprobación: 52  4∙5  5 = 25 – 20 5 = 0 y (1)2  4(1)  5 = 1 + 4  5 = 0).
c) La ecuación x2  2x + 1 = 0 tiene como discriminante:
 = b2 – 4ac = (2)2  4∙1∙1 = 4  4 = 0
Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales. Se puede escribir como:
x2  2x + 1 = (x – 1)2 = 0, que tiene la solución doble x = 1.
d) La ecuación x2 + 3x + 8 = 0 tiene como discriminante
 = b2 – 4ac = (3)2  4∙1∙(8) = 9  32 = 23 < 0
Por lo tanto, la ecuación no tiene solución real. Ningún número real verifica la ecuación.
27. Averigua cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones de 2º grado:
a) x2 + x + 4 = 0 b) x2  6x + 9 = 0
c) x2  6x  7 = 0 d) x2  3x + 5 = 0

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3.4. Resolución de ecuaciones de 2º grado incompletas
Llamamos ecuación de 2º grado incompleta a aquella ecuación de segundo grado en la que el
coeficiente b vale 0 (falta b), o el coeficiente c vale 0 (falta c).
Ejemplo:
La ecuación de 2º grado 2x2  18 = 0 es incompleta porque el coeficiente b = 0, es decir, falta b.
La ecuación de 2º grado 3x2  15x = 0 es incompleta porque no tiene c, es decir, c = 0.
Las ecuaciones de 2º grado incompletas se resuelven de una manera u otra dependiendo del tipo que
sean.
Si el coeficiente b = 0: Despejamos la incógnita normalmente,
como hacíamos en las ecuaciones de primer grado: Resumen
c c Si b = 0, ax2 + c = 0,
ax + c = 0  ax = c  x 
2 2
 2
x  2
 despejamos la incógnita:
a a
c c
x x .
a a
Si el coeficiente c = 0: Sacamos factor común: Si c = 0, ax2 + bx = 0, sacamos
factor común:
ax2 + bx = 0  x(ax + b) = 0.
b
Para que el producto de dos factores valga cero, uno de los x = 0 y x  .
factores debe valer cero. a
b
Por tanto x = 0, o ax + b = 0  ax = b  x 
a
Ejemplo:
En la ecuación 2x2  18 = 0 falta la b. Para resolverla despejamos la incógnita, es decir, x2:
2x2  18 = 0  2x2 = 18  x2 = 18/2 = 9
Una vez que llegamos aquí, nos falta quitar ese cuadrado que lleva nuestra incógnita. Para ello,
haremos la raíz cuadrada en los 2
miembros de la ecuación:
x   9  3

Así hemos obtenido las dos soluciones de nuestra ecuación, 3 y 3. En efecto, 2∙32  18 = 2∙9 – 18 = 0, y
2∙(3)2  18 = 2∙9 – 18 = 0

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Ejemplo:
En la ecuación 3x2  15x = 0 falta la c. Para resolverla, sacamos factor común:
3x2  15x = 0  3x(x – 5) = 0
Una vez que llegamos aquí, tenemos dos opciones
1) 3x = 0  x = 0.
2) x – 5 = 0  x = 5.
Así hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación x = 0 y x = 5
Una ecuación de segundo grado incompleta también se puede resolver utilizando la fórmula de las
completas pero es un proceso más lento y es más fácil equivocarse.
Resuelve la ecuación de 2º grado 2x2  32 = 0:
Solución: Se trata de una ecuación de 2º grado incompleta donde falta la b. Por lo tanto, despejamos la incógnita
2x2  32 = 0  2x2 = 32  x2 = 32/2 = 16  x   16  4 . Las raíces son 4 y 4.
Resuelve la ecuación de 2º grado x2 + 7x = 0:
Solución: Se trata de una ecuación de 2º grado incompleta donde falta la c. Por lo tanto, sacamos factor
común:
x2 + 7x = 0  x(x + 7) = 0
y obtenemos las dos soluciones:
x = 0 y x + 7 = 0  x = 7.
28. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas:
a) 3x2 + 6x = 0 b) 3x2  27 = 0
c) x2  25 = 0 d) 2x2 + x = 0
e) 4x2  9 = 0 f) 5x2  10x = 0

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4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.1. Concepto de sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede expresar de la forma:
 ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
Donde a, b, a' y b' son números reales que se denominan coeficientes y c y c' también son números
reales llamados términos independientes.
Llamamos solución del sistema al par de valores (x, y) que satisfacen las dos ecuaciones del sistema.
Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, cuando tienen la misma solución.
Ejemplo:
Son sistemas de ecuaciones lineales, por ejemplo:
3 x  4 y  1 5 x  2 y  7  x  2y  3 4 y  2  3 x
 ;  ;  ; 
 2x  5 y  7  x y 0 7 x  3 y  4 7 x  3  5 y
Ejemplo:
3 xy  5 y  7
No es un sistema lineal  porque tiene términos en xy.
 4 x  8 xy  9
3 x 2  5 y  7
Tampoco lo es  porque tiene un término en x2.
 4x  8 y  9

