Unidad 3. Transformada de Laplace y Series de Fourier
Unidad 3. Transformada de Laplace y Series de Fourier
Unidad 3. Transformada de Laplace y Series de Fourier
Ecuaciones diferenciales
5° Semestre
Índice
Propósitos ............................................................................................................ 4
Autoevaluación .................................................................................................. 77
Autorreflexiones ............................................................................................. 78
Presentación de la unidad
En esta tercera unidad serán cubiertos conceptos que se utilizarán para modelar y
resolver matemáticamente de una forma adecuada problemas existentes en fenómenos
físicos que encuentran relación con las ecuaciones diferenciales. Para ello, se tratarán los
temas de la transformada de Laplace y las series de Fourier definiendo ambas,
aprendiendo a calcular la transformada inversa, facilitando el reconocer las propiedades
de linealidad y traslación, identificando las condiciones suficientes de existencia para la
aplicación de éstas, y aprendiendo a calcular la transformada y series para funciones
básicas y definidas por tramos. Serán mostrados los fundamentos que permiten hacer uso
de estas dos herramientas matemáticas, detallando las fórmulas de Euler, la forma de las
series trigonométricas y funciones con periodicidad, así como el tratamiento de aquellas
funciones no periódicas por medio de series. Se estudiarán casos particulares y la
aplicación de la transformada de Laplace y series de Fourier para resolver problemas
asociados con fenómenos físicos presentes en las energías renovables.
Propósitos
Por otro lado, esta unidad tiene como propósito permitirte identificar las series de Fourier
y su aplicación en el tratamiento de problemas que puedan involucrarlas dentro de
fenómenos físicos.
Competencia específica
Foro de dudas
Para distinguir una función previa a ser transformada de una que ya lo ha sido, algunos
autores en sus libros hacen uso de letras minúsculas al escribirlas, y una vez ya
transformada de mayúsculas.
∞
L{y(t)} = ∫ e−st y(t)dt = Y(s)
0
∞
L{p(t)} = ∫ e−st p(t)dt = P(s)
0
∞
L{g(t)} = ∫ e−st g(t)dt = G(s)
0
Un ejemplo muy básico de ello sería el querer obtener la transformada de Laplace para
una función representada por un número constante. Se propone
∞ b
−st
L{f(t)} = ∫ e f(t)dt = limb→∞ ∫ e−st f(t)dt = F(s)
0 0
∞ b
−e−st b
L{1} = ∫ (e−st )(1)dt = limb→∞ ∫ (e−st )(1)dt = limb→∞ |
0 0 s 0
−e−sb − (−e(−s)(0) ) −e−s∞ + e0
= limb→∞ =
s s
−e−s∞ + e0 0 + 1 1
= =
s s s
Entonces
1
L{1} =
s
para s > 0.
Ésta última condición se debe a que si s < 0 el exponente de e, −st, será positivo, y si t
tiende a infinito en el límite, e∞ hace que la integral no exista, a lo que se le nombra como
divergencia. En otras palabras, cuando el límite no existe, tampoco lo hace la integral.
Caso contrario, si el límite existe hay convergencia en la integral, que es otra forma de
decir que existe.
Como ha sido mostrado, cuando la integral tiene convergencia, resulta de esta una
función de s, esto es, F(s).
Para ver más cálculos de la transformada de Laplace para funciones básicas consulta el
subtema 3.1.5. Transformada de Laplace de funciones básicas de esta unidad 3.
Se ha visto que la transformada de Laplace permite cambiar una función en otra para
facilitar y aplicar las operaciones necesarias en su resolución, pero al final lo que se tiene
es el resultado en unidades diferentes, lo que aún dejaría sin tener la solución del
problema original. Se debe entonces encontrar la manera de regresar a las formas previas
Para resolver problemas haciendo uso de la transformada, lo que sea inferido que se
puede hacer hasta el momento es:
En éste último paso lo que se hará será aplicar aquello a lo que se le conoce como
transformada inversa.
siempre y cuando
L{f(t)} = F(s)
1
F(s) =
s
Entonces
1
L−1 {F(s)} = L−1 { }
s
Para resolverla se puede realizar todo el proceso de manera invertida al llevado a cabo en
el subtema 3.1.1. Definición de transformada de Laplace, completando la equidad para
agregar los términos que se sabe que tiene la definición de la transformada de Laplace,
∞
L{f(t)} = ∫ e−st f(t)dt
0
para al final tener una expresión similar a
−e−st b
limb→∞ |
s 0
∞
∫ e−st dt
0
∞
∫ e−st dt
0
∞
L{f(t)} = ∫ e−st f(t)dt
0
1
L−1 {F(s)} = f(t) → L−1 { } = 1
s
Puedes observar que se requiere mucha habilidad y práctica para poder encontrar
transformadas inversas por medio de ir completando las expresiones provistas hasta
llegar a la que se necesita. Es por eso que se basará, para facilitar su correcta aplicación,
en transformadas de Laplace que se calculará en temas posteriores y otras ya calculadas,
1
F(s) =
s
es
1
L−1 { } = 1
s
Para poder facilitar llegara una expresión conocida como transformada de una función, se
recomienda convertir primero el denominador a una forma reconocida y posteriormente el
numerador. Algunas formas de manipular denominadores pueden ser, entre otras, el
método de completar la expresión cuadrática y el método de fracciones parciales.
Bronson, R., (2003, p. 58-59) presenta esos dos métodos de la siguiente manera:
Método 1
2 2
b 2
b b2 b2
as + bs + c = a (s + s) + c = a (s + s) + − + c =
a a 4a 4a
b a b2 b2 b b2 b2
a (s 2 + s) + − + c = a (s 2 + s) + a 2 − + c =
a a 4a 4a a 4a 4a
b b2 b2 b b b2
a((s 2 + s) + 2 ) + c − = a(s 2 + s + ( )2 ) + (c − ) =
a 4a 4a a 2a 4a
b 2 b2
a(s + ) + (c − ) = a(s + k)2 + h2
2a 4a
en donde
b b2 b2
k= y h2 = c − , por lo que h = √c −
2a 4a 4a
Método 2
a(s)
Si se tiene una expresión de la forma b(s)
en donde tanto a como b son polinomios, el
método de las fracciones parciales la convierte en la suma de otras fracciones en donde
el denominador de cada nueva fracción es uno de primer grado o cuadrático elevado a
alguna potencia. Para poder utilizarlo se requiere que el grado de a sea menor al de b, y
que b sea factorizable en el producto de polinomios lineales y cuadráticos elevados a
varias potencias.
El método dice que para cada factor de b del tipo (s − a)m debe de asignarse una suma
de m fracciones de la forma
A1 A2 A3 Am
+ 2
+ 3
+ ⋯+
s − a (s − a) (s − a) (s − a)m
Para cada factor de b del tipo (s 2 + bs + c)n debe de asignarse una suma de n fracciones
de la forma
B1 s + C1 B2 s + C2 B3 s + C3 Bn s + Cn
+ 2 + 2 + ⋯+ 2
s2+ bs + c (s + bs + c) 2 (s + bs + c)3 (s + bs + c)n
Reproduce el siguiente video para ver un ejemplo de cómo usar este segundo método:
Más adelante, en los temas 3.1.7 y 3.1.10 de esta unidad, se presentará su aplicación en
los cálculos de la transformada.
Para manipular el numerador se hace uso de simple álgebra. Por ejemplo, si se tiene en
el numerador una expresión del tipo s − a podría ser reescrita como (s − b) + (b − a), y si
se tuviera una constante a en el numerador que requiriera completarse se podría
b a
multiplicar todo por la unidad creada por , para tener un resultante de la forma a = b.
b b
Como una pequeña introducción al tema 3.1.3, y a manera de cierre de éste 3.1.2 en que
se ha tratado a la transformada inversa, una vez que la has determinado posiblemente te
preguntes cómo saber que se ha seleccionado a la función correcta para regresar, en el
paso 4 de nuestro algoritmo, a la solución de nuestra incógnita original. Blanchard, P.,
Devaney, R. L. y Hall, G. R. (1999, p.505-506) hablan de una propiedad de la
transformada inversa llamada unicidad. Esta propiedad dice que si f(t) es función continua
con transformada de Laplace L{f(t)} = F(s), f(t) será la única función (de ahí lo de
“unicidad”) que tendrá por transformada L{f(t)} a F(s). Por eso se dice “la transformada
inversa de F(s)” en lugar de “una transformada inversa de F(s)”, ya que será la única.
