Maco U3 Ac Elvc

Licenciatura en Matemáticas
Asignatura: Análisis Combinatorio
Unidad 3.- Teoría de Gráficos
Actividad.- Complementaria
Alumna: Elda Josefina Vázquez Calderón
Grupo: MT-MACO-2102-B1-000
Docente: Sergio Cesar Alejandro Gutiérrez Guzmán

La actividad que tendrán como Actividad complementaria consiste
en leer uno de los libros que les dejo abajo y entregar un escrito de
una o dos páginas en el que expliquen (por lo menos):
A. ¿Qué les pareció el libro? (Anoten su opinión general sobre el libro).
B. ¿Qué aprendieron sobre el quehacer de un matemático (o de un científico)?
C. ¿Qué conceptos matemáticos nuevos aprendieron en la lectura?
D. ¿Qué conceptos de matemáticas relacionados con el curso de Análisis
combinatorio aparecen en el texto
LIBRO:
Del teorema de los 4 colores a la gravedad cuántica: enumeración de mapas
Este libro me pareció muy dinámico y entendible y la verdad preferí este que es
mucho más corto y se me hizo más práctico y resumido siento que ayuda a
comprender mejor el teorema de los 4 colores, y de las técnicas que han sido
utilizado por grandes matemáticos y científicos para resolver ese teorema, así
como conceptos vistos en este curso de Análisis Combinatorio.
Un matemático o Científico puede resolver problemas que aparenten tener una

respuesta muy simple al principio, pero que a la vez se va complicando debido a
diversos factores que van surgiendo y deben realizar una teoría o hipótesis que
confirmen si lo que ellos están proponiendo es correcto o de lo contrario seguir
realizando pruebas, teoremas formulas etc. Para llegar a una conclusión positiva y
asertiva que respalde sus afirmaciones. Además sustentan sus análisis con
trabajos e investigaciones de otros compañeros expertos en la materia.
Por otro lado los resultados que obtienen pueden ser utilizados en otros campos
de la ciencia, para desarrollar nuevas teorías y concretar proyectos.
Uno de los conceptos matemáticos nuevos en esta lectura, fue la construcción

de una cuadrangulación a partir de un mapa genérico. En toda cuadrangulación se
cumple que el número de caras es igual al doble del número de aristas, se cumple
que la cuadrangulación que resulta tiene, además, n caras. Que existe una
biyección entre los mapas planos con raíz con n aristas y las cuadrangulaciones
enraizadas con n caras (o equivalentemente, con n+2 vértices).
El concepto denominado teorema de disimetría que permite escribir fórmulas
enumerativas para mapas sin raíz en términos de las fórmulas que se obtienen
para mapas con raíz (generalmente fórmulas que dependen de sumatorios).
La técnica de descomposición utilizando la raíz de un mapa, los números de
catalán, y su íntima relación con las estructuras arbóreas para generar formulas
combinatorias.
La construcción (biyectiva) de un árbol bien etiquetado a partir de un árbol con
pesos en las aristas, útil para la demostración de la biyección combinatoria y
La biyección de Schaeffer:
Teorema 2 (Biyección de Schaeffer). Existe una biyección combinatoria entre
𝑄•𝑛 𝑦 {0,1}𝑥 𝑇𝑛 y puesto que en una biyección combinatoria lo importante es que las
dos familias combinatorias tratadas tienen el mismo cardinal, resulta que se
cumple (𝑛 + 2)|𝑄𝑛 | = |𝑄𝑛• | = |{0,1}𝑥 𝑇𝑛 | = |{0,1} 𝑥 𝐶𝑛 𝑥 {−1,0,1}𝑛 | = 2 ∗ 3𝑛 𝐶𝑛 , de
donde deducimos de manera elemental que
2
|𝑄𝑛 | = 3𝑛 𝐶𝑛
𝑛+2
Y esto se resume: un mapa con n aristas es, esencialmente, un árbol bien
etiquetado.
El concepto de mapa browniano; Chassaing y Schaeffer estos hallan resultados
más precisos, relacionados con un objeto probabilístico universal denominado
serpiente browniana, que se relacionada con el célebre movimiento browniano, y
que se obtiene como límite contínuo de una secuencia de objetos discretos
relacionados con los árboles, y que recientemente ha demostrado que el límite de
las cuadrangulaciones con la distancia normalizada por un factor 𝑛1/4 existe y es
universal.
También en esta lectura aparecen varios de los conceptos que se relacionan

con este curso de análisis combinatorio, principalmente el tema de los 4
colores, este teorema que trata de que cualquier mapa plano puede pintarse con
cuatro colores de tal forma que dos regiones colindantes cualesquiera tengan un
color distinto.
El concepto de mapa que se relaciona con este teorema y que en matemáticas
sobre todo en combinatoria es una partición de un plano con diferentes regiones.
Y que le damos el nombre de grafo conexo. Este concepto que también vimos en
este curso que se relaciona con la teoría de las gráficas, así como los conceptos
de vértices, aristas, caras y lasos.
Otro de los conceptos que se menciona es el de la fórmula de Euler: “dado un
mapa con v vértices, a aristas y c caras (donde la cara externa se toma en
cuenta), se cumple la relación”. c + v = a + 2
En general este libro habla de las técnicas de descomposición utilizando la raíz y

las técnicas de integración de matrices para generar fórmulas combinatorias, pero
que en muchos casos no se conocen explicaciones elementales de éstas y que en
los últimos años muchos físicos se han interesado pero aunque sus teorías son
claras en si son deficientes desde el punto de vista matemático, pero a pesar de
eso servirán en la investigación.

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Un matemático o Científico puede resolver problemas que aparenten tener una

Uno de los conceptos matemáticos nuevos en esta lectura, fue la construcción

También en esta lectura aparecen varios de los conceptos que se relacionan

En general este libro habla de las técnicas de descomposición utilizando la raíz y

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