29. Razona si son o no sistemas de ecuaciones lineales los siguientes sistemas:
 xy  2 y  6  5y  x  4
a)  b) 
 2x  3y  1  2 x  3 y  1
 4x  2  y  x2  y  2
c)  d) 
3x  5 y  2 3 x  y  4
2
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4.2. Clasificación de sistemas de ecuaciones
En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada una de las ecuaciones representa una
recta en el plano.
Estas rectas pueden estar posicionadas entre sí de tres maneras distintas, lo que nos ayudará a clasificar
nuestro sistema en:
1) Compatible determinado: el sistema tiene una única solución, por lo que las rectas son SECANTES, se
cortan en un punto.
2) Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones, por lo que las rectas son
COINCIDENTES.
3) Incompatible: el sistema no tiene solución, por lo que las rectas son PARALELAS.

Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible

Rectas secantes Rectas coincidentes Rectas paralelas
Añade una ecuación a x – 2y = 2 para que el sistema resultante sea:
a) Compatible determinado
b) Incompatible
c) Compatible indeterminado
Solución:
a) Para que el sistema sea compatible determinado, añadiremos una
ecuación que no tenga los mismos coeficientes que la que nos dan.
Por ejemplo, x + y = 1.
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b) Para que sea incompatible, los coeficientes de las incógnitas
tienen que ser los mismos (o proporcionales) pero tener diferente
término independiente. Por ejemplo x – 2y = –3, (o 2x – 4y = 0).

c) Para que sea compatible indeterminado, pondremos una ecuación proporcional a la que tenemos.
Por ejemplo 2x – 4y = 4.

30. Representa los siguientes sistemas y clasifícalos:
 x  3y  4  2x  y  3  x  3y  3
a)  b)  c) 
 2 x  y  1  y  2 x  1 2 x  6 y  6

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4.3. Resolución de sistemas por el método de sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y
sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podemos calcular la incógnita despejada. Con
el valor obtenido, obtenemos el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
 2 x  3 y  1
Vamos a resolver el sistema  por el método de sustitución:
 x  2y  3
Despejamos x de la segunda ecuación:
 2 x  3 y  1

x  2 y  3  x  3  2 y

y lo sustituimos en la primera:
2(3 – 2y) – 3y = –1  6 – 4y – 3y = –1  –4y – 3y = –1 – 6  –7y = –7  y = (–7)/(–7) = 1
Con el valor obtenido de y, calculamos la x:
x = 3 – 2y  x = 3 – 2∙1 = 1.
Solución:
x  1

y  1

31. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:
3 x  4 y  7 2 x  4 y  0  3x  2 y  2
a)  b)  c) 
 x  2y  1  3x  y  5 2 x  3 y  10

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4.4. Resolución de sistemas por el método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el
sistema e igualar los resultados obtenidos.
Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podremos calcular la incógnita despejada. Con
el valor obtenido, calculamos el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
 2 x  3 y  1
Vamos a resolver el sistema  por el método de igualación:
 x  2y  3
Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el sistema:
 3y 1
2 x  3 y  1  x 
 2
 x  2 y  3  x  3  2 y
Igualamos ahora los resultados obtenidos y resolvemos la ecuación resultante:
3y 1 7
 3  2 y  3 y  1  2(3  2 y )  6  4 y  3 y  4 y  6  1  7 y  7  y   1
2 7
x = 3 – 2y  x = 3 – 2∙(1) = 1
Solución:
x  1

y  1
32. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:
 3x  y  2  2 x  3 y  5 7 x  4 y  3
a)  b)  c) 
  2 x  3 y  5  4 x  2 y  14 3x  2 y  5

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4.5. Resolución de sistemas por el método de reducción
El método de reducción consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para
ello se multiplican una o ambas ecuaciones por un número de modo que los coeficientes de x o y sean
iguales pero de signo contrario.
Ejemplo:
 2 x  3 y  1
Vamos a resolver el sistema  por el método de reducción:
 x  2y  3
Multiplicamos la segunda ecuación por ‐2 para que los coeficientes de la x sean iguales pero de signo
contrario y sumamos las ecuaciones obtenidas:
 2 x  3 y  1  2 x  3 y  1
 ( 2)  sumamos
  –7y = –7  y = (–7)/(–7) = 1
 x  2 y  3    2 x  4 y  6
2x – 3∙1 = –1  2x = – 1 + 3 = 2  x = 2/2 = 1
Solución:
x  1