Para ver más cálculos de la transformada inversa de Laplace para funciones básicas
puedes consultar el subtema 3.1.7 de esta unidad 3.
d d d
[αf(x) + βg(x)] = α f(x) + β g(x)
dx dx dx
𝑏 𝑏 𝑏
∫ [αf(x) + βg(x)]dx = α ∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx
𝑎 𝑎 𝑎
b b b
∫ [αf(x) + βg(x)]dx = α ∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx
a a a
∞ b
L{f(t)} = ∫ e−st f(t)dt = limb→∞ ∫ e−st f(t)dt = F(s)
0 0
∞ ∞ ∞
L{f(t) + g(t)} = ∫ e−st [αf(t) + βg(t)]dt = ∫ e−st αf(t)dt + ∫ e−st βg(t)dt
0 0 0
∞ ∞
= α ∫ e−st f(t)dt + β ∫ e−st g(t)dt
0 0
dy
La transformada de una función f(t) expresable como dt
supone la existencia de una
función y(t) con transformada L{y}, esto es,
dy
L{f(t)} = L{ }
dt
dy
L{ } = sL{y} − y(0)
dt
∞ b
−st
L{f(t)} = ∫ e f(t)dt = limb→∞ ∫ e−st f(t)dt = F(s)
0 0
∞
dy dy
L{f(t)} = L{ } = ∫ e−st dt
dt 0 dt
u = e−st
y
dy
dv = dt
dt
du = −se−st dt
dy
dv = dt → dv = dy → ∫ dv = ∫ dy → v = y
dt
∞ ∞
dy
∫ e−st dt = [limb→∞ e−st y(t)|b0 ] − ∫ (y(t))(−se−st dt)
0 dt 0
∞
= [limb→∞ e−st y(t)|b0 ] + ∫ y(t)se−st dt
0
∞ ∞
= e−∞ y(t) − e0 y(0) + s ∫ y(t)e−st dt = −y(0) + s ∫ y(t)e−st dt
0 0
∞
−y(0) + s ∫ y(t)e−st dt = −y(0) + sL{y(t)}
0
o lo que es lo mismo
dy
L{ } = sL{y} − y(0)
dt
∞ ∞ ∞
L{eat f(t)} = ∫ eat e−st f(t)dt = ∫ et(a−s) f(t)dt = ∫ e−(s−a)t f(t)dt = F(s − a)
0 0 0
Cuatro propiedades más, expuestas por Bronson, R. (2003), son las siguientes:
dn
L{x n f(x)} = (−1)n F(s)
ds n
f(x)
2 Si L{f(x)} = F(s) y si el limx→0 x>0 existe, entonces
x
∞
1
L{ f(x)} = ∫ F(t)dt
x s
x
1
L{∫ f(t)dt} = F(s)
0 s
4 Por último, si f(x) es una función periódica con un periodo ω, esto es, f(x + ω) =
f(x) entonces
ω
∫0 e−sx f(x)dx
L{f(x)} =
1 − e−ωs
Zill (1997) establece que las condiciones suficientes para que exista la transformada de
Laplace se definen por el siguiente teorema, “si f(t) es continua por tramos en el intervalo
[0, ∞) y de orden exponencial c para t > T, entonces L{f(t)} existe para s > c”.
Tal vez te preguntes a qué se refiere cuando se habla de la continuidad por tramos de
f(t). Nagle, K., Saff, E. B. y Snider, A. D (2005) lo explican de esta forma: Si f(t) es
continua en cada punto de un intervalo finito [a, b] pero no lo es en una cantidad finita de
puntos donde presenta discontinuidad o saltos, entonces se dice que es una función
continua por partes. Ampliando la definición, establecen que la función es continua por
partes en [0, ∞) si es continua por partes para cualquier N > 0 en [0, N].
Se tiene la siguiente transformada aplicada sobre f(t) que puede partirse en dos tramos
∞ T ∞
L{f(t)} = ∫ e−st f(t)dt = ∫ e−st f(t)dt + ∫ e−st f(t)dt = I1 + I2
0 0 T
Se sabe que I1 puede ser expresada como una adición de integrales en intervalos donde
e−st f(t) tiene continuidad.
∞ ∞ ∞ ∞
e(−s+c)t ∞
|I2 | ≤ ∫ |e−st f(t)|dt ≤ M ∫ e−st ect dt = M ∫ e−st+ct dt = M ∫ e(−s+c)t dt = M |
T T T T −s + c T
e(−s+c)∞ e(−s+c)T e−∞(s−c) e(−s+c)T e(−s+c)T
=M −M =M −M =0−M
−s + c −s + c −s + c −s + c −s + c
e(−s+c)T e−(s−c)T
= −M =M
−s + c s−c
Esto ocurre para s > c para que la integral converja (exista). Recuerda que e−∞ = 0.
Si s = c entonces e(−s+c)t , para t valuado en ∞, daría e(0)(∞), haciendo que la integral
diverja (no exista). Si s < c entonces e(−s+c)t , para t valuado en ∞, daría e(α)(∞) en donde
α es un número positivo, resultando en e∞ , haciendo de nuevo que la integral diverja.
∞ b
L{f(t)} = ∫ e−st f(t)dt = limb→∞ ∫ e−st f(t)dt = F(s)
0 0
Se inicia con el cálculo de la transformada de una constante, que parte del ejemplo básico
utilizado en el subtema 3.1.1.
∞ b
−e−st b
L{1} = ∫ (e−st )(1)dt = limb→∞ ∫ (e−st )(1)dt = limb→∞ |
0 0 s 0
−e−sb − (−e(−s)(0) ) −e−s∞ + e0 0 + 1 1
= limb→∞ = = =
s s s s
1
Por tanto L{1} = s
para s > 0.
∞ b
−e−st b
L{k} = ∫ (e−st )(k)dt = limb→∞ ∫ (e−st )(k)dt = limb→∞ k |
0 0 s 0
−e−sb − (−e(−s)(0) ) −e−s∞ + e0 0+1 k
= limb→∞ k =k =k =
s s s s
k
Por tanto L{k} = para s > 0.
s
Si f(t) = t,
∞ b
−st
L{t} = ∫ (e )(t)dt = limb→∞ ∫ (e−st )(t)dt
0 0
Esta es una integral que puede ser resuelta por partes, obteniendo
∞ −st
t e t −st ∞ 1 ∞ −st t 1 −st ∞
− e−st |∞
0 + ∫ dt = − e |0 + ∫ e dt = − e−st |∞
0 − 2e |0
s 0 s s s 0 s s
t
− e−st |∞
0 =0
s
Para saber cómo resolver la indeterminación resultante de multiplicar cero por infinito por
medio de la regla de L’Hopital, reproduce el siguiente video.
1 −st ∞ 1 1 1 1
0− 2
e |0 = − 2 e−∞ + 2 e0 = 0 + 2 = 2
s s s s s
1
Por tanto L{t} = para s > 0.
s2
Seguramente has notado que en éste último ejemplo, a manera de abreviar nuestra
escritura se ha empezado a escribir limb→∞ f(t)|b0 solamente como f(t)|∞0 . Éste es un
recurso utilizado ampliamente por autores de libros que incluyen la transformada de
Laplace para agilizar su escritura y lectura.
Si f(t) = t 2 ,
∞ b
L{t 2 } = ∫ (e−st )(t 2 )dt = limb→∞ ∫ (e−st )(t 2 )dt
0 0
Esta es una integral que se resuelve por partes. Una vez resuelta (se empieza a obviar
pasos o técnicas que han sido mecanizadas en cursos previos) da
1 2 ∞ 1 2 1 1 ∞ 1
− t 2 e−st |∞
0 + s ∫0 te
−st
dt = − t 2 e−st |∞
0 + s (− s te
−st ∞
|0 − (− ∫0 e−st dt)) = − t 2 e−st |∞
0 +
s s s s
2 1 −st ∞ 1 −st ∞ t2 −st ∞ 2t 2 2 2
s
(− s
te |0 − s2
e |0 )=− s
e |0 − s2 e−st |∞
0 − s3 e−st |∞
0 = −0 − 0 − (s3 e
−∞
− s 3 e0 ) =
2 2 2 2
−0 − 0 − ((s3 )(0) − (s3 )(1)) = −(0 − s3 ) = s3
2
Por tanto L{t 2 } = s3 para s > 0.
