UNIVERSIDAD EAN

FACULTAD DE ESTUDIOS EN AMBIENTES VIRTUALES

OPTIMIZACIÓN Y ESTADÍSTICA PARA ECONOMISTAS

GUIA 1
MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA

PREPARADO POR:
NICOLAS DANIEL MOSQUERA PERDOMO
GABRIEL FERNANDO CASTELLANOS TÉLLEZ

DIANA CRISTINA BOSA HERNANDEZ

MARIA CONSTANZA ORDOÑEZ SALCEDO

TUTOR:
HERMES JACKSON MARTINEZ NAVAS

BOGOTÁ
AGOSTO 5 DE 2019
 RESUMEN

En el presente documento se desarrollan los ejercicios planteados en la primera

guía del curso Optimización y estadística para economistas, que abarca los temas
relacionados con las matemáticas aplicadas a la economía.

La única actividad que contenía ese documento, se dividió en dos partes: un

trabajo grupal y otro individual. El primero constaba de desarrollar once ejercicios
planteados por el profesor, aplicando los conocimientos adquiridos en el libro
Matemáticas para el análisis económico (Sydsaeter, K., Hammond, P., y Carvajal,
A., 2012), y Fundamentals of differential equations (Nagle, K., Saff, E., y Snider, A.,
2012).

Para la parte individual, se tuvieron que resolver 19 problemas propuestos en

la plataforma MyLab de Pearson.
 TABLA DE CONTENIDO

1) Introducción ................................................................................................ 5

2) Ejercicio 1 .................................................................................................... 6

3) Ejercicio 2 .................................................................................................... 8

4) Ejercicio 3 .................................................................................................... 9

5) Ejercicio 4 .................................................................................................. 10

6) Ejercicio 5 .................................................................................................. 11

7) Ejercicio 6 .................................................................................................. 13

8) Ejercicio 7 .................................................................................................. 14

9) Ejercicio 8 .................................................................................................. 16

10) Ejercicio 9 .................................................................................................. 17

11) Ejercicio 10 ................................................................................................ 18

12) Ejercicio 11 ................................................................................................ 19

13) Anexo pantallazo ejercicios Pearson ...................................................... 21

14) Conclusiones ............................................................................................ 22

15) Referencias Bibliográficas ....................................................................... 23

1) Introducción

En el presente trabajo se aplicará los métodos cuantitativos que poseen las

matemáticas económicas a partir del desarrollo de matrices, optimización de una o
varias variables, optimización con restricciones, ecuaciones diferenciales,
ecuaciones en diferencias, derivadas parciales y aplicación de ellas. Usando cada
una de estas en diversos ejercicios que permiten fortalecer el aprendizaje.

De esta manera, partimos por el insumo de producto, en cual se desarrolla

una matriz de coeficientes técnicos con una tabla de demanda de tracciones
interindustriales la cual representa la producción de tres industrias (acero, carbono
y hierro). Por otra parte, se pide determinar la demanda final cuando ella cambia.

En la segunda actividad se aplica la función de producción de Coob Douglas

para obtener la producción total.

En los siguientes dos puntos se usa la maximización y la minimización. En el

primero se debía minimizar la función de costos para una empresa que produce dos
artículos. En el segundo punto, se maximizó la función beneficio para una empresa
que produce dos artículos.

Para el quinto ejercicio se minimizo una función de costo sujeta a una cota
de producción, para el sexto ejercicio se maximiza una función de beneficio dado
con una restricción.

Para el séptimo ejercicio utilizando los multiplicadores de Lagrange se

determina las unidades de mano de obra y el capital de una empresa que debería
utilizar para maximizar su producción, así mismo con este máximo se demuestra
que el costo marginal de mano de obra es igual a la razón de los costos unitarios.

Para finalizar los últimos tres ejercicios de la actividad se resuelven ecuaciones

diferenciales.
 2) Ejercicio 1

Dada la tabla de demanda de transacciones interindustriales que sigue:

Sector destino
Demanda Demanda
Acero Carbón Hierro
Sector de origen final total
Acero 20 60 10 50 140
Carbón 50 10 80 10 150
Hierro 40 30 20 40 130
Valor agregado 30 50 20
Producción total bruta 140 150 130

a. Determine la matriz de coeficientes técnicos.

