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Maco U2 Ea FRCR
Maco U2 Ea FRCR
Maco U2 Ea FRCR
x 1+ x2 + x 3 + x 4 + x 5+ x 6 =31 , para 0 ≤ x i ≤ 9 , ∀ 1≤ i≤ 6
6
( 1+ x 1+ x2 +…+ x 9)
Desarrollándola tenemos que:
6 6
1−x 10 ( 1−x 10 )
2 3 4 5 6 7 8
( 1+ x + x + x + x + x + x + x + x + x ) = 9 6
1−x (
= )
( 1−x )6
El coeficiente buscado es x 31
6
Entonces de ( 1−x 10 ) ( 1−x )−6, desarrollando el producto del polinomio de grado 60
y un polinomio infinito.
(n+ k−1
k )
Estos términos formarán el coeficiente de x 31, por tanto:
(6+ 31−1
31 ) −6 ( 6+21−1 ) +15 ( 6+ 11−1 )−20 ( 6+1−1 )=( 36 )−6 ( 26 ) +15 ( 16 )−20 ( 6 )=376992−39468
21 11 1 31 21 11 1
La función generatriz es
3
( 1+ x + x 2+ x 3 + x 4 + x 5 + x 6+ x7 ) (1+ x 2 + x 4 + x 6 )
−1
( 1−4 x 8 +6 x 16−4 x 24 + x 32 ) ( 1−x )−3 ( 1−x2 )
(3+20−1
20 ) =( 22) ; x
20
20
(3+18−1
18 ) =( 20) ; x
18
18
(3+16−1
16 ) =( 18 ) ; x
16
16
(3+14−1
14 ) =( 16 ) ; x
14
14
(3+12−1
12 ) =( 14 ) ; x
12
12
(3+10−1
10 ) =( 12) ; x
10
10
(3+ 8−1
8 ) =( 10) ; x
8
8
(3+6−1
6 ) =( 8 ) ; x
6
6
(3+ 4−1
4 ) =( 6 ) ; x
4
4
(3+2−1
2 ) =( 4 ) ; x
2
2
(3+ 0−1
0 ) =( 2 ) ; x
0
0
Análisis Combinatorio
Unidad 2. Más estrategias de conteo
(3+12−1
12 ) =( 14 ) ; x
12
12
(3+10−1
10 ) =( 12) ; x
10
10
(3+ 8−1
8 ) =( 10) ; x
8
8
(3+6−1
6 ) =( 8 ) ; x
6
6
(3+ 4−1
4 ) =( 6 ) ; x
4
4
(3+2−1
2 ) =( 4 ) ; x
2
2
(3+ 0−1
0 ) =( 2 ) ; x
0
0
(3+ 4−1
4 ) =( 6 ) ; x
4
4
(3+2−1
2 ) =( 4 ) ; x
2
2
(3+ 0−1
0 ) =( 2 ) ; x
0
0
Entonces
1 22 + 20 + 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 −4 14 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2
(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 12 10 8 6 4 2 0
b. 0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,…
x4
1−x 2
Entonces
¿ 10 (−2 ) =0 (−2 ) =0
15 15
( )
15
b. ( 1+ x )4 / ( 1−x )4
( 1+ x )4
4
=( 1+ x )4 ∙ ( 1−x )−4
( 1−x )
∑ (nr ) ar
r=0
4 = 4 ! =1
()
0 0!× 4!
( 41)= 1!4×!3 ! =4
( 42)= 2!4×!2! =6
Análisis Combinatorio
Unidad 2. Más estrategias de conteo
( 43)= 3 !4×1! ! =4
4 = 4 ! =1
()4 4!× 0!
∑ (n+rr −1 ) x r
r=0
17!
( 4+14−1
14 )=( 17 )=
14 14 ! ×3 !
=680
16 !
( 4+13−1 = 16 =
13 ) ( 13 ) 13 ! ×3 !
=560
15 !
( 4+12−1
12 )=( 15 )=
12 12! × 3 !
=455
14 !
( 4+11−1
11 ) =( 14 )=
11 11 ! ×3 !
=364
Entonces
Donde
150 1000
=6 ; =40
25 25
Entonces
4 4
( x 6 + x 7+ …+ x 39+ x 40 ) =x 6 ( 1+ x6 + …+ x 33+ x 34 )
4
Entonces buscamos el coeficiente de x 120 de [ x 6 ( 1−x 35 ) ( 1− x )−1 ] desarrollando
4
tenemos que encontrar el coeficiente x 96 de ( 1−x 35 ) ( 1−x )−4
Para los coeficientes
r =0 , r=1 , r=2 ,
( 40)= 0 !4×!4 ! =1
4!
− 4 =
()
1 1 ! ×3 !
=−4
Análisis Combinatorio
Unidad 2. Más estrategias de conteo
( 42)= 2!4×!2! =6
Y
=( 99 )
( 4+96−1
96 ) 96
64
( 4+61−1
61 ) ( 61)
=
=( 29 )
( 4+26−1
26 ) 26
Entonces
[ x 2 ( 1+ x + x 2 + x3 … ) ][ x 3 ( 1+ x+ x 2 ) ]
Entonces
5 5
1 1
[ 2
x ( )] [ (
1−x
x3
( 1−x ) )]
5 5
=[ x2 ( 1−x )−1 ] [ x3 ( 1−x )−1 ] =[ x 10 (1−x )−5 ][ x 15 ( 1−x )−5 ]=x 25 ( 1−x )−10
23 ) 23 23