y  1

33. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
 3x  y  4 5x  3 y  2  2x  3 y  0
a)  b)  c) 
2 x  5 y  14  4x  y  7 3x  2 y  13
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5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
5.1. Resolución de problemas mediante ecuaciones de 2º grado
Para resolver problemas por medio de ecuaciones de 2º grado, primero tendremos que pasar a
lenguaje algebraico el enunciado del problema y luego resolverlo siguiendo los siguientes pasos:
1.‐ Comprender el enunciado
2.‐ Identificar la incógnita
3.‐ Traducir el enunciado al lenguaje algebraico
4.‐ Plantear la ecuación y resolverla
5.‐ Comprobar la solución obtenida
Vamos a resolver el siguiente problema:
¿Cuál es el número natural cuyo quíntuplo aumentado en 6 es igual a su cuadrado?
Una vez comprendido el enunciado, identificamos la incógnita, que en este caso, es el número que
estamos buscando.
2.‐ Número buscado = x
3.‐ Traducimos ahora el problema al lenguaje algebraico:
5x + 6 = x2
4.‐ Resolvemos la ecuación:
5x + 6 = x2  x2  5x  6 = 0
 b  b 2  4ac  ( 5)  (5)  4  1  ( 6) 5  25  24 5  49 5  7

2
x    
2a 2 1 2 2 2
57 57
x1   6 ; x2   1
2 2
Solución: Como el enunciado dice “número natural” el número buscado es el 6.
5.‐ Comprobación: En efecto 5∙6 + 6 = 36 = 62.

34. ¿Qué número multiplicado por 3 es 40 unidades menor que su cuadrado?
35. Calcula tres números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 365.
36. El triple del cuadrado de un número aumentado en su duplo es 85. ¿Cuál es el número?
37. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 20 cm y la base mide 4 cm, calcula los lados del
triángulo y su área.
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5.2. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones
Para resolver problemas por medio de sistemas de ecuaciones, primero tendremos que pasar a
lenguaje algebraico el enunciado del problema y luego resolverlo siguiendo los siguientes pasos:
1.‐ Comprender el enunciado
2.‐ Identificar las incógnitas
3.‐ Traducir el enunciado al lenguaje algebraico
4.‐ Plantear el sistema y resolverlo
5.‐ Comprobar la solución obtenida
Vamos a resolver el siguiente problema:
La suma de las edades de un padre y su hijo es 39 y su diferencia 25. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Una vez comprendido el enunciado, identificamos las incógnitas que, en este caso, son la edad del
padre y el hijo
2.‐ Edad del padre = x
Edad del hijo = y
3.‐ Pasamos el enunciado a lenguaje algebraico:
La suma de sus edades es 39:
x + y = 39
Y su diferencia 25:
x – y = 25
4.‐ Planteamos el sistema y lo resolvemos por el método que nos resulte más sencillo. En este caso, lo
hacemos por reducción:
 x  y  39 sumamos
   2x = 64  x = 64/2 = 32
 x  y  25
x + y = 39  32 + y = 39  y = 39 – 32 = 7.
Solución: El padre tiene 32 años y el hijo tiene 7 años.
5.‐ Comprobación: En efecto, la suma de las edades es 32 + 7 = 39 y la diferencia es 32 – 7 = 25.
38. La suma de las edades de Raquel y Luis son 65 años. La edad de Luis más cuatro veces la edad de
Raquel es igual a 104. ¿Qué edad tienen cada uno?
39. La suma de las edades de María y Alberto es 32 años. Dentro de 8 años, la edad de Alberto será dos
veces la edad de María. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
40. Encuentra dos números cuya diferencia sea 24 y su suma sea 123.
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CURIOSIDADES. REVISTA