Producir 140 unidades de acero se requiere 20 unidades de Acero, 50 unidades de

carbón y 40 unidades de hierro; por lo que para producir una unidad se requiere
20 1 50 5 40 2
= unidades de acero = unidades de carbón y = , y resultan
140 7 140 14 140 7
ser las entradas de la primera columna de matriz de coeficiente técnicos.

De manera análoga, la segunda columna tiene las entradas:

60 2 10 1 30 1
= , = 𝑦 =
150 5 150 15 150 5

10 1 80 8 20 2
Y la tercera columna = , = 𝑦 =
130 13 130 13 130 13

Luego la matriz de coeficientes técnicos es:

1 2 1
7 5 13
5 1 8
𝐴= (1)
14 15 13
2 1 2
( 7 5 13 )
 b. Determínese el nuevo nivel de la demanda total, si en el año 2, la
demanda final es de 70 en la industria de acero, 25 en la industria de
carbón y 50 en la industria de hierro.

Considere:

1 2 1 6 2 1
− −
7 5 13 7 5 13
1 0 0 5 1 8 5 14 8
𝐼 − 𝐴 = (0 1 0) + = − −
0 0 1 14 15 13 14 15 13
2 1 2 2 1 11
(7 5 − −
13 ) ( 7 5 13 )

La inversa de esta matriz se calcula con Excel, entonces.

1820 966 868

967 967 967
1305 1920 1515
(𝐼 − 𝐴)−1 =
967 967 967
923 780 1794
( 967 967 967 )

70
El valor de la demanda final cambia según la matriz 𝐷 = (25). Dado que
50
(𝐼 − 𝐴)−1 𝐷 = 𝑋, donde X es la nueva demanda total, entonces.

1820 966 868

967 967 967
1305 1920 1515 70 202
−1
𝑋 = (𝐼 − 𝐴 ) ∗ 𝐷 = ∗ (25) = (222)
967 967 967 50 180
923 780 1794
( 967 967 967 )

127400 24150 43400 194950

𝑥1 = + + = ≈ 202
967 967 967 967

91350 48000 75750 215100

𝑥2 = + + = ≈ 222
967 967 967 967
64610 19500 89700 173810
𝑥3 = + + = ≈ 180
967 967 967 967
 c. Después de determinar la inversa de (I-A), utilícese para verificar la
exactitud de la matriz de coeficientes deducida en el punto anterior,
verifique para ver si (𝐼 − 𝐴) −1𝐵 = 𝑋

3) Ejercicio 2
Función de producción Cobb-Douglas. En economía, una función de
producción Cobb-Douglas tiene la forma:

𝑃 = 𝐴𝑙𝛼 𝑘 𝛽
Donde 𝐴, 𝛼 𝑦 𝛽 son constantes y 𝛼 + 𝛽 = 1. Para tal función demuestre que:

𝜕𝑃 𝑃
a. =𝛼
𝜕𝑙 𝑙

𝜕𝑃 𝜕𝑃
= 𝛼𝐴𝑙𝛼−1 𝑘 𝛽 → = 𝛼(𝐴𝑙𝛼 𝑙−1 𝑘 𝛽 ). Por lo que
𝜕𝑙 𝜕𝑙

𝜕𝑃 𝐴𝑙𝛼 𝑘 𝛽 𝑃
= 𝛼( ) = 𝛼
𝜕𝑙 𝑙 𝑙

𝜕𝑃 𝑃
b. =𝛽
𝜕𝑘 𝑘

𝜕𝑃 𝜕𝑃
= 𝛽𝐴𝑙𝛼 𝑘 𝛽−1 → = 𝛽(𝐴𝑙𝛼 𝑘 𝛽 𝑘 −1 ). Por lo que
𝜕𝑘 𝜕𝑘

𝜕𝑃 𝐴𝑙𝛼 𝑘 𝛽 𝑃
= 𝛽( )= 𝛽
𝜕𝑘 𝑘 𝑘

𝜕𝑃 𝜕𝑃
c. 𝑙 +𝑘 =𝑃
𝜕𝑙 𝜕𝑘

𝜕𝑃 𝜕𝑃
De a) se tiene que 𝑙 = 𝛼𝑃, y de b) se tiene que 𝑘 = 𝛽𝑃. Entonces,
𝜕𝑙 𝜕𝑘
 𝜕𝑃 𝜕𝑃
𝑙 +𝑘 = 𝛼𝑃 + 𝛽𝑃 = 𝑃(𝛼 + 𝛽) . Por hipótesis (𝛼 + 𝛽 ) = 1.
𝜕𝑙 𝜕𝑘
𝜕𝑃 𝜕𝑃
Entonces, 𝑙 +𝑘 = 𝑃.
𝜕𝑙 𝜕𝑘

4) Ejercicio 3
Dada la función de costo total:

𝒄 = 𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 − 𝟒𝟎𝒙 − 𝟒𝟐𝒚 + 𝟏𝟖𝟎

Para una empresa que produce 2 artículos, 𝑥 y 𝑦,

a. Minimice los costos

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐 = 8𝑥 2 + 6𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 40𝑥 − 42𝑦 + 180

𝜕𝑓 𝜕𝑓
= 16𝑥 − 2𝑦 − 40 (1) = 12𝑦 − 2𝑥 − 42 (2)
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Los puntos críticos son los pares ordenados (𝑥, 𝑦) que solucionan el sistema de
𝜕𝑓 𝜕𝑓
ecuaciones = = 0, entonces.
𝜕𝑥 𝜕𝑥

Al despejar 𝑦 en (1) se tiene: 16𝑥 − 2𝑦 − 40 = 0 → 8𝑥 − 20 = 𝑦 (3)

Sustituyendo (3) en (2) se tiene:

6(8𝑥 − 20) − 𝑥 − 21 = 0 → 𝑥 = 3 (4)

Sustituyendo (4) en (3) se tiene: 8(3) − 20 =𝑦 → 𝑦=4
La función de costos tiene un único punto crítico en (3,4). Los términos
cuadráticos tanto de 𝑥 como 𝑦 son positivos, por lo que inducen a que el punto
crítico es un mínimo.
b. Pruebe la condición de segundo grado.
Considere:

𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓

= 16 = 12 = −2 = 2
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦
Luego, la Matriz Hessiana de esta función es:
 𝑓′′(𝑥) 𝑓𝑥𝑦 16 −2
( )=( ) (5)
𝑓𝑦𝑥 𝑓′′(𝑦) −2 12

16 −2
𝐷𝑒𝑡 ( ) = 16(12) − (−2(−2)) = 188 (6)
−2 12
𝜕2 𝑓
Como el determinante de la Matriz Hessiana es mayor que 0 y = 16 es
𝜕𝑥
mayor que 0. Todos los puntos críticos de esta función son mínimos relativos.
Más aun, teniendo únicamente un único punto crítico dicho punto es un mínimo
absoluto, comprobando por medio de la condición de segundo grado la conjetura
del punto anterior.

c. Evalúese la función de los valores críticos.

Dado punto critico (3,4). El valor mínimo de la función de costos es:

𝑐(3,4) = 8(3)2 + 6(4)2 − 2(3)(4) − 40(3) − 42(4) + 180 = 36

5) Ejercicio 4

Dada la función de (π) beneficios, π = 160x − 3x 2 − 2xy − 2y 2 + 120y − 18

para una empresa que produce dos artículos, x y
a. Maximice los beneficios

𝜕𝜋
= 160 − 6𝑥 − 2𝑦 = 0 → 80 − 3𝑥 = 𝑦 (1)
𝜕𝑥
𝜕𝜋
= −2𝑥 − 4𝑦 + 120 = 0 → −2𝑦 + 60 = 𝑥 (2)
𝜕𝑦
Reemplazando (2) en (1)

80 − 3(−2𝑦 + 60) = 𝑦 → 𝑦 = 20 (3)

Reemplazando (3) en (2)

−2(20) + 60 = 𝑥 → 𝑥 = 20 (4)

Entonces la función tiene un único punto crítico en (20,20). En el siguiente punto se

demostrara que este punto es el máximo absoluto de la función y por tanto el
beneficio que puede obtener la compañía.