∞ b
L{t 3 } = ∫ (e−st )(t 3 )dt = limb→∞ ∫ (e−st )(t 3 )dt
0 0
Esta es otra integral que también se resuelve por partes. Puedes basarte en los ejemplos
anteriores para acelerar el proceso de cálculo. Al final queda como resultado
6 −st ∞ 6
⋯− 4
e |0 = 4
s s
Considerando que los otros términos tendrán el mismo fin que los de los cálculos de
transformadas previas, al tener e−∞ ó 0 multiplicando a e∞ (haciendo uso de la regla de
6
L’Hopital), entonces L{t 2 } = para s > 0.
s4
n!
L{t n } =
s n+1
Si f(t) = eat ,
∞ b b
L{eat } = ∫ (e−st )(eat )dt = limb→∞ ∫ (e−st )(eat )dt = limb→∞ ∫ e−st+at dt
0 0 0
b
= limb→∞ ∫ e(−s+a)t dt
0
o lo que es lo mismo
b
limb→∞ ∫ e−(s−a)t dt
0
b
1 1 1
limb→∞ ∫ e−(s−a)t dt = e−(s−a)t |∞
0 =0− =
0 −(s − a) −(s − a) s − a
1
Por tanto L{eat } = s−a para s > a (recuerda la explicación hecha en el tema 3.1.4. al
respecto).
Puedes calcular, tomando como base lo anterior, transformadas de Laplace para distintas
funciones.
A continuación, se provee con una tabla basada en la presentada por Nagle, K., Saff, E.
B., y Snider, A. D. (2005), que incluye las transformadas que ya se ha calculado y otras
nuevas:
1 1 s>0
s
t 1 s>0
s2
eat 1 s>a
s−a
sen bt b s>0
s2 + b2
cos bt s s>0
s2 + b2
af(t) + bg(t) aF(s) + bG(s) Las dictadas por i f(t) y g(t) individualmente
Para la última fila de la tabla, recuerda que ya ha sido establecido en el subtema 3.1.3.
que la transformada de Laplace tiene, al ser una integral, la propiedad de linealidad, por lo
que puedes hacer uso de esa característica con las transformadas provistas y las que
calcules.
Se tiene
dy
= y − 4e−t
dt
dy
L{ } = L{y − 4e−t }
dt
En la tabla localizada justo antes de este ejemplo se busca, para ahorrar tiempo, la
1
transformada de eat y observa que es s−a
4
sL{y} − 1 = L{y} − 4L{e−t } → sL{y} − 1 = L{y} −
s+1
4
sL{y} − L{y} = 1 −
s+1
4
L{y}(s − 1) = 1 −
s+1
1 4
L{y} = (1 − )
s−1 (s + 1)(s − 1)
1 4
L{y} = −
s − 1 (s + 1)(s − 1)
Repite, para tener la solución completa en los términos deseados hará falta encontrar la
transformada inversa (subtema 3.1.2.), ya que no se quiere L{y}, sino la solución y(t).
Continua con el ejercicio en el subtema 3.1.7, cálculo de la transformada inversa para
funciones.
A manera de repaso, reproduce el siguiente video para ver una síntesis de la definición
de la transformada de Laplace y el cálculo de la transformada de la segunda función
básica vista en este tema.
Realiza ahora los ejercicios 7.1 del número 1 al 66 del libro de Carmona & Filio (2011, p.
347-351) y corrobora tus respuestas comparándolas con las de los autores. Una vez que
lo hagas, habrás comprobado tu aprendizaje de la forma de calcular la transformada de
Laplace para funciones diversas.
Para poder ver la forma en que se presentan las transformadas de Laplace de funciones
definidas por tramos recuerda la definición de Nagle, K., Saff, E. B. y Snider, A. D (2005)
que se utilizó en el subtema 3.1.4: Para que una función sea continua por tramos en un
intervalo [a, b] finito ésta debe de ser continua en cada punto del intervalo, con excepción
de una cantidad finita de puntos donde la función tiene discontinuidad. Esta función es
continua por tramos en el intervalo [0, ∞) si es continua por partes para N > 0 en [0, N].
Para completar, debe de existir el límite de f(t) desde el interior de cada tramo hasta
cualquier extremo de éste.
Existe la transformada de Laplace de una f(t) continua por tramos siempre que crezca
más lento que una exponencial. Nagle, K., et al (2005) profundizan en ello con la siguiente
definición: Se dice que una función “f(t) es de orden exponencial α si existen constantes
positivas T y M tales que |f(t)| ≤ Meαt , para toda t ≥ T”.
Carmona, I. y Filio, E. (2011) sintetizan aún más dejando la definición sólo como “f(t) es
función de orden exponencial α ↔ Existen M, α ∈ R tales que: |f(t)| ≤ Meαt”.
Ejemplo de ello es f(t) = e3t sen2t. Esta función es de orden exponencial con α = 3 y M =
1 dado que se cumple la definición al tener que |e3t sen2t| ≤ e5t .
2
Una función que no sería de orden exponencial es e5t , ya que crece más rápido que eαt .
Para explicar cómo resolver este tipo de funciones se pondrá el ejemplo de una función
escalón unitario.
Supón, para generalizar, que no se sabe en donde se encuentra el salto, por lo que se
establece que se da en un tiempo desconocido a. Nuestra función quedaría entonces
modelada así
∞
L{f(t)} = ∫ e−st f(t)dt
0
o en éste caso,
∞
L{u(t)} = ∫ e−st u(t)dt
0
a ∞
L{u(t)} = ∫ e−st u(t)dt + ∫ e−st u(t)dt
0 a
Al ver la expresión se detecta que el primer término es igual a 0 debido a que u(t) = 0
para todo t < a
a ∞ ∞
L{u(t)} = ∫ (e−st )(0)dt + ∫ e−st u(t)dt = 0 + ∫ e−st u(t)dt
0 a a
∞ ∞ b
e−st b
L{u(t)} = 0 + ∫ (e−st )(1)dt = ∫ e−st dt = limb→∞ ∫ e−st dt = limb→∞ |
a a a −s a
e−sb e−sa
= limb→∞ −
−s −s
e−sa e−sa
L{u(t)} = 0 + =
s s
e−sa 1
L{u(t)} = = e−sa
s s
en s > c + a.
De igual forma, al igual que las funciones continuas por tramos y como una extensión de
ellas, existen las funciones periódicas, que no son sino funciones que se repiten. Éstas se
definen tomando en cuenta que f(t) es periódica si se encuentra un número p > 0 en el
que f(t + p) = f(t), siendo p el periodo de f, y encontrándose como el mínimo valor en que
se cumple la igualdad presentada.
Para calcular la transformada de Laplace para éste tipo de funciones, Edwards, (2009)
mencionan que si f(t) es función periódica con periodo p continua por tramos en t ≥ 0, su
transformada existe en s > 0 y se determina por
p
1
F(s) = ∫ e−st f(t)dt
1 − e−pt 0
Lee ahora el capítulo 7.5 del libro de Edwards y Penney de la página 482 a 488 para ver
ejemplos de lo anterior, la demostración y aplicación de los conceptos en funciones
periódicas. Una vez que lo hayas revisado, deberás ser capaz de entender la forma en
Retoma primeramente el último ejercicio del 3.1.5, aquél que se dejó inconcluso por no
haber aplicado la transformada inversa para obtener la solución y(t).
dy
Recordando, se tenía que = y − 4e−t
dt
1 4
L{y} = −
s − 1 (s + 1)(s − 1)
1 4
y = L−1 { − }
s − 1 (s + 1)(s − 1)
1 4
y = L−1 { } − L−1 { }
s−1 (s + 1)(s − 1)
Observa que el primer término es la transformada de una función f(t) que ya aparece en
la tabla provista en el 3.1.5, pero el segundo término tendrá que descomponerlo aún más
para que quede expresado como una combinación de transformadas ya conocidas. Un
recurso muy utilizado es hacer uso del método de fracciones parciales.
De esta forma
4 A B
= +
(s + 1)(s − 1) (s + 1) (s − 1)
A = −2,
B = 2.
A B 2 2 2 2
+ =− + = −
(s + 1) (s − 1) (s + 1) (s − 1) (s − 1) (s + 1)
Esta nueva expresión puede reconocerse en cada uno de sus miembros como la
transformada de una función ya escrita en nuestra tabla, para ser exactos, de una
exponencial.