CUADRADOS MÁGICOS Dos ecuaciones de segundo grado
interesantes
16 3 2 13

5 10 11 8 x2 = 2
Esta ecuación nos aparece al aplicar el
Teorema de Pitágoras a un triángulo
9 6 7 12 rectángulo isósceles de lados iguales a 1, o al
calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1.
Su solución es la longitud de la hipotenusa o
4 15 14 1 de la diagonal. Tiene de interesante que se
demuestra que dicha solución NO es un
número racional, un número que pueda
En el cuadro Melancolía del famoso escribirse como cociente de dos números
pintor alemán Alberto Durero (1471‐ enteros.
1528) aparece este cuadrado mágico
en el que todas las filas, columnas y
diagonales suman lo mismo, y además
ese mismo resultado se obtiene x + 1 = x2
sumando las cuatro casillas centrales. x 1 x
Además, las dos casillas del centro de También se puede escribir como: 
x 1
la línea inferior indican el año en el que es una proporción, donde x toma el valor
que este cuadrado mágico fue
1 5
resuelto, 1514.  1,618… que es el número de oro,
Confecciona un cuadrado mágico de 3 2
x 3 casillas, colocando los dígitos del 1 otro número irracional.
al 9 de forma que todas las filas, todas
las columnas, y todas las diagonales
sumen lo mismo.
DIOFANTO
Diofanto fue un famoso matemático griego del siglo III d. C. En el epitafio de su tumba escribió:
¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar ¡oh maravilla!
La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una
duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de su
existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además un quinquenio y entonces le hizo dichoso
el nacimiento de primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra habiendo vivido
la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda
pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo.
Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto.
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RESUMEN
Ecuación Igualdad entre dos expresiones algebraicas. 3x – 1 = 2x + 5
Incógnitas Letras de valor desconocido que contienen una ecuación En 3x – 1 = 2x + 5 la incógnita es x.
Grado de una El mayor exponente de la incógnita. La ecuación 3x – 1 = 2x + 5 es de
ecuación primer grado. La ecuación 3x2 = 27 es
de segundo grado.
Solución de una Número por el que se puede sustituir la incógnita para que Solución de 3x – 1 = 2x + 5 es x = 6.
ecuación la igualdad sea cierta.
Resolver una Es hallar su solución. 3x – 1 = 2x + 5
ecuación 3x – 2x –1 + 1 = 2x – 2x + 5 +1; x = 6
Ecuaciones Tienen las mismas soluciones 2x – 5 = x + 2 es equivalente a:
equivalentes 2x – x = 2 + 5
Pasos para resolver Quitar paréntesis (3x – 1) = 7/2
una ecuación: Quitar denominadores 1. 6x – 2 = 7/2
Agrupar los términos con x en un miembro y los términos 2. 12 x – 4 = 7
sin x en el otro. 3. 12 x = 7 + 4
Operar 4. 12 x = 11
Despejar la x. 5. x = 11/12
Pasos para resolver Leer el enunciado. Hallar un número que sumado a 7 da lo
un problema Escribir la ecuación. mismo que su doble menos 3.
mediante Resolver la ecuación. 1) Comprender el enunciado
ecuaciones Comprobar la solución. 2) x + 7 = 2x – 3
3) x – 2x = – 3 – 7; –x =–10; x = 10
4) 10 + 7 = 2∙ 10 – 3
Ecuación de Es una ecuación algebraica en la que la mayor potencia 3x2 + 7x + 8 = 0
segundo grado de la incógnita es 2. Tiene la forma: ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c son números reales, con a  0.
Resolución de 2 c 2x2  18 = 0: x   9   3
Si b = 0, ax + c = 0, despejamos la incógnita: x .
ecuaciones de 2º a 3x2  15x = 0  3x(x – 5) = 0  x1 = 0;
grado incompletas b x2 = 5.
Si c = 0, ax2 + bx = 0: x = 0 y x 
a
Sistema de ecuaciones  ax  by  c  x  2y  3
lineales  
a ' x  b ' y  c ' 7 x  3 y  4
Clasificación  x  3y  4
Compatible determinado: Una única solución. Las rectas son secantes: 
 2 x  y  1
 x  3y  3
Compatible indeterminado: Infinitas soluciones, por lo que las rectas son coincidentes: 
2 x  6 y  6
 x  3y  3
Incompatible: No tiene solución, las rectas son paralelas: 
2 x  6 y  2
Métodos de Sustitución: despejar una incógnita y sustituir en la otra ecuación.
resolución Igualación: despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones.
Reducción: sumar las dos ecuaciones, multiplicándolas por números adecuados.
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Ecuaciones de primer grado
1. Encuentra el número que falta:
a) O + 2 = 5 b) O + 3 = 1 c) O – 4 = 6 d) O – 4 = –1
2. Si Clara tiene x años y sabemos que aún no ha cumplido los 5, indica quién de las siguientes
personas puede ser la madre de Clara:
Persona Edad en años
Julia 3x – 9
María x2 – 17
Federica 3x + 5 + 7x + 6
Elisa x – 2x + 9
3. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones y escribe la solución en tu cuaderno:
a) x + 3 = 2 b) x – 2 = 3 c) x/5 = 1 d) x/3 + 2/3 = 4/3
4. Elige entre las siguientes ecuaciones todas las que sean equivalentes a la ecuación 3x – 6 = x + 9.
a) x + 10 = 17,5 c) 8 – x = 3x – 5x e) 4x = 30 g) 2x = 9 + 6 i) 10 –
2,5 = x
b) 6x + 2x = 60 d) 5x – 6 = 3x + 9 f) – 6 – 9 = x – 3x h) 3x = 15 j) x = 7,5
a) 2x – 5 = 4x – 7 d) x + 9 = 3x – 3 g) 4x + 2 = 14 i) 3x – 5 = 2x–
5
b) x – 12 = 7x + 6 e) 5x – x + 7 = 2x + 15 h) 3x – 4 = x + 18 k) 3x – 4 + x = 8
c) x – 1 = x + 5x + 9 f) 2x – 27 = x i) 4x – 6 = x + 9 l) 3 – 10 = x +
1
6. Escribe tres ecuaciones equivalentes a 2x – 3 = 5.
7. Escribe tres ecuaciones que tengan como solución x = 7.
8. Resuelve las ecuaciones siguientes: (Sugerencia: ilustra las ecuaciones mediante balanzas).
