Tarea de Topografia 12

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Por: Miguel Solís Esquinca
Profesor de tiempo completo
Universidad Autónoma de Chiapas

En esta sección presentamos la relación que guardan la función derivada y la
integral, convirtiendo a la integral en la operación inversa de la derivada. Hasta
ahora, hemos considerado al área bajo una curva como un significado de la
integral, expresado simbólicamente como

= “área bajo la curva desde a hasta b” (Figura 4.1)

Figura 4.1

¿Qué sucede cuando uno de los límites de integración no es una constante sino
una variable? Tendríamos que el área en cuestión sería también variable y
dependería del valor de este límite variable de integración.

Imaginemos que queremos calcular el área bajo la curva desde 0
hasta x ( ). El área dependería de los valores que tomara x, esto es, el área
sería una función de la variable x y podríamos expresarla como A(x) (Figura 4.2).

A(x)

Figura 4.2

A(x) describe los valores del área bajo la curva f(x) en distintos momentos. Por
ejemplo, A(x1) y A(x2) se puede considerar que representan dos valores del área
en distintos momentos para los cuales A(x1) sucedió antes que A(x2) (Figura 4.3).

Figura 4.3

Utilizando esta idea de “área variable”, regresemos a la situación de calcular el
área bajo la curva desde a hasta b, esto es: . Pensemos que a y b son dos

de estos momentos para los cuales el área toma los valores A(a) y A(b) y
donde A(a) sucede antes que A(b), digamos que A(a) representa el valor inicial
del área y A(b) el valor final. Para calcular el valor del área bajo la curva
desde a hasta b debemos considerar el valor inicial y el valor final del área y
efectuar la resta A(b) - A(a) (Figura 4.4).

A(b) A(a) A(b) – A(a)
Figura 4.4

La resta A(b) - A(a) expresa el área acumulada entre a y b, en ese sentido la
integral debe cumplir con la siguiente relación

Pero, ¿qué relación guardan las funciones A(x) (función área) y f(x)?

A(x), como lo dijimos anteriormente, describe valores del área bajo la
curva f(x) en distintos momentos. La variación de estos valores es expresada por
la diferencia

A(x+h)-A(x).

Geométricamente, la diferencia de áreas, resulta ser aproximadamente el área de
un rectángulo de base h y altura f(x).

En la Figura 4.5 presentamos una secuencia gráfica considerando, primero el
momento del área A(x), después el momento del área A(x+h), inmediatamente la
resta de ambas áreas y, finalmente, la identificación del rectángulo de base h y
altura f(x).

A(x) A(x+h)

A(x+h) – A(x) Rectángulo f(x)h

Figura 4.5

El área del rectángulo f(x)h es aproximadamente la variación o incremento del
área A(x). Entonces,

donde se lee “es aproximadamente igual a”

La razón de cambio del área se obtiene al dividir la variación entre h

y considerando el límite cuando h tiende a cero ( )

El lado izquierdo de la igualdad anterior es el límite de un cociente y no
es mas que la definición de la derivada de la función A(x). De acuerdo a la
geometría del área bajo la curva, hemos encontrado que la relación entre las
funciones A(x) y f(x) es precisamente que f(x) es la derivada de A(x), f(x)=A´(x).

En la relación , si llamamos a , el valor del
área queda expresado de la siguiente manera:

para cualquier x en [a, b]

Y, sumándole al valor del área A(a) todos los valores de las
áreas f(x)dx desde a hasta b encontramos el valor acumulado del área A(b):

Por otra parte, la resta A(b)-A(a) determina la acumulación de área cuando x está
considerada en el intervalo [a, b]:

Así, la igualdad A´(x)=f(x) relaciona la derivada y la integral expresada por

(La expresión “ ” es sólo una notación de la resta . Así cualquier
función G(x) que anteceda a la barra “ ”, con los valores a y b, indica que hay
que evaluar la función G(x), respectivamente, en a y b: G(a) y G(b) y efectuar la
resta G(b)-G(a)).

Por la expresión , tiene sentido pensar a la integral como la

“operación inversa de la derivada”; ya que al integrar una función dada f(x), se
obtiene la función F(x) cuya derivada es la función dada: F´(x)=f(x). La
función f(x), en la expresión de la integral, implícitamente es la derivada de otra
función F(x). Así, a la función F(x) se le conoce como función primitiva;

Función primitiva = integral de su función derivada.

Una vez establecida la relación entre la derivada y la integral, la integral adquiere
un carácter operacional, el cual consiste en hallar funciones primitivas a partir de
su función derivada.

Conociendo la función primitiva y su derivada en forma explícita se puede
construir una tabla de integración, para determinar algunas fórmulas de
integración que facilitan cálculos de integrales. Sin embargo, recordemos que la
derivada de una función constante es cero. Así, para funciones que incluyen
términos constantes en sus expresiones, por ejemplo , , resulta
que la derivada de cada una de estas es la función f(x)=x. Esto quiere decir que la
función primitiva de f(x)=x puede ser cualquiera de las tres funciones, de hecho
cualquier función , donde c es cualquier constante, es también una función

primitiva de f(x)=x. Es preciso, entonces, que al hallar una función primitiva se le
añada una constante C.

Observa, además, que la derivada de la primitiva F(x)+c es f(x):

Tabla I
Derivada
de F(x) Función
F(x)
si
si
si

En la Tabla I se muestran las primitivas de algunas funciones (f(x)), se puede
comprobar que al derivar F(x) obtenemos f(x).