Entonces
1 4 1 2 2
y = L−1 { } − L−1 { } = L−1 { } − L−1 { − }
s−1 (s + 1)(s − 1) s−1 s−1 s+1
1 2 2
y = L−1 { } − L−1 { } + L−1 { }
s−1 s−1 s+1
1 1 1
y = L−1 { } − 2L−1 { } + 2L−1 { }
s−1 s−1 s+1
1 1
y = −L−1 { } + 2L−1 { }
s−1 s+1
1
En tabla se tiene que L{eat } = s−a
lo que lleva a
1 1
y = −L−1 { } + 2L−1 { } = −eat + 2e−t
s−1 s+1
dy
La solución del ejercicio dt
= y − 4e−t con la condición inicial y(0) = 1 ya completa
(habiendo aplicado el paso 4 del algoritmo) sería
1 1
s
a a
s
1 t
s2
n! tn
s n+1
1 eat
s−a
n! eat t n
(s − a)n+1
b sen bt
s2 + b2
s cos bt
s2 + b2
b eat sen bt
(s − a)2 + b 2
b senh bt
s2 − b2
b cosh bt
s2 − b2
Para ver otros ejercicios, en donde uno incluye el uso de fracciones parciales, revisa los
ejemplos 1, 2 y 3 del libro de Zill, D. G. y Cullen, M. R. (2009, p. 263-265). Al hacerlo,
habrás reforzado los conocimientos de cómo calcular la transformada inversa de
funciones.
Resuelve los ejercicios 7.4 del 1 al 32 en el libro de Nagle, Saff & Snider y compara tus
resultados con los provistos por los autores para los números impares (p. 374-375, B-16).
Ya que lo hagas, habrás corroborado lo que aprendiste del cálculo de la transformada
inversa y la aplicación del desarrollo en fracciones parciales.
De acuerdo a Carmona & Filio (2011, p. 375), si se tiene una transformada para una
función f(t) tal que
L{f(t)} = F(s)
entonces
L{tf(t)} = F′(s)
Se tiene que
∞
L{f(t)} = F(s) = ∫ e−st f(t)dt
0
dF d ∞ −st ∞
δ −st ∞ ∞
= ∫ e f(t)dt = ∫ e f(t)dt = ∫ −te−st f(t)dt = − ∫ e−st tf(t)dt = −L{tf(t)}
ds ds 0 0 δs 0 0
dF
= F′(s) = −L{tf(t)}
ds
Despejando queda
L{tf(t)} = −F′(s)
Siguiendo los mismos pasos para la segunda y tercera derivadas, se encuentra que existe
la siguiente secuencia
Generalizando, se puede decir que la derivada de una transformada puede ser calculada
como
Por ejemplo, si se observa una función de la forma tcosωt de la cual se requiere calcular
la transformada de Laplace, al ver el término t precediendo la parte con el coseno se sabe
que se puede expresar su transformada como una derivada.
s
La tabla conformada en el tema 3.1.5 dice que la transformada de cosbt es igual a s2 +b2,
por lo que uniendo el concepto de la derivada con la transformada ya conocida para el
coseno quedaría
d s s 2 + ω2 − 2s 2 s 2 −2s2 + ω2 s 2 −ω2
L{tcosωt} = − = = =
ds s 2 + ω2 (s 2 + ω2 )2 (s 2 + ω2 )2 (s 2 + ω2 )2
No hay que perder de vista los signos, ya que al ser la primera derivada, dada la
generalización hecha, se debe despejar la expresión para que quede como
F ′ (s) = −L{tf(t)}
−F ′ (s) = L{tf(t)}
Según lo necesite.
Es posible que te preguntes si así como hay una forma de identificar rápidamente
expresiones que facilitan el cálculo de una transformada por medio de su derivación,
exista algo similar pero haciendo uso de la integración. En el siguiente tema se presenta
cómo hacerlo, además de que resolverás ejercicios para practicar lo aprendido de la
derivación de la transformada.
Si se cumple lo anterior, Carmona & Filio (2011) puntualizan en su teorema que se puede
establecer que
∞
f(t)
L{ } = ∫ F(σ)dσ
t s
f(t)
G(t) =
t
Despejando,
tG(t) = f(t).
L{tG(t)} = L{f(t)}
d
− L{G(t)} = L{f(t)}
ds
dg(s)
L{f(t)} = −
ds
y que
dg(s)
−L{f(t)} = −F(s) =
ds
Despejando e integrando
s ∞
g(s) = − ∫ f(σ)dσ = ∫ f(σ)dσ
∞ s
Entonces,
∞
f(t)
g(s) = L{G(t)} = L{ } = ∫ f(σ)dσ
t s
La aplicación que se le puede dar a esta propiedad es muy similar a la que se encontró en
la derivación de transformadas: facilita resolverlas por medio de la identificación de formas
conocidas.
sen3t
Por ejemplo, si se observa una función de la forma t
de la cual se quiere calcular la
1
transformada de Laplace, al ver el término como parte factorizable de la función se sabe
t
que se puede expresar su transformada como una integral.
∞
f(t)
L{ } = ∫ f(σ)dσ
t s
∞
sen3t 3 σ π s
L{ }=∫ 2 dσ = tan−1 |∞
s = − tan
−1
t s σ +9 3 2 3
Una vez que has visto el efecto que tiene la derivación e integración de la transformada
de Laplace como parte de sus propiedades, podrás hacer uso de éstas herramientas para
facilitar su cálculo al tratar de resolver problemas relacionados con fenómenos físicos en
donde veas que puede ser utilizada.
Actividades
Problemas que pueden ser resueltos suelen incluir de circuitos eléctricos, osciladores
armónicos forzados, con forzamiento discontinuo, deflexión de vigas, péndulos, entre
otros.
Supón que el problema radica en que se necesita saber el voltaje existente en el capacitor
en cierto momento del tiempo para poder tomar acciones concretas sobre algún elemento
presente dentro de un sistema de energías renovables.
Se sabe, por los estudios realizados sobre circuitos eléctricos (material de otros cursos),
que el sistema puede modelarse como
dvc
RC + vc = V(t)
dt
Observa en el diagrama que existe una condición inicial que indica que vc (0) = 4.
Introduciendo los valores conocidos, se tiene que para las condiciones establecidas
dvc
2 + vc = 3
dt
Con
vc (0) = 4
dvc 3 − vc 3 vc
= = −
dt 2 2 2
dvc 3 vc 3 1
L{ } = L{ } − L{ } = L{1} − L{vc }
dt 2 2 2 2
dv
Sustituyendo L{ dtc } por lo ya visto en el 3.1.3
dy
L{ } = sL{y} − y(0)
dt
Se tiene que
3 1
sL{vc } − vc (0) = L{1} − L{vc }
2 2
3 1
sL{vc } − 4 = L{1} − L{vc }
2 2
1 31
sL{vc } + L{vc } = +4
2 2s
1 3
sL{vc } + L{vc } = + 4
2 2s
1 3
(s + )L{vc } = + 4
2 2s
3 4 3 1 4
L{vc } = + = +
1 1 2 s(s + 1) s + 1
2s(s + 2) s+2 2 2
1 2 2
= −
1 s (s + 1)
s(s + 2) 2
3 1 4 3 2 2 4 6 3 4 3 1
L{vc } = + = ( − )+ = − + = +
2 s(s + 1) s + 1 2 s (s + 1) 1 1 1 1
s + 2 2s s + 2 s + 2 s s + 2
2 2 2
3 1 3 1 1 1
vc = L−1 {s + 1 } = L−1 { s} + L−1 { 1 } = 3L−1 {s } + L−1 { }
1
s+ s+ s+
2 2 2
que resultan ser expresiones de forma conocida, ya que son transformadas de funciones
para las que ya las has calculado.
1
L{1} =
s
at
1
L{e } =
s−a
1
en donde a = − 2 .
Queda entonces
1 1 t
vc = 3L−1 { } + L−1 { } = e− 2 + 3
s 1
s+2
De esta forma se ha encontrado una solución al problema de saber qué voltaje tendrá el
capacitor durante cierto momento en el tiempo, facilitando de ésta manera tomar
decisiones respecto del sistema de energías renovables.
En ocasiones será necesario que para solucionar problemas relacionados con las
energías renovables debas resolver problemas modelables con ecuaciones diferenciales
del tipo f(x) = ay ′′ + by ′ + cy siendo dada f(x) y donde 𝑥 se encuentra entre 0 y un límite
L, tal que y(0) = y(L) = 0.
Para resolverlas pudieras aplicar las técnicas ya estudiadas a lo largo de las unidades y
temas previos, buscando la solución general de la parte homogénea yh = c1 y1 + c2 y2 ,
calculando la solución particular yp de la parte no homogénea, y obteniendo las
constantes c1 y c2 para que y = yh + yp sea válida para las condiciones dadas y(0) =
y(L) = 0.