a) x – 5 = 9 b) x – 8 = 2 c) x – 3 = 4 d) x – 9 = 6
9. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 4x = 54 b)4x – 3x = 16 c) 5(x – 2) = 70 d) –5x – 2x = –49
a. 2x + 3 = 5 b. 4 x – 5 = x + 4 c. x/3 = –2 d. –2(3x – 4) = 2x + 5
11. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 4x – 4 = 2x b) 2(x + 7) = x c) x/3 + 2 = x d) 3(x + 3x) = x + 50
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12. Resuelve las ecuaciones:
a) x/2 – 2(x – 3x) = 27 b) 2x – (2x – 3) + x = 4 c) 7 = 1 + x/2 d) 4 – x = 2 + x/2
13. Resuelve:
a) x / 3 = 7; b) 3x = 9; c) x + 4 = 12; d) x – 7 = 1
14. Practica en tu cuaderno resolviendo las siguientes series de ecuaciones:
1ª serie
1) x + 4 = 6 2) x + 6 = 3 3) 15 = 11 + x 4) 7 = x + 3 5) x + 8 = 4
6) x + 6 = 8 7) x + 7 = 3 8) 8 + x = 16 9) 3 = 7 + x 10) 2 = x + 4
2ª serie
11) x – 3 = 6 12) x – 4 = 2 13) 4 = x – 1 14) 7 – x = 2 15) 6 – x = 4
16) 3 = 9 – x 17) x – 4 = 7 18) x – 2 = 0 19) 8 – x = 3 20) 9 – x = 5
3ª serie
21) 3x = 6 22) 4x = 16 23) 6x = 18 24) 8 = 2x 25) –12 = 3x
26) 2x = –6 27) 4x = 11 28) 3x = 6 29) 9 = 3x 30) 18 = 6x
4ª serie
31) x/5 = 1 32) x/3 = 7 33) x/–2 = 3 34) x/5 = 2/3 35) x/10= 3/2
36) x/7 = 2 37) x/12 = 3/4 38) x/3 = –2/9 39) x/5 = –2 40) x/7 = 3/14
5ª serie
41) x + 3x = 16 42) 4x + 2x = 6 43) 6x = 8 + 10 44) 3x + 7 = 4
45) 2x + 7 = 11 + 4x 46) x +1 = 2x – 5 + 2x 47) 3x – 2 + 4x = 3 – 3x + 1
48) 4x – 3 + x = 3x + 7 49) x + 4 + 4x = 2 – 2x + 5 50) 6x + 4 – 2x = 3 + 2x – 7
6ª serie
51) x/3 –2 = 4 52) 3x/5 + 4 = 3 53) x/3 + 2x/3 = 7 54) x/5 + 3x/5 = 9
55) x/2 + x/2 + 3 = 5 56) 3x/7 + 2x/7 + 3 = 6 57) x + x/5 = 7 58) x/2 + 5x/2 + 3 = 5
59) 5 + x/7 = 21 60) 3 + x/3 = 9
7ª serie
61) 3 + 4(2 – x) = 9 – 2x 62) 5 – 2(x + 2) = x – 5
63) 13 + 3(2x + 5) = 2(x + 3) – 1 64) 7 – 2(3x – 5) = 13 – 2(4x – 7)
65) 5x – 3(2x – 4) = 36 – 3(4x + 6) 66) 2(3x – 5) – (2x + 1)= 17 – 3x
67) 2(x + 4) + 3x = –34 – 3(5x + 6) 68) 5 – 2(7 – 2x) = x – 6
69) 3x – 4(x – 1) = 8 – 5x 70) 5x – (2x + 3) = 2x – 5
8ª serie
71) x/3 + x/6 = 12 72) x/6 + x/3 + x/2 = 5 73) (x – 3)/5 = 1 74) x/2 – 3 = 4
75) (2x + 9)/3 = 7 76) (2x + 9)/3 = x 77) (x – 3)/5 = x 78) 5 + x/4 = 6
79) 4x/3 + 5x/6 = x/3 + 2 80) 2x/3 + 7x/2 + 5x = 8 + x/6
Problemas
15. Si un repartidor de pedidos ha dejado los 2/5 de los paquetes que llevaba en la primera casa, y aún
le quedan 99 kg por repartir, ¿cuántos kilos tenía en un principio?
16. Resuelve mentalmente los siguientes problemas:
a) ¿Cuántos cromos tengo si el doble de los que poseo es 20?
b) ¿Cuántas canicas tengo si al darme 7 tendré 37?
c) ¿Cuántos discos tengo si al regalar 5 me queda una docena?
d) Manuel, dentro de 6 años tendrá 18. ¿Cuántos años tiene ahora?
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17. En una granja hay 70 animales entre gallinas y conejos, y entre los dos, suman 180 patas. ¿Cuántas
gallinas hay en la granja?
18. Halla el número tal que su doble más tres sea igual que su triple menos dos.
19. Repartimos 150 € entre tres personas de forma que la primera recibe el doble que la segunda y ésta
el triple que la tercera. ¿Cuánto le corresponde a cada una?
20. El ángulo mayor de un triángulo mide el doble que el menor y éste 20 grados menos que el mediano.
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo? (Recuerda que los tres ángulos de un triángulo
suman 180 grados)
21. Si al quíntuplo de un número le restas dos obtienes 27. ¿Cuál es el número?
22. Un número y su siguiente suman 87. ¿Cuáles son esos números?
23. Un bolígrafo cuesta el triple que un lápiz. He comprado cinco lápices y cuatro bolígrafos y me han
costado 2,55 €. ¿Cuánto cuesta un lápiz? ¿Y un bolígrafo?
24. En mi monedero llevo diez monedas, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos. Si tengo 2,90 € en
total, ¿Cuántas monedas de cada tipo tengo?
25. El perímetro de un rectángulo es de 120 metros y la altura es 24 metros más larga que la base.
¿Cuánto miden la base y la altura del rectángulo?
26. Laura dice que si al triple de la edad que tiene le restas la mitad, el resultado es 30. ¿Qué edad tiene
Laura?
27. Un hijo tiene 12 años y su padre 35. ¿Cuántos años deben de pasar para que la edad del padre sea el
doble que la del hijo?
28. Calcula la longitud del lado de un triángulo equilátero sabiendo que su perímetro es de 18 cm.
29. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles sabiendo que el perímetro es 18 cm y cada
lado igual mide 3 cm más que el lado desigual.
30. Si a la tercera parte de un número le sumas dos, obtienes el mismo resultado que si al número le
sumas uno y divides entre dos.
31. El perímetro de un triángulo isósceles mide 30 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno de
sus lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado?
32. Hemos comprado 12 artículos entre mesas y sillas. ¿Cuántas hemos comprado de cada si cada mesa
cuesta 130 € y cada silla 60 € y en total nos ha costado 860 €?
33. Cuadrados mágicos: En el cuadro Melancolía del famoso pintor alemán
Alberto Durero (1471‐1528) aparece este cuadrado mágico en el que todas 16 3 2 13
las filas, columnas y diagonales suman lo mismo, y además ese mismo
resultado se obtiene sumando las cuatro casillas centrales. Además, las dos 5 10 11 8
casillas del centro de la línea inferior indican el año en el que este cuadrado
mágico fue resuelto, 1514. Confecciona un cuadrado mágico de 3 x 3 casillas, 9 6 7 12
colocando los dígitos del 1 al 9 de forma que todas las filas, todas las
columnas, y todas las diagonales sumen lo mismo. 4 15 14 1