b. Compruebe la condición de segundo grado

Considere:

𝜕2𝜋 𝜕2𝜋 𝜕2𝜋 𝜕2𝜋

= −6 = −4 = −2 = 2
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦
Luego, la Matriz Hessiana de esta función es:

𝜋𝑥𝑥 𝜋𝑥𝑦 −6 −2
(𝜋 𝜋𝑦𝑦 ) = ( ) (5)
𝑦𝑥 −2 −4
16 −2
𝐷𝑒𝑡 ( ) = −6(−4) − (−2(−2)) = 28 (6)
−2 12
𝜕 2𝑓
Como el determinante de la Matriz Hessiana es mayor que 0 y = −6 es menor
𝜕𝑥

que 0. Todos los puntos críticos de esta función son máximos relativos. Más aun,
teniendo únicamente un único punto crítico dicho punto es un máximo absoluto.

c. Evalué la función a los valores críticos.

Dado punto critico (20,20). El valor máximo de la función de beneficio es:

𝜋 = 160(20) − 3(20)2 − 2(20)(20) − 2(20)2 + 120(20) − 18 = 2782

6) Ejercicio 5

Minimice la función de costo total 𝑐 = 8𝑥 2 + 6𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 40𝑥 − 42𝑦 + 180 sujeta a

la cuota de producción 𝑥 + 𝑦 ≥ 12.

Esta es la misma función del ejercicio 3, donde se demostró que la función tiene
un único punto crítico que resulta ser su mínimo absoluto en (3,4), entonces
producir 7 unidades, 3 unidades del producto 𝑥 y 4 unidades del producto 𝑦 (en esa
combinación), genera los costos de producción más bajos posibles.

Dado esto, por definición cada unidad adicional, bien sea del producto 𝑥 o del
producto 𝑦, incrementará los costos de la empresa; es decir que producir “n”
unidades es necesariamente menos costoso que producir “n+1” unidades (𝑛 ≥ 7).
Por lo que el ejercicio se reduce a calcular la combinación de productos 𝑥 y 𝑦 de la
producción de 12 unidades que representan un costo mas bajo.

Por esto la restricción real es únicamente la frontera 𝑥 + 𝑦 = 12 de la región

indicada 𝑥 + 𝑦 ≥ 12. Dicho esto.

𝐹 = 8𝑥 2 + 6𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 40𝑥 − 42𝑦 + 180 − λ(𝑥 + 𝑦 − 12)

𝜕𝐹
= 16𝑥 − 2𝑦 − 40 − λ = 0 → λ = 16𝑥 − 2𝑦 − 40 (1)
𝜕𝑥

𝜕𝐹
= 12𝑦 − 2𝑥 − 42 − λ = 0 → λ = 12𝑦 − 2𝑥 − 42 (2)
𝜕𝑦

𝜕𝐹
= −𝑥 − 𝑦 − 12 = 0 → 12 − 𝑥 = 𝑦 (3)
𝜕λ
Reemplazando (3) en (1) = (2)

83
16𝑥 − 2(12 − 𝑥 ) − 40 = 12(12 − 𝑥 ) − 2𝑥 − 42 → 𝑥 = (4)
16
Reemplazando (4) en (3)

83 109
12 − =𝑦 →𝑦=
16 16
83 109
El punto (16 , ) es la combinación que genera los costos mínimos para producir
16

12 unidades o más. Si los productos no son divisibles en la razón encontrada, la

combinación seria (5, 7).
 7) Ejercicio 6

Maximice la función de beneficio 𝜋 = 160𝑥 − 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 + 120𝑦 − 18. Dado

que la producción conjunta de la compañía no puede sobrepasar 35 unidades, es
decir 𝑥 + 𝑦 ≤ 35

En el ejercicio 4 se determinó que la función beneficio tiene un único punto crítico

en (20,20), y que dicho punto crítico es el máximo absoluto de la función. Es decir
que después de 40 unidades producidas, cada unidad adicional representa un
beneficio menor para la compañía o incluso, después de un punto perdidas. Sin
embargo, si se producen n unidades (en la combinación más óptima de x,y) se
obtendrá un mayor beneficio que si se producen n-1 unidades (en la combinación
más óptima de x,y) (𝑛 ≤ 40).