Para algunas funciones se representan por medio de series, su tratamiento suele ser más
adecuado.
Dentro de los fenómenos físicos existen, entre muchos otros, sistemas eléctricos y
mecánicos que suelen incluir componentes periódicos de fuerza que van más allá de ser
tan sólo combinaciones lineales de cosenos y de senos. Aún con esto, pueden ser
representados como series infinitas de elementos trigonométricos, extendiéndose esta
característica a cualquier función con periodicidad adecuada, permitiendo resolver
ecuaciones por medio de superponer términos trigonométricos reemplazando sumas
finitas por series infinitas (Edwards & Penney, 2009).
Como ya había sido visto en el tema 3.1., una función periódica es aquella en que existe
un número positivo p que permite cumplir
f(t + p) = f(t)
Algo importante de recalcar es que si p es periodo de una función también lo es 2p, 3p, 4p
y así de forma sucesiva, por lo que el periodo no es único para una f(t).
Si se llega a encontrar un periodo, siendo éste el más pequeño número positivo que
permite periodicidad para una f(t), se le conoce como el periodo de la función o periodo
fundamental. Un ejemplo de ello son las funciones seno y coseno, que tienen periodo de
2π. Si se hiciera una combinación lineal (cualquiera que esta fuera) de esas funciones el
periodo seguiría siendo 2π. Se debe señalar que la función que modela una señal
cuadrada no podría ser expresada así, ya que las combinaciones presentadas son
continuas. Otro ejemplo es la función tangente, con periodo fundamental π (Nagle, Saff &
Snider, 2005).
∞
a0
+ ∑(an cos nt + bn sen nt)
2
n=1
A las series que presenten la forma anterior se les llamará series de Fourier (Edwards &
Penney, 2009).
∞
a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p
n=1
en donde
1 p
a0 = ∫ f(t)dt
p −p
1 p nπ
an = ∫ f(t) cos t dt
p −p p
1 p nπ
bn = ∫ f(t) sen t dt
p −p p
Para conocer cómo se obtienen los coeficientes de Fourier, lee el tema 10.2 del libro de
Zill, D. G. (1997, p. 444-445), series de Fourier. Una vez leído, deberá resultar más clara
la forma en que fueron calculados. En el tema 3.2.3, se profundiza en ello.
∞
a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p
n=1
Se puede notar que para el periodo p = π, utilizando las ecuaciones para el cálculo de los
coeficientes de Fourier de la función, se tiene que
1 p 1 π 1 0 π
1 0 π
a0 = ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt = [∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt] = [∫ 0dt + ∫ (π − t)dt]
p −p π −π π −π 0 π −π 0
1 t2 1 π2 02 1 π2 π π
[πt − ]π0 = [(π ∙ π − ) − (π ∙ 0 − )] = (π ∙ π − ) = π − =
=
π 2 π 2 2 π 2 2 2
1 p nπ 1 π nπ 1 π
an = ∫ f(t) cos t dt = ∫ f(t) cos t dt = ∫ f(t) cos nt dt =
p −p p π −π π π −π
1 0 π
1 sennt π 1 π
[∫ 0dt + ∫ (π − t) cos nt dt] = [(π − t) | + ∫ sen nt dt] =
π −π 0 π n 0 n 0
−cos nπ + 1 1 − cos nπ 1 − (−1)n
= =
n2 π n2 π n2 π
Por último,
1 p nπ 1 π nπ 1 π
bn = ∫ f(t) sen t dt = ∫ f(t) sen t dt = ∫ f(t) sen nt dt =
p −p p π −π π π −π
1 0 π
1
[∫ 0dt + ∫ (π − t) sen nt dt] =
π −π 0 n
∞
a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p
n=1
∞
π 1 − (−1)n nπ 1 nπ
f(t) = + ∑( 2
cos t + sen t)
4 n π p n p
n=1
∞
π 1 − (−1)n nπ 1 nπ
f(t) = + ∑( 2
cos t + sen t)
4 n π π n π
n=1
∞
π 1 − (−1)n 1
f(t) = + ∑( 2
cos nt + sen nt)
4 n π n
n=1
Revisa los ejemplos 1 y 2 del capítulo 9.1 del libro de Edwards & Penney (2009, p.585-
587). Para el primero necesitarás la siguiente figura y función para una señal cuadrada.
Una vez que lo hagas estarás listo para realizar los ejercicios que más adelante se te
indicará.
La función que modela el diagrama anterior y dada por los autores se representa por
Realiza los ejercicios 10.2 del capítulo 10 de Zill, D. G. (1997, p. 448), del ejercicio 1 al
16, y ya que los termines consulta las respuestas correctas para los ejercicios impares en
la página R-24 del apéndice de respuestas. Una vez que lo hagas, podrás valorar los
conocimientos que adquiriste en este primer tema.
Ahora que se ha visto la definición de las series de Fourier, y para entender el fundamento
que tienen, se estudiará lo que son las series trigonométricas y las funciones periódicas,
ya que Fourier las necesitó para crear la propia.
Se ha visto al inicio del tema 3.2. que una función periódica es en la que existe un número
positivo p que hace que se cumpla
f(t + p) = f(t)
Siendo conocido p como el periodo de f(t). Observa que al número positivo mínimo que
pudiera ocupar p para que esto se cumpliera era conocido como el periodo o periodo
fundamental de la función.
Un ejemplo de esto es la función seno, que como ya se había mencionado, tiene periodo
2π. Esto significa que se repite en 2π, 4π, 6π, 8π … nπ, por lo que sen(t + 2π) = sen(t +
4π) = ⋯ = sent. Esta propiedad servirá para probar algunos teoremas que se expresarán
más adelante.
Algunos autores suelen utilizar otras letras para denominar al periodo, por ejemplo, la letra
T.
Carmona, I. y Filio, E., (2011) presentan tres teoremas que serán de utilidad:
1 Supón que f(t) y g(t) son funciones periódicas con periodo p, entonces, si h(t) =
af(t) + bg(t) donde tanto a como b pertenecen a los números reales, h(t) también
es función periódica con periodo p.
nπt nπt
3 sen k
y cos k
, para todo entero positivo n ≤ k, son funciones que satisfacen en
−k ≤ t ≤ k las propiedades de ortogonalidad mostradas a continuación
a
k
nπt mπt
∫ cos cos dt = f(x) = {k , n = m 0, n≠m
−k k k
k
nπt mπt
∫ sen sen dt = f(x) = {k , n = m 0, n≠m
−k k k
k
nπt mπt
∫ cos sen dt = 0,0 para todo n, m
−k k k
● Para el primero, como f(t) es función periódica con un periodo p tal que f(t) = f(t +
p), y g(t) es función periódica a la vez con periodo p tal que g(t) = g(t + p), se
tiene que
● Comprobando el segundo, si f(t) tiene como periodo a p tal que f(t) = f(t + p) y
f(t + p) = f(t + 2p) debido a que es periódica en p, entonces
● Para comprobar el tercer teorema, se resuelve la integral del inciso a) para ver que
su resultado sea primero k si n = m y 0 si n ≠ m. Las integrales del inciso b) y c)
tienen una comprobación similar, únicamente cambiando las identidades
utilizadas, por lo que no se resolverán.