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34. DIOFANTO: Diofanto fue un famoso matemático griego del siglo III d. C. En el epitafio de su tumba
escribió:
 ¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar ¡oh maravilla! La
duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia.
 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba.
 A partir de ahí, la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
 Pasó, además un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de primogénito.
 Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra habiendo vivido la mitad de lo que su
padre llegó a vivir.
 Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro
años a su hijo.
Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto.
a) Escribe en lenguaje algebraico el epitafio de la tumba de Diofanto
b) Resuelve la ecuación. Comprueba que Diofanto vivió 84 años.

Ecuaciones de segundo grado
35. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado
a) x2  6x  8 = 0 b) x( 1 + x) = 6 c) 7x2 = 70x
d) 2(x + 3)  x(2x + 1) = 5 e) 5(2x  1) + x(x  1) = 5 f) 12(x2  1) – 6(2 + x) =  18
g) (2x + 3)∙(x  1) = x  3 h) x∙(x + 2) = 168 i) 6(2x2  3x + 1)  x(2x – 1) = –1

36. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado con denominadores:
x2 1 x 1 x2  3 x2  x 1 x2  1 2x  6
a)   10 b)   3 c)   2
2 3 3 7 5 10
1  x 2 3x  1 1 2 x 2  8 3x  9 2 x  3x 2 3x  6
d)   e)   x  1 f)   1
2 3 3 5 10 5 10
37. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:
a) x2  7x + 10 = 0 b) x(1 + x) = 0 c) 2x2 = 50
d) x2  3x  10 = 0 e) x2 + 3x  10 = 0 f) x2 + 7x + 10 = 0
g) x2  5x + 6 = 0 h) x2  x  6 = 0 i) x2 + x  6 = 0
38. Factoriza las ecuaciones del problema anterior. Así, si las soluciones son 2 y 5, escribe:
x2  7x + 10 = 0  (x – 2)∙(x – 5) = 0.
Observa que si el coeficiente de x2 fuese distinto de 1 los factores tienen que estar multiplicados
por dicho coeficiente.