Entonces, al encontrar el máximo beneficio con 𝑥 + 𝑦 = 35, será el mismo nivel

máximo de beneficio de la restricción 𝑥 + 𝑦 ≤ 35. Dicho esto.

Función de restricción 𝑔(𝑥 ): 𝑥 + 𝑦 − 35 = 0

𝑭(𝒙𝒚𝝀) = 𝒇(𝒙𝒚) − 𝝀(𝒈(𝒙))

𝐹 (𝑥𝑦𝜆) = 160𝑥 − 3𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 + 120𝑦 − 18 − 𝝀(𝑥 + 𝑦 − 35)

𝐹𝑥 (𝑥𝑦𝜆) = 160 − 6𝑥 − 2𝑦 − 𝜆 = 0 (1)
𝜆 = 160 − 6𝑥 − 2𝑦 (2)
𝐹𝑦 (𝑥𝑦𝜆) = −2𝑥 − 4𝑦 + 120 − 𝜆 = 0 (3)

𝜆 = −2𝑥 − 4𝑦 + 120 (4)

Igualando (2) y (4) 160 − 6𝑥 − 2𝑦 = −2𝑥 − 4𝑦 + 120 (5)
𝑦
𝒙 = 10 + (6)
2
𝑦
Sustituyendo (6) en 𝑔(𝑥 ) 10 + 2 + 𝑦 − 35 = 0 (7)

𝒚 = 𝟏𝟔, 𝟔 (8)
𝑦
Sustituyendo (8) en (6) 𝒙 = 10 + 2 (9)

𝒙 = 𝟏𝟖, 𝟑 (10)
Es decir que el beneficio se maximiza el beneficio, cuando la producción de X= 18.3,
y la de Y=16.6. En el caso que no se pueda fraccionar un producto, el beneficio
máximo está en (18,17).

8) Ejercicio 7

Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa

puede elaborar P unidades de su producto, con:

2 1
𝑃(𝐿, 𝐾) = 50𝐿 𝐾 3 3 (1)
Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada
unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45.000 para
propósitos de producción.

a) Mediante el método de multiplicadores de Lagrange determine las unidades

de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con el objetivo
de maximizar su producción.

Sea 𝑔(𝐿, 𝐾 ) = 100𝐿 + 300𝐾 − 45000 (2) y sea

2 1
𝐹 (𝐿, 𝐾, 𝛾) = 50𝐿 𝐾 − 𝛾(100𝐿 + 300𝐾 − 45000)
3 3 (3). Entonces,

𝜕𝐹 100 −1 1
= 𝐿 3𝐾3 − 100𝛾 (4)
𝜕𝐿 3

𝜕𝐹 50 2 2
−3
= 𝐿𝐾
3 − 300𝛾 (5)
𝜕𝐾 3

𝜕𝐹
= −100𝐿 − 300𝐾 + 45000 (6)
𝜕𝛾

Para maximizar 𝐹 (𝐿, 𝐾, 𝛾 ), es necesario que (4) = (5) = (6) = 0. Por lo tanto, si

se tienen las derivadas maximizadas, de (4) se puede decir que:

 1 −1 1
𝛾= 𝐿 3𝐾3 (7).
3

2 2
1 −3
De (5) se puede decir que: 𝛾 = 𝐿𝐾
3 (8).
18

1 −1 1 1 2
−
2
Como (7) = (8), entonces 𝐿 3 𝐾 3 = 𝐿𝐾 3 3 (9)
3 18

De (9) se obtiene que 6𝐾 =𝐿 (10)

Sustituyendo (10) en (6) se tiene que −600𝐾 − 300𝐾 + 45000 = 0 (11)

De donde se concluye que 𝐾 = 50 (12)

Con (10) y (12) se tiene que 𝐿 = 300 (13)

La empresa maximiza su producción si emplea 300 unidades de mano de obra y
50 unidades de capital.

b) Demuestre que en este nivel máximo de producción la razón de los costos

marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de los costos
unitarios.