En el primer caso
k k
nπt mπt nπt
f(t) = ∫ cos cos dt = ∫ cos2 dt
−k k k −k k
2nπt
k 1 + cos k k k
f(t) = ∫ k dt = 1 ∫ 1 + cos 2nπt dt = 1 (∫ dt + ∫ cos 2nπt dt)
−k 2 2 −k k 2 −k −k k
1 k 2nπt k 1 k 2nπk 1 k −2nπk
= [t + sen ]−k = [k + sen ] − [−k + sen ]
2 2nπ k 2 2nπ k 2 2nπ k
k k 1 k k 1
= + sen2nπ + − sen − 2nπ
2 2 2nπ 2 2 2nπ
2k k k 2k k
= + sen2nπ − sen − 2nπ = + (sen2nπ − sen − 2nπ)
2 4nπ 4nπ 2 4nπ
2k
= =k
2
En el segundo caso, n ≠ m,
k
nπt mπt
f(t) = ∫ cos cos dt
−k k k
1
Se sabe que cosα cosβ = 2 [cos(α + β) + cos(α − β)], por lo que se puede reescribir como
k
1 (n + m)πt (n − m)πt
f(t) = ∫ cos + cos dt
2 −k k k
1 k (n + m)πt k (n − m)πt k
= [ sen + sen ]−k
2 (n + m)π k (n − m)π k
1 k (n + m)πk k (n − m)πk
= [ sen + sen ]
2 (n + m)π k (n − m)π k
1 k −(n + m)πk k −(n − m)πk
− [ sen + sen ]
2 (n + m)π k (n − m)π k
1 k k 1 k
= [ sen(n + m)π + sen(n − m)π] − [ sen
2 (n + m)π (n − m)π 2 (n + m)π
k
− (n + m )π + sen − (n − m)π]
(n − m)π
1 k k k
= [ sen(n + m)π + sen(n − m)π − sen − (n
2 (n + m)π (n − m)π (n + m )π
k
+ m)π − sen − (n − m)π]
(n − m)π
1 k k k
= [ sen(n + m)π − sen − (n + m)π + sen(n
2 (n + m)π (n + m)π (n − m)π
k
− m)π − sen − (n − m)π]
(n − m)π
1 k k
= [ (senπ(n + m) − sen − π(n + m)) + (senπ(n − m)
2 (n + m)π (n − m)π
− sen − π(n − m))] = 0
Para que veas la utilidad de incluso lo más básico, como pudiera ser el cálculo del periodo
mínimo, se pondría 𝑛 par de ejemplos de su aplicación.
El periodo natural es 2π, y el coeficiente del ángulo en f(t) = sen2t es 2, por lo que,
sustituyendo
2π
p= =π
2
2πnt
f(t) = cos
k
Se tiene que
2π 2πk k
p= = =
2πn 2πn n
k
k 2πnt
Entonces, p = n en f(t) = cos k
.
Para comprobar que los conceptos te hayan quedado claros, resuelve los ejercicios 8.1
números 1, 2, 16, 27 y 28, del capítulo 8 de Carmona & Filio (2011, p. 434-436) y compara
tus resultados con los de los autores (para los últimos dos ejercicios las respuestas se
encuentran en la p. 438). Ya que lo hagas, habrás valorado el aprendizaje obtenido de los
periodos de una función.
f(t)
∫ f(t)dt
sen nt 1
∫ sen nt dt − cos nt + c
n
cos nt 1
∫ cos nt dt sen nt + c
n
t sen nt 1 t
∫ t sen nt dt − 2
sen nt − cos nt + c
n n
t cos nt 1 t
∫ t cos nt dt 2
cos nt + sen nt + c
n n
t 2 sen nt 2t 2 t2
∫ 𝑡 2 sen nt dt sen nt + ( − )cos nt + c
n2 n3 n
t 2 cos nt 2t t2 2
∫ t 2 cos nt dt cos nt + ( − )sen nt + c
n2 n n3
sen nt cos nt 1
∫ sen nt cos nt dt sen2 nt + c
2n
Esto plantea algunas de las bases para la serie de Fourier, pero aún existen elementos
que no se han descifrado, por ejemplo, de donde surgen los coeficientes de la serie, por
qué varía la forma de escribirla entre distintos autores, y por qué las fórmulas para los
coeficientes son diferentes en alguno de ellos dependiendo del libro que se elija. Para
responder a éstas preguntas se debería ver las fórmulas de Euler y su aplicación, siendo
éstas tratadas en el siguiente subtema.
Retomando lo visto en el 3.2.1, Fourier decía que las funciones con periodo 2π podían
representarse con series infinitas de la forma
∞
a0
+ ∑(an cos nt + bn sen nt)
2
n=1
y se dice que algunos autores generalizaban aún más la forma, representándola como
∞
a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p
n=1
Observarás, ahora que conoces la teoría detrás del uso de los periodos, que la segunda
forma es igual a la primera si las funciones tienen periodo π. Esto es, si p = π, entonces
∞ ∞
a0 nπ nπ a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p 2 π π
n=1 n=1
∞
a0
= + ∑(an cos nt + bn sen nt)
2
n=1
Al ver diferentes libros de cálculo que incluyan el tema de las series de Fourier, podrás
notar que la fórmula, dependiendo de los autores, puede ser escrita ligeramente diferente,
llegando a encontrarla de la siguiente manera
Entonces, ¿cuál de las dos formas es la correcta? Si ambas representan a f(t), entonces
deberían ser iguales entre ellas, y al desaparecer indiscriminadamente el divisor crean
una incongruencia, ¿no es así?
∞ ∞
a0
+ ∑(an cos nt + bn sen nt) = f(t) = a0 + ∑(an cos nt + bn sen nt)
2
n=1 n=1
∞ ∞
a0
+ ∑(an cos nt + bn sen nt) = a0 + ∑(an cos nt + bn sen nt)
2
n=1 n=1
∞ ∞
a0
+ ∑(an cos nt + bn sen nt) − ∑(an cos nt + bn sen nt) = a0
2
n=1 n=1
a0
→ = a0 ó a0 = 2a0.
2
Se debe recordar que, a final de cuentas, son modelos matemáticos los que se
encuentran representados por el conjunto de caracteres que permiten formularlos, siendo
más importante que estos el concepto detrás de ellos.
Algunos autores, como lo indican Zill, (2009), eligen por conveniencia escribir el primer
a
coeficiente como 20 en lugar de a0 para que la fórmula de an vista en el 3.2.1 coincida para
n = 0, ya que de no hacerlo así, podría causar confusión entre algunos al verlo como un
coeficiente calculable de forma distinta a la del resto pero que comparte su notación.
Como ahora estás al tanto de esto, se utilizará la siguiente forma, ya que deberá ser
indistinto para ti hacer los cálculos con cualquiera de las dos siempre y cuando recuerdes
cómo definiste la serie y al coeficiente con su subíndice.
Si f(t) es periódica, con p = 2π, se calcularán los valores de los coeficientes para todo n
que sea entero positivo.
π π π π
∫ f(t)dt = ∫ a0 dt + ∫ an cos ntdt + ∫ bn sen ntdt
−π −π −π −π
para n = 1,2,3,4 …
π π π
an −bn
∫ a0 dt + ∫ an cos ntdt + ∫ bn sen ntdt = a0 t|π−π + sen nt|π−π + cos nt|π−π
−π −π −π n n
an an −bn −bn
= [a0 π − a0 (−π)] + [ sen πn − sen − πn] + [ cos nπ − cos − π n]
n n n n
an −bn
= [a0 π + a0 π] + [ (sen πn − sen − πn)] + [ (cos nπ − cos − πn)]
n n
an −bn
= 2a0 π + [ (0)] + [ (0)] = 2a0 π
n n
π
∫ f(t)dt = 2a0 π
−π
1 π
a0 = ∫ f(t)dt
2π −π
Si se compara con lo que se había dicho en el tema 3.2.1, para reforzar el entendimiento
a
del porqué algunos autores por conveniencia escriben en la serie el coeficiente como 0 o
2
a0
1 p
a0 = ∫ f(t)dt
p −p
Observa que el coeficiente que se acaba de obtener se parece, para p = π, pero faltaría
1
completar multiplicando ambos lados por 2 para que quedaran iguales ambas
expresiones, tal que
1 1 1 π a0 1 π
(a0 ) = ( ∫ f(t)dt) → = ∫ f(t)dt
2 2 π −π 2 2π −π
Ahora sí, tanto la expresión mostrada en el lado derecho para el coeficiente que se acaba
de calcular como la del 3.2.1 son iguales, pero observa que el lado izquierdo es diferente.
Dependiendo de la forma que se utiliza para expresar la serie de Fourier será la forma de
expresar el primer coeficiente, a0 .
Si se expresa como
∞
a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p
n=1
entonces
1 p
a0 = ∫ f(t)dt
p −p
entonces
1 π
a0 = ∫ f(t)dt
2π −π
Con esto se espera que ya sea claro el por qué podrás encontrar escrita de manera
diferente la serie de Fourier, dependiendo de cómo definas al coeficiente a0 .
Para hacerlo, se debe multiplicar por cos nt ambos lados de la función e integrarlos en el
periodo, esto es, de −π a π.
