Mali2 U1 A1

1.
Concepto Descripción
Espacio Vectorial Es un conjunto de objetos, llamados vectores con las
operaciones suma y multiplicación escalar que satisfacen
ciertas propiedades.
Axiomas de un espacio vectorial  Suma:
Sea V un espacio vectorial
- ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉
- ∃0 ∈ 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀ 𝑥 ∈ 𝑉, 𝑥 + 0 = 𝑥
- 𝑆𝑖 𝑥 ∈ 𝑉, ∃ (−𝑥) ∈ 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + (−𝑥) = 0
- ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉, 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧
- 𝑆𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
 Multiplicación por un escalar:
- 𝑆𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑎(𝑥 + 𝑦) =
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
- 𝑆𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, (𝑥 + 𝑦)𝑎 = 𝑎𝑥 +
𝑎𝑦
- 𝑆𝑖 𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 𝑎, 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠, 𝑎(𝑏𝑥) =
(𝑎𝑏)𝑥
- 𝑆𝑖 𝑥 ∈ 𝑉 𝑦 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑎𝑥 ∈ 𝑉
- ∀𝑥 ∈ 𝑉, 1𝑥 = 𝑥
Clasificación de los axiomas  Propiedades de la suma de vectores:

- Cerradura de la suma.
- Existencia del neutro aditivo.
- Existencia del inverso aditivo.
- Asociatividad de la suma.
- Conmutatividad de la suma.
 Propiedades de la multiplicación por un escalar.
- Distributividad por la izquierda.
- Distributividad por la derecha.
- Multiplicación de dos escalares por un vector.
- Multiplicación por un escalar.
- Existencia del neutro multiplicativo.
Definición de subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares F.

Un subespacio de V es un subconjunto W de V tal que,
con las operaciones de adición vectorial y multiplicación
escalar sobre V, es el mismo un espacio vectorial sobre F.
Axiomas de un subespacio vectorial Sea 𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙.
W es subespacio vectorial de V si:
1) ∀𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝑊, (𝑎1 + 𝑎2 ) ∈ 𝑊
2) 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑦 𝑎1 ∈ 𝑊, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝛼𝑎1 ∈ 𝑊
3) El vector 0 pertenece a W
1. Explica por qué los siguientes conjuntos no son espacios vectoriales.
a. 𝐻 = {(𝑎, 𝑏, 0): 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ− }
No cumple el tercer axioma de la suma:
No existe inverso aditivo para (𝑎, 𝑏) en el conjunto H, pues, −(𝑎, 𝑏) = (−𝑎, −𝑏), pero
como 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ− entonces −𝑎, −𝑏 ∉ ℝ−
b. 𝐻 = {(𝑎, 2𝑏): 𝑎 > 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
No existe inverso aditivo en el conjunto H:

(𝑎, 2𝑏) − (𝑎, 2𝑏) = (𝑎 − 𝑎, 2𝑏 − 2𝑏) = (0, 2 ∙ 0), eso implica que 𝑎 = 𝑏, lo que es
una contradicción, pues por definición 𝑎 > 𝑏.
c. 𝐻 = {(1, 𝑎, 𝑏): 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}
No es cerrado bajo la suma:
Sean (1, 𝑎1 , 𝑏1 ), (1, 𝑎2 , 𝑏2 ) ∈ 𝐻, entonces,
(1, 𝑎1 , 𝑏1 ) + (1, 𝑎2 , 𝑏2 ) = (1 + 1, 𝑎1 + 𝑎2 , 𝑏1 + 𝑏2 ) = (2, 𝑐, 𝑑), 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ
2. Determina, mediante la comprobación formal de los axiomas de un subespacio vectorial,

si el conjunto H es o no un subespacio vectorial de V. No hagas uso de ejemplos o
contraejemplos.
a. 𝐻 = {(𝑥, 2𝑥 + 4𝑧, 𝑧): 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ} ⊂ ℝ3 = 𝑉
1) Si 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎1 , +𝑎2 ∈ 𝐻
Demostración.
Sean 𝑎1 = (𝑥1 , 2𝑥1 + 4𝑧1 , 𝑧1 ) 𝑦 𝑎2 = (𝑥2 , 2𝑥2 + 4𝑧2 , 𝑧2 )
𝑎1 + 𝑎2 = (𝑥1 , 2𝑥1 + 4𝑧1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 2𝑥2 + 4𝑧2 , 𝑧2 )