1 1
𝜕𝑃 100 −
La producción marginal de mano de obra está dada por: 𝜕𝐿 = 3 𝐿 3 𝐾3 (14)
2 2
𝜕𝑃 50 3 −3
La producción marginal de capital está dada por:
𝜕𝐾
= 3
𝐿𝐾 (15)

Reemplazando los niveles máximos de producción de (12) y (13) en (14) y (15), la

razón de los costos marginales de mano de obra y capital es:

𝜕𝑃 100 1 1
−3
𝜕𝐿 = 3 (300) (50) = 1
3
2 2 (16)
𝜕𝑃 50 3
(300) 3 (50)−3
𝜕𝐾 3
Por su parte, de la descripción se tiene que, el costo unitario tanto en mano de obra
como en capital para producir un producto es de 100 y 300 respectivamente, cuya
razón es exactamente igual a los costos marginales calculados anteriormente.

9) Ejercicio 8

Resuelva las siguientes dos ecuaciones diferenciales:

𝟐 𝟏
a. 𝒙𝟐 𝒙̇ = 𝒕−
𝟑 𝟑

𝑑𝑥 2 1
𝑥2 = 𝑡−
𝑑𝑡 3 3
2 1
𝑥 2 𝑑𝑥 = ( 𝑡 − ) 𝑑𝑡
3 3
2 1
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ ( 𝑡 − ) 𝑑𝑡
3 3
3
𝑥 1 1
= 𝑡2 − 𝑡 + 𝐶
3 3 3
3 2
𝑥 = √𝑡 − 𝑡 + 𝑘 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 3.
b. 𝒙̇ − 𝟓𝒙 = 𝟐𝟓
𝑑𝑥
− 5𝑥 = 25
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 5(𝑥 + 5)
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 5𝑑𝑡
(𝑥 + 5)
𝑑𝑥
∫ = ∫ 5𝑑𝑡
(𝑥 + 5)
ln(|𝑥 + 5|) = 5𝑡 + 𝐶
|𝑥 + 5| = 𝑒 5𝑡+𝑐
Caso 1: 𝑥 + 5 = 𝑒 5𝑡+𝐶 Caso 2: 𝑥 + 5 = −𝑒 5𝑡+𝐶
𝑥 + 5 = 𝑒 5𝑡 𝑒 𝑐 𝑥 + 5 = −𝑒 5𝑡 𝑒 𝑐
𝑥 = 𝐴𝑒 5𝑡 − 5 𝑥 = 𝐾𝑒 5𝑡 − 5
En ambos casos las soluciones pertenecen a la misma familia.
 10) Ejercicio 9

a. Suponga 𝑌 = 𝑌(𝑡) es el producto nacional, 𝐶(𝑡) es el consumo en

𝑡, y 𝐼 es la inversión fija.

Suponga 𝑌̇ = 𝛼(𝐶 + 𝐼 − 𝑌) y 𝐶 = 𝛽𝑌 + 𝐶0 con 𝛼 > 0 ∧ 𝛽 > 0.

Derive a una ecuación diferencial de 𝑌̇ como función de 𝑌 y las constantes.

𝑑𝑌
= 𝛼 (𝛽𝑌 (𝑡) + 𝐶0 + 𝐼 − 𝑌(𝑡)) (1)
𝑑𝑡
𝑑𝑌
= 𝛼𝑌 (𝛽 − 1) + 𝛼(𝐶0 + 𝐼) (2)
𝑑𝑡

Sea 𝑎 = 𝛼(𝛽 − 1) ∧ 𝑏 = 𝛼(𝐶0 + 𝐼), Entonces.

𝑑𝑌
= 𝑎𝑌 + 𝑏 (3)
𝑑𝑡
𝑑𝑌
∫ = ∫ 𝑑𝑡 (4)
𝑎𝑌 + 𝑏
𝑑𝑢
Sea 𝑢 = 𝑎𝑌 + 𝑏 → = 𝑑𝑌
𝑎

1 𝑑𝑢
∫ = ∫ 𝑑𝑡 (4)
𝑎 𝑢

1
ln(𝑢) = 𝑡 + 𝐾 (5)
𝑎
1
ln (𝑢𝑎 ) = 𝑡 + 𝐾 (6)

1
ln(𝑢𝑎 )
𝑒 = 𝑒 𝑡+𝐾 (7)

