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    Metodos Numericos Metodo de Euler

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    Jesus Asaf Mtanous Ramirez
    Este documento describe tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente: el método de Euler, el método de Euler mejorado y el método de Runge-Kutta. El método de Euler aproxima la solución mediante una recta tangente, el método de Euler mejorado usa una pendiente promedio, y el método de Runge-Kutta es un método iterativo más preciso que puede ser explícito o implícito.

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    Metodos Numericos Metodo de Euler

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    Este documento describe tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente: el método de Euler, el método de Euler mejorado y el método de Runge-Kutta. El método de Euler aproxima la solución mediante una recta tangente, el método de Euler mejorado usa una pendiente promedio, y el método de Runge-Kutta es un método iterativo más preciso que puede ser explícito o implícito.

    Descripción original:

    se basa sobretodo en el metodo de Euler

    Título original

    Metodos Numericos metodo de Euler

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    Este documento describe tres métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricamente: el método de Euler, el método de Euler mejorado y el método de Runge-Kutta. El método de Euler aproxima la solución mediante una recta tangente, el método de Euler mejorado usa una pendiente promedio, y el método de Runge-Kutta es un método iterativo más preciso que puede ser explícito o implícito.

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    de 6

    6.

    2 Mtodos de un paso: Mtodo de Euler, Mtodo de Euler


    mejorado y Mtodo de Runge-Kutta.
    El mtodo de Euler
    Llamado as en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integracin
    numrica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor
    inicial dado.
    El mtodo de Euler es el ms simple de los mtodos numricos resolver un
    problema del siguiente tipo:

    Consiste en multiplicar los intervalos que va de

    en

    sub-intervalos de

    ancho ; o sea:

    De manera que se obtiene un conjunto discreto de


    puntos:

    del intervalo de inters

    . Para cualquiera de

    estos puntos se cumple que:

    La condicin inicial
    , representa el punto
    por donde
    pasa la curva solucin de la ecuacin del planteamiento inicial, la cual se denotar
    como

    Ya teniendo el punto
    punto; por lo tanto:

    se puede evaluar la primera derivada de

    en ese

    Con esta informacin se traza una recta, aquella que pasa por
    pendiente

    . Esta recta aproxima

    y de

    en una vecinidad de

    . Tmese

    la recta como reemplazo de


    y localcese en ella (la recta) el valor de y
    correspondiente a . Entonces, podemos
    deducir segn la Grfica A:

    Se resuelve para

    Grafica A.
    Es evidente que la ordenada
    calculada de esta manera no es igual a
    pues existe un pequeo error. Sin embargo, el valor
    sirve para que se

    aproxime
    en el punto
    y repetir el procedimiento anterior a fin
    de generar la sucesin de aproximaciones siguiente:

    EJEMPLO
    Apliquemos el mtodo de Euler al modelo de crecimiento exponencial:

    Para conocer un valor aproximado

    con un paso

    La frmula nos proporciona la expresin:

    Que da lugar a los valores que aparecen en la Tabla 6.1.

    Mtodo de Euler Mejorado


    Este mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero hace un
    refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
    La frmula es la siguiente:

    Donde

    Para entender esta frmula, analicemos el primer paso de la aproximacin,


    con base en la siguiente grfica:

    En la grfica, vemos que la pendiente promedio


    corresponde a la pendiente de
    la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condicin inicial y
    la "recta tangente" a la curva en el punto
    donde
    es la aproximacin
    obtenida con la primera frmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se
    traslada paralelamente hasta el punto de la condicin inicial, y se considera el
    valor de esta recta en el punto

    como la aproximacin de Euler mejorada.

    Mtodo de Runge-Kutta
    Es un mtodo genrico de resolucin numrica de ecuaciones diferenciales. Este
    conjunto de mtodos fue inicialmente desarrollado alrededor del ao 1900 por los
    matemticos C. Runge y M. W. Kutta.
    Los mtodos de Runge-Kutta (RK) son unos conjuntos de mtodos iterativos
    (implcitos y explcitos) para la aproximacin de soluciones de ecuaciones
    diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
    Sea

    Una ecuacin diferencial ordinaria, con


    donde
    un conjunto abierto, junto con la condicin de que el valor inicial de sea

    es

    Entonces el mtodo RK (de orden s) tiene la siguiente expresin, en su


    forma ms general:

    ,
    Donde h es el paso por iteracin, o lo que es lo mismo, el
    incremento
    entre los sucesivos puntos
    y
    . Los
    coeficientes son trminos de aproximacin intermedios, evaluados
    en de manera local

    con
    coeficientes propios del esquema numrico elegido,
    dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas
    Runge-Kutta pueden ser explcitos o implcitos dependiendo de las
    constantes
    del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con
    todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es
    decir,
    para
    , los esquemas son explcitos.

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