= (𝑥1 + 𝑥2 , 2(𝑥1 + 𝑥2 ) + 4(𝑧1 + 𝑧2 ), 𝑧1 + 𝑧2 )
Como 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑧1 , 𝑧2 ∈ ℝ, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑧1 + 𝑧2 ∈ ℝ ,
de modo que 𝑎1 + 𝑎2 ∈ 𝐻∎
2) 𝑆𝑖 𝑎 ∈ 𝐻 𝑦 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼𝑎 ∈ 𝐻
Demostración.
𝛼𝑎 = 𝛼(𝑥, 2𝑥 + 4𝑧, 𝑧) = (𝛼𝑥, 𝛼2𝑥 + 𝛼4𝑧, 𝛼𝑧)
Debido a que 𝛼𝑥, 𝛼2𝑥 + 𝛼4𝑧, 𝛼𝑧 ∈ ℝ, entonces 𝛼𝑎 ∈ 𝐻∎
3) 𝐸𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 0 ∈ 𝐻
Demostración.
Por definición, 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ. En particular, si 𝑥 = 𝑧 = 0, se tiene (0, 2 ∙ 0 + 4 ∙ 0, 0) =

(0, 0, 0) = 0 ∈ 𝐻∎
𝑥
b. 𝐻 = {(𝑥, 2𝑦, ) : 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} ⊂ ℝ3 = 𝑉
𝑦
H no es un subespacio de ℝ3 pues no se cumple el primer axioma de un

subespacio vectorial:
Si 𝑎1 , 𝑎2 ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎1 + 𝑎2 ∈ 𝐻
𝑥 𝑥
Sean 𝑎1 = (𝑥1 , 2𝑦1 , 𝑦1 ) 𝑦 𝑎1 = (𝑥2 , 2𝑦2 , 𝑦2 )
1 2
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦1
𝑎1 + 𝑎2 = (𝑥1 , 2𝑦1 , ) + (𝑥2 , 2𝑦2 , ) = (𝑥1 + 𝑥2 , 2(𝑦1 + 𝑦2 ), )
𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2
Para que se cumpla este axioma tendría que ocurrir que al sumar los vectores
𝑥1 +𝑥2
𝑎1 𝑦 𝑎2 , su tercera coordenada sea 𝑦1 +𝑦2
, de modo que 𝑎1 + 𝑎2 ∉ 𝐻
c. 𝐻 = {𝑥, 𝑦, 𝑧): 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} ⊂ ℝ3 = 𝑉
1) 𝑆𝑖 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) , (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) ∈ 𝐻
Demostración.
Sean (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) , (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) ∈ 𝐻, entonces (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) =
(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2 )
Ahora debemos demostrar que la suma de estos vectores cumple la condición del
conjunto:
2(𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 ) + (𝑧1 + 𝑧2 ) = 2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2

= (2𝑥1 − 𝑦1 + 𝑧1 ) + (2𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 ) = 0 + 0 = 0
De forma que la suma (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) ∈ 𝐻∎
2) 𝑆𝑖 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻 𝑦 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻
Demostración.
𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧)
Ahora se debe demostrar que (𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧) cumple la condición del conjunto.
2𝛼𝑥 − 𝛼𝑦 + 𝛼𝑧 = 𝛼(2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) = 𝛼 ∙ 0 = 0
Por lo tanto 𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻∎
Demostración.
Se tiene que para el vector (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ. En particular 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 =