π π π π
∫ cos nt f(t)dt = ∫ a0 cos nt dt + ∫ an cos nt cos nt dt + ∫ bn sen nt cos nt dt
−π −π −π −π
π π π
= ∫ a0 cos nt dt + ∫ an cos2 nt dt + ∫ bn sen nt cos nt dt
−π −π −π
para n = 1,2,3,4 …
π π π
∫ a0 cos nt dt + ∫ an cos 2 nt dt + ∫ bn sen nt cos nt dt
−π −π −π
π π π
1
= ∫ a0 cos nt dt + an ∫ (1 + cos 2nt )dt + ∫ bn sen nt cos nt dt
−π 2 −π −π
π
a0 a n 1
= sen nt|π−π + [t + sen2 nt]|π−π + ∫ bn sen nt cos nt dt
n 2 2n −π
an 1 a n 1
= 0 + [t + sen2 nt]|π−π + 0 = [t + sen2 nt]|π−π = an π
2 2n 2 2n
Recuerda que se había multiplicado al principio ambos lados de la ecuación por cos nt
π
∫ f(t)cos nt dt = an π
−π
1 π
an = ∫ f(t)cos nt dt
π −π
1 p nπ
an = ∫ f(t)cos t dt
p −p p
Se debe multiplicar por sen nt ambos lados de la función e integrarlos en el periodo, esto
es, de −π a π.
π π π π
∫ sen nt f(t)dt = ∫ a0 sen nt dt + ∫ an sen nt cos nt dt + ∫ bn sen nt sen nt dt
−π −π −π −π
π π π
= ∫ a0 sen nt dt + ∫ an sen nt cos nt dt + ∫ bn sen2 nt dt
−π −π −π
para n = 1,2,3,4 …
π π π
∫ a0 sen nt dt + ∫ an sen nt cos nt dt + ∫ bn sen2 nt dt
−π −π −π
π π π
1
= ∫ a0 sen nt dt + ∫ bn sen nt cos nt dt + bn ∫ (1 − cos 2nt )dt
−π −π 2 −π
π
a0 bn 1
= − cos nt|π−π + ∫ bn sen nt cos nt dt + [t + sen2 nt]|π−π
n −π 2 2n
bn 1 bn 1
= 0 + 0 + [t + sen2 nt]|π−π = [t + sen2 nt]|π−π = bn π
2 2n 2 2n
Recuerda que se había multiplicado al principio ambos lados de la ecuación por cos nt
π
∫ sen nt f(t)dt = bn π
−π
1 π
bn = ∫ sen nt f(t)dt
π −π
1 p nπ
bn = ∫ f(t)sen t dt
p −p p
Ahora ya sabes de donde salen los coeficientes de la serie de Fourier, también conocidos
como coeficientes de Fourier.
Revisa los ejemplos 1 al 4 del capítulo 8 de Carmona & Filio (2011, p. 442-449). Ya que lo
hagas, habrás entendido la forma de aplicar los conocimientos adquiridos para encontrar
la serie de Fourier de funciones.
Al utilizar la serie de Fourier para modelar alguna función periódica f(t) se desea tener las
condiciones necesarias para tener la certeza de que converja cuando menos en los
valores de t en los que la función tiene continuidad.
Recuerda, una función se dice que es continua por tramos en [a, b] mientras existan
segmentos finitos del intervalo con extremos a = t 0 < t1 < ⋯ < t n = b en los que la
función tenga continuidad para cada segmento y en cada extremo el límite desde el
interior del sub intervalo exista y sea finito (Edwards & Penney, 2009).
Carmona & Filio (2011) agregan a las definiciones anteriores la característica ya muy
particular de que sea f periódica con p = 2π, y que f(t) y f′(t) son continuas por tramos en
(−π, π) convergiendo la serie a f(t) para el caso en que t sea un punto de continuidad, o si
es punto de discontinuidad a
1
(limt→t+0 f(t) + limt→t−0 f(t) )
2
Las tres diferentes formas de decirlo significan lo mismo, y establecen las condiciones de
convergencia en un punto.
Para comprobarlo se basará en la última forma, y se va a suponer para ello que la función
tiene continuidad en su primera y segunda derivadas.
1 π
an = ∫ f(t)cos nt dt
π −π
Resuelve la integral
f(t)sen nt π 1 π ′ 1 π ′(t)sen nt
an = |−π − ∫ f (t)sen nt dt = 0 − ∫ f dt
nπ nπ −π nπ −π
π π
f′(t)cos nt π 1 ′′
1
an = |−π − ∫ f (t)cos nt dt = 0 − ∫ f ′′ (t)cos nt dt
n2 π n2 π −π n2 π −π
Observa que la segunda vez que se resolvió la integral, debido al periodo de f′(t) el primer
término se anula, como ocurrió durante la primera ocasión.
Al tener continuidad f′′(t) en el intervalo (−π, π) entonces |f′′(t)| < M, siendo M constante
apropiada.
π π
1 ′′
1 2M
an = 2
| ∫ f (t)cos nt dt| < 2
∫ dt = 2
n π −π n π −π n
2M
|bn | <
n2
Esto lleva a que cada elemento, en su valor absoluto, de la serie de Fourier de f(x) es,
cuando mucho, igual al de la serie convergente
1 1 1 1 1 1
|a0 | + 2M(1 + 2
+ 2 + ⋯ ) + 2M(1 + 2 + 2 + ⋯ ) = |a0 | + 4M(1 + 2 + 2 + ⋯ )
2 3 2 3 2 3
por lo que se podría decir, entonces que la serie de Fourier también es convergente.
Para que puedas entender por medio de un ejercicio práctico el concepto, un ejemplo
sencillo de convergencia que Nagle, Saff & Snider (2005, p.600) presentan es el que se
encuentra a continuación:
Si se deseará saber a qué función tiene convergencia la serie de Fourier de f(t) definida
como
Por el teorema de convergencia, se sabe que la serie de Fourier converge a una función
g(t) con p = 2π.
Se sabe también, por la descripción del problema, que esa función g(t) a la que converge
se encuentra descrita por
f(0+ ) + f(0− )
g(0) = = 0,
2
f(π+ ) + f(π− ) −1 + 1
g(±π) = = =0
2 2
Es importante que sepas que las series de Fourier pueden derivarse e integrarse.
Observa ahora lo que dicen los teoremas respectivos (Nagle, Saff & Snider, 2005).
Para derivar una serie de Fourier se supondrá que tanto f′(t) como f′′(t) tienen
continuidad en tramos para [−p, p]. La serie de f′(t) puede ser calculada haciendo uso de
la serie de f(t) derivando término por término. Esto es, si se tiene
∞
a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p
n=1
entonces
∞
nπ nπ nπ
f′(t)~ ∑ (−an sen t + bn cos t)
p p p
n=1
Para integrar una serie de Fourier se supondrá que f(t) tiene continuidad por tramos para
[−p, p] y que su serie es
∞
a0 nπ nπ
f(t) = + ∑(an cos t + bn sen t)
2 p p
n=1
entonces
x x ∞
x
a0 nπ nπ
∫ f(t)dt = ∫ dt + ∑ ∫ (an cos t + bn sen t)dt
−p −p 2 −p
n=1
p p
Si f(t) tiene continuidad por tramos en [0, p], la serie de cosenos de Fourier para f(t) en el
intervalo [0, p] resulta ser
∞
a0 nπ
f(t) = + ∑ an cos t
2 p
n=1
2 p nπ
an = ∫ f(t)cos t dt
p 0 p
para n = 0,1,2,3 …
Si f(t) tiene continuidad por tramos en [0, p], la serie de senos de Fourier para f(t) en el
intervalo [0, p] resulta ser
∞
nπ
f(t) = ∑ bn sen t
p
n=1
2 p nπ
bn = ∫ f(t)sen t dt
p 0 p
para n = 1,2,3 …
Lee el tema 10.4 del libro de Nagle, Saff & Snider (2005), series de senos y cosenos de
Fourier, Cuando termines, habrás reforzado tus conocimientos del tema y serás capaz de
entender sus bases.
Como puedes observar, la forma en que se presentan las series de senos y cosenos de
Fourier es sencilla, gracias a los conocimientos adquiridos hasta el momento, pero falta
de revisar una última característica que te permitirá además aplicarla en el siguiente tema.
Esta característica es la de la paridad de las funciones y sus respectivas series.
● Se dice que una función f(t) es par en [a, b] sí y sólo sí se cumple que f(−t) = f(t)
para toda t dentro del intervalo.
● Caso contrario, se dice que una función f(t) es impar en [a, b] sí y sólo sí se
cumple que f(−t) = −f(t) para toda t dentro del intervalo.
f(t) = t 5 − t
Las funciones no tienen por qué caer forzosamente en alguna de las dos categorías. Si
alguna función no cumple con ninguno de los criterios para poder ser clasificada como par
o impar, se puede decir que la función no es par ni impar. Este es el caso de la función
f(t) = t 4 + t, que con lo que has visto en los ejemplos podrás comprobar por ti mismo. El
que una función sea par significa que es simétrica con respecto al eje de f(t), y que sea
impar significa que la simetría estará con respecto al origen.