1
𝑢 𝑎 = 𝑃𝑒 𝑡 (8)
𝑢 = 𝑅𝑒 𝑎𝑡 (9)

𝑎𝑌 + 𝑏 = 𝑅𝑒 𝑎𝑡 (10)

𝑅𝑒 𝑎𝑡 − 𝑏
𝑌= (11)
𝑎

𝑅𝑒 𝛼(𝛽−1)𝑡 − 𝛼(𝐶0 + 𝐼)
𝑌=
𝛼 (𝛽 − 1)

b. Encuentre cuando 𝑌 (0) = 𝑌0 . Cuando esta ecuación está estable,

que le sucede a 𝑌 (𝑡 ) como 𝑡 → ∞ en caso estable.

lim 𝑌 → ∞, es un límite indeterminado que tiende a infinito cuando 𝑡 tiende a

𝑡→∞
infinito.

11) Ejercicio 10

Resuelva la ecuación diferencial

3
𝑑𝑥 √𝑎𝑥 + 𝑏 2
= 𝑡
𝑑𝑡 𝑥

Donde 𝑎 ≠ 0.
𝑥
3 𝑑𝑥 = 𝑡 2 𝑑𝑡 (1)
√𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥
∫3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 (2)
√𝑎𝑥 + 𝑏

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑑𝑢 = 𝑎 𝑑𝑥. 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,

1 𝑢−𝑏
2
∫ 3 𝑑𝑢 = ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 (3)
𝑎 √𝑢
1 2 1
−3
2
∫ 𝑢 − 𝑏𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡
3 (4)
𝑎

1 3 5 3 2 𝑡3
2
[ 𝑢3 − 𝑏𝑢3 ] = + 𝐾 (5)
𝑎 5 2 3

1 3 5 3 2 𝑡3
2
[ (𝑎𝑥 + 𝑏)3 − 𝑏(𝑎𝑥 + 𝑏)3 ] = + 𝐾0 (6)
𝑎 5 2 3
2 1 𝑏 𝑎2 𝑡 3
(𝑎𝑥 + 𝑏)3 [ (𝑎𝑥 + 𝑏) − ] = ( + 𝐾0 ) (7)
5 2 3 3

3 3
2
1 𝑏 𝑎6 𝑡 3
(𝑎𝑥 + 𝑏) [ (𝑎𝑥 + 𝑏) − ] = ( + 𝐾0 ) (8)
5 2 27 3

12) Ejercicio 11

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

𝒅𝒚
a. + 𝟓𝒚 = 𝟎
𝒅𝒕

𝑑𝑦
= −5𝑦 (1)
𝑑𝑡
𝑑𝑦
− = 𝑑𝑡 (2)
5𝑦
𝑑𝑦
∫− = ∫ 𝑑𝑡 (3)
5𝑦
−5 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑡 + 𝑐 (4)
−𝑡 + 𝐾
𝑙𝑛 𝑦 = (6)
5
−𝑡+𝑘
𝑦= 𝑒 5 (7)
 −𝑡
𝑦= 𝐴𝑒 5 (8)
𝒅𝒚
b. + 𝟒𝒚 = −𝟐𝟎𝒚 y(0)=0
𝒅𝒕

𝑑𝑦
= −20𝑦 − 4𝑦 (1)
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= −24𝑦 (2)
𝑑𝑡
Por el punto anterior, se sabe que la solución a esta ecuación diferencial es la
familia.
−𝑡
𝑦 = 𝐴𝑒 24 (3)
Como 𝑦(0) = 0
0
0= 𝐴𝑒 24 → 𝐴=0

La solución al problema de Cauchy es 𝑦(𝑡) =0

c. (𝟒𝒚 + 𝟖𝒕𝟐 ) 𝒅𝒚 + (𝟏𝟔𝒚𝒕 − 𝟑)𝒅𝒕 = 𝟎

Sea que M= (𝟒𝒚 + 𝟖𝒕𝟐 )

Sea que N= (𝟏𝟔𝒚𝒕 − 𝟑)
𝜕𝑀 𝜕𝑁
= 16𝑡 = 16𝑡
𝜕𝑡 𝜕𝑦

Diferencial exacta
La solución 𝐹 (𝑦, 𝑡) de la ecuación diferencial, está dada por:

𝐹 (𝑡, 𝑦) = ∫ 𝑀 𝑑𝑦 = ∫ 4𝑦 + 8𝑡 2 𝑑𝑦 = 2𝑦 2 + 8𝑡 2 𝑦 + 𝜑(𝑡)

𝜕𝐹
= 16𝑦𝑡 + 𝜑′ (𝑡) = 16𝑦𝑡 − 3 → 𝜑′ (𝑡) = −3
𝜕𝑡
𝜑 (𝑡) = −3𝑡
2𝑦 2 + 8𝑡 2 𝑦 − 3𝑦 = 𝐶 es la familia de soluciones de la ecuación diferencial.

d. (𝟏𝟐𝒚𝟐 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝒚) 𝒅𝒚 + (𝟖𝒚𝟑 𝒕) 𝒅𝒕 = 𝟎

Sea que M= (𝟏𝟐𝒚𝟐 𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝒚)

Sea que N= (𝟖𝒚𝟑 𝒕)

𝜕𝑀 𝜕𝑁
= 24𝑦 2 𝑡 = 24𝑦 2 𝑡
𝜕𝑡 𝜕𝑦

Diferencial exacta
La solución 𝐹 (𝑦, 𝑡) de la ecuación diferencial, está dada por:

𝐹 (𝑡, 𝑦) = ∫ 𝑀 𝑑𝑦 = ∫ 12𝑦2𝑡2 + 10𝑦 𝑑𝑦 = 4𝑦3 𝑡2 + 5𝑦2 + 𝜑(𝑡)

𝜕𝐹
= 8𝑦3 𝑡 + 𝜑′ (𝑡) = 8𝑦3 𝑡 → 𝜑 ′ (𝑡) = 0 → 𝜑(𝑡) = 0, es una solución
𝜕𝑡
particular, entonces la solución de la ecuación diferencial exacta es:

4𝑦3 𝑡2 + 5𝑦2 = 𝐴

13) Anexo Pantallazo Ejercicios Pearson Nicolas Mosquera

14) Conclusiones

Se construye y estudia la finalidad de los métodos cuantitativos en un contexto

aplicado, con la práctica de las ecuaciones y sistemas desarrollados en esta
guía, (matrices de coeficientes, función de producción cobb-Douglas,
multiplicadores de lagrange, ecuaciones diferenciales) se materializa la
funcionalidad de los mismos en situaciones reales, toda vez que a través de
estos podemos hallar la forma de optimizar el ejercicio de producción de una
empresa o hasta de un país, encontrando los puntos o momentos con los que
se logra minimizar costos o maximizar utilidades, lo cual fortalece el ejercicio de
toma de decisiones que tendrán consecuencias en la economía.

Se refuerzan varios conceptos para el manejo y la compresión del cálculo en

varias variables.
15) Referencias Bibliográficas.

 Haeussler, E., Paul, R., Wood, R., y Murrieta, J. (2015). Matemáticas

paraadministración y economía (13.th ed.). México, D. F.: Pearson
Educación.
 Sydsaeter, K., Hammond, P., y Carvajal, A. (2012). Matemáticas para el
análisis
 económico (3.th ed.). Madrid: Pearson Educación.
 Arya, J., Lardner, R., e Ibarra, V. (2009). Matemáticas aplicadas a la
administración
 y a la economía (5.th ed.). México: Pearson Prentice Hall.
 Chiang, A., y Wainwright, K. (2006). Metodos fundamentales de economía
matemática (4.th ed.). México: McGraw-Hill.
 Cienfuegos, D. (2014). Matemáticas con aplicaciones (1.st ed.). México, D.F.:
 Cengage.
 Escobar, D. (2001). Economía Matemática (2.da ed.). Editorial Uniandes-
Alfaomega.
 Thomas, G., Weir, M., Hass, J., y García, A. (2015). Cálculo. Varias variables
(13.th ed.). México: Pearson Educación.
 Zill, D., Wright, W., Cullen, M., Antonyan, N., Barajas, L., y Hernández, M.
(2012). Matemáticas avanzadas para ingeniería (4.th ed.). México, Madrid:
McGraw-Hill.