0 ∈ 𝐻, es decir, (0, 0, 0) ∈ 𝐻. Es claro que este vector cumple con la condición del
conjunto∎
𝑎 𝑏
d. 𝐻 = {( ) : 𝑑 = 𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} ⊂ 𝑀22 = 𝑉
𝑐 𝑑
1) Si 𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴1 + 𝐴2 ∈ 𝐻
Demostración.
𝑎1 𝑏1 𝑎 𝑏2
Sean 𝐴1 = ( ) 𝑦 𝐴2 = ( 2 ) entonces
𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2
𝑎1 𝑏1 𝑎 𝑏2 𝑎 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑏2
𝐴1 + 𝐴2 = ( )+( 2 )=( 1 )
𝑐1 𝑑1 𝑐2 𝑑2 𝑐1 + 𝑐2 𝑑1 + 𝑑2
𝑎 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑏2
=( 1 )∈𝐻
𝑐1 + 𝑐2 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2
Pues todas las entradas en la matriz suma son números reales, como pide la
Definición del conjunto H∎
2) 𝑆𝑖 𝐴 ∈ 𝐻 𝑦 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼𝐴 ∈ 𝐻
Demostración.
𝑎 𝑏 𝛼𝑎 𝛼𝑏
𝛼( )=( ) ∈ 𝐻, pues todas sus entradas son números reales∎
𝑐 𝑑 𝛼𝑐 𝛼𝑑
Demostración.
En efecto, pues 0 representa la matriz nula. Sean 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0 ∈ ℝ,

0 0
entonces ( ) ∈ 𝐻∎
0 0
e. H es el conjunto de polinomios de grado ≤ n con término constante 𝑎0 negativo. 𝐻 ⊂

𝑃𝑛 = 𝑉
No es subespacio de 𝑃𝑛 ya que 𝛼 puede ser negativo, al multiplicar éste escalar

por 𝑃(𝑥) ∈ 𝐻, el término constante sería positivo, de forma que 𝛼𝑃(𝑥) ∉ 𝐻

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1.

Clasificación de los axiomas  Propiedades de la suma de vectores:

Definición de subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares F.

b. 𝐻 = {(𝑎, 2𝑏): 𝑎 > 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}

No existe inverso aditivo en el conjunto H:

No es cerrado bajo la suma:

Sean (1, 𝑎1 , 𝑏1 ), (1, 𝑎2 , 𝑏2 ) ∈ 𝐻, entonces,

(1, 𝑎1 , 𝑏1 ) + (1, 𝑎2 , 𝑏2 ) = (1 + 1, 𝑎1 + 𝑎2 , 𝑏1 + 𝑏2 ) = (2, 𝑐, 𝑑), 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ

2. Determina, mediante la comprobación formal de los axiomas de un subespacio vectorial,

a. 𝐻 = {(𝑥, 2𝑥 + 4𝑧, 𝑧): 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ} ⊂ ℝ3 = 𝑉

Sean 𝑎1 = (𝑥1 , 2𝑥1 + 4𝑧1 , 𝑧1 ) 𝑦 𝑎2 = (𝑥2 , 2𝑥2 + 4𝑧2 , 𝑧2 )

𝑎1 + 𝑎2 = (𝑥1 , 2𝑥1 + 4𝑧1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 2𝑥2 + 4𝑧2 , 𝑧2 )

𝛼𝑎 = 𝛼(𝑥, 2𝑥 + 4𝑧, 𝑧) = (𝛼𝑥, 𝛼2𝑥 + 𝛼4𝑧, 𝛼𝑧)

Debido a que 𝛼𝑥, 𝛼2𝑥 + 𝛼4𝑧, 𝛼𝑧 ∈ ℝ, entonces 𝛼𝑎 ∈ 𝐻∎

Por definición, 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ. En particular, si 𝑥 = 𝑧 = 0, se tiene (0, 2 ∙ 0 + 4 ∙ 0, 0) =

H no es un subespacio de ℝ3 pues no se cumple el primer axioma de un

1) 𝑆𝑖 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) , (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) ∈ 𝐻

2(𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 ) + (𝑧1 + 𝑧2 ) = 2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2

De forma que la suma (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) + (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧3 ) ∈ 𝐻∎

2) 𝑆𝑖 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻 𝑦 𝛼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻

𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧)

Por lo tanto 𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻∎

Se tiene que para el vector (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐻, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ. En particular 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 =

Definición del conjunto H∎

En efecto, pues 0 representa la matriz nula. Sean 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0 ∈ ℝ,

e. H es el conjunto de polinomios de grado ≤ n con término constante 𝑎0 negativo. 𝐻 ⊂

No es subespacio de 𝑃𝑛 ya que 𝛼 puede ser negativo, al multiplicar éste escalar

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