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39. Cuando el coeficiente b es par (b = 2B), puedes simplificar la fórmula:
 b  b 2  4ac  2 B  4 B 2  4ac  2 B  2 B 2  ac  B  B 2  ac
x   
2a 2a 2a a
Así para resolver x2  6x + 8 = 0 basta decir x  3  9  8  3  1 , luego sus soluciones son 2 y 4.
Utiliza esa expresión para resolver:
a) x2  8x  12 = 0 b) x2  10x + 24 = 0 c) x2 + 4x + 7 = 0
40. Resuelve mentalmente las ecuaciones siguientes, luego desarrolla las expresiones y utiliza la
fórmula general para volver a resolverlas.
a) (x – 2)∙(x – 6) = 0 b) (x + 1)∙(x – 3) = 0 c) (x – 9)∙(x – 3) = 0
d) (x – 1)∙(x + 4) = 0 e) (x + 7)∙(x – 2) = 0 f) (x – 4)∙(x + 6) = 0
41. Determina el número de soluciones reales que tienen las siguientes ecuaciones de segundo grado
calculando su discrimínate, y luego resuélvelas.
a) x2 + 3x  4 = 0 b) 7x2 + 12x  4 = 0 c) 3x2 + 7x + 10 = 0
d) x2  x + 5 = 0 e) 6x2  2x  3 = 0 f) 5x2 + 8x  6 = 0
42. Escribe tres ecuaciones de segundo grado que no tengan ninguna solución real. Ayuda: Utiliza el
discriminante.
43. Escribe tres ecuaciones de segundo grado que tengan una solución doble.
44. Escribe tres ecuaciones de segundo grado que tengan dos soluciones reales y distintas.
45. ¿Podrías escribir una ecuación de segundo grado con únicamente una solución real que no fuese
doble?
Sistemas lineales de ecuaciones
46. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:
2 x  5 y  4  3x  y  4 6 x  5 y  7
a)  b)  c) 
 3x  y  7 2 x  5 y  7  2x  3y  1
47. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:
 2 x  3 y  13 5 x  2 y  3  9x  5 y  4
a)  b)  c) 
3x  7 y  27  4x  y  0  8x  3 y  5
48. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:
3x  5 y  1 4x  3 y  14  9x  5 y  4
a)  b)  c) 
 2x  y  5  x  6 y  7  7 x  5 y  2
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49. Resuelve de forma gráfica los siguientes sistemas
x  y  7 4 x  3 y  4  9 x  5 y  13
a)  b)  c) 
x  y 1  x  6y  1  7 x  5 y  9
50. Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más apropiado:
 4x  1 2 y  2
 3  5  1  3x  1 y  3 x 1 y  2
   3   2
a)  b)  2 5 c)  2 3
x  3 4y 1
  7  3x  y  1  3x  2 y  1
 2 3
51. Copia en tu cuaderno y completa los siguientes sistemas incompletos de forma que se cumpla lo
que se pide en cada uno:
Compatible indeterminado Incompatible Su solución sea x = 2 e y = 1
 x  3 y     5x  y  2 3x  y   
a)  b)  c) 
 2x  y  3   x  y  6  x  y  7
Incompatible Su solución sea x = 1 e y = 1 Compatible indeterminado
 2 x  5 y  1 3x    y  1  x  6 y   
d)  e)  f) 
4 x    y      x  3 y  5  2 x  3 y  2
52. Escribe tres sistemas lineales que sean incompatibles.
53. Escribe tres sistemas lineales que sean compatibles indeterminados.
54. Escribe tres sistemas lineales que sean compatibles determinados.
55. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación y comprueba la solución gráficamente.
¿De qué tipo es cada sistema?
 2 x  6 y  13  x  y  3  x y 4
a)  b)  c) 
 x  3y  8 4 x  4 y  12  x  3 y  5
Problemas
56. En una tienda alquilan bicicletas y triciclos. Si tienen 51 vehículos
con un total de 133 ruedas, ¿cuántas bicicletas y cuántos triciclos
tienen?
57. ¿Cuál es la edad de una persona si al multiplicarla por 15 le faltan
100 unidades para completar su cuadrado?

58. Descompón 8 en dos factores cuya suma sea 6
59. El triple del cuadrado de un número aumentado en su duplo es 85. ¿Qué número es?
60. La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 394. Determina dichos números.
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61. Van cargados un asno y un mulo. El asno se quejaba del peso que llevaba
encima. El mulo le contestó: Si yo llevara uno de tus sacos, llevaría el doble
de carga que tú, pero si tú tomas uno de los míos, los dos llevaremos igual
carga. ¿Cuántos sacos lleva cada uno?
62. ¿Qué número multiplicado por 3 es 40 unidades menor que su cuadrado?
63. Calcula tres números consecutivos cuya suma de cuadrados es 365
64. Dentro de 11 años, la edad de Mario será la mitad del cuadrado de la edad
que tenía hace 13 años. ¿Qué edad tiene Mario?