Por medio de la Tabla I y la expresión de la integral

se determinan las siguientes fórmulas de integración:

Tabla II: fórmulas de integración
1.
2.
3.
4.

Contamos, hasta ahora, con diferentes expresiones de la integral, donde la
característica esencial consiste en los límites de integración;

(sin límites de integración) y

, donde , para (con límites de

integración)

Ambas expresiones están relacionadas por la función primitiva F(x) y la función
derivada F´(x):

y

sin embargo la primera expresión determina una función, mientras que la segunda
determina un número.

Ejemplo 4.1. Aplicar las reglas básicas de integración

Integral dada Reformular Integrar Simplificar

Ejemplo 4.2. Consideremos la función y calculemos las integrales
y .

Solución:

De acuerdo a la fórmula de integración

la integral es igual a la función , es decir,

(función).

1. Iniciamos con una función f(x)=x.
2. Integramos y resultó la
función
3. Observamos que la derivada de F(x) es f(x)=x.

Para calcular la integral necesitamos la función primitiva, que en este caso
es y de este modo sólo se requiere calcular la resta ya

que la constante se anula, es decir,

;

(número)

Las expresiones simbólicas de la integral

y

, donde , para

relacionan a las funciones primitiva y derivada bajo la siguiente secuencia de
funciones (las flechas “” indican las aplicaciones de dos operaciones: derivada
e integración):

función F(x)  función derivada F´(x)  función primitiva F(x)+c

La expresión simbólica con límites de integración se

conoce como integral definida y la expresión simbólica sin límites de
integración se conoce como integral indefinida.

Actividad

1. Calcula las siguientes integrales:

a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)

2. Calcula el valor del área limitada por la curva , el eje X y las
rectas y .

3. La velocidad, de un automóvil por ejemplo, es la medida de cómo éste cambia
su posición con respecto al tiempo, su fórmula se escribe comúnmente ,

donde es el cambio en la posición (metros, kilómetros, millas, etc.) y es el
lapso donde ocurre este cambio (segundos, minutos, horas, días, etc..). Si
medimos el cambio en la posición para lapsos muy pequeños, esta medida se
aproximará a la velocidad instantánea de nuestro automóvil. La fórmula para la
velocidad instantánea es , es decir, la velocidad instantánea es la

derivada de la posición respecto del tiempo.

La velocidad instantánea de un automóvil, durante un intervalo de tiempo, está
por la función del tiempo: m/s.

a) Encuentra la función posición s(t)
b) Si la posición inicial del automóvil era 0 metros, ¿Cuál es la posición del
mismo después de 7 segundos?
c) ¿En cuánto cambió la posición del vehículo durante el intervalo de tiempo
que va del segundo 5 al segundo 7?

4. La tasa de crecimiento de una población es la medida del cambio en el número
de habitantes en un intervalo de tiempo, la tasa de crecimiento instantánea es la
derivada de la población respecto del tiempo.

La tasa de crecimiento instantánea de una población entre los años de 1980 y
1995 está dada por la función habitantes/año, t=0 corresponde
al año 1980. Si la población en el año de 1980 era de 4,000 habitantes:

a) Encuentra la función población P(t)
b) ¿Cuál era la población en el año de 1989?
c) ¿Cuánto se incremento la población entre los años de 1985 y 1990?

5.- En economía se manejan los conceptos de Costos (C), Ingresos (I) y Utilidad
(U). Una relación fundamental de estos conceptos es la siguiente (las
utilidades son la diferencia entre los ingresos y los costos), si los ingresos son
mayores a los costos tendremos una utilidad positiva (ganancia), pero si son los
costos los mayores tendremos una utilidad negativa (pérdida). Los costos,
ingresos y la utilidad son funciones que dependen de la cantidad (x) de artículos
producidos y vendidos. Costo marginal, Ingreso marginal y Utilidad marginal son
las derivadas del Costo, Ingreso y Utilidad respectivamente. A la función costo la
podemos representar por C(x), mientras que a la función costo marginal
por , del mismo modo para los otros dos conceptos.
Los Costos marginales de cierta empresa están dados por y los ingresos
marginales por
a) Encuentra las expresiones para las funciones Costo, Ingreso y Utilidad.
b) El diagrama de abajo muestra las gráficas del costo marginal y del ingreso
marginal.

para obtener la función costo debemos integrar la función costo marginal,
geométricamente significa encontrar la función área bajo la curva de costo
marginal. Lo mismo es para la función ingreso. Así
y (nótese que la función ingreso y la función costo sólo tienen
sentido para , lo mismo para las derivadas de las mismas), la función
utilidad es ó , geométricamente la
función utilidad es el área entre las curvas formadas por las gráficas de costo
marginal e ingreso marginal. Apoyándote en la gráfica de arriba, ¿cuál es la
utilidad máxima de la empresa?

Tarea de Topografia 12

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Tarea de Topografia 12

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Tarea de Topografia 12

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

= “área bajo la curva desde a hasta b” (Figura 4.1)

área bajo la curva desde a hasta b, esto es: . Pensemos que a y b son dos

A(x+h) – A(x) Rectángulo f(x)h

Por la expresión , tiene sentido pensar a la integral como la

cualquier función , donde c es cualquier constante, es también una función

, donde , para (con límites de

la integral es igual a la función , es decir,

Para calcular la integral necesitamos la función primitiva, que en este caso

es y de este modo sólo se requiere calcular la resta ya

La expresión simbólica con límites de integración se

d) e) f)

g) h) i)

su posición con respecto al tiempo, su fórmula se escribe comúnmente ,

velocidad instantánea es , es decir, la velocidad instantánea es la

También podría gustarte