Infmi GRP01
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2. Motivación
La simplicidad y sencillez que caracteriza al método de la matriz inversa para calcular
las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales provoca su constante y muy común
utilización, siendo una de las primeras opciones consideradas para la resolución de un
sistema cuando se cuenta con algún software que facilite el proceso de cálculo, ya que
en caso de existir la necesidad de realizarse estos cálculos a mano, su complejidad se
codea algunos de los otros métodos más comunes debido a que es precisa la
comprobación de un determinante no nulo para posibilitar la búsqueda de la inversa de
la matriz correspondiente a los coeficientes de las ecuaciones del sistema, así como
también dependerá mucho de la cantidad de ecuaciones que se pretenda solucionar.
Objetivo General:
Objetivos Específicos
4. Contenido
Demostración
Definición
matemática Aplicaciones
Formulación
Caracterización
matemática
Ventajas y
Propiedades
desventajas
4.1.2. Caracterización
El método de la matriz inversa se caracteriza por la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales tales que Ax=B, calculando la matriz inversa de A y multiplicándola
por B, de modo que x=A-1B.
Para esto es necesaria la consideración de que a cada matriz cuadrada Anxn le
corresponde una matriz inversa A-1 nxn tal que:
A−1 × A= A × A−1=1
Siempre y cuando el determinante de la matriz A sea diferente de cero.
4.1.2.1. Ventajas y Desventajas
VENTAJAS DESVENTAJAS
Solamente es necesario conocer el El método, así como la mayoría de
cálculo de la matriz inversa y el métodos para resolución de sistemas de
producto de matrices. ecuaciones, es solamente posible para
matrices de coeficientes con
determinantes mayores a cero
Debido a las herramientas de cálculo Al calcular la matriz inversa de la
del software Matlab, es cálculo de las matriz de coeficientes con el uso del
soluciones es rápido y sencillo. ordenador, el cálculo es propenso a
arrojar un error que, aunque mínimo, es
posible si incidencia en las soluciones.
El método es sencillo de implementar
en Matlab, además de que, este
software nos permite el rápido cálculo
de la matriz inversa
4.1.2.2. Propiedades
Convergencia del Método
Debido a que el método de la matriz inversa es un método de cálculo directo, nos
facilita el valor exacto de las soluciones del sistema de ecuaciones, sin necesidad de
recurrir a aproximaciones iteradas ni métodos de aproximación adicionales, por lo que
se este método, siempre que pueda ser aplicado, va a converger.
[
A= a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3 ] [] B= b2,1
b3,1
[ ][ ] [ ]
a2,1 a2,2 a2,3 x 2 = b2,1
a3,1 a3,2 a3,3 x 3 b3,1
A × x=B
De done:
x= A−1 × B
Que, para nuestro ejemplo sería:
−1
x1 a1,1 a 1,2 a1,3 b1,1
[][
x 2 = a2,1 a 2,2 a2,3
x3 a3,1 a 3,2 a3,3 ][ ] b2,1
b3,1
[
A= a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3 ] Suponemos una matriz cuadrada de
orden n, la cual representamos con una
matriz de 3x3
AFIRMACIÓN JUSTIFICACIÓN
An × n Sea la matriz A, una matriz
Bn ×1 cuadrada de orden n, de los
X n× 1 coeficientes de las variables de las
ecuaciones del sistema, B la matriz
de los términos independientes de
esas ecuaciones y X la matriz
simbólica de las variables del
sistema
Debido al concepto de producto de
matrices, podemos descomponer
nuestras ecuaciones en las tres
matrices mencionadas
anteriormente y organizarlas en
A × X=B esta expresión manteniendo total
coherencia debido a que de
multiplicar la dicha expresión se
obtendrán las ecuaciones de las que
formulamos las matrices
originalmente
Con el objetivo de despejar X, y en
vista de que no existe la división de
A−1 × A × X= A−1 × B matrices, multiplicamos a ambos
lados de la matriz por la matriz
inversa de A.
Sabiendo que el producto de una
matriz por su inversa da como
resultado 1, logramos despejar X,
obteniendo la expresión final con la
que concluimos que al multiplicar
X =A −1 × B la matriz inversa de los
coeficientes, por la de los términos
independientes, en ese orden,
tendremos como resultado las
soluciones de las variables del
sistema.
[
A= −1.31 0.911 1.99
11.2 −4.3 −0.605 ]
−5.173
[ ]
B= −5.458
4.415
X =A −1 × B
1
X= 2
−3[]
5.2 Diagrama del problema
Recomendaciones
• Es preciso revisar la estructura y dimensiones de las matrices ingresadas a la
función para resolver de forma óptima el sistema deseado.
• El método no admite matrices con determinante nulo, por lo que es importante
asegurarnos de ingresar un sistema son ecuaciones linealmente dependientes, o en su
defecto, ingresar el parámetro para solucionar este inconveniente.
6. Referencias
Chapra, S., & Raymond, C. (2006). Métodos numéricos para Ingenieros. México: McGraw Hill
5ta Ed.
http://es.slideshare.net/hermesx10/expansin-polinomial-en-series-de-taylor
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html
Technology.
http://es.slideshare.net/EFaSAR/serie-de-taylor-14431889