Carmona & Filio (2011) presentan un conjunto de 7 teoremas al respecto de las funciones
pares e impares.
1 Si f(t) y g(t) son funciones pares, entonces el resultado de f(t) + g(t) será una
función par.
2 Si f(t) y g(t) son funciones impares, entonces el resultado de f(t) + g(t) será una
función impar.
3 Si f(t) y g(t) son funciones pares, entonces el resultado de f(t)g(t) será una
función par.
4 Si f(t) y g(t) son funciones impares, entonces el resultado de f(t)g(t) será una
función par.
5 Si f(t) es par y g(t) es impar, entonces el resultado de f(t)g(t) será una función
impar.
f(t) = a0 + ∑ an cos nt
n=1
1 π
a0 = ∫ f(t)dt,
π 0
2 π
an = π ∫0 f(t)cos nt dt, para n = 1,2,3,4 …,
bn = 0.
f(t) = ∑ bn sen nt
n=1
a0 = 0,
an = 0,
2 π
bn = π ∫0 f(t)sen nt dt , para n = 1,2,3,4 ….
Una de las propiedades de las funciones simétricas es que, si una función f(t) continua
por partes en el intervalo [−l, l] es par,
l l
∫ f(t)dt = 2 ∫ f(t)dt
−l 0
Recuerda que la integral es el área bajo la curva, por lo que gráficamente es entendible
esta característica, ejemplificando con el siguiente diagrama.
l
∫ f(t)dt = 0
−l
Lee los ejemplos 1 al 6 del capítulo 8 de Carmona & Filio (2011) y, una vez hecho esto,
realiza los ejercicios 8.2 del número 1 al 8 (p. 451-457). Cuando termines, habrás
clarificado la forma de aplicar los conocimientos adquiridos para encontrar la serie de
Fourier de funciones descritas, ya sea por medio de diagramas o por modelos
matemáticos por tramos.
Has aprendido a calcular las series de Fourier para funciones periódicas, incluyendo
aquellas continuas por tramos, pero pueden ser desarrolladas funciones no periódicas en
series de Fourier. En el siguiente subtema se revisará cómo hacerlo.
Una función no periódica puede ser tomada como periódica para un tramo en el que
presenta continuidad. Para saber cómo conseguirlo aplicando los conocimientos de la
unidad en su tema 3.2 hasta el momento, se hará uso de un par de ejemplos basados en
los de Carmona & Filio (2011).
Supón que se tiene una función f(t) = t 3 . Esta función podría ser desarrollada como una
serie de Fourier de cosenos o de senos, significando esto que f(t) se consideraría como
par o impar, para el primer y segundo casos respectivamente.
A continuación, se define la función de las dos formas para que puedas ver cómo se
comportaría.
en donde
f(−t) = −f(t)
Su gráfica sería
Ahora, si se toma como periódica solamente para un tramo, en éste caso el derecho,
representándola como función par se tendría
en donde
f(−t) = f(t)
Su gráfica sería
f(t) = ∑ bn sen nt
n=1
con coeficientes
a0 = 0,
an = 0,
2 π
bn = π ∫0 f(t)sen nt dt , para n = 1,2,3,4 ….
esto es,
2 2 2
bn = − cos nπ = { , n = 1,3,5,7, … − , n = 2,4,6,8, …
π n n
por lo que sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en senos para la
función dada es
∞
(−1)n+1
f(t) = 2 ∑ sen nt
n
n=1
f(t) = a0 + ∑ an cos nt
n=1
1 π π
a0 = π ∫0 f(t)dt = 2 ,
2 π
an = π ∫0 f(t)cos nt dt , para n = 1,2,3,4 …,
bn = 0.
esto es,
2 4
an = 2
cos (nπ − 1) = {− 2 , n = 1,3,5,7, … 0, n = 2,4,6,8, …
n π n π
Sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en cosenos para la función
dada es
∞
π 4 cos (2n + 1)
f(t) = + − ∑ t
2 π (2n + 1)2
n=1
Con estos ejemplos has visto como una función no periódica puede ser tomada como
periódica para un tramo en el que presenta continuidad, facilitando su desarrollo en
series.
Realiza ahora los ejercicios 8.6 del número 1 al 15 del libro de Carmona & Filio (2011, p.
485-486), comparando tus resultados con los de los autores. Una vez que lo hayas hecho
habrás practicado y comprobado tu aprendizaje respecto de cómo desarrollar funciones
en series senoidales y cosenoidales.
Las series de Fourier hacen uso de desarrollos en series trigonométricas, y esto permite
que puedan ser utilizadas para expresar funciones presentes en distintos fenómenos
físicos.
Edwards & Penney (2009) muestran ejemplos en donde se aplican las series de Fourier
de los cuales se presentarán algunos de forma general, agregando al final un par de
lecturas que deberás hacer para observar cómo se hace uso de estas abstracciones una
vez que se introducen valores.
F(t) = mx ′′ + kx
k
La frecuencia natural, como puede observarse, es ω0 , el cual es igual a √ , y los
m
coeficientes pueden ser determinados por los valores iniciales, siendo xp una solución
particular.
Se puede hacer uso de la serie de Fourier para hallar una solución particular periódica de
F(t) = mx ′′ + kx. A ésta solución se le conoce como periódica estacionaria, y será
representada por xsp (t).
Se considera que la fuerza externa es función impar con p = 2L, por lo que podrá ser
representada como una serie de senos de Fourier.
∞
nπ
F(t) = ∑ Bn sen ( t)
L
n=1
nπ
Si la frecuencia de la función seno no es igual a la natural, o lo que es lo mismo L
≠ ω0
para n = 1,2,3 …, se puede encontrar una solución periódica del tipo
∞
nπ
xsp (t) = ∑ bn sen ( t)
L
n=1
Por medio de la sustitución de las series de las ecuaciones presentadas para poder
calcular bn .
Para darle un toque práctico, se piensa que la constante de Hooke es 32 N/m, la masa es
de 2kg y la fuerza externa se encuentra definida como periódica de tipo impar con p = 2 s
de la forma
∞
40 sennπt
F(t) = ∑
π n
n impar
Para llevar a cabo el cálculo de la solución periódica estacionaria xsp (t) se tiene que
Lo único que se tendría que hacer es calcular bn para sustituirlo en la función anterior
xsp (t), que es la que se pretende encontrar.
20
bn = , n = 1,3,5,7 …
nπ(16 − n2 π2 )
por lo que
∞
20 sen nπt
xsp (t) = ∑
π n(16 − n2 π2 )
n impar
en donde Nπt/L es igual a la frecuencia natural ω0 , este término genera resonancia pura.
Analizando lo dicho para llegar a una expresión que lo resuma, si ω0 = Nπt/L, entonces
Nπ
Bn sen ( L t) = Bn senω0 t, por lo tanto
Nπ
F(t) = mx ′′ + kx = Bn sen t = Bn senω0 t
L
mx ′′ + kx = Bn senω0 t
k
tiene como solución de resonancia, cuando ω0 = √m, a
BN
x(t) = − tcos ω0 t
2mω0
∞
BN BN nπt
x(t) = − tcos ω0 t + ∑ sen
2mω0 2 n2 π2 L
n≠N m(ω0 − )
L2
Para ver la forma en que se desarrollan y solucionan fenómenos modelados para el flujo
de calor y cuerdas vibrantes lee el tema 10.1 de Nagle, Saff y Snider (2005, p. 576-587).
Después de hacerlo, podrás entender cómo se unen los temas vistos a lo largo de toda la
materia para poder solucionar un problema, haciendo uso del modelado en ecuaciones
diferenciales, separación de variables y aplicación de series trigonométricas para expresar
funciones.
Actividades
Las transformadas de Laplace y series de Fourier, como has visto a lo largo de la unidad,
tienen aplicación en las energías renovables al facilitar resolver modelos de fenómenos
representables matemáticamente.
Actividades
Autoevaluación
En esta actividad pondrás a prueba tus conocimientos adquiridos y podrás observar qué
has aprendido y cuáles han sido tus avances en esta unidad. Ingresa al módulo de
Actividades para descargar la actividad.
Autorreflexiones
Cierre de la unidad
Se espera que el curso haya sido de tu agrado, y que ahora que tienes las competencias
necesarias, puedas hacer uso de éstas para aplicarlas en tu vida como profesional de las
energías renovables.
Fuentes de consulta