65. Dos números naturales se diferencian en 2 unidades y la suma de sus
cuadrados es 580. ¿Cuáles son dichos números?
66. La suma de dos números es 5 y su producto es 84. ¿De qué números se trata?
67. María quiere formar bandejas de un kilogramo con mazapanes polvorones. Si los
polvorones le cuestan a 5 euros el kilo y los mazapanes a 7 euros el kilo, y quiere
que el precio de cada bandeja sea de 6 euros, ¿qué cantidad deberá poner de
cada producto? Si quiere formar 25 bandejas, ¿Qué cantidad de polvorones y de
mazapanes va a necesitar?
68. Determina los catetos de un triángulo rectángulo cuya suma es 7 cm y la
hipotenusa de dicho triángulo mide 5 cm.
69. El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados 17. Calcula dichos números
70. La suma de dos números es 20. El doble del primero más el triple del segundo es 45. ¿De qué
números se trata?
71. En un garaje hay 30 vehículos entre coches y motos. Si en total
hay 100 ruedas, ¿cuántos coches y motos hay en el garaje?
72. La edad actual de Pedro es el doble de la de Raquel. Dentro de 10
años, sus edades sumarán 65. ¿Cuántos años tienen actualmente
Pedro y Raquel?
73. En mi clase hay 35 personas. Nos han regalado a cada chica 2
bolígrafos y a cada chico 1 cuaderno. Si en total había 55 regalos.
¿Cuántos chicos y chicas somos en clase?
74. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano,
¿qué edad tiene cada uno?
75. Dos bocadillos y un refresco cuestan 5€. Tres bocadillos y dos
refrescos cuestan 8€. ¿Cuál es el precio del bocadillo y el
refresco?
76. En una granja hay pollos y vacas. Si se cuentan las cabezas, son
50. Si se cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos pollos y vacas hay
en la granja?
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77. Un rectángulo tiene un perímetro de 172 metros. Si el largo es 22 metros mayor que el ancho,
¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
78. En una bolsa hay monedas de 1€ y 2€. Si en total hay 40 monedas y
53€, ¿cuántas monedas de cada valor hay en la bolsa?
79. En una pelea entre arañas y avispas, hay 70 cabezas y 488 patas.
Sabiendo que una araña tiene 8 patas y una avispa 6, ¿cuántas moscas
y arañas hay en la pelea?
80. Una clase tiene 32 estudiantes, y el número de alumnos es triple al de
alumnas, ¿cuántos chicos y chicas hay?
81. Yolanda tiene 6 años más que su hermano Pablo, y su madre tiene 50
años. Dentro de 2 años la edad de la madre será doble de la suma de las edades de sus hijos, ¿Qué
edades tiene?

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71

AUTOEVALUACIÓN
1. La solución de la ecuación 3,4 + 5,2x – 8,1x = 9,4 + 7,3x es:
a) –10/17 b) +6/–10,2 c) – 10/1,7 d) 0,58
2. La ecuación x2 = 4 tiene de soluciones:
a) 2 b) –2 c) 2 y –2 d) 0 y 2
3. La suma de las edades de dos personas es de 50 años y su diferencia, 8 años. ¿Cuál de las
siguientes ecuaciones nos permite calcular sus edades?
a) x + x +8 = 50 b) x – 8 = 50 c) 50 + x = 8 – x d) x + x – 8 = 50
4. El perímetro de un rectángulo es 70 cm. Si la base es el triple de la altura menos 5 cm, las
dimensiones del rectángulo son:
a) 30 y 11 b) 20 y 9 c) 25 y 10 d) 55 y 20
5. Tres números suman 142. El mediano es el doble del menor, y el mayor es triple del menor
menos 8. ¿Cuál de estas ecuaciones nos permite hallar los números?
a) 2x + x + 3x = 142 b) x + 3x + 2x = 142 + 8 c) x + 2x + 3x = 142 – 8 d) 6x = 136
6. Las soluciones de la ecuación 3(x2 – 1) + 2(x2 – 2x) = 9 son:
a) x = 2 y x = 1 b) x = 1 y x = –3 c) x = 1 y x = –2/3 d) x = 2 y x = –6/5
7. Las soluciones de la ecuación 156 = x(x – 1) son:
a) x = 11 y x = –13 b) x = 13 y x = –12 c) x = 10 y x = 14 d) x = –12 y x = –11
8. Las soluciones de la ecuación 3x2 –14x + 15 = 0 son:
a) x = 2 y x = 2/3 b) x = 1/3 y x = 4 c) x = 1 y x = 4/3 d) x = 5/3 y x = 3
 3x  4 y  2
9. La solución del sistema  es:
6 x  8 y  12
a) x = 2 e y = 1 b) x = 1 e y = 1 c) x = 3 e y = 2 d) No tiene solución
3 x  4 y  2
10. La solución del sistema  es:
 5 x  y  11
a) x = 4 e y = 2 b) x = 3 e y = 3 c) x = 2 e y = 1 d) x = 5 e y = 1

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Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible

 b  b 2  4ac  ( 5)  (5)  4  1  ( 6) 5  25  24 5  49 5  7

d) 2(x + 3)  x(2x + 1) = 5 e) 5(2x  1) + x(x  1) = 5 f) 12(x2  1) – 6(2 + x) =  18

g) (2x + 3)∙(x  1) = x  3 h) x∙(x + 2) = 168 i) 6(2x2  3x + 1)  x(2x – 1) = –1

Compatible indeterminado Incompatible Su solución sea x = 2 e y = 1

Incompatible Su solución sea x = 1 e y = 1 Compatible indeterminado

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